CC BY
11
УДК 514.18
е.А. ГАВРИЛЕНКО, Ю.В. ХОЛОДНЯК
Тавршський державний агротехнолопчний унiверситет
А.В. НАЙДИШ
Мелiтопольський державний педагопчний унiверситет iMeHi Богдана Хмельницького
МОДЕЛЮВАННЯ ОДНОВИМ1РНИХ ОБВОД1В 13 ЗАБЕЗПЕЧЕННЯМ 3АДАНО1
ТОЧНОСТ1 1НТЕРПОЛЯЦП
Запропоновано метод формування odnoeuMipnux o6eodie, виходячи з задано'! mo4Hocmi ттерполяци. Максимальна абсолютна похибка iнтерполяцii визначаеться з урахуванням геометричних властивостей вихiдноi кривоi лiнii\ Розглядаеться два р1зновиди похибки. По-перше, похибка, з якою сформована дискретно представлена крива, ттерполююча вихiдний точковий ряд, представляе вихiдну криву. По-друге, похибка, з якою ттерполююча крива представляе будь-яку криву з заданими характеристиками.
Ключовi слова: похибка ттерполяци, упорядкована множина точок, осцилящя, монотонна змта диференцiально-геометричних характеристик
Е.А. ГАВРИЛЕНКО, Ю.В. ХОЛОДНЯК
Таврический государственный агротехнологический университет
А.В. НАЙДЫШ
Мелитопольский государственный педагогический университет имени Богдана Хмельницкого
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ОБВОДОВ С ОБЕСПЕЧЕНИЕМ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ
ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Предлагается метод формирования одномерных обводов исходя из заданной точности интерполяции. Максимальная абсолютная погрешность интерполяции определяется с учетом геометрических свойств исходной кривой линии. Рассматриваются две разновидности погрешности. Во-первых, погрешность, с которой сформированная дискретно представленная кривая, интерполирующая исходный точечный ряд, представляет исходную кривую. Во-вторых, погрешность, с которой интерполирующая кривая представляет любую кривую с заданными геометрическими характеристиками.
Ключевые слова: погрешность интерполяции, упорядоченное множество точек, осцилляция, монотонное изменение дифференциально-геометрических характеристик
E.A. GAVRILENKO, YU.V. KHOLODNYAK
Tavria State Agrotechnological University
A.V. NAYDYSH
Melitopol State Pedagogical University named after Bogdan Khmelnitsky
MODELING OF ONE-DIMENSIONAL CONTOURS WITH ENSURE OF GIVEN ACCURACY OF
INTERPOLATION
The purpose of research is to develop a method of forming of one-dimensional contours of with a given accuracy of interpolation. Determination of the accuracy of interpolation is based on the formation of a curve based on known geometric properties. The geometric model is formed on the assumption that if there is a curve without singular points that interpolates the points set, then there are no singular points for the original object. Such points include: inflection points, points of changes of the direction of increase of curvature, torsion, and other. The interpolating curve is formed in the form of a condensed points set consisting of an arbitrarily large number of points, determined on the basis of the possibility of interpolating their curve by a line with given characteristics. The error with which the discretely presented curve represents the original curve is estimated as the region of possible location of all curve lines interpolating the original points set whose properties are identical to those of the original curve. The error in the formation of the interpolating curve is estimated as the region of possible location of the curve which interpolate the thickened points set. The solution of the problem for a plane curve from the condition that there is no oscillation and the condition for a monotone change in the curvature is proposed. The region of the curve, which is determined by the condition of convexity of the curve, is the maximum and is the initial. The imposition of the following conditions: a monotonous change of curvature along the curve and the assignment of fixed positions of tangents and curvature values at the initial points, localizes the area of a possible solution. The developed method can be used to solve problems requiring the determination of the maximum absolute error with which the model represents the original object.
Keywords: interpolation error, ordered set of points, oscillation, monotone change of differential-geometric characteristics.
Постановка проблеми
Геометричне моделювання - один iз шструментав дослщження об'ектав, явищ та процесiв. Задачею геометричного моделювання е визначення властивостей об'екта, що моделюеться, за допомогою характеристик геометрично! моделi. Вихвдними даними е геометричш образи, заданi множиною точок, розташування яких вiдображае властивоста досл1джуваного об'екта. У вихiдних точках можуть бути заданi геометричнi характеристики дискретно представленого геометричного образу (Мни або поверхш). Вихiднi данi можуть бути отримаш в результатi розрахуншв або проведения замiрiв на фiзичних об'ектах.
Труднощi моделювання дискретно представлених кривих i поверхонь пов'язаиi з тим, що характеристики кривих вiдомi тальки у вихвдних точках. Характер змши характеристик м1ж вихiдними точками можна визначити виходячи з додатково! шформаци щодо властивостей об'екта, що моделюеться.
Одним iз методiв моделювання на основi дискретних множин е штерполящя. Задача штерполяци полягае у вщновленш з заданою точнiстю неведомо! функци (криво!) по значенням ординат, заданим на дискретнiй множинi точок [1]. У загальному випадку точно ввдновити вихвдну криву неможливо. Важливим етапом розв'язання задачi е вибiр методiв iнтерполяцi!, що забезпечують необхвдну точнiсть. Розрiзняють двi складовi виникнення похибки: похибку дискретизацi! та похибку iнтерполяцi!.
Похибка дискретизацi! виникае в результата представлення вихiдного об'екта дискретною множиною точок. Похибка дискретизаци е неминучою, не залежить ввд методу, обраного для подальшо! iнтерполяцi!, та не може бути усунута в процеа моделювання. Похибка дискретизацi! зб№шуеться при невдалому розташуваинi вихвдних точок на геометричному образi, коли точковий ряд не ввдображае наявнiсть особливих дшянок (змiна опуклостi-увiгнутостi, змiна ходу та ш.). Дана похибка може бути зменшена в результата збшьшення числа вихiдних точок дискретно! множини. Збiльшення числа вихвдних точок збшьшуе сукупну похибку проведення замiрiв, об'ем обчислень i може збiльшувати обчислювальну похибку. Ввдстань мiж вихвдними точками (крок дискретизаци) доцшьно вибирати як можна бшьшим, але таким, що задовольняе вимогам до точностi моделювання. Вiдомi способи iнтерполяцi! не дозволяють визначити крок дискретизацi!, виходячи iз задано! точностi представлення вихвдно! криво!.
Похибка штерполяци оцiнюеться ввдхиленням моделi вiд вихвдного геометричного образу. При формуванш моделi методами, що характеризуються зб1жшстю та стiйкiстю, зменшення кроку дискретизацi! знижуе похибку iнтерполяцi!. Розробка методiв iнтерполяцi!, що забезпечують задану точнiсть, е актуальною задачею моделювання.
Аналiз останнiх дослщжень та публiкацiй
На даний момент найбшьш розробленi методи iнтерполяцi! на основi анал1тично заданих функцiй (безперервш методи iнтерполяцi!). До таких методiв належать методи глобального моделювання та методи кусково-гладких наближень. Методи глобального моделювання визначають геометричний образ одним рiвнянням. Наприклад, у роботах [2-3] обввд описуеться алгебра!чними пол1номами Ермгга та Ньютона.
Точнiсть, з якою сформована модель, представляе вихiдний об'ект, оцшюеться як ввдхилення моделi ввд ведомо! функцi!, що iнтерполюе той же точковий ряд. Зазначеш способи оцшки похибки iнтерполяцi! можуть застосовуватися при розв'язанш тестових прикладiв iз метою перевiрки ефективностi методу штерполяци. При розв'язанш практичних задач б№шють iнтерполяцiйних полiномiв виявляються нестiйкими.
Методи кусково-гладких наближень формують обвiд iз дiлянок анал1тично заданих кривих, що стикуються у вихвдних точках. У робота [4] обввд формуеться дшянками кривих другого порядку, в робота [5] - кривими Без'е, а в робота [6] - В-сплайном.
При формуванш обводiв методом, запропонованим у робота [4], виникнення осциляци на донках кривих другого порядку неможливе. Основним недол1ком методу е порушення регулярностi значень кривини в точках стиковки. Цей недолiк визначаеться другим степенем рiвняння криво!.
Забезпечити регуляршсть значень кривини вдовж обводу дозволяе метод, розроблений у робота [5]. Цей метод передбачае використання кривих Без'е третього або вищих порядив. Основним недолжом формування обводiв на основi сплайнiв Без'е е те, що вони не забезпечують локальшсть контролю форми криво! на дшянках обводу.
У робота [6] розроблено метод формування обводiв на основi В-сплайшв. Використання В-сплайну забезпечуе максимальну локальнiсть управлiния формою криво! у порiвняннi з iншими ввдомими методами безперервного геометричного моделювання. Локальшсть керування формою В-сплайна зменшуеться при збшьшенш степеня рiвияння криво! з метою полшшення якостi стиковки дмнок обводу. Запобiгаиия виникнення осциляцi! при використанш сплайнiв Без'е та В-сплайшв забезпечуеться через контроль форми багатокутника, що задае сплайн.
Для неведомо! криво! область можливого розташування може бути визначена тальки на основi передбачуваних властивостей криво!. Такими властивостями можуть бути регуляршсть i напрям монотонного зростання уздовж дшянок криво! характеристик: кривини, скруту, радiусiв стичних сфер, наявнiсть особливих точок.
Мета дослщження
Метою дослвдження е розробка методу формування плоского одновим1рного обводу 1з забезпеченням контролю максимально! абсолютно! похибки штерполяци.
Для досягнення поставлено! мети необхвдно розв'язати наступш задача
- розробити споаб визначення обласп можливого розташування монотонно! криво! лшп, що штерполюе заданий точковий ряд, виходячи з !! характеристик: ввдсутшсть осциляци, монотонна змша значень кривини уздовж криво!;
- розробити споаб формування одновим1рних обвод1в, що шгерполюють дискретну множину точок та належать заданш обласп можливого розташування монотонно! криво! лшп.
Викладення основного матер1алу дослiдження Формування модел1 на основ1 дискретно! множини точок, виходячи 1з задано! абсолютно! похибки штерполяци, вимагае визначення границь можливого розташування лшшних елеменпв модели Крива, яка формуеться, представлена упорядкованою множиною точок, що !й належать, та геометричними характеристиками криво!. Ц характеристики необхвдно забезпечити в процеа моделювання. Таку криву будемо називати дискретно представленою кривою (ДПК). Крива формуеться на основ1 будь-якого точкового ряду по д1лянках, уздовж яких можливо забезпечити монотонну зм1ну значень кривини. Монотонш дшянки стикуються з заданим порядком гладкосл.
Крива формуеться згущенням, що передбачае визначення для вихвдного точкового ряду пром1жних точок. Точки згущення призначаються всередиш обласп можливого розташування монотонно! криво!. У процеа згущень точкового ряду область можливого розташування криво! послщовно локатзуеться. Шсля досягнення задано! точносп вузли сформованого точкового ряду з'еднуються хордами. Остаточний розв'язок представлено у вигляд1 супровщно! ламано! лши, що складаеться з як завгодно велико! кшькосп хорд, ввдстань в1д яких до криво! лшп з заданими геометричними характеристиками не перевищуе заздалег1дь задану сшльки завгодно малу величину.
Геометрична модель формуеться, виходячи з припущення: якщо 1снуе крива л1н1я без особливих точок, яка штерполюе точковий ряд, то особлив1 точки в1дсутн1 й у вихвдного об'екта. До таких точок вщносяться: точки перегину, змши напряму зростання уздовж криво! значень кривини, скруту та ш
Вихщний точковий ряд розбиваеться на дшянки, як1 можливо 1нтерполювати кривою лш1ею, уздовж яко! значения геометричних характеристик монотонно зростають або спадають. Визначаеться область, всередиш яко! розташовуються вс1 крив1 л1н1! з заданими геометричними властивостями.
Вихщна плоска крива представлена упорядкованою множиною точок, як1 !й належать. Максимальну абсолютну похибку, з якою крива, що штерполюе точковий ряд, представляе вихвдну криву лшш, у першому наближенн1 визначимо виходячи з умови ввдсутносп осциляц1! кривих.
Якщо кожш три посл1довн1 вих1дш точки розташован1 таким чином, що !х обх1д зд1йснюеться за стршкою годинника, то вважаемо, що точковий ряд належить опукл1й крив1й лши. Вих1дний точковий ряд розбиваеться на опукт й ув1гнут1 д1лянки та шгерполюеться окремо по цим д1лянкам. Будь-яка опукла крива л1н1я, що штерполюе точковий ряд, розташована в межах ланцюга базисних трикутник1в, обмежених хордою, що з'еднуе сус1дн1 вихвдш точки, та дотичними до криво! (ti) у цих точках (рис. 1).
На кожнш з дшянок максимальне в1дхилення 1нтерполюючо! криво! в1д вих1дно! не може перевищувати висоту в1дпов1дного базисного трикутника (£/). Це висота трикутника, сторони якого належать прямим, що проходять через три пари послщовних вихщних точок.
Оц1нка точност1 1нтерполяц1! через визначення висоти базисних трикутнишв можлива при формуванн1 обвод1в методами, що забезпечують контроль виникнення осциляц1!. Це метод кривих другого порядку [4], кривих Без'е [5], В-сплайшв [6], методи дискретно! штерполяци [7-8].
Наступною умовою, що дозволяе зменшити область можливого розташування криво! та шдвищити точшсть штерполяцп, е умова монотонно! змши кривини уздовж криво!. Таку криву назвемо монотонною.
Через кожш три послвдовш вихвдш точки проводиться коло, яке будемо називати прилягаючим (ПК/). Якщо радiуси прилягаючих к1л монотонно зростають або убувають уздовж точкового ряду, такий точковий ряд можливо штерполювати кривою лiнiею з монотонним убуванням або зростанням кривини ввдповвдно. Вихщний точковий ряд розбиваеться на дмнки з монотонною змiною радiусiв прилягаючих кш та iнтерполюеться окремо по цим донкам монотонними ДПК. Будь-яка монотонна крива лшя, що штерполюе вихвдний точковий ряд, розташовуеться в межах областа, обмежено! посл1довними
прилягаючими колами. Абсолютну похибку iнтерполяцi! можна оцiнювати довжиною вiдрiзка 5М (рис. 2).
Рис. 2. Область розташування монотонно!' криво!'.
Вiдрiзок належить прямiй, яка перпендикулярна хордi [/, 7+1] та проходить через середину хорди. Точки, що обмежують в^^зок 57м належать прилягаючим колам, яш обмежують область можливого розташувания криво! на дмнщ.
Положення точок згущення iнтерполюючо! ДПК визначаеться, виходячи з умови збереження закономiрностi змiни радiусiв прилягаючих к1л уздовж точкового ряду, який отримуеться в результатi послвдовних згущень. Виконання цiе! умови забезпечуе:
- вiдповiднiсть передбачуваних геометричних властивостей вихвдно! криво! лiнi! та призначених властивостей штерполюючо! криво!;
- максимальну похибку iнтерполяцi!, значення яко! не перевищуе розмiри областi можливого розташування вихвдно! ДПК.
Точки згущення призначаються на перпендикулярах (п/) вiдповiдних хорд, що проходять через середини супроввдно! ламано! лiнi!. Для дiлянки (/.../+1) дiапазон можливого розташувания точки згущення
(А/) - перетин вiдрiзкiв [А, С] та [В, Б], де
- А - точка перетину перпендикуляра ni та прилягаючого кола, що проходить через точки /-1, /,
/+1: А=п7хПК(/-1, /, /+1);
- В=Пг^ПК{/, /+1, /+2);
- С=п,^ПК(/-2, /-1, /);
- Б=П/^ПК(/+1, /+2, /+3).
Призначення точки згущення на дiлянцi ДПК (/, /+1) призводить до утворення трьох нових прилягаючих кш та локалiзацi! областi можливого розташування криво! на дшянщ (/—1.7+2). Точки
згущення послщовно призначаються в межах максимальних дiапазонiв А7. У результата послщовних згущень отримуемо криву, що штерполюе вихщний точковий ряд iз регулярною монотонною змiною значень кривини. У результата призначення кожно! точки згущення отримуемо нову монотонну ДПК, що штерполюе вихщний точковий ряд. При цьому область можливого розташування криво! локалiзуеться та залишаеться в межах областа розташування вих1дно! криво!.
Наявшсть областi розташуваиия, яка послвдовно локалiзуеться, - необх1дна умова формування точкового ряду, який з якою завгодно малою абсолютною похибкою представляе монотонну криву лiнiю. При цьому локалiзацiя областi розташуваиия iнтерполюючо! криво! не дозволяе стверджувати, що точшсть, з якою вона представляе вихщну криву, збшьшуеться.
Похибку iнтерполяцi! можна зменшити, шляхом зменшення областа можливого розташування криво! за рахунок збшьшення порядку фжсацп обводу, що формуеться. Усi монотоннi кривi, що штерполюють послiдовнiсть вузлiв, у яких призначено фiксованi положення дотичних ) та значення радiусiв кривини (Я7) на дiлянцi (/./+1) розташовуються всерединi областi, обмежено! двома коробовими лш1ями к1л [8] (рис. 3).
Кожна з границь складаеться з двох дуг кш, одне з яких - стичне коло монотонно! криво! в точщ, що обмежуе дiлянку, а iнше - коло, дотичне до монотонно! криво! в шшш точщ, що обмежуе дмнку. На рис. 3 радiуси стичних кiл позначено як Я/ та Ят.
Вщхилення обводу другого порядку фгксаци з монотонною змшою кривини в1д вихщно! криво! на дшянщ (i...i+1) не може перевищувати максимальну ширину обласп можливого розташування криво! -5м1 .
Оцшка точносп штерполяцп, виходячи з умови зростання або спадання значень кривини уздовж гладко! криво!, можлива при моделюванш обвод1в методами формування монотонних кривих. Серед вщомих - методи, яш розроблеш в рамках вар1ативного дискретного геометричного моделювання [7-8].
Висновки
1. Розроблено споаб визначення обласп можливого розташування монотонно! криво! лши, що штерполюе заданий точковий ряд. Споаб оснований на визначенш дшянок точкового ряду, яш можливо штерполювати монотонною кривою лш1ею - кривою, уздовж яко! значення кривини монотонно зростають або убувають. Це дае можливють визначати вихщну криву лшш, як криву з мшмальною кшьшстю особливих точок - точок перегину та точок змши напряму зростання кривини. Споаб дозволяе ощнювати максимальну абсолютну похибку штерполяци величиною обласп можливого розташування монотонних кривих лшш. Оцшка точности дискретно! штерполяцп на основ! монотонно! змши кривини дозволила зменшити абсолютну похибку в 2-3 рази вщносно ощнки точносп виходячи з умови запобпання осциляцп.
2. Розроблено споаб формування одновим1рного обводу, який 1з заданою точшстю представляе монотонну криву лшш. Споаб дозволяе:
- формувати монотонну дискретно представлену криву, що штерполюе д1лянки вихщного точкового ряду, область можливого розташування яко! як завгодно мала;
- формувати обввд у вигляд1 супровщно! ламано! л1н1!', яка з заданою точшстю представляе монотонну криву.
Список використаноТ лiтератури
1. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: БИНОМ, 2008. - 636 с.
2. Ivan M. A note on the Hermite interpolation / M. Ivan // Numerical Algorithms. - 2015. - Vol. 69, Issue 3. -P. 517-522.
3. Argyros I. K. On the convergence of Newton-like methods restricted domains / I. K. Argyros, S. George // Numerical Algorithms. - 2017. - Vol. 75, Issue 3. - P. 553-567.
4. Li H. Geometric error control in the parabola-blending linear interpolator / H. Li // Journal of Systems Science and Complexity. - 2013. - Vol. 26, Issue 5. - P. 777-798.
5. Shen W. Direction monotonicity for a rational Bezier curve / W. Shen, G. Wang, F. Huang // Applied Mathematics - A Journal of Chinese Universities. - 2016. - Vol. 31, Issue 1. - P.1-20.
6. Volkov Yu. S. Obtaining a banded system of equations in complete spline interpolation problem via B-spline basis / Yu. S. Volkov // Central European Journal of Mathematics. - 2012. - Vol. 10, Issue 1. - P.352-356.
7. Gavrilenko E. A. Discretely geometrical modelling of one-dimensional contours with a regular change of differential-geometric characteristics / E. A. Gavrilenko, Yu. V. Kholodnyak // Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics). - Omsk, 2014. - P. 1-5.
8. Холодняк Ю. В. Формування геометричних характеристик при моделюванш монотонно! дискретно представлено! криво! / Ю. В. Холодняк, С. А. Гавриленко // Прикладна геометр!я та шженерна графжа. -2013. - Вип. 91. - С. 292-296.
