Научная статья на тему 'О жесткости специальных геодезических отображений'

О жесткости специальных геодезических отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
90
41
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ / РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО / GEODESIC MAPPING / RIEMANNIAN SPACE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гинтерлейтнер И., Микеш Й.

В настоящей статье доказаны некоторые свойства жесткости относительно специальных геодезических отображений >. Это позволяет уточнить многие результаты, доказанные ранее локально для симметрических, рекуррентных и обобщенно рекуррентных пространств.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On rigidity of special geodesic mappings

In this article we study some questions of rigidity of special geodesic mappings of (pseudo-) Riemannian spaces. This allows us to specify the many results which have previously been proven in locally for symmetric, recurrent and generally recurrent spaces.

Текст научной работы на тему «О жесткости специальных геодезических отображений»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.16.8

О ЖЕСТКОСТИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

© И. ГИНТЕРЛЕЙТНЕР1, Й. МИКЕШ2 1 Технический университет г. Брно (Чехия), кафедра математики e-mail: Hinterleitner.Irena@seznam.cz 2Университет им. Палацкого г. Оломоуц (Чехия), кафедра алгебры и геометрии e-mail: josef.mikes@upol.cz

Гинтерлейтнер И., Микеш Й. — О жесткости специальных геодезических отображений // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 57—61. — В настоящей статье доказаны некоторые свойства жесткости относительно специальных геодезических отображений «в целом». Это позволяет уточнить многие результаты, доказанные ранее локально для симметрических, рекуррентных и обобщенно рекуррентных пространств.

Ключевые слова: геодезическое отображение, риманово пространство, жесткость

Hinterleitner I., Mikes J. — On rigidity of special geodesic mappings // Izv. Penz. gos. pedagog.

univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 57—61. — In this article we study some questions of rigidity of special geodesic mappings of (pseudo-) Riemannian spaces. This allows us to specify the many results which have previously been proven in locally for symmetric, recurrent and generally recurrent spaces.

Keywords: geodesic mapping, Riemannian space, rigidity

Введение.

Многие работы посвящены изучению теории геодезических отображений, см. [1] - [27]. Проблемы жесткости и однозначной определенности как в локальном так и в глобальном смысле рассматривались многими авторами, напр. [2, 6, 7, 10], [12], [14]-[26].

В монографии [20, р. 181] сформулирована и доказана теорема о жесткости специальных геодезических отображений, уточнению и обобщению которой посвящаем настояшую работу. При помоши этого результата легко доказать, что многие результаты сформулировынные ранее локально для геодезических отобажений специальных пространств (напр. для симметрических, рекуррентных и обобщенно рекуррентных [6, 7], [12], [14]-[26]) справедливы и «в целом» при более низких требованиях на гладкость метрик.

Мы предпологаем, что метрики рассматриваемых п-мерных римановых пространств УП имеют общую сигнатуру, т.е. мы рассматриваем как классические так и псевдо-римановы пространства. Заметим, что проективные преобразования являются частным случаем геодезических отображений, которые в свою очередь обобшают свойства пространств Клингенберга [9].

1. Специальные геодезические отображения.

Как известно [1, 3, 18, 20], диффеоморфизм / между римановыми пространствами УП и УП называют геодезичеким отображением, если при нем любая геодезическая пространства УП отображается на геодезическую пространства УП.

делены на «общем» п-мерном дифференцируемом многообразии М. В этом случае принято обозначать

Отображение УП на УП является геодезическим тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Леви-Чивита

где дгу (ж) и дгу (ж) - компоненты метрик д и д в рассматриваемой координатной окрестности V С М. Очевидно, что дгу(ж) € С1(и) и дгу(ж) € С1(и).

Во многих случаях уравнения Леви-Чивита (1) геодезических отображений сопровождаются следующими соотношениями

где B и B - постоянные, X и Y - произвольные касательные векторные поля.

Собственно римановы пространства характеризуюшиеся этими условиями А.С. Солодовников [27] обозначил пространствами V(K), в общем случае - Й. Микеш [12] - пространствами Vn(B), см. [18, 20].

Многие свойства пространств Vn(B) доказаны в диссертации [12] и упоминаются в работах [18, 20]. В частности, доказана однозначная определенность B заданного пространства Vn(B).

Дифференцированием формул (2) при предположениии, что B = 0 или B = 0 из уравнений (2) вытекает справедливость уравнений Леви-Чивита (1). В работах [10, 11] это условие опущено, поэтому здесь сформулированные свойства некорректны.

Уравнениями (2), как известно, характеризуются геодезические отображения пространств постоянной кривизны [3, 20, 23] и пространств Эйнштейна [13], (см. [12, 18, 20]). Необходимость выполнения формул (2) при геодезическом отображении пространств Эйнштейна доказана Микешем в [12, 13]. Выполнение этих формул равносильно здесь сформулированной теореме о замкнутости пространств Эйнштейна относительно нетривиальных геодезических отображений.

Доказательство необходимости выполнения формул (2) при геодезическом отображении пространств Эйнштейна, приведенное Киосаком и Матвеевым в [10], более сложным образом «копирует» алгоритм найденный в [12, 13]. Эти формулы в работе [12, 13] доказаны для достаточно гладких функций и как нетрудно убедиться в данных работах - это для Vn G C3 и Vn G C3. Те же предположения и в работе [10]. Заметим, что необходимость формул (2) для существования геодезического отображения между пространствами Эйнштейна справедлива при предположении ненулевой скалярной кривизны в одном из отображаемых пространств. Кроме того, задача о строении метрик геодезически соответствующих Эйнштейновых пространств решена в работе Формеллы и Микеша [4].

Используя то, что / - диффеоморфизм, можно считать, что метрики д и д пространств УП и УП опре-

Vn = (M,g) и Vn =

(V -V)xX = 2ф(Х) • X,

(1)

где V и V - связности пространств УП и УП, ф - линейная форма и X - произвольное касательное поле на М. Если ф = 0, то геодезическое отображение тривиальное или аффиное.

Уравнение (1) выполняется в случае, когла УП € С1 и УП € С1. Как хорошо известно,

VX VYФ = VXФ • VYФ + Bg(X, Y) - Bg(X, Y),

(2)

В работах [10, 11] также доказывается тождество полученное ранее Синюковым (о коммутативности тензора Риччи и тензора а); это свойство в Эйнштейновых пространствах в силу симметричности тензора а выполняется тривиально. Заметим, что это свойство Синюковым [23] доказано корректно для Vn G C2 и Vn G C2, что предполагается и в [10, 11].

2. Теорема о жесткости специального геодезического отображения.

Имеет место:

Теорема 1. Пусть M - связное n-мерное дифференцируемое многообразие, которое представляется в виде дизъюнктного разложения M = cl(Mi U M2 U • • • U Ms), где Ma (а = 1, .. ., s) - связные открытые области.

Пусть f: Vn = (M, g) G C1 ^ Vn = (M, g) G C1 - геодезическое отображение.

Пусть на каждой области Ma, а = 1, .. ., s, имеют место уравнения (2):

Vx WФ = vxФ • Vyф + Ва g(X, Y) - Bag(X, Y) (3)

где Ba и Ba - постоянные, функция Ф дважды дифференцируема на всем M.

Если хотя бы на одной области Ma рестрикция отображения f является геодезически тривиальной, то и отображение f: Vn ^ Vn является тривиально.

Замечание. Случай, когда геодезическое отображение тривиально на Ma, т.е. когда Ф = const, также описывается уравнением (3), в этом случае Ba = Ba = 0 или g = Ba/Ba • g.

Если хотя бы один из коэффициентов Ва, Ba не нулевой, то f - гомотетия, т.е. g = const • g, при этом эти коэффициенты «согласованы».

В случае, когда Ba = Ba = 0, тривиальное решение может не быть гомотетией.

Доказательство. Пусть выполняются предположения теоремы, f: Vn ^ Vn - геодезическое отображение и имеют место уравнения Леви-Чивита (1). Рассмотрим геодезическую линию Y(t) на Vn отнесенную к натуральному параметру t и обозначим Ф^) = Ф(7^)), таким образом, 'f(t) = ^(Y(t)), где ' = d/dt. Так как g и е-4ф g - первые интегралы геодезических (см. [20]), имеет место

g(Y,7) = е = ±1, 0 и g(Yf, 7) = се4ф(4), с = const.

Для геодезической линии Y на области Ma, после подстановки X = Y = 7 в (3), мы получим

ф=(ф)2 + ba е4Ф - аа, (4)

где аа = е Ва и Ьа = с Ва.

Пусть область Ma/ отображается тривиально, т.е. для всех точек х G Ma/ имеет место Ф(х) = const, VФ(x) = 0.

Пусть геодезическая 7 проходит из области Ma/ до области Ma и пусть xo = 7(to) G cl(Ma) р| cl(Ma/).

Очевидно, что для 7(t) G Ma/: Ф(t) = Ф0 и Ф^) = Ф^) = 0. Так как Ф^) дважды дифференцируемая

функция имеем: Ф(^) = Ф0 и Ф(^) = Ф^о) = 0.

Поэтому

baе4Ф(*°) = аа ^ Ф(t0) = 1 ln а- (= Фо).

Уравнение (4) имеет в области cl(Ma) единственное решение Ф^) = Фо, удовлетворяющее начальным условиям Ф(^) =0 и Ф(to) = Фо.

Потому, что многообразие M связное, нетрудно убедиться, что Ф(х) = Фо, для всех x G M. ■

3. Приложения теоремы о жесткости специальных геодезических отображений.

На основании предыдущего имеет место:

Теорема 2. Симметрические, рекуррентные и т-рекуррентные (псевдо-) римановы пространства Vn, отличные от пространств постоянной кривизны, не допускают нетривиальных геодезических отображений на (псевдо-) римановы пространства Vn.

Доказательство. Синюков [23, 20] доказал это утверждение «локально» для симметрических, рекуррентных и некоторых обобщенно рекуррентных римановых пространств. Для многих обобщенно рекуррентных пространств это свойство обобщил Микеш [18, 20, 23]. Следовательно, доказательство настоящей теоремы вытекает на основании Теоремы 1. ■

Из результатов Й. Микеша [18, 20, 23] о геодезических отображениях пространств Эйнштейна, а также риччи симметрических и риччи 2-симметрических пространств, которые характеризуются условиями на тензор риччи: = 0 и WRic = 0, вытекает:

Теорема 3. Не Эйнштейновы риччи 2-симметрические пространства Vn не допускают нетривиальных геодезических отображений на римановы пространства Vn.

Подобное справедливо для других обобщенно рекуррентных пространств на основании локальных результатов Микеша и Собчука [18, 20, 24, 25, 26].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aminova A. V. Projective transformations of Riemannian manifolds // J. Math. Sci., New York 113, No. 3, 367-470 (2003).

2. Chuda H., Mikes J. On first quadratic integral of geodesics with a certain initial conditions // 6th Int. Conf. APLIMAT, (2007).

3. Eisenhart L. P. Non-Riemannian Geometry. Princeton Univ. Press. 1926. Amer. Math. Soc. Colloquium Publications 8 (2000).

4. Formella S., Mikes J. Geodesic mappings of Einstein spaces. Szczecinske roczniky naukove, Ann. Sci. Stetinenses. Vol. 9, fasc. I, 31-40 (1994).

5. Hinterleitner I. Selected Special Vector Fields and Mappings in Riemannian Geometry. Vedecke spisy Vysokeho uceni technickeho v Brne, Edice PhD Thesis, 525, 1-20 (2009).

6. Hinterleitner I., Mikes J. Geodesic mappings onto Weyl manifolds // J. of Appl. Math. Aplimat, 2, 1, 125-133,(2009).

7. Hinterleitner I., Mikes J. On fundamental equations of geodesic mappings and their generalizations // J. Math. Sci. 174, 5, 537-554 (2011) ; translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz. 124, 7-34 (2010).

8. Hinterleitner I., Mikes J. Projective equivalence and manifolds with equiaffine connection // J. Math. Sci. (2011) ; translation from Fundam. Prikl. Mat., 16:1, 47—54 (2010).

9. Jukl M. On homologies of Klingenberg projective spaces over special commutative local rings // Publ. Math. 55, 113-121 (1999).

10. Kiosak V.A., Matveev V.S. Complete Einstein metrics are geodesically rigid. Comm. Math. Phys. 289, No.

1, 383-400 (2009). arXiv 0806.3169.

11. Kiosak V.A., Matveev V.S. Proof of the projective Lichnerovicz conjecture for pseudo-Riemannian metrics with degree of mobility greater than two. Commun. Math. Phys. 297, No. 2, 401-426 (2010).

12. Mikes J. Geodesic and holomorphically projective mappings of special Riemannian spaces (Russian) // PhD. Diss. Odessa University (1979).

13. Mikes J. Geodesic mappings of Einstein spaces // Math. Notes 28, 922-923 (1981); translation from Mat. Zametki 28, 935-938 (1980).

14. Mikes J. Geodesic Ricci mappings of two-symmetric Riemann spaces // Math. Notes 28, 622-624 (1981); translation from Mat. Zametki 28, 313-317 (1980).

15. Mikesh I. Equidistant Kahler spaces // Math. Notes 38 (4), 855-858 (1985); translation from Mat. Zametki, 38:4, 627-633 (1985).

16. Mikes J. Geodesic, holomorphically projective and F-planar mappings of Riemannian spaces (Russian) // DrSc. Diss., Palacky University Olomouc (1995), Charles University Prague (1996).

17. Mikes J. Geodesic mappings of affine-connected and Riemannian spaces // J. Math. Sci., New York 78, No.3, 311-333 (1996); translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 11, 121-162 (2002).

18. Mikes J., Chodorova M. On concircular and torse-forming vector fields on compact manifolds // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. (N.S.) 26, no. 2, 329-335 (2010).

19. Mikes J., Chuda H. On geodesic mappings with certain initial conditions // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. (N.S.) 26, no. 2, 337-341 (2010).

20. Mikes J., Jukl M., Juklova L. Some results on traceless decomposition of tensors // J. of Math. Sci. 1-14, (2011); translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 124, 139-158 (2010).

Mikes J., Sobchuk V.S. Geodesic mappings of 3-symmetric Riemannian spaces // (English. Russian original) J. Math. Sci., New York 69, No.1, 885-888 (1994); translation from Ukr. Geom. Sb. 34, 80-83 (1991).

21. Mikes J., Strambach K. Differentiable structures on elementary geometries // Result. Math. 53, No. 1-2, 153-172 (2009).

22. Mikes J., Vanzurova A., Hinterleitner I. Geodesic mappings and some generalizations. Palacky University Press, Olomouc, 304p, (2009).

23. Sinyukov N.S. Geodesic mappings of Riemannian spaces. M.: Nauka, Moscow, 1979. 256p.

24. Sobchuk V.S. On the Ricci geodesic mapping of 4-symmetric Riemannian spaces. Sov. Math. 35, No.4, 68-69 (1991); translation from Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat. 1991, No.4(347), 69-70 (1991).

25. Sobchuk V.S. On geodesic mappings of projective 2-recurrence Riemannian spaces. (Ukrainian) Mat. Stud.

5, 53-56 (1995).

26. Sobchuk V.S. Projectively 2-recurrent Riemann spaces. (Ukrainian. English summary) Nauk. Visn. Chernivets’kogo Univ., Mat. 46, 107-108 (1999).

27. Solodovnikov A.S. Geodesic classes of V(K) spaces (Russian)// Dokl. Akad. Nauk SSSR 111, 33-36 (1956).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.