CC BY
7
УДК 514.18
С.А. УСТЕНКО
Микола1вський нащональний ушверситет iMeHi В.О. Сухомлинського
ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЛОСКИХ КРИВИХ З ЗАДАНОЮ КРИВИНОЮ В ГРАНИЧНИХ ТОЧКАХ
Розглянуто nidxid до моделювання плоско! кривоi тнп, заданоi за допомогою параболiчного розподыу кривини, при умовi, що в ii граничних точках задан значення радiусiв кривини. Максимальне вiдхилення кривоi вiд прямоiтнп, що з 'еднуе граничш точки, повинно дорiвнювати задант величию.
Ключовi слова: геометричне моделювання, плоска крива тнЫ, паработчний розподы кривини, радiус
кривини
S.A. USTENKO
Mykolayiv National University after named V.O. Sukhomlinskiy
GEOMETRIC MODELING OF PLANE CURVES WITH GIVEN CURVATURE AT BOUNDARY POINTS
Annotation
This article deals with the modeling of curves with a given distribution of curvature, which ensures continuity and continuity of its first two derivatives. The purpose of this study is to develop a method for geometric modeling plane curve using parabolic curvature distribution, provided that in its boundary points are given values of the radius of curvature of the curve and the maximum deviation from a straight line connecting these points.
In this paper we consider the inverse problem of modeling: the definition of an analytical expression for the equation of a curve passing through the boundary points with given constraints. Curvature distribution curve under consideration has a parabolic form.
By solving the problem is obtained system of nonlinear integral equations that can be solved by numerical method. The program application to object-oriented programming language C #, which, depending on the initial conditions allows us to calculate the coefficients of the distribution ofparabolic curvature for modeling ofplane curve.
Analyses of the visual results of modeling showed that they fully completed of the theoretical data and suggests the feasibility of the developed method for modeling ofplanar curves.
Keywords: geometric modeling, plane curve, distribution ofparabolic curvature, radius of curvature
Постановка проблеми. При проектуваню криволшшних обвод1в об'екпв технолопчно складних галузей промисловосп, широкого застосування набули геометричю методи !х формування. Аналггичю р1вняння таких кривих лшш повиню багатократно диференцшватися, а !х похщю задовольняти критер1ям неперервносп. Надзвичайно особливо важливою характеристикою кривих е неперервюсть кривини.
Анатз публжацш за темою дослщжень. 1снуе багато прикладних задач, в яких потр1бно отримати геометричну модель плоско! криво! [1-3]. Одюею з таких задач в турбшобудуваню е визначення обвод1в спинки та коритця профшв лопаток осьових турбш [4]; в компресоробудуваню -моделювання скелетно! лши симетричних i асиметричних профшв лопаток осьових компресор1в [5]. При моделюванш залiзнично! коли важливою задачею е побудова перехщних кривих [6]. Ця робота е продовженням дослвджень з розробки методiв геометричного моделювання плоских i просторових кривих лiнiй та поверхонь задано! кривини та скруту, що проводяться автором в Микола!вському осередку Укра!нсько! асоцiацi! з прикладно! геометрi!.
Формулювання цiлей статтi. Метою роботи е розробка методу геометричного моделювання плоско! криво! iз застосуванням параболiчного закону розподiлу кривини при умов^ що в !! граничних точках задаю значення радiусiв кривини, а також задане максимальне вщхилення криво! вiд прямо! лiнi!, що з'еднуе цi точки.
Основна частина. У багатьох практичних задачах виникае потреба у розв'язаню обернено! задачi моделювання: визначення аналiтичного виразу рiвняння криво! лiнi!, що проходить через граничю точки з заданими обмеженнями. Серед них дуже часто зустрiчаеться необхiднiсть багатократного диференц1ювання рiвняння криво! та неперервюсть кривини (для плоских кривих).
Розглянемо метод геометричного моделювання плоско! криво! лши, кривина яко! змiнюеться за параболiчним законом
K(5 ) = as2 + bs + с , (1)
де а, Ь {с - нев1дом1 коефщенти р1вняння, що знаходяться в процес моделювання криво!; 5 -параметр криво!, що ввдповщае довжиш криво! в1д початку до поточно! точки.
Обмеженнями для !! побудови будуть значення рад1ус1в кривини Я i Я в граничних точках 1 р2, а також максимальне вщхилення криво! Атх ввд прямо! лши, що !х з'еднуе (рис. 1).
Р2
Рис. 1. Вихвдт дан1 для моделювання плоско!" криво!'
Шдставимо обмеження до р1вняння (1) 1 шсля перетворень отримаемо вирази для знаходження коефщенпв а i с :
1
с = -
Я
а =
АК
- Ь
Б
де АК =---, Б - довжина криво! ввд точки р до р2 •
Я2 Я1
Диференщал дуги обчислюеться за формулою
йф/ К (5) •
Виражаючи зввдси диференщал кута нахилу дотично! та штегруючи його, знаходимо залежнють для визначення кута нахилу дотично! до криво! в довшьнш !! точщ. З урахуванням залежносп (1) вираз набуде такого вигляду:
3 2 / \ а5 Ь5
Ф(5 ) = Ф1 + ~ + с5;
(2)
де Ф1 - кут нахилу дотично! до криво! в початковш точщ Р1 •
Оскшьки прирости координат х 1 у визначаються приростом довжини дуги криво! 5 та значениям кута нахилу дотично! ф(5), то за допомогою штегрування отримаемо параметричш р1вияння криво!, в яких за параметр прийнято довжину дуги:
х(5 ) = Х1 + 1008 ф(5
0 5
(3)
У (5 ) = У1 +1 яп ф(5 )^5,
де Х1, У1 - координати початково! точки криволшшного обводу.
Шдставимо до цих р1внянь координати останньо! точки криволшшного обводу 1 отримаемо два нелшйних штегральних рiвияния з трьома невщомими:
Б
Ах = |ооэф(5)^5 ;
0
0
Лу = | sin )ds, 0
де Лх = Х2 — xj, Лу = у2 — у .
Невщомими в данiй CTCTeMi pÍBHaHb е b , S i фц. Для знаходження невiдомих, розглянемо друге обмеження. Ввдсгань вiд криво!, що моделюеться, до прямо!, яка проходить через точки Pj i Pj, буде знаходитись за формулою:
^_Ax(s )+ By(s) + C
D(s) = -
VA
2 + B2
(4)
D(s ) = ■
(5)
де А, В i С - коефiцiенти загального рiвияния прямо! лши, якi дорiвнюють:
А = 1еа = Ау; В = -1; С = у - Х1 аУ • Ах Ах
Шсля подстановки виразiв для визначення коефiцiентiв до рiвияния (4), отримаемо:
(_ х(5 )Ау - у(5)Ах + У1 Ах - х1 Ау 2 '
де 2 Ау2 + Ах2 - ввдстань мiж граничними точками.
В точцi максимального вщхилення криво! Атах вiд прямо! лши, що з'еднуе граничнi точки, кут нахилу дотично! до криво! повинен дорiвнювати куту нахилу прямо! лши, тобто:
Ф(Бтах ) = а >
де Бтах - ввдстань на якш крива максимально вiдхиляеться вiд прямо! лши.
Виразимо неввдомий кут фц i шдставимо його до рiвняння (2):
ф1 = а
fSmax bSmax „а — csn
3 2
Ф(5) = а- а ^ах - 53 )-Ь ^ах - 52)-с(Бтах - 5) • Пiдставимо в рiвняння (5) значения максимального вiдхилення криво! Атах , ввдстань до ще! точки Бтх та и координати:
( б \ ( Б ^
тяу г»*"—
xj + |cosф(s)ds Лу — yj + |sin ^s)ds
Л = ч-
Л max
i тсля перетворень отримаемо:
S„
0
0
Лх + yj Лх — х^Лу
d
А.
J sin[f (Smax — s3)+ \ (Srnax — s2 )+ c(Smax — s) lds .
Таким чином, отримано систему з трьох нелiнiйних iнтегральних рiвиянь з трьома неввдомими
b , S i S„
Лх = J cosф(s )ds;
0 S
Лу = J sin ф(s)ds;
0
S
Л max = j sin [f (Smax — s3 )+ Ь (Smax — s 2 )+ c(Smax — s)|ds-
Розв'язавши цю систему можна отримати невiдомi коефщенти параболiчного розподiлу кривини, якi однозначно визначають криву лiнiю, що задовольняе заданим обмеженням.
S
/ ч
/
Ha oснoвi зaпpoпoнoвaнoгo n^xo^ poзpoбленo пpoгpaмний дoдaтoк мoвoю пpoгpaмyвaння C#, щo пpизнaчений для мoделювaння плoскoï кpивoï лiнiï зaдaнoï зa дoпoмoгoю пapaбoлiчнoгo зaкoнy poзпoдiлy кривини. Вгкш пpoгpaми пoкaзaнo нa рис. 2.
Рис. 2. Bíkho poзpoблeнoï пpoгpaми
Ha рис. 3-6 пoкaзaнi pезyльтaти мoделювaння плoскиx кpивиx лiнiй зaдaниx пapaбoлiчним зaкoнoм poзпoдiлy кривини в зaлежнoстi вiд piзниx вxiдниx дaниx.
Ha рис. 3 пoкaзaнi крит змoдельoвaнi при тaкиx вxiдниx дaниx: тoчки Pj (0; 0) i P) (1; 0,8); paдiyси кривини Rj = 100 м i R) = 200 м; мaксимaльне вiдxилення кpивoï Amax ввд пpямoï лiнiï, щo з'eднye тoчки Pj i P) змiнюeться ввд 0,05 м дo 0,2 м з кpoкoм 0,05 м.
P)
На рис. 4 i 5 показан крит змодельоваш при таких вхвдних даних: точки Pj (0; 0) i р2 (1; 0,8); радуси кривини Rj = 100 м i R2 = 200 м; максимальне вiдхилення криво! Amax = 0,2 м ввд прямо! лшп, що з'еднуе точки Pj i P2 . На рис. 4 змiнюeться координата y точки Pj ввд 0 до 0,4 з кроком 0,2, а на рис. 5 - точки р2 ввд 0,8 до 0,4 з кроком -0,2.
На рис. 6 показаш результати моделювання кривих при тих же даних, що й на попередньому рисунку. Змшною е координата x точки P2 ввд 1 до 0,6 з кроком -0,2.
Рис. 6. Змодельоваш криш при змшт координати x точки P2
Таким чином, наведенi результати показали працездатшсть розробленого методу геометричного моделювання кривих лшш.
Висновки та перспективи подальших досл1джень. Аналiз вiзуальних результапв моделювання кривих лiнiй показав !х повну вiдповiднiсть теоретичним даним i дозволяе зробити висновок про доцшьшсть застосування розробленого способу для моделювання плоских кривих.
Лггература
1. Аронов Б.М. Профилирование лопаток авиационных газовых турбин / Б.М. Аронов, М.И. Жуковский, В.А. Журавлев. - М.: Машиностроение, 1975. - 192 с.
2. Лагута В.В. Удосконалення проектування кривих зал1знично! коли в плаш: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.22.06 "Залiзнична колiя" / В.В. Лагута. - Дшпропетровськ, 2002. - 18 с.
3. Бронников А.В. Проектирование судов / А.В. Бронников. - Л.: Судостроение, 1990. - 327 с.
4. Устенко С.А. Побудова обводiв спинки та коритця профшв лопаток осьових турбш [Електронний ресурс] / С.А. Устенко // Вкник Нацюнального ушверситету кораблебудування. - Микола!в: НУК, 2010. - № 2. - С. 84-88. - Режим доступу: http://ev.nuos.edu.ua/ru/publication?publicationId=7121.
5. Устенко С.А. Геометричне моделювання скелетно! лши симетричних i асиметричних профiлiв лопаток осьових компресорiв / С.А. Устенко // Пращ Харшвського державного ушверситету харчування та торгiвлi. "Геометричне та комп'ютерне моделювання". - Х.: ХДУХТ, 2010. - Вип. 27. - С. 51-56.
6. Устенко С.А. Побудова перехвдно! криво! для юнуючих дмнок залiзничного шляху / С.А. Устенко, С.В. Ддданов // Прикладна геометрiя та iнженерна графiка. - К.: КНУБА, 2011. - Вип. 88. - С. 355359.
