CC BY
11
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ
УДК 514.18
е.А. ГАВРИЛЕНКО1, Ю.В. ХОЛОДНЯК1, В.1. МЕЖУеВ2
1 Таврiйський державний агротехнолопчний ушверситет 2 Бердянський державний педагогiчний ушверситет
ВИЗНАЧЕННЯ ОБЛАСТ1 РОЗТАШУВАННЯ ТОЧКИ ПЕРЕГИНУ ПРИ МОДЕЛЮВАНН1 ОБВОДУ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ГЛАДКОСТ1
У po6omi розглядаеться задача призначення положения точки перегину при моделюванн дискретно представленоi кривоi другого порядку гладкостi. Положення особоi точки та характеристик, що ш вiдnовiдають, визначаються всередин наперед визначених дiапазонiв, ят враховують область можливого розв 'язку задачi.
Ключовi слова: дискретно представлена крива, точка перегину, порядок гладкостi, нормаль, дотична
E.A. GAVRILENKO1, YU.V. KHOLODNYAK1, V.I. MEZHUEV2
1 Tavria State Agrotechnological University 2 Berdyansk State Pedagogical University
DETERMINATION OF THE REGION OF POSITION OF INFLECTION POINT AT MODELING OF THE SECOND ORDER CONTOUR
Annotation
The problem of appointment of inflection points position at modelling of discretely represented curve (DRC) second-order of smoothness is considered in this article.
The problem is solved taking into account provisions of the normals, tangents and curvature radiuses which are appointed at the starting points of the curve. Position of the inflection point and the characteristics that correspond to it, are determined within the ranges which take into account the area ofpossible solutions of the problem.
The following steps of appointment of the inflection point location are proposed in the work: definition ofpre-region of the inflection point location; clarification of the region with take into account the characteristics of curve, which appointed at the points that limit portion of DRC; appointment of position of the inflection point and the tangent which passes through it.
Further, the problem is reduced to the formation of a convex and concave portions of KDP which are joined at the inflection point with the second order of smoothness.
The results which are obtained in this work can be used for modelling of curves of the second order of smoothness with the regular change of curvature. The resulting curves can be used as framework elements at modelling of surfaces, which interact with the medium (e.g., gas, liquid).
Keywords: discretely represented curve, inflection point, order of smoothness, normal, tangent
Постановка проблеми. Моделювання криво!, яка задана упорядкованою множиною точок, що !й належать, (дискретно представлена крива або ДПК) передбачае дискретне представления як вихщних даних, так i результату моделювання. Геометричш характеристики ДПК не визначеш однозначно на уах етапах моделювання. Задача забезпечення заданих положень дотичних та значень радiусiв кривини у точках ДПК (формування ДПК другого порядку гладкостГ) може бути виршена наступним чином.
- Визначаються дмнки ДПК, на яких вихщний точковий ряд дозволяе сформувати криву, уздовж яко! значення радiусiв кривини монотонно зростають або убувають.
- Визначаеться область можливого розташування дотичних та дiапазони можливих значень радiусiв кривини у вихвдних точках, при яких задача формування монотонно! криво! мае розв'язок.
- Призначаються конкретш характеристики ДПК у вихщних точках та визначаться область можливого розташування монотонно! криво!, що !м вщповвдае.
У процеа послщовних згущень точкового ряду (зб№шення шлькосп вузлiв, що представляють криву) дiапазони можливих, за умовами задач^ значень диференщально-геометричних характеристик у точках ДПК зменшуються.
Алгоритм згущення забезпечуе прямування дiапазонiв до призначених значень.
Задачу формування ДПК другого порядку гладкосп будемо вважати виршеною, якщо область можливого розташування !! точок та дiапазони можливих значень и характеристик не перевищують заданих значень.
Визначення закономiрностi змiни диференщально-геометричних характеристик ДПК та контроль отримуваних у результат моделювання дiапазонiв !х можливих значень - необх1дна умова дискретного геометричного моделювання одновимiрних обводiв другого порядку гладкостi.
Моделювання кривих iз закономiрною змiною диференцiально-геометричних характеристик дощльно виконувати по наступним етапам:
1) вих1дна крива розбиваеться на опукт та увiгнутi дiлянки, яш моделюються окремо;
2) формуються дшянки криво!, що мютять точки змiни опуклостi та увйнутосп.
Задача формування дiлянки, що мютить точку перегину, полягае у забезпеченш стиковки опукло! та ув^нуто! дiлянки криво! з прямою лшею - дотичною до обводу у цш точцi. При формуваннi обводу другого порядку гладкосп необх1дно забезпечити монотонне зростання радiусiв кривини, значения яких прямуе до нескiнченностi при наближенш до точки перегину.
Аналiз останнiх дослiджень. У роботi [1] запропоновано спосiб аналiзу вихвдного точкового ряду з метою визначення дмнок, на основi яких може бути сформована монотонна ДПК. На першому етапi аналiзу точковий ряд розбиваеться на опукл та увiгнутi дмнки криво!. Для цього визначаеться напрям обходу кожних iз трьох послщовних точок вихiдно! ДПК: для опукло! криво! - за стрiлкою годинника, для ув^нуто! - проти. Отримаш опуклi та увiгнутi ДПК iз урахуванням спiввiдношения радiусiв прилягаючих шл розбиваються на дiлянки з монотонним зростанням або убуванням радiусiв кривини. Прилягаючi кола визначаються проходженням через три послщовш точки вихвдно! ДПК. Уздовж ДПК з монотонним зростанням радiусiв кривини радiуси прилягаючих кш зростають монотонно.
Значення радiуса кривини та положення дотично! у точщ ДПК однозначно визначаються положенням вщповвдного центра кривини. Для ДПК, уздовж яко! радiуси кривини зростають, область розташування центра кривини, що вщповвдае точцi I (рис. 1) обмежена граничними, iз можливих за умовами задачi, положеннями нормалi ( 'щ , п) та перпендикулярами до вiдповiдних хорд супровщно! ламаио! лпш, що ироходять через !х середиии [2]. На рис. 1 це зафарбований трикутиик
Рис. 1. Вихдна область розташування г-го центру кривини
Граиичнi положення нормалi визначаються проходженням через центри прилягаючих к1л (ПК):
- точка Ц1+1 - центр ПК(/, 1+1, 1+2) (коло, що проходить через точки I, 1+1, 1+2) або точка Ц\_1 - центр ПК(/-2, 1-1, /) визначають нормаль в положеннi 'щ ;
- точка ЦI - центр ПК(/-1, I, 1+1) визначае нормаль в положенш щ'.
Нормалi до ДПК, призначенi у вихщних точках (п^), центри кривини, призначенi на цих нормалях (СI), та хорди, що з'еднують центри кривини, обмежують ланцюг базисних трикутнишв
(БТ") - базисш трикутиики нормалей (рис. 2).
Рис. 2. Базисш трикутники нормалей
Дотичш до ДПК, призначеш у вихвдних точках, ( ) та хорди супроввдно! ламано! лшп, що
з'еднують цi точки, визначають базиснi трикутники дотичних (БТ *).
ДПК другого порядку гладкосп iз монотонною змiною кривини може бути задана еволютою, що
формуеться на основi ланцюга БТп [3], або може формуватися на основi ланцюга БТ * [4, 5].
Формулювання цiлей статть Метою статтi е визначення обласп можливого розташування точки перегину ДПК другого порядку гладкосп та призначення положень дотично! та нормалi, що вщповвдають цiй точцi.
Основна частина. Нехай ДПК задана координатами точок та визначено опуклу та увннуту дшянки - ..., 1-1,1 та 1 +1,1 + 2,... вiдповiдно [1]. Позначимо дотичнi до криво!, що призначеш у точках г та г +1 як та +1, нормалi - п та п^+1, а радiуси кривини - Я^ та Я^+1 вiдповiдно. Поставлена задача мае розв'язок при виконанш наступних умов:
1) значення радiусiв кривини на опуклш та увiгнутiй дшянщ збiльшуються у напрямку точки перегину;
2) стичш кола, що проходять через точки г та 1 +1 (СЮ та СК/+1) не перетинаються;
3) положення дотичних та ^+1, що визначають дшянку ДПК 1...1 +1, мають забезпечити виконання умови: точка перетину з СК1+1 (К^) та точка перетину +1 з СК/ (К^+1) розташованi по рiзнi боки ввд хорди 1 +1] (рис. 3).
Рис. 3. Визначення обласп розташування точки перегину
Вказаш умови визначають в першому наближенш область можливого розташування точки перегину (точка Е). Ця область обмежена дотичними , ^+1 та дугами СК/, СК/+1.
Шсля призначення положення дотично! до криво! у точщ Е ( ) задача зводиться до стиковки дiлянок криво! з дотичною.
Визначимо дiапазон можливого розташування дотично! та нормалi пд . Диапазоном положення нормалi пд е кут а (рис. 4), сторонами якого е:
- пряма п'е , що проходить через центри кривини ДПК в точках 1 та 1 +1 (С ^ та С^ +1);
- пряма 'пд, яка перпендикулярна до прямо! АВ, що дотична одночасно до СК/ та СК/+1. Вщповщно дiапазон положень дотично! обмежений прямою Чд = АВ та прямою , яка
перпендикулярна до прямо! (£¡^¡+1).
а
Рис. 4. Визначення д1аиазотв характеристик, що ввдиоввдають точц1 перегину
Шсля призначення напрямку нормалi пд (дотично! ^) уточнюеться дiапазон можливого розташуваиия нормалi. Уточнений дiапазон обмежений положенными 'п^ та п'д, при яких нормаль ДПК проходить через центри кривини С^ та вiдповiдно (рис. 5). При цьому положення дотично! tE обмежене прямими та , дотичними до СК/ та СК/+1 вiдповiдно.
Рис. 5. Уточнення обласп розташування точки перегину
Отже, уточнена область можливого розташування точки Е обмежена граничними положеннями нормалi пд ( 'пд, п'д) та дотично! ^ ( , ). У випадку призначення граничних положень
нормалi Пе (дотично! tß ) монотонн дшянки криво! ..., i, E та E, i +1,... можуть бути зiстикованi i3 першим порядком гладкостi. Призначення точки перегину всередин отримано! обласп е необхiдною умовою формування ДПК другого порядку гладкосп i3 закономiрною змiною кривини.
Пiсля визначення положення точки Е дiапазони можливого розташування nß та tß уточнюються виходячи i3 умови проходження через точку перегину. Диапазоном положень нормалi nß е кут, обмежений прямими, що проходять через точки Ci та Ci +i. Вщповщно область розташування дотично! tß визначаеться прямими, дотичними до стичних к1л СЮ та СЮ+1. Остаточне положення nß та tß призначаеться всерединi отриманих дiапазонiв.
Пiсля призначення положення точки перегину, нормалi nß , дотично! tß та радiуса кривини Rß =œ дiлянки криво! ..., i, e та e, i +1,... моделюються окремо. При цьому гiлки еволюти, що вщповщають дiлянкам криво!, асимптотично наближуються до нормал1 nß .
Висновки та перспективи подальших дослiджень. У робот запропоновано спосiб визначення областi розташування точки перегину дискретно представлено! криво! другого порядку гладкости Споаб передбачае проведения аналiзу вихщного точкового ряду. У результата аналiзу визначаються опукт та увiгнутi дiлянки ДПК, дмнки, як1 мiстять точки перегину, та дшянки, уздовж яких радiуси кривини монотонно зростають або убувають. Задача розв'язуеться iз урахуванням положень нормалей, дотичних та значень радiусiв кривини, призначених у вихiдних вузлах ДПК. Положення дотичних, нормалей та значення радiусiв кривини у вихщних точках призначаеться виходячи iз прийнято! закономiрностi змiни кривини уздовж криво!. Призначення точки перегину всередиш визначено! обласп е необхщною умовою моделювання ДПК другого порядку гладкосп iз закономiрною змiною радiусiв кривини. Задачею подальших дослвджень е розробка алгоритму моделювання ДПК на дiлянцi, що мютить точку перегину, який забезпечуе зростання радiусiв кривини вiд Rj до Rß =ж на дiлянцi i, E та ввд Ri+i до Rß = ж на дмнщ E, i +1. Це дасть можливють формувати ДПК другого порядку гладкосп на основi довiльного точкового ряду.
Лiтература
1. Гавриленко Е.А. Дискретное интерполирование плоских одномерных обводов с закономерным изменением кривизны: дис. канд. техн. наук / Е.А. Гавриленко. - Мелитополь, 2004. - 182 с.
2. Гавриленко £.А. Визначення положення цен^в кривини дискретно представлено! криво! / £.А. Гавриленко // Системш технологи / Регюнальний мiжвузiвський збiрник наукових праць. -Вип. 5 (76). - Дншропетровськ, 2011. - С. 81-87.
3. Гавриленко Е.А. Формирование плоских обводов заданного порядка гладкости / Е.А. Гавриленко // Шжвщомчий науково-техшчний збiрник "Прикладна геометрiя та iнженерна графша". - К.: КНУБА, 2012. - Вип. 90.- С. 74-78.
4. Холодняк Ю.В. Формування геометричних характеристик при моделюваннi монотонно! дискретно представлено! криво! / Ю.В. Холодняк, £.А. Гавриленко // Мiжвiдомчий науково-техшчний збiрник "Прикладна геометрiя та шженерна графiка". - К.: КНУБА, 2013. - Вип. 91.- С. 292-297.
5. Холодняк Ю.В. Формування дмнки дискретно представлено! криво! з монотонною змшою кривини / Прикладна геометрiя та iнженерна графжа. Пращ Тавршського державного агротехнологiчного унiверситету. - Мелтополь: ТДАТУ, 2013. - Вип. 4, Т.57. - С. 211-216.
