CC BY
8
УДК 539.184
МЮОННЫЙ ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ В ТРЕХЧАСТИЧНЫХ МЮОН-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
В. И. Коробов1,2, А. П. Мартыненко2, Ф.А. Мартыненко2, А. В. Эскин2
Вычислен мюонный лэмбовский сдвиг (2 P -2S) в электрон-мюонных ионах гелия, лития, бериллия и бора в рамках аналитической теории возмущений и на основе стохастического вариационного метода в квантовой электродинамике. Показано, что эффекты кулоновского взаимодействия электрона с мюоном и ядром приводят к небольшому изменению величины лэмбовского сдвига по сравнению с двухчастичными системами мюон-ядро.
Ключевые слова: мюонные атомы и ионы, квантовая электродинамика, тонкая структура.
Введение. Исследование энергетических уровней мюонных экзотических атомов представляет значительный интерес, так как позволяет осуществлять проверку квантовой электродинамики (КЭД) с высокой точностью и получать более точные значения ряда фундаментальных параметров. Так, например, измерение частот перехода между низколежащими уровнями энергии в мюонном водороде и ионе мюонного гелия позволило улучшить значения зарядовых радиусов протона, дейтрона и а-частицы [1, 2]. Улучшение измерений лэмбовского сдвига в мюонном водороде в пять раз на установке CREMA позволит определить зарядовый радиус протона с точностью 10-4 [3]. Коллаборация CREMA планирует включить в область исследований другие мюонные системы с легкими ядрами, такими как мюонный литий и бериллий [4]. В новые планы прецизионной микроволновой спектроскопии коллаборации J-PARC MUSE [5] входит измерение сверхтонкой структуры (СТС) основного состояния мюон-электронного гелия (р — e — He) с точностью, на два порядка превосходящей точность предыдущих
1 Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, Россия, Дубна,
2 Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское ш., 34; e-mail: a.p.martynenko@samsu.ru.
экспериментов в 1980-х годах [6]. Другая интересная задача связана с мюонным лэм-бовским сдвигом в атоме (р — е — Не) или в мюон-электронных системах с легкими ядрами. Исследование сверхтонкой структуры и электронного лэмбовского сдвига в таких кулоновских системах выполнено нами в предыдущих работах [7-9]. В данной работе мы исследуем, как присутствие электрона может повлиять на измерение мюон-ного лэмбовского сдвига в трехчастичных системах.
При изучении тонкой и сверхтонкой структуры спектра в системах мюон-электрон-ядро используют обычно два метода. Один из них - вариационный метод, который позволяет находить волновые функции и значения энергий с очень высокой точностью [10-17]. Другой аналитический метод расчета уровней энергии был сформулирован в работе [18] и применен для расчета сверхтонкой структуры спектра и электронного лэмбовского сдвига в [8, 9, 18-21]. В этом подходе различные поправки в спектре энергии вычисляются по теории возмущений (ТВ) в КЭД.
Аналитический метод расчета лэмбовского сдвига. Для расчета уровней энергии методом аналитической теории возмущений представим гамильтониан трехчастичной системы ядро-мюон-электрон в виде суммы нескольких частей, выделив основной вклад кулоновского взаимодействия Н0 [18, 21]:
Н = Но + АН + АНГе с + Д Н^ + Д Н*г + ДН¥ег(, (1)
Н0 =__^V2 - V2 - — - — 1)а (2)
Но = 2М, ^ 2Ме Уе хе , (2)
АН = —— -, ДНгес = — МV, ■ (3)
|х, — Хе| Хе М
где х, и хе - радиусы-векторы мюона и электрона относительно ядра, ^е - заряд ядра. Слагаемые ДН¥р, ДН^Г и ДН¥еЛ обозначают вклады на поляризацию вакуума, структуру ядра и вершинные поправки. В (1) использована система единиц, в которой К = с = 1, а а = е2 - постоянная тонкой структуры. Ядро имеет конечную массу М, и слагаемое гамильтониана ДНгес в (3) определяет эффект отдачи ядра. Приведенные массы в подсистемах электрон-ядро, мюон-ядро равны
М = ШеМ М = Ш,М (4)
Ме (Ше + М) , М (ш, + М) , (4)
где массы электрона и мюона обозначены через ше и ш,, соответственно.
Выбирая гамильтониан системы в виде Но, получим точное решение для волновой функции системы:
Ф25(Хе, Х,) = фе !£-(Хе)ф, 25(х,) =
~2~
е 2 е
4^'
п
(5)
Ф2Р (Хе, Х,) = фе 15 Ыф, 2Р (х,) = (ЩеЩ, )3/2 (Щ,Х,)е-^Р е-^ (еп), (6)
Щ, = ZaM^ Щ = (г - 1)аМе.
(7)
Используя (5)—(6), можно выполнять аналитический расчет различных поправок по теории возмущений.
В лидирующем порядке энергия связи частиц равна сумме кулоновских энергий связи мюона и электрона, но в разности (2Р — 25) эти энергии сокращаются. В первом порядке теории возмущений кулоновское взаимодействие АН дает следующие вклады в уровни энергии 25 и 2Р состояний:
АЕ(!)(25) : АЕ (1)(2Р)
^25 Ф2Р
а а
Х,е Хе
аа
Х
,е
X,
Ф25 Ф2Р
Щеа (-28а! + 220«! — 1152а!-= Щеа (-20а! + 140«! - 672а?..
АЕ(!)(2Р - 25) = Щ
8а!
_! = г' е
а (1 + 2а!)5, « = Щ/
(9)
Результаты (8) представлены в виде разложения по параметру а!.
При расчете поправок во втором порядке ТВ по АН необходимо рассмотреть вклады от разных промежуточных состояний мюона. Если мюон находится в промежуточном состоянии п = 25, то вклад имеет вид:
:ю)
АЕ^П = 25) = / ф,2йЫфе^(х) (— - ф,2й(х,) (- X
3 \ Х,е Хе / V Х,е Хе /
Хф,25(х',)фе!5(х^Се^(Хе, Х^ф^й (х',)^,^',^^,
где (Хе, Х'е) - редуцированная кулоновская функция Грина электрона для состояния 15. Нижний индекс 25 у энергии обозначает вклад для мюона в 25 исходном состоянии. Выражение (10) содержит два одинаковых интеграла по координатам мюо-на, которые вычисляются аналитически:
У,(Хе) = ^Х,|ф,2й(Х,)Г ( — - Ха )
3 \ Х,е Хе /
8"е
(8 + 6Ж,Хе + 2(Ж,Хе)2 + (^,Хе)3) .
11)
С помощью явного выражения для Се1,5(хе, х'е) [8, 9] и (11) получим вклад в энергию 2$ после аналитического интегрирования и разложения по а1:
Д£2?(п = 2$) = — Ме«2а3
5993 /24111 п , . + «1 I —--31361п4«1 ) +
64 1 64
Аналогичный результат для мюона в 2Р состоянии определяется выражением:
12)
ДЕ2р)(п = 2Р) = — Меа2«3
31329 ( 80895 лллппл л , + аЛ--—— — 144001п 4а И +
576
576
13)
Если мюон находится в промежуточном состоянии, которое не совпадает с 2$ (или 2Р), то во втором порядке ТВ такой вклад определяется следующим выражением:
ДЕ2|)(п = 2$) = ^,25(х,)^е15(хе) ( — — — ) ^,25(х^хе^х^х,^, X (14)
V ",е "е /
х V ^,п(х,)^,„(х/,)
^еп' (хе)^е*п' (х/е)
/ у Г,п\Л / У Т7Г Т7Г I Т7Г Т7Г
, Де15 — Деп' + Еи25 — Д
п=25 П
а а
( "г — 4 ) (х/е).
V ",е "е /
Для аналитического расчета интегралов заменим в (14) точную кулоновскую функцию Грина электрона на свободную функцию Грина в лидирующем порядке по а1:
Се (хе, х/е) = ^ ]
^еп' (хе)^е*п' М
Де15 — Деп' + — Д,п
Меа2 е-ьп|хе-х'е| 2п |хе — х/е |
:15)
Ьп = 2Ме(Д,п — — Ее 15).
Это приближение можно улучшить, используя ряд теории возмущений для функции Грина электрона как в [9]. Тогда для интегрирования по координатам в (14) можно
использовать условие полноты:
^ ^,п(х,)^,п(х/,) = ¿(х, — х/,) — ^,25(х,)^,25(х/,).
Вначале вычисляется интеграл по координате электрона в (14):
г е-6"|х1-У11 , , , , , ,4п (1 — е-ь"|х1-уг|) --— (У1) - (0)- 1 1
16)
|х1 — У1||У2 — У1| (0)4П
Ьп |х1 — У2 | 2
1 |х1 — У2| + Ьп|х1 — У2| +
6
п
где также использовано разложение по параметру отдачи a?, связанному с Вклад первого слагаемого в квадратных скобках равен 0 из-за ортогональности волновых функций мюона, а второе слагаемое дает вклад лидирующего порядка по a1, который после вычисления координатных интегралов имеет вид:
AEgV = 2S) = Mea2a? (-56 + ^ai + ^^a?...) . (18)
Если мюон находится в состоянии 2P, то аналогичный вклад равен
= 2P) = Mea2a? (-40 + ^^ ai + ^^a?...) . (19)
64 1 128
Суммарный вклад первого и второго порядков ТВ по АН имеет вид:
АЕ (2Р - 25) = 8Же 1 - 10«! + (-^-уу - (^-ТУ)' (20)
где мы удержали в круглых скобках лишь члены первого порядка по а!.
Наряду с кулоновской поправкой (20) необходимо учесть и другие поправки на поляризацию вакуума, структуру ядра и отдачу для получения полного значения мюонного лэмбовского сдвига. Поправки такого типа были вычислены в мюонных ионах в [22, 23].
Вариационный метод. Для проверки полученных аналитических результатов использовался вариационный метод [10, 16]. Волновая функция системы трех частиц для 5-состояний представлялась в виде:
к к
Ф(р, Л, 4) = ^ С^(р, Л, Ау) = ^ Сге-2 ИпР2 +2А12РЛ+А22Л21, (21)
г=! г=!
где коэффициенты С представляют собой набор линейных вариационных параметров, а Ау - матрица нелинейных параметров. Координаты Якоби р и Л связаны с радиусами-векторами ядра г!, мюона г2 и электрона г3:
_ т!г! + т2г2
р = г2 - Г1, Л = гз----. (22)
т! + т2
Задача состояла в том, чтобы найти такие значения параметров и коэффициентов разложения, чтобы среднее значение гамильтониана было минимальным. Для нахождения энергий связанных состояний уравнение Шредингера с кулоновским взаимодействием трех частиц сводилось к решению матричной задачи на собственные значения следующего вида:
НС = Е ЛВС, (23)
где матричные элементы Ну =< ^¿|Н ^ > и Ву =< > вычислены аналитически с
помощью вариационных волновых функций. ЕЛ - собственное значение энергии. Верхнюю оценку энергии состояния системы трех частиц в вариационном подходе давало наименьшее собственное значение обобщенной задачи на собственные значения.
Рис. 1: Трехчастичный ион: N - ядро, р - мюон, е - электрон.
Плотности радиального распределения по р и Л, а также среднеквадратичные значения ^/^"р2^, л/< Л2 > равны
, 8^2п5/2 А СгС, 2 -1 8^2П5/2 А СгС, л2 -1 л2^в
W(р) = Т1Т / "ЛУР2е 2р В22 , ^(Л) = \ V Л2е 2 Л вп , (24)
< ф|ф > ¿¡5=1 в^/2 1 ; < Ф|Ф > ¿й В3/2 ' 7
W(р, Л) = Е СВС7РЛе-2[р2Б11+л2Б22]8Ь(В12рЛ), В1к = ^ + , (25)
| ¿,7 = 1 12
< Р2 > = 24п3 * СС В22 < .2 > = 24П3 * СС В11 (26)
< Р >= < ф|ф (ае1Б)5/2, < А >= < ф|ф >£>1°<С (ае1Б)5/2. (26)
Плотности радиального распределения представлены на рис. 2, 3 и 4 для мюонных ионов лития, бериллия и бора. Эти графики показывают наличие двух характерных расстояний в системе частиц (N — р — е). Среднеквадратичные значения р^=\/< р2 > и Л^=л/< А2 > для мюон-электронных ионов представлены в табл. 1. Они уменьшаются с возрастанием заряда ядра X.
О 1 2 3 4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Р Р Р
Рис. 2: Плотности радиальных распределений Ш(р) для состояний 25(м)15(е) в мю-онных ионах лития, бериллия и бора. Значения переменных р выражены в мюонных атомных единицах.
О 50 100 150 200 250 300 350 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300
Л Л А
Рис. 3: Плотности радиальных распределений Ш(Л) для состояний 25(м)15(е) в мюонных ионах лития, бериллия и бора. Значения переменной Л выражены в мюонных атомных единицах.
Рис. 4: Радиальная плотность вероятности Ш(р, Л) для (^е7Ьг), (^е9Ве), (^е!!В). Значения переменных р и Л выражены в мюонных атомных единицах.
Наши численные расчеты вариационным методом проводились в среде МАТЬАБ [10]. Численные значения энергии состояний 25и 2Р(е), а также значения лэмбовского сдвига представлен в табл. 1. В последнем столбце представлен результат аналитического расчета.
Таблица 1
Численные значения кулоновских поправок к мюонному лэмбовскому сдвигу. В последнем столбце представлены результаты аналитического расчета лэмбовского сдвига
N — р - e Pw , фм фм 2S, р.а.е. 2P, р.а.е. (2P-2S), мэВ (2P-2S), мэВ
2He — р — e 857 0.91 ■ 105 -0.48428998695 -0.48428934525 3.61 4.04
2He — р — e 852 0.91 ■ 105 -0.48863657185 -0.48863598056 3.33 3.97
— р — e 560 0.46 ■ 105 -1.11677317289 -1.11677141828 9.87 9.12
— р — e 417 0.30 ■ 105 -1.99690898465 -1.99690691728 11.63 14.25
— р — e 334 0.23 ■ 105 -3.13302438038 -3.13302043843 22.18 19.30
зЗаключение. При расчете части вкладов аналитически мы использовали приближение, связанное с заменой точной функции Грина электрона на свободную. В этом случае мы пренебрегали поправками порядка \JMe/MM по сравнению с рассчитанными членами (см. уравнение (15)). Численно \JMe/M^ ~ 0.1, поэтому основная погрешность аналитических расчетов составила примерно 10 процентов. Выполнив расчет лэмбов-ского сдвига в рамках вариационного метода, мы, с одной стороны, проверили результаты аналитических расчетов, а с другой - повысили точность вычислений. В табл. 1 мы представили результаты с точностью до двух знаков после запятой для сравнения с аналитическими результатами. Сравнение результатов, полученных разными методами, показало, что они согласуются друг с другом в пределах возможной теоретической погрешности аналитических расчетов.
Измерение лэмбовского сдвига в двухчастичных мюонных атомах и ионах коллабо-рацией CREMA [1] позволило получить на порядок более точные значения зарядовых радиусов протона, дейтрона и альфа-частицы. Это было достигнуто после точных расчетов лэмбовского сдвига, которые учитывали эффекты поляризации вакуума, структуры ядра, релятивистских поправок и эффектов смешанного типа высших порядков в а и отношении масс частиц [22, 23]. В этой работе мы изучили влияние эффектов кулонов-ского взаимодействия частиц на величину мюонного лэмбовского сдвига в трехчастич-ных системах мюон-электрон-ядро. Наличие электрона приводит к дополнительному кулоновскому взаимодействию с мюоном и ядром и изменяет величину лэмбовского
сдвига по сравнению с двухчастичными системами. Численные значения кулоновской поправки для различных мюон-электронных систем представлены в табл. 1. Отметим, что вычисленный в данной работе впервые вклад кулоновского взаимодействия мюо-на и электрона в мюонный лэмбовский сдвиг в трехчастичных системах ядро-мюон-электрон исследовался ранее в нашей работе [8] в случае электронного лэмбовского сдвига.
Учитывая результаты из табл. 1 (результаты аналитического расчета) и из работ [22, 23], (см. полные значения в Таблице [21] по мюонному гелию и Таблицах I-III [22] по ионам мюонного лития, бериллия и бора), мы получаем полные значения мюонно-го лэмбовского сдвига (Ls) в мюон-электронных ионах гелия, лития, бериллия и бора (изотопы со спином 3/2):
ELs(3He) = 1263.90 мэВ, ELs(4He) = 1383.08 мэВ, (27)
ELs(Li) = 1540.90 мэВ, ELs(Be) = -1238.57 мэВ, ELs(B) = -7981.03 мэВ.
Кулоновское взаимодействие частиц в трехчастичных системах приводит к небольшому, но существенному изменению величины мюонного лэмбовского сдвига по сравнению с двухчастичными мюонными системами. Учет вычисленной поправки необходим, например, для извлечения значения зарядового радиуса гелиона и а-частиц с точностью, превышающей 0.01 фм при его измерении в трехчастичных атомах.
Работа выполнена при поддержке РНФ (grant 23-22-00143).
ЛИТЕРАТУРА
[1] A. Antognini, F. Kottmann, R. Pohl, SciPost Phys. Proc. 5, 021 (2021). DOI: 10.21468/SciPostPhysProc.5.021.
[2] J. J. Krauth, K. Schuhmann, M. A. Ahmed, et al., Nature 589, 527 (2021). DOI: 10.1038/s41586-021-03183-1.
[3] A. Antognini, F. Hagelstein, V. Pascalutsa, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 72, 389 (2022). DOI: 10.1146/annurev-nucl-101920-024709.
[4] S. Schmidt, M. Willig, J. Haack, et al., J. Phys.: Conf. Ser. 1138, 012010 (2018). DOI: 10.1088/1742-6596/1138/1/012010.
[5] S. Fukumura, P. Strasser, I. Takashi, et al. [J-PARC Collaboration], EPJ Web Conf. 262, 010012 (2022). DOI: 10.1051/epjconf/202226201012.
[6] C. J. Gardner, A. Badertscher, W. Beer et al., Phys. Rev. Lett. 48, 1168 (1982). DOI: 10.1103/PhysRevLett.48.1168.
[7] V. I. Korobov, A. P. Martynenko, F. A. Martynenko, R. N. Faustov, Bulletin of the Lebedev Physics Institute 49(6), 158 (2022). DOI: 10.3103/S1068335622060033.
[8] A. E. Dorokhov, V. I. Korobov, A. P. Martynenko, F. A. Martynenko, Phys. Rev. A 103, 052806 (2021). DOI: 10.1103/PhysRevA.103.052806.
[9] R. N. Faustov, V. I. Korobov, A. P. Martynenko, F. A. Martynenko, Phys. Rev. A 105, 042816 (2022). DOI: 10.1103/PhysRevA.105.042816.
[10] A. P. Martynenko, F. A. Martynenko, V. V. Sorokin, et al., Bulletin of the Lebedev Physics Institute 46(4), 143 (2019). DOI: 10.3103/S1068335619040092.
[11] S. I. Vinitsky, L. I. Ponomarev, Fiz. Elem. Chast. Atom. Yadra 13, 1336 (1982).
[12] S. I. Vinitsky, V. S. Melezhik, L. I. Ponomarev, et al., Sov. Phys. JETP 52, 353 (1980).
[13] A. M. Frolov, Phys. Rev. A 61, 022509 (2000). DOI: 10.1103/PhysRevA.61.022509.
[14] M. K. Chen, C. S. Hsue, Phys. Rev. A 1940, 5520 (1989). DOI: 10.1103/PhysRevA.40.5520.
[15] K. Varga, Y. Suzuki, Comp. Phys. Comm. 106, 157 (1997). DOI: 10.1016/S0010-4655(97)00059-3.
[16] D. T. Aznabayev, A. K. Bekbaev, V. I. Korobov, PEPAN Letters 15, 236 (2018).
[17] V. I. Korobov, Phys. Part. Nucl. 53(1), 5 (2022). DOI: 10.1134/S1063779622010038.
[18] S. D. Lakdawala, P. Mohr, Phys. Rev. A 29, 1047 (1984). DOI: 10.1103/PhysRevA.29.1047.
[19] M. Ya. Amusia, M. Ju. Kuchiev, V. I. Yakhontov, J. Phys. B 16, L71 (1983). DOI: 10.1088/0022-3700/16/3/007.
[20] S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov, V. I. Korobov, Phys. Rev. A 97, 022504 (2018). DOI: 10.1103/PhysRevA.97.022504.
[21] A. A. Krutov, A. P. Martynenko, Phys. Rev. A 78, 032513 (2008). DOI: 10.1103/PhysRevA.78.032513.
[22] A. A. Krutov, A. P. Martynenko, G. A. Martynenko, R. N. Faustov, Jour. Exp. Theor. Phys. 120, 73 (2015). DOI: 10.1134/S1063776115010033.
[23] A. A. Krutov, A. P. Martynenko, F. A. Martynenko, O. S. Sukhorukova, Phys. Rev. A 94, 062505 (2016). DOI: 10.1103/PhysRevA.94.062505.
Поступила в редакцию 13 февраля 2023 г.
После доработки 24 апреля 2023 г.
Принята к публикации 25 апреля 2023 г.
Публикуется по докладам, представленным на XX Всероссийской молодежной Самарской
конкурс-конференции научных работ по оптике и лазерной физике, посвященной 100-летию
со дня рождения Н. Г. Басова.
