CC BY
6
УДК 514.18
Е.А. ГАВРИЛЕНКО, Ю.В. ХОЛОДНЯК
Таврический государственный агротехнологический университет
А.В. НАЙДЫШ
Мелитопольский государственный педагогический университет имени Богдана Хмельницкого
ДИСКРЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОБВОДА НА ОСНОВЕ ОБЛАСТИ ВОЗМОЖНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ КРИВЫХ С ЗАДАННЫМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Рассматривается задача формирования пространственных одномерных обводов с закономерным изменением кривизны, кручения, радиусов соприкасающихся сфер. Обвод формируется сгущением исходного точечного ряда по участкам, на которых обеспечивается монотонное изменение геометрических характеристик. Точки сгущения назначаются внутри области возможного расположения кривых с заданными геометрическими свойствами.
Ключевые слова: монотонная дискретно представленная кривая (ДПК), соприкасающаяся окружность, соприкасающаяся сфера, ход кривой, тетраэдр расположения ДПК, трехгранник прилегающих сфер.
е.А. ГАВРИЛЕНКО, Ю.В. ХОЛОДНЯК
Тавршський державний агротехнолопчний ушверситет
А.В. НАЙДИШ
Мел™польський державний педагопчний ушверситет iменi Богдана Хмельницького
ДИСКРЕТНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОДНОВИМ1РНОГО ПРОСТОРОВОГО ОБВОДУ НА ОСНОВ1 ОБЛАСТ1 МОЖЛИВОГО РОЗТАШУВАННЯ КРИВИХ 13 ЗАДАНИМИ ГЕОМЕТРИЧНИМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Розглядаеться задача формування просторових одновимiрних обводiв iз закономiрною змiною кривини, скруту, радiусiв стичних сфер. Обвiд формуеться згущенням вихiдного точкового ряду по дшянкам, на яких забезпечуеться монотонна змiна геометричних характеристик. Точки згущення призначаються всередит областi можливого розташування кривих iз заданими геометричними властивостями.
Ключовi слова монотонна дискретно представлена крива (ДПК), стичне коло, стична сфера, хiд кривоI, тетраедр розташування ДПК, тригранник сфер. що прилягають.
E.A. GAVRILENKO, YU.V. KHOLODNYAK
Tavria State Agrotechnological University
A.V.NAYDYSH
Bohdan Khmelnytskyi Melitopol State Pedagogical University
DISCRETE MODELING OF ONE-DIMENSIONAL SPATIAL CONTOURS ON THE BASIS OF A
POSSIBLE LOCATION OF CURVES WITH GIVEN GEOMETRIC CHARACTERISTICS
The task of the formation of spatial one-dimensional contours with a regular change of curvature, torsion, and the radiuses of the adjoining spheres is considered in this article. The contour is formed by thickening of the initial points set along the sections on which monotonous change of geometric characteristics is provided.The points of thickening are assigned within the area of the possible location of curves with given geometric properties.
Keywords:monotonous discretely represented curve (DRC), osculating circle, tangent sphere,trend of curve, tetrahedron of the DRC location, trihedron of adjacent spheres.
Постановка проблемы
Одномерные обводы используются в качестве инструмента решения многих задач геометрического моделирования. Примерами таких задач могут служить приближенные вычисления, построение графиков, описывающих явления и процессы, формирование поверхностей на основе линейчатых каркасов. Обвод определяется исходным точечным рядом, фиксированными геометрическими характеристиками, назначенными в исходных точках, заданной закономерностью изменения характеристик вдоль обвода.
На данный момент наиболее разработаны методы непрерывного геометрического моделирования одномерных обводов. Обвод формируется участками аналитически заданных кривых, состыкованных в исходных точках с обеспечением заданного порядка гладкости. Наращивание условий, накладываемых на
формируемый объект, требует увеличения параметрического числа кривых линий, формирующих участки обвода. При этом неизбежно возникают особые точки: точки перегиба, самопересечения и смены хода кривой, точки перемены возрастания-убывания вдоль кривой кривизны, кручения, радиусов соприкасающихся сфер. Неконтролируемое возникновение особых точек снижает качество получаемого решения.
Особенно важен контроль возникновения особых точек при моделировании динамических поверхностей, функциональное назначение которых - взаимодействие со средой. Основное требование к линейным элементам моделей таких поверхностей - максимально возможный порядок гладкости обвода при минимальном числе особых точекна его участках.
Задача контроля возникновения особых точек может быть решена вариативным дискретным геометрическим моделированием [3]. Формируемая кривая представлена упорядоченным множеством принадлежащих ей точек и геометрическими характеристиками кривой. Кривая формируется сгущением, предполагающим определение для исходного точечного ряда промежуточных точек. Такой подход позволяет отказаться от аналитического представления участков кривой и формировать обвод исходя из заданных геометрических свойств.
Основная проблема дискретного подхода к формированию обводов в том, что кривая и ее характеристики не определены однозначно на всех этапах моделирования. Необходима разработка специальных критериев, позволяющих оценивать характеристики дискретно представленных геометрических образов.
Создание алгоритмов формирования одномерных обводов, не требующих аналитического представления его участков, способных обеспечить заданные геометрические свойства кривой даст эффективный инструмент решения задач геометрического моделирования.
Анализ последних исследований и публикаций
Способ вариативного моделирования гладкой дискретно представленной кривой (ДПК) постоянного хода предложен в [1]. ДПК формируется на основе исходного точечного ряда назначением промежуточных точек сгущения. При этом полагаем, что исходные точки заданы без погрешности и в процессе моделирования не изменяют своего положения.
Каждые три последовательные точки определяют прилегающую плоскость (1111). Четыре последовательные ПП, проходящие через 7-ю и 1+1 -ю точки ограничивают тетраэдр. Этот тетраэдр является областью возможного расположения ДПК постоянного хода на участке (7,7+1). Цепочка последовательных тетраэдров, определенных на всех участках, является областью расположения гладкой кривой линии постоянного хода, интерполирующей исходный точечный ряд (рис. 1).
Кручение на участках ДПК оценивается величиной отношения угла между смежными ПП к длине соответствующей хорды сопровождающей ломаной линии (В7Ф). Точка сгущения назначается внутри тетраэдра расположения ДПК. В результате последовательных сгущений, в пределе, получим непрерывный обвод постоянного хода, в каждой точке которого существует единственное положение основного трёхгранника. Регулярность значений кручения в точках обвода (В7) обеспечивает выполнение условия
В?1 > В1 > В^ при каждом сгущении.
Предложенный в [1] способ не обеспечивает контроль значений кривизны и радиусов соприкасающихся сфер в точках формируемого обвода.
В [2] исследованы условия формирования монотонных кривых линий - кривых постоянного хода, вдоль которых радиусы соприкасающихся окружностей и сфер монотонно возрастают или убывают. Кривая линия рассматривается, как траектория движения точки М, принадлежащей нормальной плоскости Ы, обкатывающей полярный торс, ребро возврата которого - кривая постоянного хода (рис. 2).
Рис. 2. Формирование монотонной кривой линии
Установлены условия, при которых полярный торс определяет монотонную кривую линию.
Ось кривизны /, соответствующая текущему положению точки М, и прямая п, которая пересекает ось кривизны в центре соприкасающейся сферы под прямым углом, разделяют плоскость N на четыре части. Накатывание четверти плоскости N в которой расположена точка М, на полярный торс означает, что вдоль траектории движения точки М значения радиусов кривизны монотонно убывают. Точки плоскости N в направлении которых перемещается прямая п, описывают кривые, вдоль которых радиусы соприкасающихся сфер монотонно убывают.Точка М, расположенная в четверти плоскости Ы, которая накатывается на полость полярного торса и в направлении которой перемещается прямая п, двигается по кривой, ход которой совпадает с ходом ребра возврата ее полярного торса.
Существует восемь различных вариантов сочетаний направления возрастания радиусов кривизны, радиусов соприкасающихся сфер и хода вдоль монотонных кривых. Все варианты можно определить тремя параметрами:
- направление хода ребра возврата полярного торса кривой;
- направление обкатывания полярного торса нормальной плоскостью кривой;
- расположение в нормальной плоскости точки, описывающей при своем движении монотонную
кривую.
Предложенная классификация позволяет рассматривать любую кривую как состоящую из участков монотонных кривых и формировать её локально, по этим участкам.
На основании механизма формирования монотонной кривой линии сделан анализ взаимного расположения ее соприкасающихся окружностей и сфер. Соприкасающиеся сферы рассматриваются как заданные соприкасающимися окружностью и бесконечно близкой точкой кривой, а соприкасающиеся окружности как линии пересечения смежных соприкасающихся сфер. Указанный анализ позволяет сделать вывод о расположении монотонной кривой относительно ее соприкасающихся сфер. Кривая линия постоянного хода, вдоль которой радиусы соприкасающихся окружностей и сфер возрастают в одном направлении, расположена за пределами ее соприкасающихся сфер. Если вдоль монотонной кривой радиусы соприкасающихся окружностей и сфер возрастают в разных направлениях, то она расположена внутри своих соприкасающихся сфер.
Цель исследования
Исследовать условия формирования дискретно представленной кривой (ДПК) постоянного хода с монотонным изменением радиусов соприкасающихся окружностей и сфер. Разработать способ, позволяющий определить область возможного расположения кривых, с заданными геометрическими свойствами. Предложить схему сгущения пространственного точечного ряда, которая обеспечивает формирование ДПК с монотонным изменением геометрических характеристик.
Изложение основного материала исследования
Рассмотрим точечный ряд, расположенный на кривой линии I постоянного хода, вдоль которой радиусы соприкасающихся окружностей и сфер монотонно возрастают в одном направлении. Каждые четыре последовательные точки определяют прилегающую сферу - ПСф7 (7-1, 7, 7 + 1, 7+2) и две принадлежащие ей прилегающие окружности - ПО7 (7-1, 7, 7+1) и ПО7+1 (7, 7+1, 7+2).
Когда расстояние между точками бесконечно мало, то они определяют соприкасающиеся окружности и сферы(СО7 и ССф7).
При увеличении расстояний между точками, заданными на I, определяемые этими точками окружности и сферы будут пересекать кривую.
Направление возрастания вдоль точечного ряда радиусов ПО и ПСф соответствует направлению возрастания радиусов СО 7 и ССф 7 вдоль I.
ПСф7 пересекает / в точках 7-1, 7, 7+1,7+2 (рис. 3).
Рис. 3. Расположение монотонной кривой относительно прилегающей сферы
Участки кривой ...7-1, 7 . 7+1, 1+2... расположены за пределами ПСф7, а участки 7-1 ... 7 и 7+1... 7+2 - внутри нее. Из этого следует, что последовательные ПСф7-1, ПСф7, ПСф7+1 ограничивают область, внутри которой расположен участок 7.7+1 кривой I. Эту область, имеющую форму сферического трехгранника, будем называть трехгранник прилегающих сфер и обозначим 6 7.
Для кривой I трехгранник 67 расположен за пределами ПСф7, а для кривой, вдоль которой радиусы соприкасающихся окружностей и сфер возрастают в противоположных направлениях, 67 расположен внутри
ПСф7.
Аналогичные трехгранники, определенные на остальных участках, составляют область возможного расположения монотонной ДПК. Все кривые линии, интерполирующие точечный ряд, характеристики которых соответствуют характеристикам I, находятся внутри области возможного расположения ДПК.
Точка сгущения (7сг) назначается в плоскости Р7, перпендикулярной хорде [7, 7+1] и проходящей через середину хорды. Исходная область расположения точки сгущения - криволинейный треугольник 1, 2, 3, получаемый в пересечении трехгранника 67 плоскостью Р7 (рис. 4) Характеристики криволинейного треугольника однозначно определяют тип монотонной ДПК.
Рис. 4. Область расположения точки сгущения
Участок ДПК (7, 7+1) расположен в пределах трехгранника 67 и одновременно за пределами ПСф7-2 и ПСф 7+2. Окружности пересечения указанных сфер плоскостью Р7 могут ограничивать область возможного расположения точки 7 сг. Криволинейный многоугольник, ограниченный дугами пяти окружностей, получаемых в пересечении плоскостью Р7 пяти последовательных прилегающих сфер (ПСф7-2 ... ПСф 7+2), будем называть областью расположения точки сгущения 7-го участка ДПК и обозначим А 7.
Сгущение производится на участках с максимальной областью расположения ДПК. Назначив 7 сг на участке (7, 7+1) получаем последовательность узлов, определяющих два новых участка - (7, 7сг) и (7сг, 7+1), четыре новые прилегающие сферы: ПСф(7-2, 7-1, 7, 7сг), ПСф7(7-1, 7, 7сг, 7+1), ПСф7( 7, 7сг, 7+1, 7+2), ПСф 7 (7сг, 7+1, 7+2, 7+3) и шесть новых трехгранников прилегающих сфер (6сг).
На участках (7, 7сг) и (¡сг, 7+1) трехгранники ёсг ограничены прилегающими сферами, полученными в результате назначения точки сгущения. На участках (7-2, 7-1), (7-1, 7), (7+1, 7+2), (7+2, 7+3) трехгранники ёсг ограничены исходными и вновь сформированными иприлегающими сферами, которые локализуют исходные трехгранники прилегающих сфер. Назначение точки сгущения в пределах области А 7 гарантирует расположение трехгранников ёсг в пределах исходной области расположения ДПК.
Назначение точек сгущения внутри области А 7 необходимое и достаточное условие формирования монотонной ДПК. В случае назначения 7сг на границе А 7, например на ПСф7-2, трехгранники ё7-1сг и ё7-2сг выродятся в отсеки этой сферы. В этом случае участок ДПК (7-2 ... 7) будет формироваться как сферическая кривая, принадлежащая ПСф7-2. Если 7 сг назначить за пределами А 7, например, внутри криволинейного треугольника 2,2Ь23 (рис. 4), то получим трехгранники ё7-1 сг и ё7-2сг, определяющие участки монотонной ДПК правого хода, вдоль которой радиусы соприкасающихся окружностей монотонно возрастают, а радиусы соприкасающихся сфер убывают. В этом случае ДПК будет состоять как минимум из трёх монотонных участков
Наличие постоянно локализующейся в результате последовательных сгущений области возможного расположения обвода, при сохранении исходных характеристик трехгранников прилегающих сфер -необходимое условие формирования монотонной ДПК.
Монотонные участки ДПК формируются сгущением исходного точечного ряда по следующей
схеме.
1. На каждом участке, ограниченном двумя последовательными исходными точками, формируется тетраэдр расположения ДПК. Параметры тетраэдров позволяют определить ход и направление увеличения значений кручения вдоль ДПК [1].
2. Внутри каждого тетраэдра определяется область расположения ДПК, ограниченная прилегающими сферами - трехгранники прилегающих сфер.
3. Точки сгущения назначаются внутри области возможного расположения ДПК.
В результате каждого сгущения получаем точечный ряд, вдоль которого радиусы прилегающих окружностей и сфер возрастают в том же направлении, что и у исходного точечного ряда. Наличие после назначения каждой точки сгущения последовательно локализующейся области расположения ДПК обеспечивает схождение процесса моделирования к формированию участков, вдоль которых значения кручения, кривизны и радиусов соприкасающихся сфер изменяются монотонно.
Выводы
Предложен способ формирования на основе точечного ряда произвольной конфигурации дискретно представленной кривой (ДПК) с регулярным изменением кручения, радиусов соприкасающихся окружностей и сфер. ДПК формируется по участкам, вдоль которых обеспечивается монотонное изменение геометрических характеристик кривой.
Монотонные участки формируются сгущением исходного точечного ряда и не требуют аналитического представления. Определение области возможного по условиям задачи расположения кривой позволяет оценивать максимальную абсолютную погрешность, с которой ДПК представляет формируемый обвод. Окончательное решение может быть получено в виде сопровождающей ломаной линии, расстояние от которой до кривой с заданными геометрическими свойствами не превышает заранее назначенной величины.
Список использованной литературы
1. Гавриленко Е.А. Вариативное дискретное геометрическое моделирование одномерных обводов с заданными дифференциально геометрическими свойствами / Е.А. Гавриленко // Вюник Херсонського нацюнального техшчного ушверситету. - 2015. - Вип. 3 (54). - С. 555-559.
2. Гавриленко Е.А. Формирование геометрических характеристик монотонной кривой линии / Е.А. Гавриленко, Ю.В. Холодняк, В.А. Пахаренко // Вюник Херсонського нацюнального техшчного ушверситету. - 2016. - Вип. 3 (58). - С. 492-496.
3. Найдиш В.М. Дискретна штерполящя: навчальний поабник / В.М. Найдиш. - Мелтгополь: Люкс, 2008. - 250 с.
