CC BY
41
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
им. в. г, воинского
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.76
О ГОЛОМОРФНО-ПРОЕКТИВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ МЕЖДУ ПРОСТРАНСТВАМИ КЕЛЕРА-ЭЙНШТЕЙНА
© М. ХАДДАД Одесский Национальный Университет им. И. И. Мечникова e-mail: science@onu.edu.ua
Хаддад М. — О голоморфно-проективных отображениях между пространствами Келера-Эйнштейна // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 288—292. — Мы продолжаем исследование голоморфно-проективных отображений между пространствами Эйнштейна. Доказано, что если четырехмерное пространство Эйнштейна-Келера допускает голоморфно-проективное отображение на пространство Эйнштейна-Келера, то оно аффинное либо эти пространства имеют постоянную голоморфную кривизну.
Ключевые слова: голоморфно-проективное отображение, пространства Эйнштейна
Haddad M. — About holomorphically projective mappings between Kahler-Einstein spaces // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 288—292. — We continue the investigation of holomorphically projective mappings between Einstein spaces. It is proved that if Einstein-Kahler four-dimensional space supposes holomorphically projective mapping to Einstein-Kahler space it is affine space or these spaces have constant holomorphic curvature.
Keywords: holomorphically projective mapping, Einstein spaces
Введение. Теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств посвященно много исследований, которые в развернутой форме изложены, например, в работах [1,2,3,4,5]. Нами изучался вопрос о голоморфно-проективных отображениях между пронстранствами Эйнштейна [6,7], см. также [3].
В настоящей статье уточняем указанные результаты.
Й. Микеш доказал [9], что пространства Эйнштейна образуют замкнутый класс римановых пространств относительно геодезических отображений. Подобное свойство пространств Эйнштейна относительно голоморфно-проективных отображений пока не удалось доказать, поэтому априорно предполагаем, что оба отображаемых пространства являются пространствами Эйнштейна. Вопросы, которые мы исследуем, тесно связаны с исследованиями голоморно-проективных отображений [10,11,12,13].
1. Голоморфно-проективные отображения келеровых пространств. Как известно, п-мерное (псев-до) риманово пространство называют келеровым (Кп), если в нем наряду с метрическим тензором д, существует комплексная структура Г, удовлетворяющая условиям
Г2 = -I, д(Х, ГХ)=0, УГ = 0, (1)
где У - связность Кп и X произволное векторное поле.
Отображение ] между келеровыми пространствами Кп и Кп является голоморфно-проективным тогда и только тогда, когда выполняются уравнения [1,2,3,4,5]:
У(Х, У) = У(Х, У) + ф(Х) ■ У + ф(У) ■ X - ф(ГХ) ■ ГУ - ф(ГУ) ■ ГХ,
где У и У - связности пространств Кп и Кп, ф(Х) = Ух Ф.
Этим уравнениям эквивалентны уравнения
У2д(Х, У) = 2 ф{2)д(Х, У) + ф(Х)д(У, 2) + ф(У)д(Х, 2) + ф(ГХ)д(ГУ, 2) + ф(ГУ)д(ГХ, 2), (2)
где д - метрика келерового пространства Кп.
Голоморфно-проективные отображения называются тривиальными, если ф = 0. Тривиальные отображения являются аффинными.
Далее заметим, что голоморфно-проективное отображение Кп на себя называется голоморфнопроективным преобразованием Кп.
Этим уравнениям эквивалентны уравнения, которые были получены в работе Домашева и Микеша [8], см. [2,3,4]:
У2а(Х, У) = Х(Х)д(У, 2) + Х(У)д(Х, 2) + А(ГХ)д(ГУ, 2) + А(ГУ)д(ГХ, 2), которые в координатной форме запишутся в следующем виде:
а1,к = А/дцк + Ацд1к + дiГjk + АЦГ£к, (3)
где X' = АаГ“, ГЦ = д/аГа, дц, Г/1, ац и Хi - являются компонентами тензоров д, Г, а и Л.
Решения уравнений (1) и (2) связаны следующими условиями:
ац = е2ф давд/адцв и А/ = -е2ф давфадцв Здесь д'1 - элементы обратной матрицы метрического тензора д пространства Кп.
2. Голоморфно-проективные отображения пространств Эйнштейна-келера. Как известно, тензоры риччи при голоморфно-проективном отображении Кп ^ Кп связаны соотношениями:
Кц = Кц + (п + 2) ■ фц , (4)
где
фц = Ф/,1 - Ф/Фц + ФаГа ФвГв.
Пространства Эйнштейна, как известно, характеризуются условиями пропорциональности метрического и риччи тензоров с постоянным коэффициентом.
Предположим, что рассматриваемые пространства Кп и Кп являются пространствами Эйнштейна. Тогда для их тензоров Риччи выполняются соотношения:
К = К п и д = К д
где К и К скалярные кривизны Кп и Кп, которые постоянны.
Тогда условия (4) можно записать в следующем виде
фц = Вдц - В дц, (5)
где В
к
и В
к
п(п+2) п(п+2) '
Эти уравнения, как показал Микеш [9], см. [3,7], эквивалентны уравнениям
А/,ц М д/ц + В д/ц,
где м некоторый инвариант. Доказано, что М/ = 2В А'.
Условия интегрируемости уравнений (2) и (6) имеют вид:
ааЛ2цк1 + ааЦ 2/Ы = 0, Аа2Ш, = 0,
(6)
(7)
(8)
где
3. Голоморфно-проективные отображения 4-мерных пространств Эйнштейна-келера. Будем анализировать условия (8) в пространстве Эйнштейна; они характеризуются тем, что тензор
— Ща ( = КіІ + В(п + 2) діІ )
обращается в нуль.
Введя в рассмотрение тензор Zhijk = дна^і^к, т.е.
%Ыук Rhijk + В (дНк gij дН дік + ^Кк Fij Fhj ^ік + І2FhiFjk ). убедимся, что тензор Zhijk обладает алгебраическими свойствами, аналогичными свойствам тензора ри-
мана, а именно:
Zhijk — Zihjk — Zhikj — Zjkhi и Zhijk + Zhjki + Zhkij — °.
Jihjk
Jhikj — Zjkhi
hijk \ Zhjki
Jhkij
Заметим, что тензор Zhijk — 0 только и только тогда, когда пространство имеет постоянную голоморфную кривизну.
Условие эйнштейновости можно записать в виде:
Zij — Zаijв дав — 0, (9)
а условия (7):
Аа Zаijk — 0. (10)
a) Когда вектор Ак - неизотропный (АаАвдар — 0), можно выбрать систему координат так, что в заданной точке:
1, і — 3
0, і — 3 .
Из (13) вытекает, что Z\ijk — 0. Учитывая это из (12) дополнительно получим, что
е2 Z2ij2 + е3 Z3ij3 + е2 Z4ij4 — °. (11)
Подставляя в (15) индексы (і,з) — (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3,4) и (4,4.) - убедимся, что все компоненты Z нулевые.
b) Далее рассмотрим случай, когда Кп имеет знако неопределенную метрику д и Ак - изотропный. В этом случае в келеровом пространстве Кп можно выбрать систему координат так, что в конкретной точке
А 51 и gij еі 5ij, еі ±1, 5ij
Ак — 5і,
0100 10 0 0 0001
0010
I 0 1 0 0 N
-1 0 0 0 0001
V
0 0-10
Очевидно, что из (13) вытекает XaZaijk = XaFeZ^ijk = 0. Компоненты Xh = -Sh. Поэтому отсюда и из (7) убедимся, что
Z1ijk = 0 и Z2ijk = °
а из (13) дополнительно получим:
Z3ij4 + Z4ij3 = °.
Но отсюда убедимся, что для (i,j) = (4, 3): Z3434 = 0.
Легко убедится, что все компоненты тензора Z обращаются в нуль.
Так как обнуление тензора Z является критерием пространств постоянной голоморфной кривизны, мы, таким образом, доказали следующую теорему:
Теорема 1. Если четырехмерное пространство Эйнштейна-Келера допускает голоморфно-проективное отображение на пространство Эйнштейна-Келера, то оно аффинное либо эти пространства имеют постоянную голоморфную кривизну.
Приведенную теорему можно сформулировать и в следующей форме:
Теорема 2. Четырехмерные пространства Эйнштейна-Келера отличные от пространств постоянной голоморфной кривизны не допускают нетривиальные голоморфно-проективные отображения на пространства Эйнштейна-Келера.
Так как голоморфно-проективное преобразование келерова пространства Kn является голоморфнопроективным отображением Kn на Kn, то из теоремы 2 непосредственно вытекает справедливость следующей теоремы:
Теорема 3. Четырехмерные пространства Эйнштейна-Келера отличные от пространств постоянной голоморфной кривизны не допускают нетривиальных голоморфно-проективных преобразований.
Эти результаты аналогичны полученным свойствам для геодезических отображений четырехмерных пространств Эйнштейна, полученных в [14].
Заметим, что все вычисления, проведенные нами, в предположении, что Kn и Kn G C2 (т.е. gij и gij G C2) при постоянных скалярных кривизнах R и R соответствующих пространств. Заметим, что из формулы (4) вытекает Ф G C3.
Благодарю профессора Й. Микеша за консультацию и обсуждение настоящей статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Беклемишев Д.В.: Дифференциальная геометрия пространств с почти комплексной структурой, Геометрия. 1963. Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР, М. 165-212, 1965.
2. Chepurna O., Mikes J., On holomorphically projective mappings preserving the Einstein tensor, Proc. of the 10th Int. Conf. Aplimat, (2011).
3. Chuda, H., Chodorova, M. and Mikes, J.: On holomorphically projective mappings with certain initial conditions, Proc. of the 10th Int. Conf. Aplimat, (2011).
4. Chuda, H. and Mikes, J.: On F-planar mappings with a certain initial conditions, Proceedings of the 5th Int. Conf. APLIMAT, Part II, (2006).
5. Chuda, H. and Mikes, J.: On first quadratic integral of geodesics with a certain initial conditions, 6th Int. Conf. APLIMAT, (2007).
6. Chuda, H. and Mikes, J.: On geodesic mappings with certain initial conditions, Acta Math. Acad. Paed. Nyiregyhaziensis (AMAPN), Debrecen, (2010).
7. DOMASHEV, V.V., MIKES, J.: Theory of holomorphically projective mappings of Kahlerian spaces. Math. Notes 23, pp. 160-163, 1978; Mat. Zametki 23, pp. 297-303, 1978.
8. Haddad, M. Holomorphically projective mapping of T-quasisemisymmetric and generally semisymmmetric spaces, Proc. of Conf. Diff. Geom. and its Appl. Opava, 143-149, 1992.
9. HINTERLEITNER, I.: Conformally-projective harmonic mappings of equidistant manifolds with the Friedmann models as example. In APLIMAT 2007 - 6th Int. Conf., Part II, pp. 97-102, 2007.
10. Hinterleitner, I. and Mikes, J.: On the equations of conformally-projective harmonic mappings, AIP Conf. Proc. 956, 141-148 (2007).
11. KURBATOVA, I.N.: HP-mappings of H-spaces. (Russian) Ukr. Geom. Sb. 27, 75-83 (1984).
12. AL LAMY, RAAD J., MIKES, J., SKODOVA, M.: On holomorphically projective mappings from equiaffine generally recurrent spaces onto Kahlerian spaces. Arch. Math. (Brno) 42, suppl., 291-299 (2006).
13. MIKES, J.: On holomorphically projective mappings of Kahlerian spaces. (Russian) Ukr. Geom. Sb. 23, 90-98 (1980).
14. Mikes, J.: Geodesic mappings of affine-connected and Riemannian spaces, J. Math. Sci., New York 78, No.3, 311-333 (1996).
15. MIKES, J.: Holomorphically projective mapping and their generalizations. J. Math. Sci. New York, Vol. 89, No. 3, 1998, 1334-1353.
16. Mikes, J.; Kiosak, V.; VanZurova, A.: Geodesic mappings of manifolds with affine connection, Palacky University Press, Olomouc, 220p, (2008).
17. Mikes, J.; VanZurova, A.; Hinterleitner, I.: Geodesic mappings and some generalizations, Palacky University Press, Olomouc, 304p, (2009).
18. Микеш, Й., Радулович, Ж., Хаддад, М.: Геодезические и голоморфно-проективные отображения m-псевдо m-квазисимметричеких римановых пространств, Изв. вузов. 40, № 10, 28-32, 1995.
19. Sinyukov, N.S.: Geodesic mappings of Riemannian spaces, Nauka, Moscow, (1979).
20. SINYUKOV, N.S., KURBATOVA, I.N.; MIKES, J.: Holomorphically projective mappings of Kahler spaces. Odessk. Univ., Odessa, 1985.
21. STANKOVIC, M.S., MINCIC, S.M., VELIMIROVIC, L.S.: On equitorsion holomorphically projective mappings of generalized Kahlerian spaces. Czech. Math. J. 54, No. 3, 701-715 (2004).
22. SKODOVA, M., MIKES, J.: Concircular and convergent vector fields on compact spaces with affine connections. In APLIMAT 2007 - 6th Int. Conf., Part I, pp. 237-242, 2007.
23. YANO, K.: Differential geometry on complex and almost comlex spaces. Oxford, Pergamon Press, 326p. 1965.
24. YANO, K., BOCHNER, S.: Curvature and Betti numbers. Annals of Mathematics Studies 32, Princeton University Press, (1953).
