CC BY
7
МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELING
Борисенко В. Д.1, Устенко С. А.2, Устенко I. В.3
1Д-р техн. наук, професор, професор кафедри комп'ютерноТ нженерп МиколаТвського национального ушверситету iменi
В. О. Сухомлинського, МиколаТв, УкраТна 2Д-р техн. наук, доцент, завiдувач кафедри комп'ютерноТ iнженерíТ Миколавського нацонального ушверситету iменi
В. О. Сухомлинського, МиколаТв, УкраТна 3Канд. техн. наук, доцент, доцент кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем Национального
унiверситету кораблебудування iменi адмiрала Макарова, МиколаТв, УкраТна
ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОСТОРОВИХ ПЕРЕХ1ДНИХ
КРИВИХ ЗАЛ1ЗНИЧНИХ КОЛ1Й
Актуальтсть. Питання геометричного моделювання перехщних кривих, яга влаштовуються мiж прямолшшними i круговими донками залiзничних колш, можна вважати розв'язаним у достатньому ступеш. Але юнуе ряд чиннигав, що сприяють розробцi нових метсдав моделювання цих важливих дiлянок залiзничних шлях1в. Основними з них е пщвищення швидкостi руху потяпв, збiльшення !х маси, обмеженiсть розмiрiв територii, на якiй будуеться залiзнична колiя тощо. Важливiсть цього питання суттево зростае при прокладцi рейок в прськш мiсцевостi, коли потягам доводиться долати пщйоми i спуски, огинати природш та штучнi перепони. За цих обставин перехщш кривi набувають просторового характеру.
Мета. Подальший розвиток методу геометричного моделювання просторових перехщних кривих, якi влаштовуються мiж прямо-лiнiйними та круговими донками залiзничних колiй, розташованих у двох паралельних площинах.
Метод. Перехiднi д^нки залiзничного шляху моделюються iз застосуванням параметричних кривих, в яких за параметр прий-маеться довжина дуги кривой Для замкнення математичноi моделi перехщних кривих приймаеться, що кривина кривоi пщпорядко-вуеться полiномiальнiй залежност четвертого степеня, а скруту - другого степеня. Невiдомi коефiцiенти цих полiномiальних залежно-стей, якi необхщш для розрахунку координат модельованих перехщних кривих, визначаються числовим методом, зокрема, мiнiмiза-цiею функцiоналу, за який приймаеться вщхилення промiжно отриманоi кiнцевоi точки перехiдноi кривоi вiд задано!.
Результати. На пiдставi запропонованих теоретичних положень розроблено програмний код розрахунку та вiзуалiзацii просторових перехщних кривих, яга забезпечують плавний перехщ вщ прямолшшних дiлянок залiзничного шляху до кругових за умови, що обидвi щ дiлянки знаходяться в паралельних площинах.
Висновки. Запропоновано новий метод моделювання просторових перехщних кривих залiзничних колш, яга прокладаються на мюцевост зi складних рельефом. Практичною реалiзацiю багатьох варiантiв просторових перехщних кривих, що влаштовуються мiж прямолшшною i круговою дiлянками залiзничного шляху, доведена працездатшсть методу 1'х геометричного моделювання.
Ключовi слова: просторова перехщна крива, залiзнична колiя, геометричне моделювання, натуральна параметризащя, кривина, скрут.
УДК 625.113:514.18
НОМЕНКЛАТУРА
K - кривина криво!; S - довжина перехщно! криво!; s - криволшшна координата; Ч - скрут криво!;
а1, в1, с , d, e , f - коефщенти розподшу кривини; a2, b2, c2 - коефщенти розподшу скруту; Д - щльова функщя; Ф - кут нахилу дотично!;
У - кут в1дхилення криво! вщ дотично! площини.
© Борисенко В. Д., Устенко С. А., Устенко I. В., 2017 DOI 10.15588/1607-3274-2017-4-4
У щлому шлях можна розглядати як сукупшсть пря-мих i кривих дшянок р1зно! протяжност та р1зного рад1у-са округлення. При цьому можливi дiлянки з тдйомом
Залiзничний шлях на перший погляд мае дуже просту геометрiю у виглядi двох паралельних рейок, але на-справдi йому притаманнi певш геометричнi особливостi, обумовленi як рельефом мюцевосп, наявнiстю населе-них пункпв, так i силовою взаемодiею рейок з колюними парами локомотивiв i вагонiв.
ВСТУП
або спуском шляху, що примушуе розглядати його як об'ект просторовий.
Мiж прямими та кривими дшянками залiзничного шляху влаштовують так званi перехiднi крив^ якi викорис-товуються для того, щоб кривина рейок в тсщ сполучен-ня елементiв шляху з рiзною кривиною змiнювалася плавно, а не стрибкожадбно. Перехiднi кривi застосовуються мiж прямою та круговою дшянками шляху, мiж кругови-ми дшянками рiзних радiусiв або круговими дiлянками, спрямованими в рiзнi сторони у виглядi лiтери 5.
При рiзкiй змiнi кривини шляху поперечн сили, якi дiють на транспортний засiб, змiнюються стрибкожадб-но, що призводить до тдвищеного динамiчного впливу на рейки та колеса вагошв i локомотиву, збiльшуючи !х знос, тдвищуе ймовiрнiсть сходу з рейок i перекидання транспортного засобу, скорочуе термiн служби шпал, а також викликае дискомфорт у пасажирiв.
Перехвдну криву мiж прямою та круговою дшянками шляху проектують таким чином, щоб у своему початку вона мала кривину, що дорiвнюе нулю, а потiм плавно И змiнювала, наприкiндi сягаючи значения, зворотного ра-дiусу криволшйно! дшянки шляху. Оскiльки перех^дна крива е частиною вiражу, на нш забезпечуеться наростаю-чий поперечний ухил дорожнього полотна (пiдйом зовн-шнього рейки на рейкових дорогах) до рiвия, рiвного ухилу на круговш кривiй (i навпаки для сходу з вiражу).
Особливо важливим е влаштування перехiдних кри-вих при високих швидкостях руху потягiв, застосувант колiйних кривих малого радiуса, важкому рухомому склад^ проходженнi довгобазового рухомого складу.
Щоб задовольнити своему основному призначенню, перехщна крива мае вщповщати вказаним вище умовам стосовно кривини в початковш i кiнцевiй точках, подабт умови подаються i до скруту, що дуже важливо для про-сторових кривих.
Треба зазначити, що в рiзних кра1нах протяжнiсть кри-волшшних дiлянок залiзничного шляху може сягати 25 та бшьше вiдсоткiв загально! довжини мережi. У Нiмеччинi та Швейцарп протяжнiсть криволiнiйних дiлянок залiзнич-ного шляху сягае 37 %, у Францп - приблизно 31%. Але на деяких окремих шляхах питома вага криволшйних дшя-нок може доходити до 50%. У першу чергу, це вщносить-ся до тих залiзничних шляхiв, яю прокладенi в гiрськiй мiсцевостi. Ц статистичнi данi пiдтверджують акту-альшсть i важливiсть розробки нових пiдходiв до влаштування перехiдних кривих.
Отже, об'ектом цього досл^ження е геометричне моделювання просторових перехiдних кривих залiзнич-них колiй. Предметом дослщження е просторовi перехiднi кривi залiзничних колiй.
Метою ще! роботи е подальший розвиток методу гео-метричного моделювання просторових перехiдних кривих, яю влаштовуються мiж прямолiнiйними та круговими дшянками залiзничних колш, розташованих у двох паралельних площинах.
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1
Ця робота присвячена розробщ нового пiдходу до геометричного моделювання перех^них кривих залiз-ничного шляху, яю влаштовуються на дiлянках спуску
або тдйому потягiв, коли початок i кiнець перехщно! криво! знаходяться на рiзнiй висотi. Перехiдна крива мае моделюватися в натуральнш параметризацп, що надае можливостi шляхом в^пов^ного вибору залежностей кривини та скруту вщ довжини дуги модельовано! криво! впливати на цi важливi диференцiальнi характеристики просторово! криво!, забезпечувати бажаш умови !х моделювання.
Вiдомi в практицi проектування залiзничних шляхiв перехiднi кривi описуються кривими, яю не в повнiй мiрi вiдповiдають сучасним вимогам, обумовленим зростан-ням швидкостi руху потягiв, !х маси, а для пасажирських високошвидюсних потягiв забезпечення пiдвищеного комфорту для пасажирiв.
Для розв'язання задачi, пов'язано! з геометричним моделюванням просторово! перех^но! криво! мають бути заданi координати х, у i г початково! i юнцево! !! точок, кути нахилу в них дотичних, а також радiус кола кругово! дшянки. Треба визначити координати просторово! перехщно! криво!, для чого числовим методом знаходяться значення коефщенпв полiномiв, якими описуються розподши кривини та скруту модельованих кривих вщ довжини !х дуги. Вибiр четвертого степеня для полшому, яким описуеться кривина, та другого степеня для скруту обумовлюеться наявними граничними умо-вами. Так, в початковш точщ перехщно! криво! !! кривини мае дорiвнювати нулю, а в юнцевш точцi - величиш, оберненiй радiусу кола кругово! дшянки. 2 ОГЛЯД Л1ТЕРАТУРИ
Влаштуванню перехiдних кривих в лiтературi придше-но достатньо уваги [1-6]. Фактично це питання почало турбувати залiзничникiв ще з самого початку експлуа-тацп залiзничних шляхiв. Але на той час вщносно неви-сою швидкостi руху потягiв i невелика !х маса дозволяли миритися з певними негараздами, якi обумовлювалися стрибкожадбною змiною кривини в мгсцях переходу вщ прямих рейок до кругових. Поступово зi зростанням швидкостi руху потяпв влаштуванню перехiдних кривих почали придшяти бiльш серйозну увагу.
Зараз на залiзничних шляхах при поданш перехiдних кривих застосовують математичнi крив^ яким, треба вiдзначити, притаманнi як певш переваги, так i недолжи. У сучаснiй практицi влаштування перехвдних кривих мож-на видiлити наступш кривi:
- стральну радю!ду (клото!ду) - криву зi змiнною кривиною, зростаючою прямопропорцшно !! довжинi (ця крива дуже часто застосовуеться на залiзницях пост-радянського простору);
- кардю!ду - криву, яка мае певш переваги перед кло-то!дою, коли потяг на вiражi змушений пригальмовувати;
- мажорантну, пружну, швидюсну кривi;
- лемнiскату Бериуллi;
- кубiчну параболу(застосовуеться на невщповщаль-них дiлянках шляху як простiша для розрахунюв);
- Вiденську дугу (тм.), яка краще iиших кривих врахо-вуе динамiку руху транспортного засобу Зокрема, вона перед поворотом трохи вiдхиляеться в протилежний повороту бш з одночасним наростанням поперечного ухилу, щоб центр мас транспортного засобу, який шдшмаеться над дорогою, увшшов в криву максимально гладко.
B^o!o, щo ктотощи, кyбiчнi пapaбoли, лeмнiскaти Бepнyллi тa дeякi iншi кpивi, якi зaстoсoвyються пpи мo-дeлювaннi пepexiдниx ^ивих, здiйснюють бiльш менш плaвнe с^яження гpaфiкiв вiдцeнтpoвoгo пpискopeння нa дшянгах кpивиx, щo спpягaються, aлe вoни з нeзaдoв-iльним стyпeнeм зaбeзпeчyють нeпepepвнiсть змiни т-poстaння вiдцeнтpoвoгo пpискopeння в стикoвиx тoчкax. У цих пepexiдниx кpивиx нa гpaфiкax нapoстaння Epraito-peння мaють мюце poзpиви нeпepepвнoстi. Це тояс-нюеться тим, щo вкaзaнi кpивi були oтpимaнi тa вивчeнi aж шяк не для цiлeй пpoeктyвaння зaлiзничниx шляxiв. Вoни знaчнo пiзнiшe пoчaли дoслiджyвaтися для зaстo-сyвaння в ягост пepexiдниx кpивиx. Ha той чaс вoни зaдo-вoльняли пoтpeбaм пpoeктaнтiв зaлiзниць, щo ж>яснюеть-ся не дoстaтньo висoкими швидкoстями pyxy пoтягiв.
Ha зaвepшeння oглядy лiтepaтypи, тpeбa зaзнaчити, щo всi вище пepeлiчeнi кpивi 3a свoeю гeoмeтpieю e ^и-вими плoскими, щo в пeвнiй мipi yсклaднюe мoдeлювaн-ня пpoстopoвиx пepexiдниx кpивиx.
3 МАТЕИАЛИ I МЕТОДИ
Оскiльки ця poбoтa пpисвячeнa пepexiдним кpивим зaлiзничниx кoлiй, щo мaють пpoстopoвy фopмy, тo сж>-чaткy poзглянeмo oсoбливoстi мoдeлювaння ^ocTOpo-вих кpивиx в тeopeтичнoмy плaнi. Вiзьмeмo дoвiльнy длянку пpoстopoвoгo кpивoлiнiйнoгo oбвoдy (pис. 1). Ha pисyнкy зaстoсoвaнi тступш пoзнaчeння: ds -дифepeнцiaл дуги; ф(^) - кут нaxилy дoтичнoï дo кpивoï в пoтoчнiй точцц t(s) - кут вiдxилeння ^rnoï вiд дoтич-нoï плoщини в пoтoчнiй тoчцi, dx, dy, dz - ^^ocra rnop-динaт х, y i z, вщжшщж).
Мoдeлювaння пpocтopoвoï кpивoï бyдeмo викoнyвa-ти в нaтypaльнiй пapaмeтpизaцiï, кoли ^ивит i cкpyт кpивoï зaлeжaть вщ тaк звaнoгo нaтypaльнoгo пapaмeт-pa, яким виcтyпae дoвжинa дуги ^rnoï. Пoкaзaнiй нa pиc. 1 пpocтopoвiй кpивiй вiдпoвiдaють пeвнi гpaфiки кpивини K(s) i cкpyтy X(s), визнaчeнi в зaлeж-нocтi вщ дoвжини дуги oбвoдy.
Згiднo з тeopieю пpocтopoвиx кpивиx [7] ïx кpивинa тa cкpyт визнaчaютьcя як швидюсть змiни кyтiв нaxилy дo-тичнoï ф тa вiдxилeння ^rnoï вiд дoтичнoï плoщини t, вщжшщж), тoбтo:
£=K(s); dt=X(s). <>)
Виpaжaючи з piвнянь (1) дифepeнцiaли кyтiв тa штег-pyючи ïx, мoжнa з^йти кут нaxилy дoтичнoï тa кут вдаи-лення кpивoï вiд дoтичнoï плoщини в дoвiльнiй тoчцi ^и-вoï, щo мoдeлюeтьcя:
s
ф(s ) = ф(0)+{ K (s )ds ; o
s
t(s) = t(0)+j X (s)ds, 0
де ф(0) i t(o) - кути mxa^y дoтичнoï тa вiдxилeння кpивoï вiд дoтичнoï плoщини в пoчaткoвiй точщ кpивoï, вiдпoвiднo.
З po3EiM^ pиc. 1 випливae [8], щo
dx = ds cos t(s)cos ф() ;
dy = ds cos t(s)sin ф() ;
dz = ds sin t(s).
Пicля iнтeгpyвaння цж виpaзiв oтpимyють пapaмeт-pичнi piвняння пpocтopoвoï кpивoï, в зaлeжнocтi вщ дoв-жини дуги:
s
x(s) = x(o)+j cos t(s)cos ф(s)ds;
0
y(s) = y(o) + j cos t(s)sin ф(s)ds;
0
s
z(s ) = z(o)+j sin t(s )ds.
0
Викoнaти poзpaxyнки 3a шведеними вище виpaзaми мoжнa 3a уюви, щo вiдoмi зaлeжнocтi poзпoдiлy ^иви-ни тa cкpyтy.
Poзглянeмo гeoмeтpичнe мoдeлювaння пepexiднoï кpивoï, якa peaлiзye плaвний пepexiд вiд пpямoлiнiйнoï дшянки зaлiзничнoгo шляxy дo кpyгoвoï 3a уюви, щo oбидвi щ дiлянки знaxoдятьcя в плoщинax, пapaлeльниx мiж coбoю.
Пoзнaчимo пoчaткoвy i юнцеву тoчки пepexiднoï ^и-вoï лiтepaми А i В, вщжшщж) (pиc. 2). ïx кoopдинaти 3ac-тocoвyютьcя в якocтi виxiдниx дaниx пpи мoдeлювaннi пepexiднoï кpивoï. Kpi! тoгo, мaють бути вiдoмими кут фа - кут, yтвopeний пpямoлiнiйнoю дiлянкoю з вiccю
Z
ds
dz
dx
// 0 dy /у y
Pиcyнoк 1 - Дiлянкa пpocтopoвoï ^rao"
Pиcyнoк 2 - Пpocтopoвa ^pexwra кpивa
абсцис, i кут фв - кут, утворений дотичною до кругово! дiлянки також з вiссю абсцис. З вихщними даними за-даеться радiус К кругово! дiлянки. За умовами розв'язания поставлено! задачi вдаиления прямолшшно! та кругово! дшянок вiд площин, в яких вони знаходяться, тобто в точках А i В, дорiвиюють нулю.
Попереднш аналiз показав, що кривину К перехщно! криво! доцiльно описати жшномом четвертого степеия, а скрут X - жшномом другого степеия, тобто задати !х у такому виглядг
К (5 )= а^4 + Ь^3 + е^2 + d1s + е1; (2)
X (5)= а2 5 2 + Ь2$ + С2, (3)
де а1, Ь1, е^ dl, в^ а2, Ь2, е^ - невiдомi параметри роз-подЫв кривини та скруту, що знаходяться в процем мо-делювания криво!; 5 - криволшшна координата.
Оскшьки перехiдна крива з'едиуе прямолшшиу та кругову дiлянки, то в початковш точцi А !! кривина дорiв-нюе иулю, а в юнцевш точцi В - величинi, оберненш радiусу кривини кругово! дiлянки, тобто 1/К .
Запишемо вираз пошдно! вiд рiвияния кривини:
dK 3 2
-= 4а-5 + 3Ь-5 + е-5 + dl.
ds
(4)
Зaлежнiсть для визначення кута нахилу дотично! в точщ В мае вигляд:
а^5 Ь]54 е^3 d1S2 ФВ = Ф А + + в^. (5)
Пщставляючи вихiдиi дaиi до вирaзiв (2), (4) i (5), отри-муемо:
в1 = 0 ; d1 = 0 ;
= 20 ГДф+ Кв Ь1 = 1^+
%+А
4 25
а1 =- +Т77
5
Дф
де Кв = —— , Дф = Фв - ФА ; 5 - довжина перехщно! криВ К
во! мiж точками А i В.
Вираз для визначення кута у вдаилення криво! вщ
дотично! площини в точщ В знаходять iнтегрувaниям за-
лежност (3):
+ а2 53 + Ь2 52 + S у В = У А + —— + е2
Визначимо з цього виразу коефщент а2 за умови, що У А i У В згiдно з вихiдними даними дорiвиюють иулю
а2 ="
3
25 2
( + 2е2 ).
Таким чином, для моделювання просторово! пере-хщно! криво! треба знати коефщенти е1, Ь2 i е2, а також довжину дуги 5.
Визначення цих невiдомих величин реaлiзуемо шляхом розв'язания зaдaчi мш1шзаци, в якiй за щльову фун-кцiю приймемо вiдхиления промiжно отримано! юнце-во! точки перехщно! криво! вiд задано! точки В:
У цьому вирaзi iндекс «к» вiдповiдaе кiнцевiй точщ промiжно змодельовано! криво!.
Для мш1шзаци записаного функцiонaлу застосовано високоефективний алгоритм, запропонований Хуком -Дживсом [9] i призначений для мш1шзаци функцп бага-тьох змiнних. Перевагою цього алгоритму е те, що вш не передбачае визначення частинних пошдних в^ функцп, яка мiнiмiзуеться. Загально в^омо, що саме чaстиннi пошдт при числовому !х знaходженнi дуже часто затруд-ияють пошук оптимальних пaрaметрiв, оскiльки !х виз-наченню притaмaннi певнi коливания i, навпъ, похибки.
Алгоритм Хука-Дживса також не передбачае наяв-ностi обласних обмежень пaрaметрiв, що опташзують-ся. Це е дуже важливим для розв'язания задач, коли межi вaрiювaния пaрaметрiв невщомг
При розв'язaннi зaдaчi мш1шзаци задаеться вихщна точка в просторi пaрaметрiв, що оптимiзуються. Процес розрaхункiв закшчуеться, коли кiнцевa точка промiжноl криво! наближаеться до задано! точки з наперед обумов-леною точшстю.
4ЕКСПЕРИМЕНТИ
На пiдстaвi запропонованого методу моделювання просторових перехiдних кривих розроблено програмний код, застосування якого дозволяе проводити обчислю-вальний експеримент з вiзуaлiзaцiею отриманих грaфiч-них результaтiв. 5 РЕЗУЛЬТАТИ
У результaтi проведених обчислювальних експери-ментiв отримaнi результати, наведет нижче у грaфiчно-му виглядг
На рис. 3 покaзaнi перехщт кривi, побудовaнi за умови, що вартоеться кут нахилу дотично! в початковш точщ в межах вщ 30° до 50° з кроком 5°. Слщ зазначити, що при менших значениях кута, що варж>еться, отримаш пе-рехiднi кривi в горизонтaльнiй проекцп в певнш мiрi на-гадують так звану Вiденську дугу.
У 200
100
Фа =5 0° \
УС 30° \
0
200
400
600
Рисунок 3 - Перехщш крив1 в плат в залежност вщ кута нахилу дотично! в початковш точщ
е
1
3
х
Викoнaння пocтaвлeниx yмoв дo мoдeлювaння npo-cтopoвиx пepexiдниx кpивиx мoжнa пoбaчити Ha p^. 4, дe пoкaзaнi фpoнтaльнi i гopизoнтaльнi пpoeкцiï кpивиx, poзглянyтиx вищe Ha pиc. 3. Щoдo p^. 4, тo Ha ньoмy зacтocoвaнo poзтaшyвaння кoopдинaтниx oceй, пpитaмaн-ниx кoмплeкcним кpecлeнням Hap^Hoï гeoмeтpiï. Фpoн-тaльнi пpoeкцiï пepexiдниx кpивиx чггш cвiдчaть npo тe, щo ïx лiнiйнi i кpyгoвi дiлянки poзтaшoвaнi y пapaлeльниx плoщинax.
Для бiльшoï iнфopмaтивнocтi Ha pиc. 5 пoкaзaнi npo-cтopoвi пepexiднi кpивi, ям oтpимaнi iз зacтocyвaнням poзpoблeнoï пpoгpaми тa вiзyaлiзoвaнi y cepeдoвищi npo-eктyвaння AutoCAD зaвдяки cфopмoвaним y poзpoблeнiй пpoгpaмi тaк звaниx script-фaйлiв. Пpeдcтaвлeнi Ha ^o-му pиcyнкy peзyльтaти вiдoбpaжaють вплив кyтa нaxилy дoтичнoï в пoчaткoвiй тoчцi. Вoни oтpимaнi iз зacтocy-вaнням мoжливocтeй 3D мoдeлювaння cepeдoвищa npo-eктyвaння AutoCAD.
Ha pиc. 5 вид^тет тiльки кpивoлiнiйнi дiлянки з^з-ничнoгo шляxy, тoбтo бeзпocepeдньo nepex^Hi кpивi.
Вплив кyтa нaxилy дoтичнoï в кiнцeвiй тoчцi TOpex^Hoi' ^rnoi' пpoдeмoнcтpoвaнo Ha pиc. 6. ^й кут змeншyвaв-cя у мeжax вiд 15° дo -5° з кpoкoм -5°.
Гpaфiчнi peзyльтaти, нaвeдeнi Ha pиc. 3-6, oтpимaнi зa yмoви, щo кiнцeвa тoчкa В пepexiдниx кpивиx cвoгo пoлoжeння He змiнювaлa.
z 0
Рдоушк 4 - Фpoнтaльнi i гopизoнтaльнi Rpoe^ii пepexiдниx кpивиx, oтpимaнi npH вapiювaннi кyтa нaxилy дoтичнoï в пoчaткoвiй тoчцi
Вплив же змiни пoлoжeння кiнцeвoï тoчки пepexiдниx кpивиx пoкaзaнo Ha pиc. 7. Цi дaнi вiзyaльнo пiдтвepджy-ють мoжливicть мoдeлювaння пepexiдниx кpивиx пpи змiнi пoлoжeння кiнцeвиx тoчoк циx кpивиx.
Тaким чинoм, poзpoблeнo нoвий пiдxiд дo гeoмeтpич-нoгo мoдeлювaння пepexiдниx кpивиx у пpocтopi, щo бa-зyeтьcя Ha зacтocyвaннi пoлiнoмiв чeтвepтoгo creara для poзпoдiлy кpивини тa дpyгoгo cтeпeня для poзпoдiлy œpy-ту. 3a гpaничнi yмoви бepyтьcя кoopдинaти кiнця пpямo-лiнiйнoï дiлянки зaлiзничнoгo шляxy, знaчeння кyтa Hax^ лу ще'1 дiлянки, paдiyc кpyгoвoï дiлянки, кoopдинaти ïï пoчaткoвoï тoчки тa кут нaxилy дoтичнoï в цш тoчцi. B^x^ лeння кpивoï вщ дoтичнoï плoщини в кiнцeвиx тoчкax пpиймaютьcя piвними нyлю.
У 200
100
-5°
= Ui ° ч
\\x \W
200
400
600
Рдоушк 6 - Пepexiднi xprni в зaлeжнocтi вщ кyтa Hax^ny дoтичнoï в кiнцeвiй тoчцi
200
400
600
PncyHox 7 - Пepexiднi xprni в зaлeжнocтi вщ пoлoжeння кiнцeвoï тoчки
x 0
PncyHox 5 - Акcoнoмeтpичнa xa opтoгoнaльнi Rpoe^ü пpocтopoвиx пepexiдниx кpивиx
0
x
0
x
0
z
z
x
Перехiднi крив^ отримaнi за запропонованим методом геометричного моделювання, можна використову-вати для геометричного моделювання криволшшних обводiв об'ектiв у рiзних галузях промисловоста, у тому числi при проектуванш перехiдних кривих верхньо! бу-дови зaлiзничноl колп. 6 ОБГОВОРЕННЯ
Отримат в роботi результати мають не тшьки теоре-тичний, але й практичний iнтерес. Вони комплексно ре-aлiзують процес геометричного моделювання просто-рових перехiдних кривих, забезпечуючи одночасне !х моделювання, як в горизонтальнш, так i фронтaльнiй пло-щинах проекцш, що, як вказувалося вище, суттево уск-ладнено при застосуванш трaдицiйних пiдходiв до реаль зацп плавних переходiв мiж прямими i круговими дшян-ками шляху, особливо коли вони розташоват у рiзних рiвиях.
Подaльшi дослiдження в сферi моделювання пере-хiдних кривих мають бути спрямоваш на дiлянки шляху, де здшснюеться плавний перехiд мiж двома прямолшш-ними або двома круговими дшянками. Певний iнтерес подае моделювання перехщних кривих мiж означеними дiлянкaми шляху, розташованими у двох непаралельних площинах з рiзними кутами нахилу до горизонту. ВИСНОВКИ
Запропоновано новий тдхщ до геометричного моделювання просторових перехiдних дiлянок зaлiзничних колш, який базуеться на зaстосувaннi кривих в натуральнш параметризацп та закошв розподiлу кривини i скруту у виглядi полiномiaльних залежностей, невiдомi коефщен-ти яких визначаються в процес моделювання бажано! просторово! перех^но! криво!, що влаштовуеться мiж прямолiнiйною i круговою дiлянкaми шляху, розташова-ними у двох паралельних площинах.
ПОДЯКИ
Роботу виконано вiдповiдно з тематичним планом наукових дослiджень кафедри комп'ютерно' шженерп Микола'вського нацiонального унiверситету iменi В. О. Сухомлинського (0115U001250 «Розробка геомет-ричних моделей кривих лшш i поверхонь та програмно-го продукту для 1х побудови»). СПИСОК ЛГГЕРАТУРИ
1. Амелин С. В. Путь и путевое хозяйство / С. В. Амелин, Л. М. Дановский. - М. : Транспорт, 1986. - 215 с.
2. Ельфимов Г. В. Теория переходных кривых [текст] / Г. В. Ельфимов. - М. : Трансжелдориздат, 1948. - 31 с.
3. Лагута В. В. Удосконалення проектування кривих залiзничноi' коли в плат [текст] : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.22.06 «Залiзнична колiя» / В. В. Лагута. - Дншропетровськ, 2002. - 18 с.
4. Лазарян В. А. О форме переходной кривой (Теоретические основы выбора рациональной формы переходной кривой) [текст] / В. А. Лазарян. - Динамика транспортных средств. -Киев : Наукова думка, 1985. - С. 10-24.
5. Шахунянц Г. М. Проектирование железнодорожного пути / Г. М. Шахунянц. - М. : Транспорт, 1972. - 140 с.
6. Lipicnik M. New form of road/railway transition curve / M. Lipicnik // Journal of transportation engineering. - 1998. -November / December. - P. 546-556.
7. Рашевский А. В. Курс дифференциальной геометрии / А. В. Рашевский. - М. - Л. : ГОНТИ, 1939. - 360 с.
8. Устенко С. А. Геометрична теорiя моделювання криволшшних форм лопаткових апарапв турбомашин з оптимiзацieю 1х параметрiв: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня д-ра техн. наук: спец. 05.01.01 «Прикладна геометрiя, шженерна граф> ка» / С. А. Устенко. - К., 2013. - 40 с.
9. Hooke R. Direct search solution of numerical and statistical problems [Text] / R. Hooke, T.A. Jeeves // Journal of the ACM. - 1961. -Vol. 8, No 2. - P. 212-229.
Стаття надшшла до редакцй 10.04.2017.
Шсля доробки 25.04.2017.
Борисенко В. Д.1, Устенко С. А.2, Устенко И. В.3
'Д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры компьютерной инженерии Николаевского национального университета имени В. А. Сухомлинского, Николаев, Украина
2Д-р техн. наук, доцент, заведующий кафедрой компьютерной инженерии Николаевского национального университета имени В.А. Сухомлинского, Николаев, Украина
3Канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры программного обеспечения автоматизированных систем Национального университета кораблестроения имени адмирала Макарова, Николаев, Украина
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕХОДНЫХ КРИВЫХ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ПУТЕЙ
Актуальность. Задачу геометрического моделирования переходных кривых, которые размещаются между прямолинейными и круговыми участками железнодорожных путей, можно считать решенной в достаточной степени. Однако существует ряд факторов, способствующих разработке новых методов моделирования этих важных участков железнодорожных путей. Основными из них являются повышение скорости движения поездов, увеличение их массы, ограниченность размеров территории, на которой строится железная дорога и др. Важность этого вопроса существенно возрастает при прокладке рельсов в горной местности, когда поездам приходится преодолевать подъемы и спуски, огибать природные и искусственные преграды. В этих условиях переходные кривые приобретают пространственный характер.
Цель. Дальнейшее развитие метода геометрического моделирования пространственных переходных кривых, которые размещаются между прямолинейными и круговыми участками железнодорожных путей, расположенных в двух параллельных плоскостях.
Метод. Переходные участки железнодорожного пути моделируются с применением параметрических кривых, в которых за параметр берется длина дуги кривой. Для замыкания математической модели переходных кривых принимается, что кривизна кривой подчиняется полиномиальной зависимости четвертой степени, а кручение - второй степени. Неизвестные коэффициенты этих полиномиальных зависимостей, необходимые для расчета координат моделируемых переходных кривых, определяются численным методом, в частности, минимизацией функционала, за который принимается отклонение промежуточно полученной конечной точки переходной кривой от заданной.
Результаты. На основании предложенных теоретических положений разработана программа расчета и визуализации пространственных переходных кривых, обеспечивающих плавный переход от прямолинейных участков железнодорожного пути к круговым при условии, что оба эти участка находятся в параллельных плоскостях.
Выводы. Предложен новый метод моделирования пространственных переходных кривых железнодорожных путей, которые прокладываются на местности со сложным рельефом. Практической реализацией многих вариантов пространственных переходных кривых, размещаемых между прямолинейным и круговым участками железнодорожного пути, доказана работоспособность метода их геометрического моделирования.
Ключевые слова: пространственная переходная кривая, железная дорога, геометрическое моделирование, натуральная параметризация, кривизна, кручение.
Borisenko V. D.1, Ustenko S. A.2, Ustenko I. V.3
'Dr. Sc., Professor of Computer Engineering Department of V.O. Sukhomlynsky Mykolayiv National University, Mykolayiv, Ukraine
2Dr. Sc., Associate Professor, Head of Computer Engineering Department of V.O. Sukhomlynsky National University, Mykolayiv, Ukraine
3 Phd., Associate Professor of software of the automated systems department of Admiral Makarov National University of Shipbuilding, Mykolayiv, Ukraine
GEOMETRIC MODELLING OF RAILWAYS SPATIAL TRANSITION CURVE
Context. The problem of geometric modelling of transitional curves, which are placed between rectilinear and circular sections of railway tracks, can be considered solved sufficiently. However, there are a number of factors that contribute to the development of new methods for modelling these important sections of the railway tracks. The main of them are the increase in the speed of the train, the increase in their mass, the limited size of the territory on which the railway is built, etc. The importance of this issue is greatly increased when laying rails in a mountainous area, when trains have to overcome the ups and downs, bend around natural and artificial obstacles. Under these conditions, the transition curves acquire a spatial character.
Objective. Further development of the method of geometric modelling of spatial transition curves, which are placed between rectilinear and circular sections of railway tracks located in two parallel planes.
Method. Transitional sections of the railway track are modelled using parametric curves, in which the length of the curve arc is taken as the parameter. To close the mathematical model of the transition curves, it is assumed that the curvature of the curve is subject to a polynomial dependence of the fourth degree, and torsion to the second degree. The unknown coefficients of these polynomial dependencies, which are necessary for calculating the coordinates of the simulated transition curves, are determined by a numerical method, in particular, by minimization of the functional for which the deviation of the intermediate obtained final point of the transition curve from the given one is accepted.
Results. On the basis of the proposed theoretical proposition, a program code for calculating and visualizing spatial transition curves providing a smooth transition from rectilinear sections of a railway track to a circular one is developed, provided that both these sections are in parallel planes.
Conclusions. A new method is proposed for modelling the spatial transition curves of railway tracks, which are laid on the terrain with a complex relief. Practical implementation of many variants of spatial transition curves placed between the rectilinear and circular sections of the railway track has proved the operability of the method of their geometric modelling.
Keywords: spatial transition curve, the railways, geometric modeling, natural parameterization, curvature, torsion.
REFERENCES
1. Amelin S. V., Danovskij L. M. Put' i putevoe hozjajstvo. Moscow, Transport, 1986, 215 p.
2. El'fimov G. V. Teorija perehodnyh krivyh. Moscow, Transzheldorizdat, 1948, 31 p.
3. Laguta V. V. Udoskonalennja proektuvannja kryvyh zaliznychnoi' kolii' v plani [tekst]: avtoref. dys. na zdobuttja nauk. stupenja kand. tehn. nauk: spec. 05.22.06 "Zaliznychna kolija". Dnipropetrovs'k, 2002, 18 p.
4. Lazarjan V. A. O forme perehodnoj krivoj (Teoreticheskie osnovy vybora racional'noj formy perehodnoj krivoj). Dinamika transportnyh sredstv. Kiev, Naukova dumka, 1985, pp. 10-24.
5. Shahunjanc G. M. Proektirovanie zheleznodorozhnogo puti. Moscow, Transport, 1972, 140 p.
6. Lipicnik M. New form of road/railway transition curve, Journal of transportation engineering, November / December, 1998, pp. 546-556.
7. Rashevskij A. V. Kurs differencial'noj geometrii. Moscow-Leningrad, GONTI, 1939, 360 p.
8. Ustenko S. A. Geometrychna teorija modeljuvannja kryvolinijnyh form lopatkovyh aparativ turbomashyn z optymizacijeju i'h parametriv: avtoref. dys. na zdobuttja nauk. stupenja d-ra tehn. nauk: spec. 05.01.01 "Prykladna geometrija, inzhenerna grafika". Kiev, 2013, 40 p.
9. Hooke R., Jeeves T. A. Direct search solution of numerical and statistical problems, Journal of the ACM, 1961, Vol. 8, No. 2, pp. 212-229.
