CC BY
31
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.16.8
О ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ГОЛОМОРФНО-ПРОЕКТИВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ «В ЦЕЛОМ»
© Й. МИКЕШ1, И. ГИНТЕРЛЕЙТНЕР2, И.А. КУЗМИНА3 1Университет им. Ф. Палацкого г. Оломоуц (Чехия), кафедра алгебры и геометрии e-mail: [email protected] 2Технический университет г. Брно (Чехия), кафедра математики e-mail: [email protected] 3Казанский федеральный университет им. В. И. Ульянова, г. Казань,
кафедра математики e-mail: [email protected]
Микеш Й., Гинтерлейтнер И., Кузмина И.А. — О фундаментальных уравнениях голоморфно-проективных отображений «в целом» // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 143—148. — В настоящей работе изучаются фундаментальные уравнения голоморфно-проективных отображений келеровых, а также гиперболически и параболически келеровых пространств. Доказана эквивалентность классических и линейных уравнений «в целом», полученных ранее «локально». Таким образом, линейные уравнения являются критерием голоморфно-проективных отображений «в целом». Ключевые слова: голоморфно-проективное отображение, основные уравнения «в целом», келерово пространство
Mikes J., Hinterleitner I., Kuzmina I. A. — On fundamental equations of global holomorphically projective mappings // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 143—
148. — In the present article we study fundamental equations of holomorphically-projective mappings of Kahler spaces and also of hyperbolic and parabolic Kahler spaces. The equivalence of classical and linear equations, which had been proved locally before, was proved globally here. So the linear equations are a criterion for global holomorphically-projective mappings.
Keywords: holomorphically-projective mapping, global fundamental equations, Kahler space
Введение.
Теория голоморфно-проективных отображений келеровых пространств была основана Т. Отсуки и Я. Таширо [21, 27], для гиперболически келеровых - М. Прванович [22] и для параболически келеровых - В.В. Вишневским [3]. Этими авторами были установлены основные уравнения указанных отображений, в форме аналогичной уравнениям Леви-Чивита в теории геодезических отображений. Эти уравнения верны как «локально», так и «в целом».
В развернутой форме вопросам теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств и их обобщений посвящены работы многих авторов, см. [1, 2, 6, 7, 8, 10, 19, 20, 24, 25, 26, 28].
В работах В.В. Домашева и Й. Микеша [12], И.Н. Курбатовой [5] и М. Шихи [10, 23], найдены фундаментальные уравнения голоморфно-проективных отображений в линейной форме.
Доказательство этих формул непретедовало на глобальные результаты, однако, легко видеть, что здесь приведенные рассуждения после небольшого комментария имеют место «в целом», а следовательно упоминаемые линейные уравнения являются критерием голоморфно-проективных отображений «в целом».
Подобным образом, непосредственно из «косметических поправок» доказательства, вытекает справедливость «в целом» линейных уравнений Н.С. Синюкова для геодезических отображений. В явном виде этот факт сформулировал и доказал С. Бененти [11] в 2005.
В 1989г. это очевидное свойство использовалось Й. Микешем в работе [16] при построения компактных пространств Ьп, см. [18].
Заметим, что результаты о голоморфно-проективных отображениях, приведенные в [13], не полностью верны, так как основываются на неверных формулах, эти неправильные формулы используются также в работах [15, 14]. Здесь упоминаемые многие факты и формулы сформулированы ранее в работах Й. Микеша [6], [17], [19], [20].
1. Голоморфно-проективные отображения келеровых пространств.
Рассмотрим более общие пространства, чем келеровы, как этому, например в [9], [20], и напомним известные факты теории голоморфно-проективных отображений.
Риманово или псевдо-риманово пространство (М, д) будем называть келеровым и обозначать через Кп = (М, д, Г), если на нем наряду с метрическим тензором д определена аффинорная структура Г, удовлетворяющая следующим условиям:
Г2 = вЫ, д(Х,ГХ ) = 0, УГ = 0 (1)
для всех касательных векторных полей X. Здесь и в дальнейшем У - связность Леви-Чивита метрики д, в = ±1, 0.
Кривая 7(4) С Кп называется аналитически планарной, если ее касательное векторное поле 7(4) при параллельном перенесении остается в площадке, образованной касательным вектором 7 и ему сопряженным Г7, т.е. они характеризуются уравнениями Уу7 = Р1(4)7 + Р2(4)Г7, где р1 и р2 - функции параметра 4.
Диффеоморфизм между двумя келеровыми пространствами Кп = (М, д, Г) и Кп = (М, д, Г) называется голоморфно-проективным отображением, если образом любой аналитически планарной кривой пространства Кп является аналитически планарная кривая пространства Кп.
Потому, что голоморфно-проективное отображение /: Кп ^ Кп является диффеоморфизмом, то, следуя [20], можем считать, что М = М. Более того, ранее было установлено, см. [20], что структуры пространств Кп и Кп по необходимости фактически совпадают, т.е. непренебрегая общностью можем считать, что Г = Г.
При этих предположениях отображение /: Кп ^ Кп является голоморфно-проективным, тогда и только тогда, когда на М существует линейная форма ^ и выполняются условия
УхX = УхX + 2^>(ГХ) • X + 2^(Х) • ГХ, (2)
для всех касательных векторных полей Х, где У и У - связности Леви-Чивита метрик д и д, соответственно.
В координатной форме уравнения (2) имеют вид
Г* = г* + ^Га У + ^Га У + ^ ^ Г\ (3)
где Г*3 (Г^.) - символы Кристоффеля Кп (Кп), ^ и Г* - компоненты ^ и Г на координатной окрестности
и С М.
Уравнения (2), как известно, эквивалентны следующим соотношениям
У2 д(Х, У) = 2^(Г2)д(Х, У) + ^(ГХ)д(У, 2) + ^(ГУ)д(Х, 2)+
(4)
+^(Х )д(У, Г2) + ^(У )д(Х,Г2)
для всех касательных векторных полей X, У и Z.
Уравнения (4) можно записать в локальной форме:
к — 2Фк 9гз + Фг9зк + Фз 9гк + ^г-^З'к + ^з Ргк :
где фг = <£>аГ“, Гц. = д4аГа, запятой « , » обозначается ковариантная производная по связности У пространства Кп, дгу - компоненты д на координатной окрестности и С М.
Свертывая (3) по индексам Н и находим Г“а = Г“а+ (п+2)фг и на основании формулы Фосса-Вейля: О, = 2 д(1п | det д|)/дхг, получим [20, с. 242]
ф(Х) = ^(ГХ) = ЙФ(Х),
где
1 det д
(5)
Ф — ——1—- 1п
2(п + 2)
det д
Очевидно, что функция Ф на многообразии М определена «в целом».
Отметим, что в работах [13, 15] эта функция определена неправильно, поэтому и все выводы из нее сомнительны.
2. Линейные уравнения голоморфно-проективных отображений.
В работах В.В. Домашева, Й. Микеша [4, 12], И.Н. Курбатовой [5] и М.Шиха [10, 23], (см. также [8, 7, 9, 19, 20]) доказано, что формулы (2) эквивалентны следующим линейным уравнениям:
У2а(Х, У) = А(Х)д(У, 2) + А(У)д(Х, 2) + 0(Х)д(У, Г2) + 0(У)д(Х, 2), (6)
для произвольных векторных полей X, У, 2 и регулярной симметрической билинейной формы а, удовлетворяющей условию а(Х, ГХ) = 0 для всех X, где А(Х) = 0(ГХ) и А линейная форма.
Уравнения (6) в координатной форме имеют вид
аъ3, к Агдук + Аздгк + 0гГук + 0зГгк ,
ау, Аг, 0г - компоненты а, А, 0 и Ггк = дгаГ,.
Очевидно, что А - градиентная форма, причем А(Х) = ^А(Х) и Л = 4 аудгу, где дгу компоненты обратной матрицы к ду. Когда ду, дгу € С2, то из условий интегрируемости тензора а вытекает выполнение уравнений
п Аг,3 М дгз + агаДi аавД гув,
где Д“-в = дв7Д“-7, Д“ = давД^г, Дгу = Щ^а - тензор Риччи и Д3к - тензор Римана, м = Аа,вд“в. Из этих формул и свойств тензоров, участвующих в этой формуле, вытекает условие Аа гГ,“ + АауГга = 0; следовательно АаГ“ является вектором Киллинга.
(7)
Решения уравнений (4) и (6) связаны по закону
а = ехр(2Ф) • д • д-1 • д, т.е. агу = ехр(2Ф) дг,давдвз,
где дгу - компоненты матрицы, обратной к матрице Иду У, и имеет место
Аг = -вжр(2Ф)ф,давдвг, Ог = -вжр(2Ф)^,давдрг.
Очевидно, что тензоры а, А и О определены «в целом» на многообразии М и, следовательно, уравнения (6) выполняются «в целом» при голоморфно-проективных отображениях по необходимости.
С учетом строения функции Ф (формулы (5)) получим следующее представление тензора а:
1/(п+2) АаЬ ^ 1/(п + 2)
det д
det д
• д • д 1 • д, т.е. а^-
det д
det д
діад вдвз .
(8)
3. Достаточность линейных уравнений голоморфно-проективных отображений «в целом».
В упоминаемых работах В. В. Домашева, Й. Микеша, И. Н. Курбатовой и М. Шиха, где доказана необходимость уравнений (6), доказана и их необходимость. Однако здесь показано лишь локальное строение градиента ф. Глобальное строение функции Ф, порождающей ф = йФ, которое вытекает из уравнений (6), показано в [20].
Ниже покажем более простое доказательство необходимости формул (6) для голоморфно-проективных отображений.
Из формулы (8) элементарным образом вытекает
det д
det д
1/(п+2)
• д • а • д, т.е. дз
det д
det д
1/(п+2)
діаа вдвз ,
(9)
где агу - компоненты взаимной матрицы к а. Далее заметим, что из свойств определителей из формул (8)
также вытекает, что det а —
det д det д
г/(п+2)
det д det д 1 det д. Легко видеть, что
det д 1/(п+2) det д
det д det а
1/2
и поэтому Ф — — 1п
det д
det а
Тогда из (9) вытекает справедливость представления метрики д «в целом» в следующем виде
дд
det а
det д
1/2
• д • а • д, т.е. діз
det а
det д
1/2
дїа ^ вдвз .
(10)
Непосредственно убедимся, что д является решением основных уравнений (4).
Тем самым доказана
Теорема 1. Решение линейных уравнений
а(Х, У) — А(Х)д(У, 2) + А(У)д(Х, 2) + 0(Х)д(У, ^) + 0(У)д(Х, 2),
относительно регулярной симметрической билинейной формы а, удовлетворяющей условию а(Х, ҐХ) —0 для всех X, и линейной формы А, где X, У, 2 - произвольные векторные поля, А(Х) — 0(^Х), является необходимым и достаточным условием того, чтобы келерово пространство Кп — (М, д, ^) допускало голоморфно-проективное отображение на келерово пространство Кп — (М, д, ^), метрика которого имеет вид (10).
Работа выполнена при поддержке грантов Грантового агентства Чешской Республики Р201/11/0356 и Правительства Чешской Республики М8М 6198959214.
а
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аминова А. В., Калинин Д. А. H-проективные отображения четырехмерных келеровых многообразий // Из. вузов. матем. 1998, No. 4, С. 3-14
2. Беклемишев Д. В. Дифферециальная геометрия пространств с почти комплексной структурой // Итоги науки: Геометрия, 1963. М.: ВИНИТИ 1965. С. 165-212.
3. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд. Казанск. ун-та. 1985. С. 263.
4. Домашев В. В., Микеш Й. К теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств // Матем. заметки. 1978. Т. 28. С. 297-303.
5. Курбатова И.Н. HP-отображения H-пространств // Укр. геом. сб. 1984. Т. 27. С. 75-83.
6. Микеш Й. Геодезические и голоморфно-проективные отображения специальных римановых пространств. Канд. дисс. Одесса, Одесск. ун-т, 1979. С. 106.
7. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979. C. 256.
8. Синюков Н. С. Почти геодезические отображения аффинно-связных и римановых пространств // Ито-
ги науки и техн. Сер. Пробл. геом. М. ВИНИТИ. 1982. 13. C. 3-26.
9. Синюков Н. С., Курбатова И. Н., Микеш Й. Голоморфно-проективные отображения келеровых про-
странств. Одесса: Одесск. ун-т. 1985. С. 69.
10. Шиха М. Геодезические и голоморфно-проективные отображения параболически келеровых пространств. Канд. дисс. Москва, Моск. гос. пед. ин-т. 1992.
11. Benenti S. Special symmetric two-tensors, equivalent dynamical systems, cofactor and bi-cofactor systems // Appl. Math. 2005. V. 87. P. 33-91.
12. Domashev V. V., Mikes J. Theory of holomorphically projective mappings of Kahlerian spaces
Math. Notes. 1978. V. 23, P. 160-163. Translation from Mat. Zametki. 1978. V. 23. P. 297-303.
13. Fedorova A., Kiosak V., Matveev V. S., Rosemann S. Every closed Kahler manifold with degree of mobility > 3 is (CP(n),gFubini-study) // arXiv:1009.5530 [math.DG]. 2010.
14. Fedorova A., Rosemann S. The Tanno Theorem for Kahlerian metrics with arbitrary signature // Diff. Geom. and its Appl. 2011.
15. Matveev V. S., Rosemann S. Proof of the Yano-Obata Conjecture for holomorph-projective transformations // arXiv:1103.5613v3 [math.DG]. 2011.
16. Mikes J. On existence of nontrivial global geodesic mappings on n-dimensional compact surfaces of revolution // Diff. Geometry and its appl. Singapore: World Scientific. 1990. P. 129-137.
17. Mikes J. Global geodesic mappings and their generalizations for compact Riemannian spaces // Diff.
geometry and its appl. Proc. of the 5th Int. Conf., Opava, Czechoslovakia, August 24-28, 1992. Opava:
Open Education and Sciences, Silesian Univ. Math. Publ. (Opava). 1993. 1. P. 143-149.
18. Mikes J. Geodesic mappings of affine-connected and Riemannian spaces // J. Math. Sci. New York. 1996. V. 78. № 3. P. 311-333. Translation from Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz. 2002. V. 11. P. 121-162.
19. Mikes J. Holomorphically projective mappings and their generalizations // J. Math. Sci. New York. 1998. V. 89. № 3. 1334-1353. Translation from Geometry - 3, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 30, VINITI, Moscow, 2002. P. 258-289.
20. Mikes J., VanZurova A., Hinterleitner I. Geodesic mappings and some generalizations // Olomouc: Palacky University Press. 2009. P. 304.
21. Otsuki T., Tashiro Y. On curves in Kaehlerian spaces // Math. J. Okayama Univ. 1954. V. 4. P. 57-78.
22. Prvanovic M. Holomorphically projective transformations in a locally product space. Math. Balk. 1971. V. 1. P. 195-213.
23. Shiha M. On the theory of holomorphically-projective mappings of parabolically-Kahlerian spaces // Diff. geometry and its appl. (Opava, 1992). Math. Publ., Silesian Univ. Opava. 1993. V. 1. P. 157-160.
24. Stankovic M.S., Mincic S.M., Velimirovic LS. On equitorsion holomorphically projective mappings of generalized Kahlerian spaces // Czech. Math. J. 2004. 54, No. 3. P. 701-715.
25. Stankovic M.S., Zlatanovic M., Velimirovic LS. Equitorsion holomorphically projective mappings of generalized Kahlerian space of the first kind. Czech. Math. J. 2010. 60, No. 3. P. 635-653.
26. Stankovic M.S., Zlatanovic M., Velimirovic LS. Equitorsion holomorphically projective mappings of generalized Kaahlerian space of the second kind. Int. Electron. J. Geom. 2010. 3, No. 2. P. 26-39. (electronic only).
27. Tashiro Y. On a holomorphically projective correspondence in an almost complex space // Math. J. Okayama Univ. 1957. 6. P. 147-152.
28. Yano K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. Oxford-London-New York-Paris-Frankfurt: Pergamon Press. XII, 1965. P. 323.
