CC BY
29
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дшпропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 2 (68)
ШФОРМАЦ1ЙНО-КОМУШКАЦ1ЙШ ТЕХНОЛОГИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
УДК 625.113:514.18
В. Д. БОРИСЕНКО1*, С. А. УСТЕНКО2*
1 Каф. «Комп'ютерна шженерш», Микола!вський нацюнальний ушверситет iMeHi В. О. Сухомлинського, вул. Нжольська, 24, Микола!в, Укра1на, 54030, тел. +38 (0512) 71 30 25, тел. +38 (063) 304 75 26, ел. пошта borisenko.valery@gmail.com, ORCID 0000-0002-0857-0708
2*Каф. «Комп'ютерна шженерш», Микола!вський нацiональний унiвeрситeт iмeнi В. О. Сухомлинського, вул. Нжольська, 24, Микола1в, Украша, 54030, тел. +38 (063) 479 90 61, ел. пошта ustenko.s.a@gmail.com, ORCID 0000-0003-4968-1233
МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРЕХ1ДНО1 КРИВО1 НА ОБМЕЖЕН1Й Д1ЛЯНЦ1 М1СЦЕВОСТ1
Мета. У статгi необхвдно розглянути подальший розвиток методу геометричного моделювання перехвдних кривих, як1 влаштовуються мгж прямолiнiйними та круговими дiлянками затзничних колiй та будуються на мюцевостях, рельеф яких обумовлюе пeвнi обмеження на розмiри перехгдних кривих залiзничного шляху. Методика. Рiвняння перех1дно1 криво! береться в параметричному виглядi, де параметром виступае довжина дуги модельовано! криво!. Вихвдними даними при моделюванш використовуються координати початково! точки перехвдно!' криво! та кут нахилу в нiй дотично!', радiус кола кругово! дiлянки та параметр, який е обмеженням при розмiщeннi двдянки залiзничного шляху. Перехвдна крива моделюеться за умови, коли роз-подвд !i кривини ввд довжини дуги - натурального параметра - пвдпорядковуеться кубiчнiй залeжностi. Ця залeжнiсть мютить чотири неввдомих коeфiцiенти, неведомою також е довжина дуги. Нeвiдомi коефщенти кубiчно!' залeжностi, довжина дуги перехвдно!' криво!, координати шнцево! !i точки, кут нахилу в нш дотично! визначаються в процeсi моделювання перехвдно! криво!. Застосування граничних умов, положень диференща-льно! геометрй' щодо розподвду кута дотично! до модельовано! криво! (ввд початково! до к1нцево! точок перехвдно! криво! та розрахунку координат шнцево! точки криво!) дозволяе звести задачу моделювання перехвдно! криво! до визначення довжини дуги ще!' криво!. Безпосередньо довжина перехвдно! криво! знаходиться в про-цеа мiнiмiзацi!' ввдхилення центра кола кругово! двдянки шляху ввд його поточного значення, яке виходить пiд час пошуку довжини дуги. Результата. Проведення обчислювального експерименту довело можливiсть моделювання перехвдно! криво! м1ж прямолiнiйними та круговими рейками залiзничного шляху на двдянщ мiсцeвостi обмеженого розмiру. Наукова новизна. Авторами розроблено метод геометричного моделювання перехвдних кривих м1ж прямолшшними та круговими дiлянками залiзничного шляху в умовах об-межених розмiрiв мiсцeвостi, на як1й прокладаються рейки. Перехвдна крива подаеться в натуральнш парамет-ризацй' зi застосуванням кубiчно!' залeжностi розподiлу кривини ввд довжини !i дуги. Практична значимкть. Запропонований метод моделювання перехвдних кривих в умовах обмежених розмь рiв мiсцeвостi дозволяе з високою точшстю отримувати цi кривi в широкому дiапазонi варшвання геометрич-них парамeтрiв прямолiнiйних i кругових дiлянок затзнично!' колй' та параметра, який виступае обмеженням при моделюванш перехвдно! криво!. Метод можна рекомендувати в практику будiвництва залiзничних колiй.
Ключовi слова: геометричне моделювання; пeрeхiдна крива; обмежена дмнка; кривина криво!; кубiчна залежшсть розподiлу кривини
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нащонального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 2 (68)
ШФОРМАЦШНО-КОМУШКАЩИШ ТЕХНОЛОГИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
Вступ
У промислово розвинених кра'нах, до яких належить i Укра'на, затзничний транспорт на-лежить до сфери матерiального виробництва, своeрiдною продукцieю якого е пасажирськi, вантажнi та змшаш вантажо-пасажирськi пере-везення. За будь-яких обставин безпека руху залiзничного транспорту е одним з найваж-ливших питань його експлуатацп. При цьому особливi вимоги висуваються до геометри затзнично! коли.
Улаштування рейково! коли на кривих !! дi-лянках мае низку особливостей, зумовлених специфшою взаемоди коли i рухомого складу, змшами конф^ураци коли на криволшшних дiлянках i наявнiстю так званих перехiдних кривих, якi з'еднують круговi кривi з приляга-ючими прямими рейками або з'еднують круговi крив рiзних радiусiв кривини. Вiдомо, що при-значенням перехiдних кривих е забезпечення плавно! змiни кривини в мюцях з'еднання дшя-нок коли з рiзними сталими кривинами рейок.
Проектантами залiзнично! коли особлива увага придшяеться улаштуванню перехщних дiлянок при високих швидкостях руху потягiв, застосуванш колiйних кривих малого радiуса, при рус рухомого складу велико! ваги та знач-но! бази мiж колесами. У сучасних умовах, коли швидюсть пасажирських потягiв сягае 200 км/год i бiльше, вимоги до якост пере-хiдних кривих суттево зростають.
Пiдвищення швидкостi руху поiздiв, !х ван-тажопiдйомностi та забезпечення безпеки руху на криволшшних дшянках коли значною мiрою визначаеться геометричною досконалiстю пе-рехiдних кривих цих дшянок. Геометричне мо-делювання перехiдних кривих залiзничних колiй е важливим науково-технiчним завдан-ням.
Науковi дослiдження в галузях прикладно! та обчислювально! геометри, комп'ютерно! графiки останшм часом досягли значних уст-хiв у сферi аналiтичного подання обводiв i по-верхонь рiзних техшчних деталей та !х вiзуалi-зацп за допомогою ЕОМ. Це дае можливють сподiватися, що застосування досягнень ще! галузi науки до геометричного моделювання перехiдних кривих залiзнично! коли дозволить шдвищити якiсть !х проектування i сприятиме
пiдвищенню безпеки руху на цих дуже важли-вих i одночасно небезпечних дiлянках шляху.
Таким чином, розв'язання задач^ яка поставлена в цш роботi, а саме: вдосконалення методiв геометричного моделювання пере-хiдних кривих залiзничноi колii, е актуальним, воно мае не тшьки важливе теоретичне, й прак-тичне значення.
Аналiз останнiх дослiджень i публiкацiй. Основи теори перехiдних кривих на залiзницi були закладенi на початку минулого столотя i набули подальшого розвитку в роботах вггчиз-няних i закордонних дослiдникiв [1, 4, 8, 9, 12, 15-19, 22-25]. У цих роботах пропонуеться пе-рехщш кривi подавати клотоiдами, кардю'да-ми, радю'дами. параболами рiзних степенiв, лемшскатами Бернуллi, мажорантними, пруж-ними, швидюсними та iншими математичними кривими.
У лiтературi придiлено достатньо уваги пи-танню моделювання кривих лiнiй для рiзних практичних додаткiв, у тому чи^ i тих, якi за-стосовуються при описi кривих, придатних для подання залiзничноi колii [2, 3, 11, 15, 20]. Ав-тори цих робгг застосовують явну, неявну, па-раметричну форми опису кривих.
Моделюванню криволiнiйних обводiв у натуральнш параметризацii присвяченi публiкацii [3, 11, 13, 14]. У роботах [3, 14] розглянут питання геометричного моделювання кривих лшш з кубiчним розподiлом кривини в залежно вщ довжини дуги.
Останнiми роками в залiзничнiй справi значна увага придшяеться розробщ проектiв високошвидкiсних залiзничних шляхiв. Про це свiдчать, зокрема, наступи публiкацii втиз-няних науковцiв [5-7, 10]. Як вище вiдмiчалося, шдвищення швидкiсного режиму руху поiздiв вимагае застосування бшьш ретельних пiдходiв до геометричного моделювання перехщних кривих, де одним iз основних чинникiв е розподш кривини криво'. Саме це послужило основним мотивом для розробки нового методу моделювання перехщних дiлянок залiзничних шляхiв iз застосуванням натурально!' парамет-ризацii кривих, що 'х подають.
Мета
Метою цiеi статтi е подальший розвиток методу геометричного моделювання перехщних
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дшпропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2017, № 2 (68)
ШФОРМАЦШНО-КОМУШКАЩИШ ТЕХНОЛОГИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
кривих затзничних колш, яю будуються на мюцевосп, рельеф яко1 зумовлюе певш обме-ження на геометрда перехщно! криво!, яка влаштовуеться м1ж прямолшшною та круговою дшянками зал1знично! коли.
Зрозумшо, що питання моделювання пере-хщних кривих не е новим. Иого виршенню присвячено достатньо публшацш як у в1тчиз-нянш, так i заруб1жн1й л1тератур1. Автори ба-гатьох робiт, якi розглядають це дуже важливе для залiзничного транспорту питання, викори-стовують рiзнi математичш кривi для забезпе-чення плавно!, не стрибкоподiбноï змiни кривини в мюцях переходу вiд прямолшшних дiлянок шляхiв до кругових.
Ця робота е продовженням дослiджень, яю виконуються авторами з геометричного моде-лювання кривих лiнiй iз застосуванням заданих законiв розподiлу кривини та заданими значен-нями кривини в граничних точках [3, 11, 1315].
Методика
У практищ будiвництва затзничних шляхiв непоодинокi випадки, коли у зв'язку з рельефом мюцевосп або через iншi якi-небудь причинами необхщно прокладати колiю на обмеженш за розмiрами дiлянцi мiсцевостi. Щд обмеженням будемо розумiти наявну в розпорядженш проектанта вiдстань вщ початку перехiдноï кривоï на прямолшшнш дiлянцi колiï до дотичноï, проведеноï до кругово1' дiлянки шляху. При цьому дотична до кругово!' дшянки проводиться перпендикулярно до передбачуваного про-довження прямолiнiйноï рейки шляху (рис.1).
Автори цiеï роботи пропонують моделювати плоскi перехiднi кривi з використанням ix натуральноï параметризаций яка передбачае на-явнiсть залежностей декартових координат модельовано" криво" вщ довжини ïï дуги.
Побудову переxiдноï дiлянки шляху здiйснюватимемо з використанням кривоï, кри-вина якоï описуеться кубiчною залежнiстю вiд довжини ïï дуги s:
к (s ) = as3 + bs2 + cs + d. (1)
Коефщенти a, b, c i d цiеï залежностi визна-чаються в процесi моделювання кривоï.
Рис. 1. До устрою переxiдноï' кривоï' Fig. 1. To the structure of the transition curve
При розв'язанш питання визначення невщомих коефiцiентiв залежностi (1) за гра-ничнi умови приймаеться, що в початковiй точ-щ переxiдноï кривоï ïï кривина дорiвнюе нулю, а в кiнцевiй точщ - величинi оберненiй радiусу круговоï дiлянки шляху. Також приймаеться, що в початковш i кiнцевiй точках переxiдноï кривоï поxiдна вiд ïï кривини по довжиш дуги дорiвнюе нулю.
За означених граничних умов, можна вста-новити, що коефщенти c i d мають дорiвнюва-ти нулю.
Коефiцiенти а i b визначаються за умови, що вiдомi координати кiнцевоï точки пря-молiнiйноï дiлянки шляху, кут його нахилу до горизонтальноï осi, а також радiус кола, що описуе кругову дшянку шляху.
Вiдомою е також i величина А, яка обумо-влюеться обмеженими розмiрами дшянки мюцевосп, де мають бути прокладеш рiйки залiзничного шляху.
Вiдзначимо, що для побудови переxiдноï кривоï необхщно, ^м коефiцiентiв a i b, також знати довжину дуги S цiеï кривоï.
З диференцiальноï геометрн вiдомо, що ди-ференцiал кута, утвореного мiж дотичною до кривоï та вiссю абсцис, визначаеться добутком диференщала довжини дуги на ïï кривину
dty = к (s )ds,
де к (s ) - кривина кривоï.
1нтегруванням цього виразу можна визначи-ти залежшсть розподшу кута нахилу дотичноï до кривоï вiд довжини ïï дуги
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2017, № 2 (68)
ШФОРМАЦШНО-КОМУШКАЩИШ ТЕХНОЛОГИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ф(5) = ф(0) +1 к
де ф(0) - кут нахилу дотично' в початковш точ-цi криво', тобто в точщ А (див. рис. 1).
З урахуванням граничних умов, яю застосо-вуються до закону розподшу кривини для на-шого випадку, остаточно отримаемо наступну залежшсть розподiлу кута нахилу дотично' до криво! вщ 11 довжини:
ф( ) = ф А
+ -
Я52
1 -■
25
(2)
де S - довжина дуги перехщно' криво' мiж точками А i В, яка на початку моделювання е величиною невщомою.
Зазначимо, що на цьому крощ моделювання також невщомими е координати точки В. Але iз залежност (2) можна при 5 = S знайти вираз для обчислення кута в кшцевш точцi перехщно' криво':
5
ф в =ф А + - •
(3)
Координати точки В - кшцево' точки перехщно' криво', яка подаеться в натуральнш параметризаций визначаються за виразами:
5
ХВ = ХА + I СОЭ ф(^
0
Ув = УА + | ^ ф( У5".
(4)
(5)
Для мiнiмiзацii цього функцiонала в роботi застосовано високоефективний алгоритм, за-пропонований Хуком-Дживсом [21].
Отже, задавшись деякою величиною довжини перехщно' криво', можна визначити за формулами (4) координати деяко' промiжноi точки В. За перше наближення довжини перехщно' криво' береться частка вщ величини обмеження А. Координати точки С - центра кола кругово' дшянки визначаються за формулами:
хС = хв + Я зт ф в;
Ус = Ув - Я сое фв.
З шшого боку цi координати можна розра-хувати за наступними виразами:
Хс = (Уа - Ус фА соз фА + Ха СОЗ2 фа + + хс зт2 фА + (А - Я)соз фА;
Ус = Ус + (хс - хс ^фА.
Аналiзуючи вирази (2)-(4) можна прийти до висновку, що в них единою невщомою величиною е довжина дуги перехщно' криво' 5.
Довжину ще' дуги можна визначити число-вим методом, зокрема, методом мiнiмiзацii функцюнала, за який вiзьмемо вiдстань мiж центром С кола кругово' дшянки та точкою СП, яка визначаеться тимчасово тд час роботи алгоритму мiнiмiзацii. Вказаний функцюнал може бути записаним наступним чином
На пiдставi запропонованого пiдходу до геометричного моделювання перехщних кривих на обмеженш дшянщ розроблено програму розрахункiв i вiзуалiзацii отриманих резуль-татiв на екранi ПЕОМ.
Результати
На рис. 2 у графiчному виглядi наведено результати розв'язання тестово' задачi, пов'язано' з моделюванням перехщно' криво' на обмеженш д^нщ. Прямолшшна дiлянка шляху мае кут нахилу до ос х, який дорiвнюе 60°; вона закшчуеться в точцi А. Необхiдно побуду вати перехщну криву мiж прямолiнiйною та круговою дшянками колii. Радiус кругово' дiлянки дорiвнюе 500 м. Обмеженням для моделювання перехiдноi криво' виступае вiдрiзок БЫ, який вщповщае параметру А (див. рис. 1). У розгля-нутому прикладi А = 850 м.
Результатом моделювання е побудована пе-рехщна крива, яка починаеться в точцi А i за-кiнчуеться в знайденш точцi В. Були розрахо-ваш координати точки С, яка е центром кругово' дшянки шляху. Вiдрiзок ВЕ, дотичний до кола кругово' дшянки, е додатковим вiзуальним пщтвердженням того, що вiдрiзок СВ, проведений iз точки В (точки початку кругово' дшянки), е перпендикулярним до дотично' ВЕ.
3
5
5
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 2 (68)
ШФОРМАЦШНО-КОМУШКАЩИШ ТЕХНОЛОГИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
О 200 400 600 800 л
Рис. 2. Тестовий приклад побудови перехвдно! криво! на обмеженш дшянщ
Fig. 2. The test example of construction of transition curve in a limited area
Таким чином, точка В е заюнченням пере-х1дно! криво! та початком кругово! д1лянки шляху, який моделюеться на обмеженш д1лянц1 мюцевосн.
Наведемо величини координат точок С i С', як1 були отримаш при розв'язанш в ще! тестово! задача
xC = 629,3145 м, ус = 40,8108 м; хС,= 629,3143 м, ус,= 40,8105 м.
Величина похибки, яка розраховувалася за формулою (5), в тестовш задач1 становила 0,3675 мм.
Наукова новизна та практична значимкть
Наукова новизна полягае в удосконаленш шдходу до геометричного моделювання пере-хщних кривих м1ж прямолшшними та круго-вими ршками затзничного шляху в умовах об-межено! дшянки на основ1 застосування куб1ч-ного розподшу кривини перехщно! криво! вщ довжини !! дуги та вщомими !! значеннями в початковш та кшцевш точках.
Запропонований метод моделювання пере-хдних кривих може бути застосованим при проектуванш не ильки затзничного шляху, але й криволшшних обвод1в техшчних вироб1в р1зного конструктивного оформлення та цшьового призначення.
Висновки
Проведет розрахунков1 дослщження тдтвердили працездатнють запропонованого шдходу до моделювання перехщних кривих м1ж прямолшшними та круговими дшянками за наявносн обмежень на мюцевосн. Метод може бути поширений на побудову перехщно! криво! м1ж двома круговими дшянками зал1знично! кол!!.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Амелин, С. В. Путь и путевое хозяйство / С. В. Амелин, Л. М. Дановский. - Москва : Транспорт, 1986. - 215 с.
2. Бадаев, С. Ю. Криволшшний сегмент на основi штегрально! криво! / С. Ю. Бадаев, £. О. Боровж // Прикладна геометрiя та iнженерна графiка : мiжвiдом. наук.-техн. зб. / Ки!в. держ. техн. ун-т буд-ва i архiтектури. - Кшв, 2009. - Вип. 81. - С. 213-217.
3. Борисенко, В. Д. Геометричне моделювання плоского криволшшного обводу iз застосуванням кубiч-ного закону розподiлу його кривини / В. Д. Борисенко, С. А. Устенко, В. С. Комар // Прикладна гео-метрiя та шженерна графжа : мiжвiдом. наук.-техн. зб. / Ки!в. держ. техн. ун-т буд-ва i архiтектури. -Кшв, 2008. - Вип. 79. - С. 52-57.
4. Ельфимов, Г. В. Теория переходных кривых / Г. В. Ельфимов. - Москва : Трансжелдориздат, 1948. -31 с.
5. Курган, М. Б. Основш вимоги до вибору радiусiв кривих при проектуванш високошвидшсних мапстралей / М. Б. Курган, Р. Б. Новш // Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта : тез. 74 Междунар. науч.-практ. конф. (Днепропетровск, 15-16 мая 2014 г.). - Днепропетровск, 2014. - С. 270-271.
6. Курган, М. Б. Основш вимоги до вибору форми i довжини перехвдних кривих при проектуванш високошвидшсних мапстралей / М. Б. Курган, Д. М. Курган // Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта : тез. 74 Междунар. науч.-практ. конф. (Днепропетровск, 15-16 мая 2014 г.). - Днепропетровск, 2014. - С. 253-254.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2017, № 2 (68)
ШФОРМЛЩЙНО-КОМУШКАЩЙШ ТЕХНОЛОГИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
7. Курган, М. Б. Перебудова кривих для впровадження швидшсного руху пасажирських по!'зд1в / М. Б. Курган, М. А. Гусак, Н. П. Хмелевська // В1сн. Дшпропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. 1м. акад.
B. Лазаряна. - Дншропетровськ, 2012. - Вип. 40. - С. 90-97.
8. Лагута, В. В. Удосконалення проектування кривих зал1знично!' коли в плаш : автореф. дис. ... канд. техн. наук : 05.22.06 / Лагута Василь Васильович ; Дшпропетр. держ. техн. ун-т затзн. трансп. -Дншропетровськ, 2002. - 18 с.
9. Лазарян, В. А. О форме переходной кривой (Теоретические основы выбора рациональной формы переходной кривой) / В. А. Лазарян // Динамика транспортных средств. - Киев : Наук. думка, 1985. -
C. 10-24.
10. Миронов, В. С. Радиусы круговых кривых для скоростных железных дорог при использовании вагонов с наклоном кузова / В. С. Миронов, Т. А. Руденко // Вестн. трансп. Поволжья. - 2014. - № 3 (45). -С. 44-50.
11. Моделювання плоских кривих у натуральнш параметризаци / В. Борисенко, О. Агарков, К. Палько, М. Палько // Геометричне моделювання та шформацшш технологи. - 2016. - № 1. - С. 21-27.
12. Проценко, А. И. Методика расчета на ЭВМ сложных железнодорожных кривых при текущем содержании пути / А. И. Проценко, В. Б. Бредюк // Сб. тр. Новосиб. ин-та инженеров трансп. - Новосибирск,
1971. - Вып. 130. - С. 48-53.
13. Устенко, С. А. Геометричне моделювання кривих лшш 1з заданою кривиною в граничних точках / С. А. Устенко, С. В. Двданов, О. Ю. Агарков // Прикладна геометр1я та шженерна графша : м1жшдом. наук.-техн. зб. / Ки!'в. держ. техн. ун-т буд-ва i архггектури. - Кшв, 2011. - Вип. 87. - С. 404-409.
14. Устенко, С. А. Дослщження кривих лшш, заданих куб1чним розподшом кривини / С. А. Устенко, С. В. Двданов, О. Ю. Агарков // Наука та прогрес транспорту. - 2014. - № 2 (50). - С. 164-172. doi: 10.15802/stp2014/23797.
15. Устенко, С. А. Метод побудови просторово! перехвдно! криво!' / С. А. Устенко, С. В. Двданов // Наука та прогрес транспорту. - 2013. - № 2 (44). - С. 124-128. doi: 10.15802/stp2013/11394.
16. Чернышев, М. А. Железнодорожный путь / М. А. Чернышев, З. Л. Крейнис. - Москва : Транспорт, 1985. - 302 с.
17. Шахунянц, Г. М. Проектирование железнодорожного пути / Г. М. Шахунянц. - Москва : Транспорт,
1972. - 140 с.
18. A numerical study of cubic parabolas on railway transition curves / T.-I Shen, Ch.-H. Chang, K.-Yu. Chang, Ch.-Ch. Lu // J. of Marine Science and Technology. - 2013. - Vol. 21, No. 2. - P. 191-197. doi: 10.6119/JMST-012-0403-1.
19. Eliou, N. A new, simple and accurate transition curve type, for use in road and railway alignment design / N. Eliou, G. Kaliabetsos // European Transport Research Review. - 2014. - Vol. 6. - Iss. 2. - P. 171-179. doi 10.1007/s12544-013-0119-8.
20. Farin, G. Curves and surfaces for computer-aided geometric design: a practical guide / G. Farin. - 4 th ed. -Academic Press Inc., 1997. - 447 p.
21. Hooke, R. "Direct Search" Solution of Numerical and Statistical Problems / R. Hooke, T. A. Jeeves // J. of the ACM. - 1961. - Vol. 8. - Iss. 2. - P. 212-229. doi: 10.1145/321062.321069.
22. Lipicnik, M. New form of Road/Railway Transition Curve / M. Lipicnik // J. of Transportation Engineering. -1998. - Vol. 124. - Iss. 6. - P. 546-556. doi: 10.1061/(asce)0733-947x(1998)124:6(546).
23. Long, X.-Y. Dynamic analysis of railway transition curves / X.-Y. Long, Q.-C. Wei1, F.-Y. Zheng // Proc. of the Institution of Mechanical Engineers, Part F: J. of Rail and Rapid Transit. - 2010. - Vol. 224. - Iss. 1. -P. 1-14. doi: 10.1243/09544097jrrt287.
24. Tari, E. A new transition curve with enhanced properties / E. Tari, O. Baykal // Canadian J. of Civil Engineering. - 2005. - Vol. 32. - Iss. 5. - P. 913-923. doi: 10.1139/l05-051.
25. Transition Curve Modelling with Kinematical Properties: Research on Log-Aesthetic Curves / A. Arslan, E. Tari, R. Ziatdinov, R. I. Nabiyev // Computer Aided Design & Applications. - 2014 - Vol. 11. - Iss. 5. -P. 509-517. doi: 10.1080/16864360.2014.902680.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 2 (68)
ШФОРМАЦШНО-КОМУШКАЦШШ ТЕХНОЛОГИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
В. Д. БОРИСЕНКО1*, С. А. УСТЕНКО2*
1 Каф. «Компьютерная инженерия», Николаевский национальный университет имени В. О. Сухомлинского, ул. Никольская, 24, Николаев, Украина, 54030, тел. +38 (0512) 71 30 25, тел. +38 (063) 304 75 26, эл. почта borisenko.valery@gmail.com, ORCID 0000-0002-0857-0708
2*Каф. «Компьютерная инженерия», Николаевский национальный университет имени В. О. Сухомлинского, ул. Никольская, 24, Николаев, Украина, 54030, тел. +38 (063) 479 90 61, эл. почта ustenko.s.a@gmail.com, ORCID 0000-0003-4968-1233
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ КРИВОЙ НА ОГРАНИЧЕННОМ УЧАСТКЕ МЕСТНОСТИ
Цель. В статье необходимо рассмотреть дальнейшее развитие метода геометрического моделирования переходных кривых, которые размещаются между прямолинейными и круговыми участками железнодорожных путей и создаются на местностях, рельеф которых обусловливает определенные ограничения на размеры переходных кривых железнодорожного пути. Методика. Уравнение переходной кривой берется в параметрическом виде, где в качестве параметра указывается длина дуги моделируемой кривой. В качестве исходных данных при моделировании переходной кривой используются координаты начальной ее точки и угол наклона в ней касательной, радиус окружности круговой участка и параметр, который выступает в качестве ограничения при размещении участка железнодорожного пути. Переходная кривая моделируется при условии, что распределение ее кривизны от длины дуги - натурального параметра - описывается кубической зависимостью. Эта зависимость содержит четыре неизвестных коэффициента, неизвестной также является длина дуги. Коэффициенты кубической зависимости и длина дуги переходной кривой, координаты ее конечной точки, угол наклона в ней касательной определяются в процессе моделирования переходной кривой. Применение граничных условий, положений дифференциальной геометрии применительно к распределению угла наклона касательной к моделируемой кривой (от начальной до конечных точек переходной кривой и расчета координат конечной точки кривой) позволяет свести задачу моделирования переходной кривой к определению длины дуги этой кривой. Непосредственно длина переходной кривой находится в процессе минимизации отклонения центра окружности кругового участка пути от его текущего значения, получаемого при поиске длины дуги. Результаты. Проведенный вычислительный эксперимент доказал возможность моделирования переходной кривой между прямолинейными и круговыми рельсами железнодорожного пути на участке местности ограниченного размера. Научная новизна. Авторами разработан метод геометрического моделирования переходных кривых между прямолинейными и круговыми участками железнодорожного пути в условиях ограниченных размеров местности, на которой прокладываются рельсы. Переходная кривая представляется в натуральной параметризации с применением кубической зависимости распределения кривизны от длины ее дуги. Практическая значимость. Предложенный метод моделирования переходных кривых в условиях ограниченных размеров местности позволяет с высокой точностью получать эти кривые в широком диапазоне варьирования геометрических параметров прямолинейных и круговых участков железнодорожного пути и параметра, который выступает ограничением при моделировании переходной кривой. Метод можно рекомендовать в практику строительства железнодорожных путей.
Ключевые слова: геометрическое моделирование; переходная кривая; ограниченный участок; кривизна кривой; кубическая зависимость; распределение кривизны
V. D. BORISENKO1*, S. A. USTENKO2*
1 Dep. «Computer Engineering», V. A. Suhomlinskiy Nikolayev National University, Nikolskaya St., 24, Nikolayev, Ukraine, 5*4030, tel. +38 (0512) 71 30 25, tel. +38 (063) 304 75 26, e-mail borisenko.valery@gmail.com, ORCID 0000-0002-0857-0708 1 Dep. «Computer Engineering», V. A. Suhomlinskiy Nikolayev National University, Nikolskaya St., 24, Nikolayev, Ukraine, 54030, tel. + 38 (063) 479 90 61, e-mail ustenko.s.a@gmail.com, ORCID 0000-0003-4968-1233
HayKa Ta nporpec TpaHcnopTy. BicHHK .OHmponeTpoBCLKoro Ha^oH&ntHoro ymBepcureTy 3&ni3HHHHoro TpaHcnopTy, 2017, № 2 (68)
IHOOPMAqiHHO-KOMYMKAqiHffl TEXHO-HOnl TA MATEMATHHHE MOflE.nroBAHHfl
MODELING THE TRANSITION CURVE ON A LIMITED TERAIN
Purpose. The article highlights further development of the method of geometric modelling of transition curves, which are placed between rectilinear and circular sections of railway tracks and are created in localities, the relief of which causes certain restrictions on the size of the transition curves of the railway track. Methodology. The equation of the transition curve is taken in parametric form, in which the length of the arc of the modelled curve is used as a parameter. As initial data in the modelling of the transition curve, the coordinates of its initial point and the angle of inclination in it are tangent, the radius of the circumference of the circular section and the parameter that is used as a constraint when placing a section of the railway track. The transition curve is modelled under the condition that the distribution of its curvature from the length of the arc - the natural parameter - is described by a cubic dependence. This dependence contains four unknown coefficients; the unknown is also the length of the arc. The coefficients of the cubic dependence and the length of the arc of the transition curve, the coordinates of its end point, the angle of inclination in it of the tangent are determined during the simulation of the transition curve. The application of boundary conditions and methods of differential geometry with respect to the distribution of the slope angle of the tangent to the simulated curve (from the initial to the end points of the transition curve and the calculation of the coordinates of the end point of the curve) allows us to reduce the problem of modelling the transition curve to determine the arc length of this curve. Directly the length of the transition curve is in the process of minimizing the deviation of the circumference of the circular path from its current value obtained when searching for the arc length. Findings. As a result of the computational experiment, the possibility of modelling a transition curve between a rectilinear and circular rail track in a region of a limited size has been proved. Originality. Authors developed a method for geometric modelling of transition curves between a rectilinear and circular section of a railway track in conditions of limited terrain size, on which rails are laid. The transition curve is represented in the natural parameterization, using the cubic dependence of the curvature distribution on the length of its arc. Practical value. The proposed method of modelling the transition curves in conditions of limited terrain size allows obtaining these curves with a high accuracy in a wide range of geometric parameters of rectilinear and circular sections of the railway track and a parameter that acts as a constraint in the modelling of the transition curve. The method can be recommended in the practice of building railways.
Keywords: geometric modelling; transition curve; limited area; the curvature of the curve; a cubic dependence; curvature distribution
REFERENCES
1. Amelin, S. V., & Danovskiy, L. M. (1986). Put iputevoye khozyaystvo. Moscow: Transport.
2. Badaiev, S. Y., Borovik, Y. O. (2009). Kryvoliniinyi sehment na osnovi intehralnoi kryvoi. Applied Geometry and Graphics, 81, 213-217.
3. Borysenko, V. D., Ustenko, S. A., & Komar, V. S. (2008). Heometrychne modeliuvannia ploskoho kryvoliniinoho obvodu iz zastosuvanniam kubichnoho zakonu rozpodilu ioho kryvyny. Applied Geometry and Graphics, 79, 52-57.
4. Yelfimov, G. V. (1948). Teoriya perekhodnykh krivykh. Moscow: Transzheldorizdat.
5. Kurhan, M. B., & Novik, R. B. (2014). Osnovni vymohy do vyboru radiusiv kryvykh pry proektuvanni vysokoshvydkisnykh mahistralei. Proceedings of the 74 International Scientific & Practical Conference The problems and prospects of railway transport development, May 15-16, 2014, Dnipropetrovsk. 270-271.
6. Kurhan, M. B., Kurhan, D. M. (2014). Osnovni vymohy do vyboru formy i dovzhyny perekhidnykh kryvykh pry proektuvanni vysokoshvydkisnykh mahistralei. Proceedings of the 74 International Scientific & Practical Conference The problems and prospects of railway transport development, May 15-16, 2014, Dnipropetrovsk. 253-254.
7. Kurhan, M. B., Husak, M. A., & Khmelevska, N. P. (2012). Reconstruction of curves for introduction of highspeed traffic of passenger train. Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport, 40, 90-97.
8. Laguta, V. V. (2002). Improvement of designing of the railway curves in a plan. (PhD thesis). Available from Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Dnipropetrovsk.
9. Lazaryan, V. A. (1985). O forme perekhodnoy krivoy (Teoreticheskiye osnovy vybora ratsionalnoy formy perekhodnoy krivoy). Dinamika transportnykh sredstv (pp. 10-24). Kyiv: Naukova dumka.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 2 (68)
ШФОРМАЦШНО-КОМУШКАЦШШ ТЕХНОЛОГИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
10. Mironov, V. S., & Rudenko, T. A. (2014). Radii of circular curves for high-speed railways when using railway tilting cars. Vestnik transporta Povolzhya, 3(45), 44-50.
11. Borysenko, V., Agarkov, O., Palko, K., & Palko, M. (2016). Modeling of curves in the natural parametrization. Heometrychne modeliuvannia ta informatsiini tekhnolohii, 1, 21-27.
12. Protsenko, A. I., & Bredyuk V. B. (1971). Metodika rascheta na EVM slozhnykh zheleznodorozhnykh krivykh pri tekushchem soderzhanii puti. Sbornik trudov NIIZHT, 130, 48-53.
13. Ustenko, S. A., Didanov, S. V., & Aharkov, O. Y. (2011). Heometrychne modelyuvannya kryvykh liniy iz zadanoyu kryvynoyu v hranychnykh tochkakh. Applied Geometry and Graphics, 87, 404-409.
14. Ustenko, S. A., Didanov, S. V., & Aharkov, O. Y. (2014). Investigation of curves set by cubic distribution of curvature. Science and Transport Progress, 2(50), 164-172. doi: 10.15802/stp2014/23797
15. Ustenko, S. A., & Didanov, S. V. (2013). Method of construction spatial transition curve. Science and Transport Progress, 2(44), 124-128. doi: 10.15802/stp2013/11394
16. Chernyshev, M. A., & Kreynis, Z. L. (1985). Zheleznodorozhnyyput. Moscow: Transport.
17. Shakhunyants, G. M. (1972). Proyektirovaniye zheleznodorozhnogo puti. Moscow: Transport.
18. Shen, T.-I, Chang, C.-H., Chang, K.-Y., & Lu, C. C. (2013). A numerical study of cubic parabolas on railway transition curves. Journal of Marine Science and Technology, 21(2), 191-197. doi: 10.6119/JMST-012-0403-1
19. Eliou, N., & Kaliabetsos, G. (2014). A new, simple and accurate transition curve type, for use in road and railway alignment design. European Transport Research Review, 6(2), 171-179. doi: 10.1007/s12544-013-0119-8
20. Farin, G. (1997). Curves and surfacts for computer-aided geometric design: a practical guide (4th ed.). London: Academic Press Inc.
21. Hooke, R., & Jeeves, T. A. (1961). Direct search solution of numerical and statistical problems. Journal of the ACM, 8(2), 212-229. doi: 10.1145/321062.321069
22. Lipicnik, M. (1998). New form of road/railway transition curve. Journal of Transportation Engineering, 124(6), 546-556. doi: 10.1061/(asce)0733-947x(1998)124:6(546)
23. Long, X.-Y., Wei, Q.-C., & Zheng, F.-Y. (2010). Dynamic analysis of railway transition curves. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part F: Journal of Rail and Rapid Transit, 224(1), 1-14.
24. Tari, E., & Baykal, O. (2005). A new transition curve with enhanced properties. Canadian Journal of Civil Engineering, 32(5), 913-923. doi: 10.1139/l05-051
25. Arslan, A., Tari, E., Ziatdinov, R., & Nabiyev, R. I. (2014). Transition Curve Modelling with Kinematical Properties: Research on Log-Aesthetic Curves. Computer-Aided Design & Applications, 11(5), 509-517. doi: 10.1080/16864360.2014.902680
Стаття рекомендована до публ1кацИ' д.т.н., проф. I. I. Коваленком (Украгна); д.т.н., проф.
A. A. Ставинським (Украта); науковим комтетом X Млжнародно! науково-практичног
конференцИ' «Сучасш ШформацШт та комуткацтт технологи на транспортi, в промисловост1
та освiтi-2016»
Надшшла до редколеги: 01.12.2016
Прийнята до друку: 02.03.2017
