CC BY
9
УДК 515.2
С.А. Устенко, С.В. Дщанов
ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ nEPEX^HOÏ KP^OÏ 13 ЗАСТОСУВАННЯМ КУБ1ЧНОГО РО3ПОД1ЛУ КРИВИНИ
Постановка проблеми. Включення Украши до системи св^ових господарських зв'язкiв поставило перед залiзничним транспортом пiдвищенi вимоги до надання транспортних послуг, яю в першу чергу? залежать вщ якостi залiзничноï коли. Вiд не! залежать подальшi витрати на утримання, швидюсть руху поïздiв тощо. Геометричне моделювання кривих полiпшить взаeмодiю колп та рухомого складу.
Особливу роль у взаемодп вiдiграe перехiдна крива, вставкою яко! забезпечуеться плавнiсть переходу вщ прямолшшно! дiлянки до круговой чим запобiгаються явищу удару колеса по рейщ, яке обумовлене раптовою появою (або зникненням) вiдцентрового прискорення [1].
Аналiз публiкацiй за темою дослщження. Питанню моделювання перехiдних кривих залiзничного шляху придiлено достатньо уваги. Pi3rn аспекти цього питання висв^леш в роботах [2-5].
Формулювання шлей статть Метою ще! статтi е отримання моделi перехщно! криво! Ï3 застосуванням кубiчного розподiлу кривини [6]. Робота е продовженням дослщжень, що проводяться в Нацiональному унiверситетi кораблебудування стосовно геометричного моделювання плоских криволшшних обводiв об'ектiв рiзних галузей промисловосп iз застосуванням розподiлу кривини.
Основна частина. При рус прямолiнiйною дшянкою шляху спостерiгаються впливу залiзничного екшажу з рiзних причин, але при переходi до кр^ол^тно! дiлянки виникають зусилля, що значно ïx тдсилюють. У цьому випадку виникають вiдцентровi сили, якi пропорцiйнi квадрату швидкосп руху екiпажу, тому для запобшання появи удару мiж прямолiнiйною (1) та круговою (2) дшянками (рис. 1) вбудовують перехщну криву (3). Основною вимогою до перехщно! криво'1 е те, що в
початковш точцi L ïï кривина повинна дорiвнювати нулю, а в кшцевш точцi C - -1.
Рис. 1. Побудова перехщно! криво!
При вписування екшажу в криву вщбуваеться його поворот, що призводить до появи кутових прискорень. Можна вважати, що швидюсть екшажу на дшянщ перехщно! криво! постiйна, тому кутове прискорення буде пропорцшним швидкосп
змши кривини перехщно! криво!. Отже, з'являеться стрибкоподiбне кутове прискорення на початку перехщно! криво! та зникае у кiнцi перехщно! криво!, що е дуже небажаним. Таким чином, потрiбно забезпечити нульове значення похщно! кривини на початку i в кшщ перехщно! криво!.
Початковими даними для моделювання перехщно! криво! будуе координати початково! точки Ь, кути нахилу дотичних у початковiй фЬ та кiнцевiй фс точках, радiус колово! дiлянки Я, а також повинш задовольнятись наступнi граничнi умови:
К(0)= 0; К^) = 1;
йК
Э = 0
йК
= 0,
(1)
5 =5
де К(^) - залежшсть кривини перехщно! криво! вщ параметра s, що е довжиною криво! вщ точки Ь до поточно! точки, £ - довжина вае! перехщно! криво! (до точки С).
Виходячи з цих даних, можна зробити висновок, що графш кривини повинен мати точку перегину i мати в початковш та кiнцевiй точках нульовi кути нахилу дотичних (рис. 2).
I1 *
Я
Я
Рис. 2. Кривина перехщно! криво! Оскшьки полшом третього степеню мае точку перегину, то скористаемось результатами роботи [6], для подання кривини перехщно! криво!. Графш кривини матиме наступний вигляд:
К(э) = да3 + Ьэ2 + еэ + й, (2)
де а, Ь, с, й - невiдомi коефiцiенти, якi треба знайти.
Похщна кривини К (э) по параметру 5 матиме такий вигляд:
йК „ 2
-= 3аэ + 2Ьэ + е .
йэ
Пщставимо граничнi умови до рiвнянь кривини перехщно! криво! та похщно! кривини по параметру 5 i отримаемо систему рiвнянь:
= 0;
а£3 + Ь82 + с£ + й =
Я
с = 0;
3а£2 + 2Ь£ + с = 0. Шсля перетворень знайдемо вирази для невщомих коефiцiентiв:
2 А 3а5 п . п
а =---; Ь =--; е = 0; а = 0.
Я£3 2
Пiдстaвивши !х до рiвняння кривини (2), отримаемо:
0
5
к (s ) = At (3S - 2s ),
RS
(3)
де невiдомою e довжина переxiдноï криво! S.
Зпдно твердження 3 роботи [7], прирют кyта нахилy дотично'1 до криво'1, утворено1' Í3 застосyванням заданого розподiлy кривини, дорiвнюe площi криволiнiйноï трапецп пiд цим графшом (рис. 3), тобто:
S
Аф = JK(s)ds, де Аф = |фс -
0
S ^
Рис. 3. Прирют нахилy дотично"1 Пiдставляючи до рiвняння вираз (3) та виконавши перетворення, отримаемо:
S = 2RAф. (4)
Пiдставивши отримане значення довжини переxiдноï криво"1 (4) до графшу кривини (3), остаточно отримyeмо кyбiчний розподiл кривини:
K (s ) =
4 3
4R Аф3
^Аф- s ),
На вигляд графша розподiлy кривини переxiдноï криво"1 6удуть впливати два параметри: прирiст кута нахилу дотично"1 та радiyс колово"1 дiлянки. Проаналiзyeмо ïx вплив за допомогою спецiально розроблено"1 програми в системi MatLab.
На рис. 4 наведено вплив приросту кута нахилу дотично"1 до переxiдноï криво"1 на залежнiсть ïï кривини. Графiки отриманi при радiyсi кругово"1 дшянки 300 м, прирiст кута нахилу дотично"1 змiнювався вiд 40° до 90° з кроком 10°. З рисунку можна зробити висновок, що при збшьшенш приросту графiк кривини розтягуеться вздовж довжини переxiдноï кривой при цьому максимальне значення кривини не змшюеться, оскiльки радiyс кругово"1 дiлянки постiйний, а довжина криво"1 залежить вiд приросту кута (4).
На рис. 5 наведено вплив радiyса колово"1 дiлянки на залежнiсть кривини переxiдноï кривой Графiки отримаш при приростi кута 70°, радiyс кругово"1 дiлянки при цьому змшювався вiд 300 м до 800 м з кроком 100 м. З рисунку можна зробити висновок, що при радiyсi кругово"1 дшянки графш кривини одночасно розтягуеться вздовж довжини та притискаеться до ос довжини переxiдноï кривой
Неважко пом^ити, що точка перегину графiка кривини лежить посередиш довжини. Знайдемо другу похщну кривини (3), прирiвняeмо ïï нулю й отримаемо:
d 2K ds 2
б
RS3
(S - 2s) = 0 ^ s =
S
2
2
s
2
s
Рис. 4. Вплив приросту нахилу дотично'1 на кривину перехщно'1 криво'1 K х10 -3
Рис. 5. Вплив радiyсy колово'1 дiлянки на кривину перехщно!' криво!
Кут нахилу дотично! до перехщно! криво! буде обчислюсться за виразом:
3 s
= + J K(j)ds = н--J—j ^Аф -
0 4R Аф'
4
Згiдно роботи [6], pÍB^Hra перехщно! криво! матиме такий вигляд:
s
x(s) = xL + J cos ф^)ds;
0
s
y(s ) = yL +J sin ф(s )ds.
0
Висновки та перспективи подальших досл1джень. Отримано модель перехщно! криво! Í3 застосуванням Ky6Í4Horo розподiлу кривини та врахуванням граничних умов, що попереджують виникнення стрибкоподiбного кутового прискорення. Проведено аналiз отриманого розподiлy кривини. Наступним кроком е вибiр оптимального розташування колово! дiлянки залiзничного шляху з урахуванням кривини перехщно! дiлянки.
V
Л1ТЕРАТУРА:
1. Амелин С.В. Путь и путевое хозяйство / С.В.Амелин, Л.М.Дановский. - М.: Транспорт, 1986. - 215 с.
2. Ельфимов Г.В. Теория переходных кривых / Г.В. Ельфимов. - М.: Трансжелдориздат, 1948. - 311 с.
3. Путь и путевое хозяйство железных дорог США / [под ред. С.И.Финицкого]. -М.: Транспорт, 1987. - 215 с.
4. Русу С.П. Математическая модель пути пространственной конфигурации при различных режимах движения транспортных экипажей / С.П. Русу, В.В.Кравец // Транспорт. - Дншропетровськ: С1Ч, 1999. - С. 114-119.
5. Лагута В.В. Удосконалення проектування кривих залiзничноï колп в плаш: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.22.06 "Залiзнична колiя" / В.В.Лагута. - Дншропетровськ, 2002. - 18 с.
6. Устенко С.А. Моделювання криво'1' iз застосуванням кубiчного закону розподшу ïï кривини / С.А. Устенко // Вестник Херсонского национального технического университета. - Херсон: ХНТУ, 2008. - Вып. 2(31). - С. 480-484.
7. Борисенко В.Д. Геометричне моделювання плоского криволшшного обводу за заданою кривиною / В.Д. Борисенко, С.А. Устенко, B.C. Стцин // Пращ Харювського державного ушверситету харчування та торпвль "Геометричне та комп'ютерне моделювання". - Харюв: ХДУХТ, 2004. - Вип. 5. - С. 30-34.
УСТЕНКО Сергш Анатолшович - к.т.н., доцент, докторант Нащонального ушверситету кораблебудування ÍMern адмiрала Макарова.
Науковi штереси:
- геометричне та комп'ютерне моделювання криволшшних обводiв об'ектсв рiзних галузей промисловостi Í3 застосуванням розподшу кривини.
Д1ДАНОВ Сергiй Вiкторович - астрант Нацiонального унiверситету кораблебудування iменi адмiрала Макарова.
Науковi iнтереси:
- геометричне та комп'ютерне моделювання кривих залiзничних шляхiв у планi, ïx з'еднань i перетинiв, поздовжнього профшю залiзничних шляхiв.
