CC BY
7
УДК 539.184
СВЕРХТОНКАЯ СТРУКТУРА ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ В МЮОН-ЭЛЕКТРОННЫХ ИОНАХ ЛИТИЯ, БЕРИЛЛИЯ И БОРА
В. И. Коробов1, А. П. Мартыненко2, Ф.А. Мартыненко2, Р. Н. Фаустов3
На основе аналитической теории возмущений по постоянной тонкой структуры и отношению масс частиц выполнен расчет сверхтонкой структуры основного состояния в мюон-электронных ионах лития, бериллия и бора. Полученные полные значения сверхтонких расщеплений могут использоваться для сравнения с будущими экспериментальными данными.
Ключевые слова: мюонные ионы, сверхтонкая структура, квантовая электро-
динамика.
Прецизионная мюонная физика приобрела особо актуальное значение, начиная с 2010 г., когда были получены первые экспериментальные результаты по измерению низколежащих уровней энергии мюонного водорода коллаборацией CREMA (Charge Radius Experiments with Muonic Atoms). Десятилетие активной работы этой коллабо-рации принесло интересные и неожиданные результаты, относящиеся прежде всего к определению более точных значений зарядовых радиусов легких ядер (протона, дейтрона, гелиона, альфа-частицы) [1]. Новые задачи исследования тонкой и сверхтонкой структуры спектра энергии связаны с мюонными ионами лития, бериллия и др. [2]. Коллаборация J-PARC MUSE [3] планирует измерение сверхтонкой структуры (СТС) основного состояния мюонного гелия с точностью, на два порядка превосходящей точность предыдущих экспериментов 1980-х годов. Все эти уже проведенные и планируемые на ближайшее время эксперименты убедительно показывают, что мюонная физика, а также физика двухчастичных и трехчастичных систем являются в настоящее время актуальной проблемой, требующей соответствующих теоретических исследований и расчетов наблюдаемых величин с высокой точностью [4-7].
1 ЛТФ ОИЯИ, 141980 Россия, Дубна, ул. Жолио-Кюри, 6; e-mail: korobov@theor.jinr.ru.
2 Самарский университет, 443086 Россия, Самара, Московское шоссе, 34.
3 ИКОИ ФИЦ ИУ РАН, 119333 Россия, Москва, ул. Вавилова, 44.
При теоретическом исследовании уровней энергии трехчастичных систем электронмюон-ядро обычно используют два метода. Один из них - вариационный метод, который позволяет находить волновые функции и значения энергий с очень высокой точностью [8, 9]. В основном, теоретические исследования были ориентированы на мюонэлектронный гелий, поскольку для него были выполнены измерения СТС основного состояния [10].
Другой аналитический метод расчета уровней энергии таких трехчастичных систем был сформулирован в работах [11] и применен для расчета сверхтонкой структуры спектра и электронного лэмбовского сдвига в [6, 12-14]. Он основан на использовании метода теории возмущений (ТВ) по двум малым параметрам: постоянной тонкой структуры а и отношению масс электрона и мюона. Этот подход имеет определенные преимущества, как и любой другой аналитический метод, но для достижения высокой точности расчета необходимо вычислять многочисленные поправки в старших порядках ТВ.
В нашей предыдущей работе [6] был выполнен расчет электронного лэмбовского сдвига (2P-2S) и интервала энергии (2S-1S) в рамках аналитического метода в мюонэлектронных ионах лития, бериллия и бора и показано, что полная величина электронного лэмбовского сдвига сильно зависит от заряда ядра, так, что при переходе от ядра лития к ядру бора величина сдвига претерпевает резкое уменьшение в случае ядра бериллия. В данной работе мы продолжаем исследования [6] уровней энергии мюонэлектронных ионов лития, бериллия и бора в сверхтонкой части спектра энергии.
Кулоновское взаимодействие частиц в мюон-электронных ионах лития, бериллия и бора приводит к образованию связанных состояний. Их время жизни определяется временем жизни связанного мюона. Массы частиц удовлетворяют неравенству me ^
^ M, где me - масса электрона, mμ - масса мюона, M - масса ядра. Это приводит к тому, что мюон находится примерно в 200 раз ближе к ядру, чем электрон. Электрон движется в поле квазиядра, которое образуют мюон и ядро. Сверхтонкая структура спектра энергии в основном состоянии возникает при взаимодействии спинов частиц: se - спин электрона, βμ - спин мюона, I - спин ядра. В качестве ядер лития, бериллия и бора далее рассматриваются изотопы со спином ядра I = 3/2.
Для расчета уровней энергии методом ТВ разобьем гамильтониан системы на несколько частей, выделив основной вклад кулоновского взаимодействия Η0 в виде:
H = Но + ΔΗ + ΔΗΐβ c + ΔΗυρ + ΔΗ st + ΔΗγβΗ,
Ho = -
ΔΗ
V?. -
2 Μμ ^
α
---V2-------
2 Me e x
Za (Z — 1)α
μ
Xe
|Χμ — Xe
α1
-, ΔΗΓβο = ^rVμ · Ve,
X e M
где χμ и xe - радиусы-векторы мюона и электрона относительно ядра, Ze - заряд ядра. Слагаемые ΔΗνρ, ΔΗ8ίΓ и ΔΗνβΓί обозначают вклады на поляризацию вакуума, структуру ядра и вершинные поправки. Приведенные массы в подсистемах мюон-ядро, электрон-ядро равны
m... M m.„ M
(3)
Ά/Γ mpM
Mμ = ----^т, Me
(Год + M)
«μ I M ) (me + M) ■
В исходном приближении, которое определяется гамильтонианом Η0, волновая функция системы имеет простой аналитический вид
1
Фо(Хє, Χμ) = ψΡΛ(Χβ)Ψμθ(Χμ) = “(WeW^)3/2Є
π
-Wpxp e-WeXe
Wμ = ZaM^l, We = (Z — 1)aMe
(4)
что делает возможным расчет поправок по теории возмущений. Гамильтониан сверхтонкого взаимодействия в случае основного состояния можно представить в виде:
ΔΗ^ = ~α(Ξμ · I) — b(Se · Ξμ) + C(Se · I),
5)
-'μ J ^e ^μ
где коэффициентные функции a,b и α представляются в виде рядов ТВ. В лидирующем порядке эти функции имеют вид:
2πα gNgp α 2πα 9μ9^ „ 2πα gegN Ч fR,
«Ο = —-------δ(Χμ), bo = --------δ(Χμ — Xe), Со = —------0 (Xe) , (6)
3 mpme ~~ ~~
ο υ\Λμ
3 mpmp
3 memp
где ge = 2(1 + ae),gp = 2(1 + αμ) и gN = ^ - гиромагнитные факторы электрона, мюона и ядра, μΝ - магнитный момент ядра, ae,p - аномальные магнитные моменты электрона и мюона.
Усредняя гамильтониан (5) по волновым функциям основного состояния, получим:
v = (ΔΗ^) = a(I · Sp> — b(Sp · Se> + c(Se · I>, (7)
где a, b, c определяются различными матричными элементами по теории возмущений. В лидирующем порядке получим с помощью (4) следующие вклады в a, b, c:
6.08349 · 108 МГц, μeoLг
gNgμ me f Wp\3 I 8 9 8aWe3 , .
«о = M vF ={ —5.26948 · 108 МГц, μelBe, vF - e 'ολ
4 mp\ We
23.66123 · 108 МГц, μβ^Ξ
3memp ’
1
Ьо = vF-
geg μ We
4 1 + We 4 1 1 + wu
9)
35830.53 МГц, μβ7»Εί
120791.03 МГц, μβίΒβ,
286127.04 МГц, μβ\!Β
4422.90 МГц, μβ» Li
-5397.57 МГц, μβ\Ββ.
29216.41 МГц, μβψΒβ Для вычисления матричных элементов от произведения спиновых операторов используется следующее преобразование базисных волновых функций [15]:
Со = VF
Шμ 3e3N
Шр 4
= ^(-1)S^+/+Se+y (2Snm + 1)(2SNe + 1)
SNe
Se SN SNe
S μ S Sn μ
^SNeSSz ,
(10)
где ΞΝμ - спин мюон-ядерной подсистемы, S Ne - спин электрон-ядерной подсистемы, S - полный спин трехчастичной системы. Свойства 6j-символов обсуждаются в [15].
Приведенные численные значения основных вкладов в коэффициенты а,Ь,с показывают, что в системе имеются малые интервалы сверхтонкой структуры, которые определяются величинами Ь и С. После вычисления среднего значения гамильтониана сверхтонкого взаимодействия ΔΗ+^ в базисе ^sn ssz была выполнена диагонализа-ция полученной матрицы энергий и найдены 4 собственных значения энергии, которые определяют сверхтонкую структуру. Поскольку а ^ Ь и а ^ c можно использовать разложения по Ь/а,с/а и представить малые интервалы сверхтонкой структуры в виде:
AV+ = V» - V4 = 5<Ь+34 + о(4,£
8 V а а
Δν^
3(Ь + 5с) (Ь c
V2 - V! = ^ + О -,8 \а а
11)
Как следует из формулы (9), величина Ь0 содержит эффекты отдачи по We/Wμ в лидирующем порядке по а. Такие же эффекты отдачи возникают и во втором порядке ТВ по ΔΗ. Вклад в коэффициент Ь определяется следующим выражением:
Ьі = 2 J Ф*(Хе, Xμ)Ьо(Xe - Χμ) GO (Xe , x'e, Χμ)ΔΗ (х^, χ'μ )Ф(хЄ, Χμ)άχβάΧμά^<ΐΧμ,
где редуцированная кулоновская функция Грина имеет вид:
:і2)
^^, χμ; χe, χμ)= Σ
n,n'=0
ψμn (χμ)ψ en' (xe ҚпҚШп (хЄ) Εμ о + Ee0 Eμη Een'
:із)
Разделив сумму по мюонным состояниям в (13) на две части с n = 0 и n = 0, получим:
bı(n = 0) = 4πα 9є9п f |^мо(жз)|2^*0(жз) У ψβη^(χ3)ψβη'(x1) νμ(χ1)φ£0(x1)dx1 dx3, (14) 3 шєшп ' ' Е,.п — h,...,
n-=0
Ee0 Een-
νμ (χι) = I ψμο(χ2)
α
α
| x2 - xı | xı
α
ψμ0 (x2)dX2 =-----(1 + ^μΧι)β-
Χ1
Редуцированная кулоновская функция Грина электрона в (14) имеет вид:
Ge(xı,x3) = У
^en(x3)^e*n(x1) WeMe e_we(x1+x3)
n=0
Ee0 Een
П
1
2Wex>
(15)
7 I _ p2We^<
—ln (2Wex>) — ln (2Wex<) + Ei(2Wex<) + - — 2C — We(xı + x3) 4-— ----
2 2Wex<
(16)
где x< = min(x1, x3), x> = max(x1,x3), C = 0.577216... - постоянная Эйлера и Ei(x) -интегральная показательная функция. После координатного интегрирования в (14) представим результат в виде разложения по We/WjU:
b1 (n = 0) = vF
(1 + αμ)
1 We 1 We2
(ζ — 1) |_s Wμ 16 W2
We
64l^—— + 64ln 2 + 7 W,,.
(17)
Возбужденные состояния мюона (n = 0) дают вторую часть вклада в b:
b1 (n = 0) = 4πα 9ε9μ Î ^*0(x3)^e0(x3) У ^ппО^^пО^^єО^^Ь^Х 3 шєшп ' р р
(18)
X
α
α
| x2 - x1 | x1 где введена функция Грина электрона
n=0
ψμο(x2)ψeο(xı)dxı dx2 dx3,
Ge(x3,x1,z) = У ^n-(x3>gn- <x1> = У
* ^ 7 — г,.../ ‘ ^
n- =0
Фєп; (χз)Ґφen- (x1)
n-=0 Εμ0 + Ee0 Епп Een-
(19)
Слагаемое (—a/x1) в (18) не дает вклад из-за ортогональности мюонных волновых функций. Заменим приближенно в (16) Ge на свободную функцию Грина [11]:
Ge (x3, x1, Εμ0 + Ee0 — Епп) ^ Ge0(x3 — x1, Εμ0 + Ee0 — Епп) =
Me e_e|x3_xı1 2π |x3 — x1| ’
(20)
где β = \J(2Me(E^n — Eeо — Εμ0). Кроме того, заменим приближенно волновые функции электрона в (16) на их значения в нуле фе0 (0). Опущенные в этом приближении
слагаемые могут давать вклад второго порядка по отношению в b. Результаты чис-
μ
ленного интегрирования в [11] с точной функцией Грина электрона в случае мюонного гелия показывают, что опущенные члены в приближении (20) численно малы. После этих приближений интегрирование по координате x1 дает следующий результат:
e в|хз xi1 dx1
|хз — xi| |x2 — xi|
4π
11 1 β2
β — 2 |x3 — x21 + 6β|x3 — x212 — 24 |x3 — x213 + ...
(21)
где также выполнено разложение е-в|х2-хз1 по β|x2 — x3|. Это разложение эквивалентно разложению по степеням ҳ/We/Wil. Первый член разложения β-1 в (21) не дает вклад в (18). Второй член разложения в (21) дает вклад лидирующего порядка по \JWe/Wμ: VF(1 + αμ) f35We 245We2 λ π
----—----— I 24ў----32W2 /. Для увеличения точности результата учтем также тре-
\ ' μ μ /
тье слагаемое в правой части (21), которое приводит к следующему интегралу:
n
2Me(Eμn — ΕμΟ^μη^ψμη^)(x2 ' x3)l^o(x2)dx2dx3 =
WeZ S
"S1/2,
W3(Z — 1)
где введена следующая величина
' E E \ 1/2
E n - E 0
S1/2 = 2^
Rn
(μ0
x
αμ
μη)
,R
2 Μμ (Ζα)2.
(22)
(23)
В результате вклад (18) принимает вид:
Φ(η = 0)
vf (1 + αμ) 35 We 245We2 4 We
Z1
WeZ
8W μ + 32W2 +з Wμ\i Wμ(z — 1)(S1/2 + S1/2) 1. (24)
Вклад в (24) дают матричные элементы для дискретных и непрерывных состояний:
S/2 = Σ
2 8n6(n — 1)2n-9/2 (η + 1)2n+9/2
1.90695..
(25)
S'
i 28kdk
1/2 = J (k2 + 1)9/2 (1 — e-2n/k)
1 + ik \i/k 1 — ik
1.03111..
(26)
2
Складывая поправки на отдачу (17) и (24) во втором порядке ТВ, получим:
bı
vF (1 + αμ)
Z- 1 x
X
W- 231 We2 W2 2W- 4 W-
-3— +------ - 4—% ln + -
w„ 32 w2 W2 w, -
W-Z
(sC/2 + si/ 2)
(27)
μ 32 rr μ rr μ W μ 3 W^j Wμ(Z 1)
Численно, поправки на отдачу в (27) составляют 0.4% от основного вклада (9): μβ^ Li: -155.58 МГц, μβ;( Be: -390.95 МГц, μβ^1 B: -738.06 МГц.
Для вычисления аналогичного вклада в c выберем сверхтонкую часть (βΝ) оператора возмущения в виде (5) в общей формуле типа (18). Используя затем упрощения с дельта-функцией, можно преобразовать поправку на отдачу в c следующим образом:
4πα gegN
cı
3 memp
ψ*o(0)G-(0, Χι)νμ(χι)ψ-ο(χι)^χι.
Редуцированная кулоновская функция Грина электрона с одним нулевым аргументом есть
Ge(0,x) = ^
п=0
Феп(0)Ф*еп (x) Ee0 Een
WeMe e-Wex π
1 5
—-----ln 2W-x + - - C - W-x
2 Wex 2
(29)
В результате аналитического расчета матричных элементов по координатам получим вклад в коэффициент c, который можно представить в виде разложения по We/WjU:
cı
2
co W-Ϊ)
3W- +2 Wlf 1 2Wμ W2\ 4
, We
ln---
W„
22.27 МГц, μβ73Βί
-20.36 МГц, μβ\Ββ. (30)
88.11 МГц, μβφΒ
Используя численные значения для коэффициентов b и c, получаем следующие значения для сверхтонких интервалов (14): Δυ^μβ^ζ^ = 21705.18 МГц, Δυ1(μβ94Ββ)2+ = 34861.20 МГц, Δυ1(μβ51Β)3+ = 161925.71 МГц, Δυ2(μβ3^)+ = 13804.26 МГц, Δυ2(μβ\Ββ)2+ = 85273.01 МГц, Δυ2(μβφΒ)3+ = 123094.94 МГц. Для определенности результаты приведены с точностью до сотых долей МГц, хотя точность теоретических вычислений не является столь высокой. Для увеличения точности расчета необходимо учесть различные поправки в b и c суммарно второго порядка малости по а и отношению масс частиц. Среди таких поправок в спектрах энергии мюонных атомов важны поправки на поляризацию вакуума, структуру и отдачу ядра, релятивистские и радиационные поправки [5, 6, 16]. Вклад этих поправок в интервалы сверхтонкой структуры
составляет порядка 2% от приведенных значений. Их подробный расчет будет представлен в отдельной публикации. Наша оценка теоретической ошибки расчета интервалов сверхтонкой структуры составляет для лития 0.13 МГц, бериллия - 0.56 МГц, бора -О (We У/2 , We
1.53 МГц. Она связана с вкладами порядка vf I τ— I ln——, которые в наших рас-
\''μ/ W μ
четах учитываются не полностью.
Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития теоретической физики и математики Базис (грант No. 19-1-5-67-1 Ф.А.М.).
ЛИТЕРАТУРА
[1] A. Antognini, F. Kottmann and R. Pohl, SciPost Phys. Proc. 5, 021 (2021). DOI: 10.21468/SciPostPhysProc.5.021.
[2] S. Schmidt, M. Willig, J. Haack, et al., J. Phys.: Conf. Ser. 1138, 012010 (2018). DOI: 10.1088/1742-6596/1138/1/012010.
[3] P. Strasser, K. Shimomura, and H. A. Torii, JPS Conf. Proc. 21, 011045 (2018). DOI: 10.7566/JPSCP.21.011045.
[4] A. E. Dorokhov et al., Int. J. Mod. Phys. A 36, 04, 2150022 (2021). DOI: 10.1142/ S0217751X21500226.
[5] A. A. Krutov et al., Phys. Rev. A 94, 062505 (2016). DOI: 10.1103/
PhysRevA.94.062505.
[6] A. E. Dorokhov et al., Phys. Rev. A 103, 052806 (2021). DOI: 10.1103/
PhysRevA.103.052806.
[7] R. N. Faustov et al., Phys. Rev. A 92, 052512 (2015). DOI: 10.1103/
PhysRevA.92.052512.
[8] A. M. Frolov, Phys. Rev. A 61, 022509 (2000). DOI: 10.1103/PhysRevA.61.022509.
[9] A. V. Eskin et al., J. Phys. Conf. Ser. 1690, 012092 (2020). DOI: 10.1088/1742-6596/1690/1/012092.
[10] C. J. Gardner, A. Badertscher, W. Beer, et al., Phys. Rev. Lett. 48, 1168 (1982). DOI: 10.1103/PhysRevLett.48.1168.
[11] S. D. Lakdawala and P. Mohr, Phys. Rev. A 22, 1572 (1980). DOI: 10.1103/ PhysRevA.22.1572.
[12] V. L. Yakhontov and M. Ya. Amusia, J. Phys. B 16, L71 (1983). DOI: 10.1088/0022-3700/16/3/007.
[13] A. A. Krutov and A. P. Martynenko, Phys. Rev. A 78, 032513 (2008). DOI: 10.1103/ PhysRevA.78.032513
[14] S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov, and V. I. Korobov, Phys. Rev. A 97, 022504 (2018). DOI: 10.1103/PhysRevA.97.022504.
[15] И. И. Собельман, Введение в теорию атомных спектров (М., Физматлит, 1963).
[16] A. A. Krutov et al., J. Exp. Theor. Phys. 120, 73 (2015). DOI: 10.7868/ S004445101501006X.
Поступила в редакцию 2 марта 2022 г. После доработки 21 апреля 2022 г. Принята к публикации 22 апреля 2022 г.
