CC BY
10
ПРИКЛАДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ _ТЕХНОЛОГИИ_
УДК 514.18
О.Ю. АГАРКОВ
Нацюнальний ушверситет кораблебудування iMeHi адмiрала Макарова
МОДЕЛЮВАННЯ КРИВИХ З СИНУСО1ДАЛЬНОЮ ЗАЛЕЖН1СТЮ IX КРИВИНИ В1Д ДОВЖИНИ ДУГИ
Розглянуто питання геометричного моделювання плоских кривих шляхом ттегрування piernrn Серре-Френе числовим методом Рунге-Кутта за умови, що залежтсть кривини eid довжини кривоi тдпорядковуеться синусоидальному закону.
Ключовi слова: плоска крива, геометричне моделювання, рiвняння Серре-Френе, числове ттегрування,
кривина.
O.Yu. AGARKOV
National university of shipbuilding named after admiral Makarov
MODELING OF CURVES WITH THE SINUSOIDAL DEPENDENCE OF CURVATURE ON THE LENGTH OF THE ARC
Annotation
The curves are widely used in many applications of geometric modeling of the technical objects. The curves describe the contours of vessels, aircrafts, vehicles, turbine and compressor blades. The appearance of new spheres of curve's applications requires from specialists in the field of applied geometry to develop the new methods of geometric modeling. Parametric equations, in which the arc length is the parameter, are often used in the modeling of curves. The aim of this research is to develop a method for modeling of planar curves using the Serret-Frenet formulas. As an additional condition the sinusoidal dependence of the curvature of the curve on its length is accepted. The Serret-Frenet formulas are reduced to an ordinary set of differential equations. Their numerical solution is carried out by the fourth order Runge-Kutta method, suggested by Ralston and supplemented by means ofHamming modified predictor-corrector method. On the grounds of the proposed method of modeling of planar curves, the software for calculation and visualization of the results is developed. The calculations confirmed the efficiency of the method of modeling of curves using the Serret-Frenet formulas and the sinusoidal curve dependence on the length of the arc. The results of numerous simulations of curves that can be used in creating the contours of technically complex objects are presented in the article. The further research in the field of modeling of planar curves should be directed to providing the simulation of curves corresponding to the preassigned conditions.
Keywords: planar curve, geometric modeling, the Serret-Frenet formulas, numerical integration, curvature.
Постановка проблеми. Крии лши широко використовуються при розв'язуванш р1зноманггних задач геометричного моделювання техшчних об'екпв. Кривими лшями описуються обводи суден, лггашв, автомобшв, профш лопаток турбш i компресор1в тощо. Нов1 сфери застосування кривих вимагають вщ фахiвцiв з прикладно! геометрп розробки нових пiдходiв до !х моделювання. При моделюванш кривих часто застосовуються !х параметричш рiвняння, в яких за параметр приймаеться довжина дуги. Не зважаючи на розма!ття пiдходiв до моделювання кривих, висвгтлених в науковш лтгератур^ проблема розробки нових методiв !х побудови i на цей час е актуальною, осшльки практика проектування технолопчно складних виробiв висувае новi завдання, спрямоваш на подальше удосконалення пiдходiв до моделювання кривих. Таким чином, проблема розробки нових методiв побудови кривих мае важливе теоретичне та особливо практичне значення.
Анатз публжацш за темою дослвджень. Геометричному моделюванню кривих лiнiй та !х дослвдженню присвячено достатньо публiкацiй як вичизняних, так i закордонних фахiвцiв [1-8]. Автори робiт [1-5] пропонують моделювати плоска кривi за умови, що задано характер розподшу кривини ввд довжини дуги, який може бути лшшним, параболiчним або кубiчним. При цьому дуже часто застосовуеться лшшна залежнiсть кривини ввд довжини дуги, що значно спрощуе розв'язування задачi, але, на жаль, в деяких випадках це не дозволяе досягнути бажаного результату. У роботах [2-5] невiдомi коефiцiенти залежностей кривини ввд довжини дуги знаходилися розв'язуванням числовим методом системи нелiнiйних штегральних рiвнянь iз застосуванням методу Ньютона, що вимагало визначення певно! шлькосп частинних пох1дних по тих змшних, значення яких знаходилися цим числовим методом. У робоп [6] моделювання просторових кривих виконано числовим штегруванням рiвнянь Серре-Френе, але в цш роботi за додатковi умови взяп кусково-лiнiйчатi залежностi кривини та скруту в1д довжини дуги криво!.
Формулювання цiлей статтi. Метою статтi е розробка методу геометричного моделювання кривих числовим штегруванням рiвнянь Серре-Френе методом Рунге-Кутта та застосуванням додаткових умов, за яш приймаються синусо!дальш залежносп кривини криво! вiд !! довжини.
Основна частина. У робот [6] запропоновано метод моделювання просторових кривих iз застосуванням формул Серре-Френе, яш в довiльнiй точцi просторово! криво! зв'язують дотичну нормаль п i бiнормаль Ь:
— = кп; йъ
— = -кп + ТЬ; йъ
йЬ
— = -Тп, йъ
(1)
де к - кривина, Т - скрут криво!.
Осшльки в робот розглядаеться моделювання плоских кривих, то бшормаль Ь i скрут Т приймаються рiвними нулю, що призводить до вщповщного спрощення системи рiвнянь (1). Компоненти векторiв £ i п та !х похiднi можна записати наступним чином:
1 йъ '
_йУ
йъ ' йъ '
— = Ых; йъ
-= кп2;
йъ
йз ,
—3 = кпз. йъ
Представимо вектори £ i п через !х компоненти, яш позначимо лггерою г з вiдповiдним iндексом, який буде змiнюватися у межах вщ 1 до 6:
* = {2ъ ^ г3}; п = {г4, 2 5, г6 }
Компоненти г2, г3 е похщними вщ координат X, У, 2 точки криво! вщ довжини дуги 5. 1х можна записати у наступному виглядi:
йХ йУ й2
21 =—; 22 =—; 23 = —. (2)
йъ
йъ
йъ
З першого рiвняння системи (1) будемо мати:
й^1 йъ
= кг л
йг2 йъ
= кг
йг3 йъ
= кг.
6 , з другого рiвняння:
й^4
йъ
■ = -кгл
й^5
йъ
= -кг-,
йгб йъ
■ = -кгт,
До цих шести рiвнянь додаються рiвняння (2) ^ таким чином, формуеться система з дев'яти звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку Числове !! iнтегрування можливе за наявностi залежностi кривини вщ довжини дуги криво!. Цю залежнють будемо подавати у виглядi:
к (ъ) = А 8т2 (у) +1, (3)
де А - коефщент, що варшеться.
Для розв'язування записано! вище системи рiвнянь застосовано метод Рунге-Кутта четвертого порядку у вигляд^ удосконаленому Ральстоном [9] та доповненому предiктор-коректор методом, модифiкованим Хеммiнгсом.
На шдстаы запропонованого методу моделювання плоских кривих розроблено програму розрахункiв i вiзуалiзацi! отриманих результатiв на екраш монiтора ПЕОМ.
Нижче наведенi результати моделювання плоских кривих iз застосуванням синусо!дального закону розподiлу кривини, взятому у виглядi (3). На вах рисунках градуювання координатних осей виконано з кроком 0,25. Подписи тд рисунками мiстять вираз синусо!дального розподшу кривини, за яким було отримано цi конкретнi графiчнi результати. Зрозумшо, що iнформацiя, наведена на рис. 1-14, мае чисто шюстративний характер, вона демонструе можливостi запропонованого метода моделювання плоских кривих на базi рiвнянь Серре-Френе i синусо!дального закону розподшу кривини по довжит дуги криво!. Розрахунки проводилися за таких значеннях довжини дуги, як1 б забезпечували побудову всiе! криво!, а не окремо! !! частини. У зв'язку з цим максимальне значения довжини дуги, яке вимiрювалося в п одиницях, сягало, в залежносп вiд варiанту, восьми - шютнадцяти п. Кiлькiсть розрахункових точок на кривш могла доходити до 1500, що вимагало к1лькох секунд машинного часу для виконання того чи шшого розрахунку.
Рис. 9. к (s) = 4 sin 2 (5)+1 Рис. 10. к (s) = 5 sin 2 (s)+1
Рис. 11. к (s )= 7 sin 2 (s)+ 1 Рис. 12. к (s) = п sin2 (s) +1
1нформащя, наведена на рис. 12, характерна тим, що вона отримана при значенш коефщента А у B^a3i (3), рiвному iррацiональному числу п. Якщо зiставити рис. 12 з рис. 8, графiчнi результати яких побудованi з коефiцieнтами А, близькими за величиною, то можна побачити, що крит для цих варiантiв розрахункiв рiзняться суттево. Це ще раз шдтверджуе значний вплив коефщента А на геометрiю остаточного результатна.
Граф^, показанi на рис. 13 i 14, були отримаш за дещо шшим, хоча i синусовдальним, законом
розподшу кривини. Ввд попереднього закону вш вiдрiзняегься тим, що до нього додано синусовдальну залежнiсть першого сгепеня.
Рис. 13. к (s) = 0,5sin2 (5)+ sin(s) +1 Рис. 14. k(s) = 1,5sin2 (5) + sin(s) +1
Висновки та перспективи подальших дослiджень. Запропонований шдхвд до геомегричного моделювання плоских кривих лшш, який базуегься на числовому штегруванш рiвнянь Серре-Френе i синусовдальних залежностях кривини кривих вiд довжини гх дуги, його комп'югерна реалiзацiя з вiзуалiзацieю огриманих резульгагiв наочно продемонстрували можливiсгь моделювання кривих у широкому дiапазонi варiювання парамегрiв.
Подальшi досл1дження у запропонованiй сферi моделювання кривих лшш можуть бути спрямован на забезпечення моделювання кривих, яш вiдповiдаюгь певним, наперед заданим умовам, що випливають з практики створення криволiнiйних обводiв гехнологiчно складних галузей промисловосгi.
Лiтература
1. Бадаев С.Ю. Iнтегральнi кривi iз заданим законом кривини [текст] / С.Ю. Бадаев // Прикладна геометрiя та шженерна графiка. - Мел1тополь: ТДАТА, 2003. - Вип. 4. - Том 18. - С. 132-134.
2. Борисенко В.Д. Геометричне моделювання плоских криволшшних обводiв за заданим парабол1чним законом розподшу гх кривини [текст] / В.Д. Борисенко, С.А. Устенко, В.С. Комар // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. - Мелггополь: ТДАТУ, 2007. - Вип. 4. - Том 35. -С. 26-31.
3. Борисенко В.Д. Геометричне моделювання плоских кривих iз застосуванням лшшного елемента кривини [текст] / В.Д. Борисенко, С.А. Устенко, В.£. Стцин // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. - К.: КНУБА, 2006. - Вип. 76. - С. 43-49.
4. Борисенко В.Д. Геометричне моделювання плоского криволшшного обводу за заданою кривиною [текст] / В.Д. Борисенко, С.А. Устенко, В.£. Стцин // Геометричне та комп'ютерне моделювання. - Харшв: ХДУХТ, 2004. - Вип. 5. - С. 30-34.
5. Устенко С.А. Геометричне моделювання плоских кривих iз застосуванням елеменпв кривини [текст] / С.А. Устенко // Геометричне та комп'ютерне моделювання. - Х.: ХДУХТ, 2009. - Вип. 22. -С. 82-87.
6. Устенко С.А. Геометричне моделювання просторових кривих iз застосуванням формул Серре-Френе [текст] / С.А. Устенко, О.Ю. Агарков // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. -К. КНУБА, 2012. - Вип. 90. - С. 358-362.
7. Ivanov A.O. Computer modeling of curves and surfaces / A.O. Ivanov, A.A. Tuzhilin, A.T. Fomenko [text] // Journal of Mathematical Sciences. - 2011. - Vol. 172. - No. 5. - P. 663-682.
8. Pal T.K. Two-dimensional curve synthesis using liner curvature elements [text] / T.K. Pal, A.W. Nutbourne // Computer Aided Design. - 1977. - Vol. 9. - No 2. - P. 77-84.
9. Ralston W. Mathematical methods for digital computers [text] / W. Ralston. - Wiley, New York -London, 1960. - P. 95-109.
