О геодезических отображениях в целом римановых пространств, удовлетворяющих некоторым условиям дифференциально-алгебраического характера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.16.8

О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ В ЦЕЛОМ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕКОТОРЫМ УСЛОВИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА

© Е.Н. СИНЮКОВА1, О.Л. ЧЕПОК2 1 Государственное учреждение "Южноукраинский национальный педагогический университет

имени К.Д.Ушинского" , кафедра алгебры и геометрии e-mail: Marbel@ukr.net

2Государственное учреждение "Южноукраинский национальный педагогический университет

имени К.Д.Ушинского" , кафедра физики e-mail: chepok@i.ua

Синюкова Е. Н., Чепок О.Л. — О геодезических отображениях в целом римановых пространств, удовлетворяющих некоторым условиям дифференциально-алгебраического характера // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 214—221. — Доказано несколько теорем о глобальной геодезической однозначной определенности некоторых классов римановых пространств. Существующие классы пространств выделены с помощью ограничений смешанного, дифферен- циально-алгебраического характера.

Ключевые слова: риманово пространство, геодезическое отображение, теорема Грина

Sinykova E. N., Chepok O. L. — On geodesic mappings in a whole of Riemannian spaces provided with some conditions of differential-algebraic character // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 214-221. — Some theorems about geodesic uniquely definiteness in a whole of certain classes of Riemannian spaces are proved. The corresponding classes of spaces are intercepted with a help of restrictions of mixed, differential-algebraic character.

Keywords: Riemannian space, geodesic mapping, theorem of Green

Исходные положения и аппарат исследования.

Пусть между римановыми Сг-пространствами Vп и V” (п > 1, г > 1) установлен Сг-диффеоморфизм. Если при этом все геодезические линии пространства Vn переходят в геодезические линии пространства

V , то говорят, что данный Сг- диффеоморфизм является геодезическим отображением (глобально, в целом) риманова пространства Vп на риманово пространство V .

Чаще, однако, рассматривают локальные геодезические отображения римановых пространств. Пусть отображение /, определенное в некоторой окрестности и точки Мо риманова Сг-пространства Vп (п > 1,

г > 1) Сг-диффеоморфно переводит эту окрестность в окрестность и некоторого Сг-пространства V так, что при этом все геодезические линии, содержащиеся в окрестности и, переходят в геодезические линии окрестности и. Тогда / есть отображение, геодезическое в окрестности точки Мо. Если такие отображения можно определить для некоторой окрестности каждой точки пространства Vп, то говорят, что Vп локально допускает геодезические отображения.

Очевидно, всякое глобальное геодезическое отображение пространства Vn на пространство V является и локальным геодезическим отображением. Существуют, однако, широкие классы римановых пространств, локально допускающих нетривиальные (отличные от аффинных) геодезические отображения, но не допускающие таких отображений в целом [2,4,5].

Пусть координатная окрестность и Сг-пространства Vп (п > 1, г > 1) Сг-диффеоморфна некоторой координатной окрестности и Сг-пространства У"”. Доказано (см., например, [6]), что этот Сг-диффеоморфизм тогда и только тогда будет геодезическим отображением и на и, когда в общей по отображению системе координат выполняются условия:

У = 2—к —^ — ^. (1)

Здесь ду — метрический тензор пространства Р^, —* — некоторый ковектор, ковариантное дифференцирование производится в пространстве Vп.

Соотношения (1), очевидно, можно использовать и для изучения геодезических отображений ри-мановых пространств в целом.

Фигурирующий в (1) ковектор —* определяет рассматриваемое геодезическое отображение. Так как в каждом римановом пространстве Vn

Г“а = 1 д 1п ы,

(2)

где д = det ||ду ||(= 0), то

0

д ’

где д = det ||ду1|(= 0). В силу того, что | при преобразовании координат представляет собой инвариант, ковектор —* градиентен : —* = д*—. При —* = 0 геодезическое отображение вырождается в аффинное и считается тривиальным, при —* не совпадающем тождественно с нулем — нетривиальным.

Если пространство Vй' не допускает (локально или глобально) нетривиальных геодезических отображений, то говорят, что оно (локально или глобально) геодезически однозначно определено в том смысле, что его объект аффинной связности единственным образом определяется совокупностью его геодезических линий.

Очевидно, что вопрос о том, допускает ли данное Vй- локально или глобально нетривиальные геодезические отображения, сводится к вопросу существования в некоторой окрестности каждой точки Vп или

на всем Vй- симметричного неособенного Сг-1-тензора ду и не равного тождественно нулю Сг-2-ковектора —*, удовлетворяющих уравнениям (1), (2). В заданном римановом пространстве Vп уравнения (1) и (2) образуют основную систему уравнений теории геодезических отображений (в форме Леви-Чивиты). Это система нелинейных дифференциальных уравнений в ковариантных производных первого порядка относительно компонент тензора ду, не являющаяся системой типа Коши. В общем случае такие системы не допускают эффективного исследования регулярными методами на предмет существования и единственности их решений.

Положив

оу = е2^ д“в да дву, (3)

А* = -е2^ — ад“в дв®, (4)

^ = е2^ [(п + 1)—а—в - —а, в]д“в, (5)

Синюков Н.С. перешел [3] к эквивалентной системе дифференциальных уравнений, допускающей регулярные методы исследования. Точнее, им была доказана следующая основная

Теорема. Для того, чтобы риманово Сг-пространство Vй- (п > 2, г > 3) допускало нетривиальные геодезические отображения, необходимо и достаточно, чтобы система дифференциальных уравнений

ау, к А(гду)к, (6)

пАг, к Мд*к + аот-^. к аав^гк в, (7)

(п — 1)^, к = 2(п — 1)АаД°к + аав (2^°к , в — ^^к) , (8)

имела в этом пространстве решение относительно симметричного неособенного дважды ковариант-ного Сг-1 -тензора ау, ковариантного Сг-2-вектора А*, который не равен тождественно нулю, и Сг-3-инварианта ц.

Система (6)—(8) первого порядка, типа Коши, линейная, с однозначно определенными пространством Vп коэффициентами. Ковектор А*, удовлетворяющий уравнениям системы (6)—(8), градиентен.

По известному решению системы (6)—(8) метрический тензор ду пространства Vn, на которое в силу наличия этого решения, рассматриваемое пространство Vп допускает нетривиальное геодезическое отображение, находится из соотношений, обратных к (3)—(5). Именно, из (3) и (4) вытекает, что

^і = -Аа а“в дві = ^ д, 1п

(9)

где а“в - элементы матрицы, обратной к ||ау ||, д = det ||ау ||. Значит, с точностью до постоянной

ф=21п

% = е2^ а“в дві. (10)

и, в силу (3),

•ну

Соотношения перехода (3)-(5) и (9)—(10) показывают, что система (6)-(8), подобно системе основных уравнений в форме Леви-Чивиты, характеризует как локальные геодезические отображения, так и геодезические отображения в целом. Ее решения носят тогда соответственно локальный или глобальный характер.

В 1937 году американский математик Бохнер С. [7,1] для случая п-мерного риманова пространства доказал справедливость так называемой теоремы Грина:

Теорема. В компактном ориентируемом Сг -пространстве Vй- (п > 1,г > 1) для произвольного С1-векторного поля справедливо соотношение:

I Г ,а^ = 0 (11)

Основываясь на данной теореме и подбирая векторное поле специальным образом, Бохнеру С., Яно К. и их последователям удалось получить ряд интегральных формул, позволяющих доказать невозможность существования в определенных римановых пространствах тех или иных отличных от нуля векторов, тензоров, и в силу этого отсутствие у данных пространств соответствующих преобразований(или отображений)[7].

Некоторые теоремы о геодезической однозначной определённости в целом римановых

пространств.

Предположим, что компактное, ориентируемое риманово Сг-пространство V” (п > 2, г > 4) в целом допускает нетривиальное геодезическое отображение, определяемое градиентным ковектором ф* = (не равным тождественно нулю ), на некоторое Сг-пространство V . Пусть ау, А* (не равный тождественно нулю ), ц - соответствующее этому отображению решение в V” системы (6)—(8). Используя первую и вторую группы уравнений системы (6)—(8), подсчитаем дивергенции следующих векторов:

(аіаа^ Еа1,а ),і = (п + 2)А7 аав Ща,в + А7 аав + аав а^ ;

(аіаа^ Еіа,а),і = (п + 1)А7 аав Еарл + 2А7 а^ Е1а,р + а^ а^ Еав,7СТ; (аІааваЕ,/з ),і = а7 А“Е,а + (п + 2)а^в АаЕ,в + а^7 ав7 Е,ав;

(аава7аЕв7 і),і = аавАаЕ,в + 2А7а^вЕ7а,в + а?7ав7Е,

Ква7аЕів 7),і = -аавАаЕ,в + А7аавЕ7а,в + А7аавЕав,7 + а^7ав7Е"

ав,

(ааваавЕ і),і = 4аавАаЕ,в + аава«вЕ 7 ;

(а77а|авЕав,і),і = 2А7аа.вЕав,7 + а7 А“Е,а + а77аа.вЕ,

М ;

ьав,.М’

(а7 аавЕіа,в),і = 2А7аавЕ^і + ~а7 АаЕ,а + 2А7аавЕ7а,в;

(Аааав Еів ),і = - маав Еав + А“АаЕ + АаАв Еав + п а!в а^Т^в Е^ + - аав АаЕ,в;

(АаЕав аві),і = п Маав Еав + А7 аав Е7а,в + (п + 1)АаАв Еав + п а“7 аМ<7 Тав.7 Евм;

Тензор

Обозначим:

(А“ав7Еав7і.),і = пМаавЕав - ±а^.^7Т^.Ч +-астмТ^.Ма;авЕв.і - АаАвЕав + А7аавЕав,7 - А7аавЕ.

^7а,в •

Ті7’кІ дІЕік Еі^'кІ*

J АаавтЕав,7Зю = хі; J АаавтЕв7,а^. = Х2;

V п V п

/а^, і. = Хз; /<'> АаЕ,в Л, = ^

V п V п

J аава^стЕа7,ствЗ. = уі; J аао?аЕав,7СТЗ. = у2;

(12)

аава7аЕ,7вЗ. = уз; / аава7вЕа7,*З. = У4;

J а^а7вЕіа,7і^. = Уб; J а77а^ЕавДЗ. = ув;

V ” V п

а7 аавЕіа,віЗ. = у7; / аава"5Та7СТвЕ7,3. = ув;

п

/а“в аав Я* = „ /А"Ав Я., * = *;

Vn V™

I АаА“Д^ = уц; I а^Та7(Тва'4"^ = Ш. (13)

V п V п

Проинтегрировав равенства (12) по пространству V”, на основании теоремы Грина, в соответствии с введенными обозначениями (13) будем иметь

(п + 2)ж1 + Х2 + у1 =0; 2x1 + (п + 1)х2 + У2 =0; Хз + (п + 2)х4 + уз = 0;

2x1 + Х4 + у4 = 0; Х2 + Х2 + 2 Х4 + у5 = 0; 4x4 + У10 = 0;

3 2 (14)

2x2 + хз + уб = 0; 2x1 + 2 хз + У7 = 0; ПХ4 + 2x5 + 2ув + 2пую + 2пуц = 0;

ПХ1 + Х5 + У8 + п(п + 1)у10 = 0; -nxl + пХ2 + Х5 + ув - пуш - У12 = 0.

Исключив из системы уравнений (14) переменные х*, г = 1, 4, получим соотношения

У4 - 1У9 = 2п ^ую - Пуп^ ; (15)

12уз + 8у4 - 8уг - (3п + 8)у9 = 0; (16)

п ~+ 4

уз - У4 + 2у5 - Уб---— У9 =0; (17)

п + 1 п + 4 П ПйА

у1----у4 - у5---------------у9 = 0; (18)

4у2 + 2(п - 1)у4 - 4(п + 1)у5 + (п + 2)у9 = 0; (19)

3пу4 - 2пу5 - 2п(п + 2)ую - 2у12 = 0. (20)

Рассмотрим прежде всего равенство (15). В силу обозначений (13) оно имеет вид

J а?ва7в ^Да7 - ^ - 2п J АаАвЕав^ = 0. (21)

Vп ’■* V"

В соответствии с (3), отсюда непосредственно вытекают следующие утверждения.

Лемма 1. Компактные, ориентируемые римановы Сг -пространства V” (п > 2, г > 4), в которых форма Эйнштейна положительно определена, в целом не могут допускать таких, задаваемых ковектором ф* = д*ф, нетривиальных геодезических отображений на Сг-пространства V , для которых

е4^Яа7 - Я^ ^ < 0. (22)

V n

Теорема 1. Компактные, ориентируемые римановы Cr-пространства Vn (n > 2, r > 4), в которых форма Эйнштейна положительно определена, а форма

ьав ь7<т ge^ Ra7 - R g«^ (23)

на множестве симметричных дважды контравариантных тензоров bij неположительна, в целом не

допускают нетривиальных геодезических отображений.

Обратимся теперь к соотношениям (16)—(19). Очевидно, они справедливы тогда и только тогда, когда для любых вещественных чисел ai, i = 1, 4

ai(12y3 + 8y4 - 8yr - (3n + 8)y9) + «2(4уз - 4y4 + 8y5 - 4ye - (n + 4)y9)+ (24)

+«3(8yi - 4(n + 1)y4 - 8y5 - (n + 4)y9) + щ(4у2 + 2(n - 1)y4 - 4(n + 1)y5 + (n + 2)y9) = О.

(24) можно переписать в виде

8азУі + 4«4У2 + (12аі + 4«2)уз + (8аі - 4«2 - 4(п + 1)аз + 2(п - 1)«4)у4+

+(8«2 - 8аз - 4(п + 1)«4)У5 - 4«2Ув - 8аіу7 - ((Зп + 8)аі + (п + 4)а2 + (п + 4)аз - (п + 2)«4)уд = 0.

В соответствии с обозначениями (1З), последнее означает, что

У аава^дав7аЗ. = 0, (25)

V п

где

^автст = 8азЕа7,ств + 4а4Еав,7^ + (12аі + 4а2)да7Е,вст + [8аі - 4а2 - 4(п + 1)аз + 2(п - 1)а4]да7Евт* і+

+ [8а2 - 8а3 - 4(п + 1)а4]да7Еів,сті - 4а2давЕ7т,% - 8аідавЕ%,ті-

- [(Зп + 8)аі + (п + 4)а2 + (п + 4)аз - (п + 2)а4]^а7двтЕД.

С учетом (3), из (25), очевидно, вытекает следующая лемма.

Лемма 2. Компактные, ориентируемые римановы Сг-пространства Vп (п > 2, г > 4) в целом не допускают таких задаваемых ковектором фі, нетривиальных геодезических отображений на Сг-пространства

Vп, для которых

I е4^давд7<тдав7,3. = о.

V п

Справедлива также

Теорема 2. Компактные, ориентируемые римановы Сг-пространства Vn (п > 2, г > 4), в которых при некоторых вещественных числах аі (і = 1, 4) на множестве симметричных дважды контравариантных тензоров 6і5

6ав67<тдав7. > 0(< 0), (26)

причем равенство нулю может достигаться лишь при 6і5 = р(х)ду, в целом не допускают нетривиальных геодезических отображений.

Доказательство. Предположим, риманово пространство Vп удовлетворяет условиям теоремы и в целом допускает нетривиальное геодезическое отображение. Тогда (см. [3] ) для тензора ау из соответствующего данному отображению решения системы (6)—(8) ау не совпадает тождественно с р(х)ду. Значит, в силу (32), в Vn

аава^т^ав7т > 0,

но аава7Т^ав7Т не совпадает тождественно с 0 и (24) невозможно. Полученное противоречие говорит о том, что рассматриваемое пространство Vй' нетривиальных геодезических отображений в целом допускать не может. Теорема доказана.

В случае положительно определенной метрики рассматриваемого пространства Vй- условие (26) можно несколько упростить. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Компактные, ориентируемые, с положительно определённой метрической формой римановы Сг-пространства Vй" (п > 2, г > 4), в которых при некоторых вещественных числах аі (і = 1, 4), таких, что

(п - 2)аі + па2 - (п + 1)аз = 0 (27)

на множестве симметричных дважды контравариантных тензоров 6*^

6ав67СТ<3ав7- > 0(< 0), (28)

причем равенство нулю может достигаться лишь при 6*^ = р(ж)д*5, в целом не допускают нетривиальных геодезических отображений.

Здесь тензор

^ав7а 4«1 дав + 2а2 дав ^7^,'.* 4азДа7,ств 2а4Дав,7а (29)

— [4«1 - 2«2 — 2(п + 1)«з + (п — 1)а4]да7Два*.* — [4«2 — 4аз — 2(п + 1)а4]да7Д*в,а*.

От ^авта он, очевидно, отличается лишь тем, что не содержит членов с производной скалярной кривизны. Доказательство. В (28) положим 6и' = ди'. Тогда

давд7адав7а = (2п«1 + 2п«2 - 2аз - 2«4 - 4«1 + 2«2 + 2(п + 1)«з - (п - 1)«4- )

-2«2 + 2аз + (п + 1)«4)Д,** = 2[(п - 2)«1 + п«2 + (п + 1)аз]Д,**

Но в удовлетворяющем условиям теоремы 2 пространстве Vп справедливы (24) и (25). Поэтому из (29) вытекает, что всюду в Vn

Д* > 0(< 0).

Так как метрика рассматриваемого пространства Vп положительно определена, по лемме Бохнера тогда просто

Д,* = 0. (31)

Но в соответствии с (27) и (28), (30) говорит о том, что в нашем пространстве Vn знакоопределенность формы (28) эквивалентна знакоопределенности формы (26) и справедливость теоремы 3 непосредственно вытекает из справедливости теоремы 2.

Частным случаем теоремы 3 является, например, следующее утверждение.

Теорема 4. Компактные, ориентируемые, с положительно определённой метрической формой рима-новы Сг-пространства Vп (п > 2, г > 4), в которых на множестве симметричных дважды контравариантных тензоров 6*^

6ав67а (да7 Два,* - Зав Д*7,а) ,* > 0(< 0), (32)

причем равенство нулю может достигаться лишь при 6*^ = р(ж)д*5, в целом не допускают нетривиальных геодезических отображений.

Оно получается из теоремы 3 при «1 = 1, «2 = аз = «4 = 0.

Обратимся теперь к соотношению (20). Метрику рассматриваемого пространства Vп будем считать положительно определенной. В соответствии с обозначениями (13), (20) имеет вид

J а“ва7в (3Да7*. - 2Д*ал) * ^ - 2(п + 2) ^ АаАвДав^ - 2 ^ аав^в^ = 0. (33)

Vп Vп Уп

Очевидно,

I Та7ав^ > 0.

V п

Значит, если форма Риччи в пространстве Vп положительно определена и, кроме того

J аава7в (3Да7,* - 2Д*а,7) ,* ^ < 0, (34)

V п

то (33) возможно лишь при А* = 0, то есть тогда, когда рассматриваемое геодезическое отображение тривиально. На основании (3), условие (34) можно представить в виде

Таким образом доказано следующее утверждение.

Лемма 3. Геодезическое отображение в целом компактного, ориентируемого, с положительно определенной метрической формой и так же положительно определенной формой Риччи риманова Сг -пространства Vп (п > 2, г > 4), тривиально, если при этом отображении справедливо неравенство

Замечание. В соответствии с (25), в формулировке леммы 3 условие (35) можно заменить более общим условием

а®, і = 1, 4, входящие в — произвольные действительные числа.

Теорема 5. Компактные, ориентируемые, с положительно определённой метрической формой и формой Риччи римановы Сг-пространства V” (п > 2, г > 4), в которых для произвольного симметричного тензора б®7

Как известно из работ, посвященных классификации римановых пространств, допускающих нетривиальные геодезические отображения, подавляющее большинство указанных пространств не допускает таких отображений даже локально. И в первую очередь среди них следует выделить обобщенно рекуррентные римановы пространства, отличные от пространств постоянной кривизны (см., например, [3,2]). В то же время, найдены широкие классы римановых пространств, для которых локальные нетривиальные геодезические отображения существуют. Изучение глобальных свойств геодезических отображений таких римановых пространств является закономерным этапом развития соответствующей теории. Рассмотрение вышеуказанных вопросов следует признать актуальным и с точки зрения возможных приложений в теоретической механике, теории относительности и других разделах современной физики.

1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. I. // М.: Наука, 1981, 344 с.

2. Mikes J.,VanSurova A., Hinterleitner I. Geodesic Mappings and Some Generalizations, // Published and printed by Palacky University, Olomouc, 2009, 304 p.

3. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств, // М.: Наука, 1979, 255 с.

4. Синюкова Е.Н. О геодезических отображениях некоторых специальных римановых пространств, // Матем. заметки — 1981 № 30. вып.6, с. 889—894

5. Степанов С.Е. Теоремы исчезновения в аффинной, римановой и лоренцевой геометриях // Фундаментальная и прикладная математика — 2005 — т. 11 № 1. с. 35—84

6. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия, // М. :ИЛ, 1948, 316с.

7. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти //М., ИЛ, 1957, 152 с.

(35)

(ЗБ).

/

е4^д«вдв^ (QaeYCT + Здв^Ra7,ii - 2дв^Ria,7i) °

V

в целом не допускают нетривиальных геодезических отображений.

Выводы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ