$(n-2)$-ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ПЕРВОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.16.8

(п-2)-ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ПЕРВОГО ТИПА

© В.Е. БЕРЕЗОВСКИЙ1, Й. МИКЕШ2 1Уманский национальный университет (Украина), кафедра математики и информатики e-mail: berez.volod@rambler.ru 2Университет им. Ф. Палацкого г. Оломоуц (Чехия), кафедра алгебры и геометрии e-mail: josef.mikes@upol.cz

Березовский В.Е., Микеш Й. — (n-2)-проективные пространства первого типа // Известия

ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 39—43. — В настоящей работе изучаются канонические почти геодезические отображения первого типа пространств аффинной связности на плоские пространства. Основные уравнения таких отображений сведены к замкнутой системе типа Коши в ковариантных производных. Установлено количество существенных параметров от которых зависит общее решение указанных отображений.

Ключевые слова: почти геодезическое отображение, основные уравнения типа Коши, пространство аффинной связности

Berezovski V. Е., Mikes J. — (n-2)-projective spaces of the flrst type // Izv. Penz. gos. pedagog.

univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 39—43. — In this article we study a first type canonical almost geodesic mappings of manifolds with afine connection. A fundamental equations of these mappings we obtained in form of closed Cauchy type system in covariant derivatives. Denoted number of parameters from depended general solutions of these mappings.

Keywords: almost geodesic mapping, Cauchy type fundamental equations, manifold with affine connection

Введение.

В настоящей работе изучаются канонические почти геодезические отображения первого типа п пространств аффинной связности Ап на плоские пространства. Если не сказано иначе, размерность п изучаемых пространств предполагается больше 2. Основные уравнения таких отображений сведены к замкнутой системе типа Коши в ковариантных производных. Установлено количество существенных параметров от которых зависит общее решение указанных отображений.

Подобные свойства ранее установлены для геодезических, голоморфно-проективных и Г-планарных отображений на (псевдо-) римановы пространства и их обобщений, см., например, [23, 4, 7, 7, 8, 18, 19, 20, 20, 14].

1. Основные понятия и теоремы теории почти геодезических отображений

Напомним основные понятия и теоремы теории почти геодезических отображений пространств аффинной связности, которые изложенные в [23, 4].

Кривую, определенную в пространстве аффинной связности Ап, называют почти геодезической, если вдоль нее существует двумерная параллельная площадка, содержащая ее касательный вектор.

Диффеоморфизм / между пространствами аффинной связности Ап и Ап называют почти геодезическим отображением, если при этом отображении все геодезические линии пространства Ап переходят в почти геодезические линии пространства Ап.

Для того, чтобы отображение пространства Ап на пространство Ап было почти геодезическим, необходимо и достаточно, чтобы в общей по отображению системе координат ж = (ж1, ж2, ... , жп) тензор деформации связностей Рг( (х) = Г ( (х) — Г( (х) удовлетворял условиям:

А^ ЛаЛв Л^ = аР^з ЛаЛв + ЬЛ(,

где А ^ = р,Ь +ра Р( , Г( и Г ( - объекты аффинной связности пространств Ап и Ап, Л( - произвольный вектор, а и Ь - некоторые функции переменных ж1, ж2, ..., жп и Л1, Л2, ..., Ап. Здесь и в дальнейшем знак " ," обозначает ковариантную производную по связности пространства Ап.

В [23, 4] выделены три типа почти геодезических отображений: п1, П2 и пз. Нами доказано [5], что при п > 5 других типов не существует.

Почти геодезические отображения типа П1 характеризуются следующими условиями на тензор деформации:

А(у*) = ^(¿а^'к) + Ь(гР^), (1)

где а^- - некоторый симметрический тензор, Ьг - некоторый ковектор, - символы Кронекера, (ук) -обозначает симметрирование по указанным индексам без деления.

Если в указанном уравнении (1) выполняется условия Ьг = 0, то отображения называют каноническими почти геодезическими отображениями типа П1.

Известно [23, 4], что любое почти геодезическое отображение типа П1 можно представить в виде композиции канонического почти геодезического отображения типа П1 и геодезического отображения. Последнее можно считать тривиальным почти геодезическим отображением.

Известно [23, 4], что тензор Римана пространства Ап связан с тензором Римана пространства Ап соотношением

% = 4-* + Р[ку] + Р*]і> (2)

где [?’к] обозначает альтернирование по указанным индексам.

На основании (2) условия (1) представляются в виде

3(Р/-,* + Р-р() = Р(у)к - РШ)* + а-) + Ь(іРі*). (3)

Если при отображениях (3) сохраняется тензор Римана и Ь = 0, то фактически такие отображения

характеризуются следующими уравнениями

Р— + Ра Рак = ¿у) (4)

г^,к ' Р Р а

где аг^ - некоторый симметрический тензор.

Изучая условия интегрируемости уранений (4) находим [7]:

аг„- к = 7-----------------тА-рут Гп(Р.Г — Рв,„) + Ра(гРль — Рвк ля — Рвг -Дг1 Ля +

(п — 1)(п + 2) V ^ а(г Якв7 а(г ^)к ак №№ а(г |&Ь)в

+ (п + 1) • ^(¿Р,“« — аа(»Р:г)к) + 2 (аг^'РкГ — айаРг'^^ .

(5)

Очевидно, уравнения (4) и (5) в данном пространстве Ап представляют собой систему типа Коши относительно функций Р— и а—, которые, естественно, должны удовлетворять еще конечным условиям алгебраического характера

Р— (ж) = Р— (ж) и (ж) = а^г(ж). (6)

Тем самым доказывается

Теорема 1. Для того чтобы пространство аффинной связности Ап допускало почти геодезическое отображение, определяемое уравнениями (4), на пространство аффинной связности Ап, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовало решение смешанной системы типа Коши (4), (5), (6) относительно функций Р—(ж) и а—(ж).

Установлено, что количество существенных параметров, от которых зависит общее решение такой системы, не превышает г < 1 п(п + 1)2.

Когда тензор а— тождественно обращается в нуль, то уравнения (4) принимают вид

Р( = _ Р“р( (7)

Рг—,к Рг- Рак. V /

Уравнения (7) в аффинном пространстве вполне интегрируемы. Следовательно, имеют решение для любых начальных значений р—(жо). Если начальные значения такие, что Рг((жо) ф ¿[^;(жо) + ¿(^¿(жо), то построенное таким образом решение устанавливает почти геодезическое отображение первого типа, отличное от геодезического, аффинного пространства Ап на аффинное пространство Ап. Поэтому имеет место

Теорема 2. Существует почти геодезическое отображение первого типа аффинного пространства на себя, при котором все прямые переходят в плоские кривые, не все из которых являются прямыми.

Когда пространство Ап является плоским, то Д— = 0. С учетом этого уравнения (3) принимают

вид

3(Р—,к + Р— Р() = Д — + ¿( а— + Ь(гР-к). (8)

Очевидно, пространства Ап, которые допускают почти геодезические отображения первого типа, характеризующимися уравнениями (8), являются (п-2)-проективными пространствами первого типа.

Допустим, что в уравнении (8) тензор Ьг = 0. Такие отображения, как было указано ранее, являются каноническими почти геодезическими отображениями первого типа.

Таким образом, мы имеем уравнения

3(Р(,к + Р“ Р“к) = Д— + ¿( а—. (9)

Рассматривая (9) как систему типа Коши относительно тензора деформации Р— найдем условия их интегрируемости. Для этого ковариантно продифференцируем (9) по жт, а затем проальтернируем по индексам к и т. С учетом тождества Риччи после преобразований получим

¿[ка|г,7|,т] + ¿г а—[к,т] + ¿— аг[к,т]

о р[ Да I р[ ра р[ ра + п р[ а - Р — + Д—

Ра(гД?)кт РакД(г—)т PаmД(гj)fc ат(гР—)к ак(гР—)т Д(г|кт|—).

Условия интегрируемости (10) свернем по индексам Н и т. В результате находим

ак(г,— ) — (п + 1) = ЗР“(— Да)йв + Рв Д(“Лв — Р“в Д(“Лк + Д(г|к|,— ) + а“(г — к — . (11)

Проальтернируем уравнения (11) по индексам * и к. После преобразований получим

ак—,г = + пГ+2 (3Р«0'Д“)Ь + 2Р«[гД|5|к]в + Ра[кД“jв + Д[¿*],— + Р'[М + а“[гР— + ^[¿Р“«). (12)

В уравнении (12) поменяем местами индексы * и _?’. Получим

«кг— = —к + п+2 (3Р“(гД“)к; + 2Р“— Д“|й]в + Р“[*:Д“гв + Д—],г + Дг[М + а“[— Р“г + а*Ь' Р“а). (13)

Подставив (12) и (13) в (11) находим

1

aij’fc = (n - 1)(n + 2)

4Pf(jД№Ю + (3П + 5)Pf(iRaW - (П + 3)PffcR(j)0 + (П - 1)Pf,SRfi7')fc-

(jR|efc|¿V ^°П ^ °^Pa(iRj)efc - ^ ^ °^PafcR(ij)^ ^n — 1 JPa,SR(ij)fc"

aP j ) - (n + 1)(aa(iPj)k - afc(*Pj)a

—nR(i| k| ,j) — Rfc(i,j) — R(ij),fc + 2(aij Pka — afcaPj“) — (n + 1)(aa(iPj)k — afc(iPj)a)

(14)

Очевидно, уравнения (9) и (14) в данном пространстве An представляют собой систему типа Коши в ковариантных производных относительно функций Pj(ж) и (ж), которые, естественно, должны

удовлетворять еще конечным условиям алгебраического характера

Pj (ж) = Pjh (ж) и a¿j (ж) = aji(x). (15)

Тем самым доказывается

Теорема 3. Для того чтобы пространство аффинной связности An допускало почти геодезическое отображение, определяемое уравнениями (9), на плоское пространство, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовало решение смешанной системы типа Коши (9), (14), (15) относительно функций Pj(ж) и a¿j(ж).

Установлено, что количество существенных параметров, от которых зависит общее решение такой системы, не превышает r < 1 n(n + 1)2.

Учитывая, что любое почти геодезическое отображение первого типа можно представить в виде композиции канонического почти геодезического и геодезического отображений, в итоге имеем

Теорема 4. Все (п-2)-проективные пространства первого типа являются или пространствами An, в которых имеет решение смешанная система типа Коши (9), (13), (14) относительно функций Pj (ж) и a¿j (ж), или пространствами аффинной связности, допускающими геодезическое отображение на указанные пространства An.

Работа выполнена при поддержке грантов Грантового агентства Чешской Республики P201/11/0356 и Правительства Чешской Республики MSM 6198959214.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Березовский В. Е., Микеш Й. Почти геодезические отображения аффинно-связных и римановых пространств // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в Одессе - 2011". Одесса: Фонд "Наука", 2011. Т. 30. С. хх.

2. Петров А. З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука. 1966. С. 496.

3. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979. 256 с.

4. Синюков Н. С. Почти геодезические отображения аффинно-связных и римановых пространств // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. 1982. Т. 13. С. 3-26.

5. Berezovski V., Mikes J. On the classification of almost geodesic mappings of affine-connected spaces // Proc. Conf. Diff. Geometry and Appl. 1988. Dubrovnik, Yugoslavia, Novi Sad. 1989. P. 41-48.

6. Berezovski V., Mikes J. On the classification of almost geodesic mapings of affine connection spaces // Acta Univ. Palacki. Olomouc, Fac. Rer. Nat. Math. 1996. V. 35. P. 21-24.

7. Berezovski V., Mikes J., Vanzurova A. On a class of curvature preserving almost geodesic mappings of manifolds with affine connection // 10th Int. Conference APLIMAT. Bratislava. 2011. P. 623-628.

8. Hinterleitner I., Mikes J. On fundamental equations of geodesic mappings and their generalizations //

J. Math. Sci. New York. 2011. V. 174, № 5, P. 537-554. Translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser.

Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz. 2010. V. 124. P. 7-34.

9. Hinterleitner I., Mikes J. Projective equivalence and manifolds with equiaffine connection // J. Math. Sci. New York. 2011. Translation from Fundam. Prikl. Mat. 2010. V. 16. № 1, P. 47-54.

10. Mikes J. Geodesic mappings of affine-connected and Riemannian spaces // J. Math. Sci. New York. 1996. V. 78. № 3. P. 311-333. Translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz. 2002. V. 11. P. 121-162.

11. Mikes J. Holomorphically projective mappings and their generalizations // J. Math. Sci. New York. 1998. V. 89. № 3. 1334-1353. Translation from Geometry - 3, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 30, VINITI, Moscow, 2002. P. 258-289.

12. Mikes J., Jukl M., Juklova L. Some results on traceless decomposition of tensors // J. Math. Sci. New York.

2011. P. 1-14. Translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz. 2010. V. 124.

P. 139-158.

13. Mikes J., Vanzurova A., Hinterleitner I. Geodesic mappings and some generalizations // Olomouc: Palacky University Press. 2009. P. 304.

14. Vavrzhikova H., Mikes J., Pokorna O., Starko G. On the basic equations of the almost geodesic mappings of type n2(e) // Russian Math. (Iz. VUZ). 2007. V. 51, № 1, 8-12. Translation from Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 2007. P. 10-15.