CC BY
17
УДК 514.182.7:519. 651
А.В. НАЙДИШ, Л.е. НИКИФОРОВА, Д.В. СП1Р1НЦЕВ
Мелгтопольський державний педагогiчний ушверситет iMeHi Богдана Хмельницького
геометричне моделювання дпк з прямол1н1йними д1лянками методом дискретно! 1нтерполяцп на основ1 кут1в згущення
Розглядаеться дискретна ттерполящя дискретно представленог кривог (ДПК) запропонованим ратте методом на основi спiввiднотень мiж кутами згущення. При цьому збер^еться прямолтттсть дтянок вих^дног ДПК.
Ключовi слова:дискретна ттерполящя, дискретно представлена крива, кути згущення, прямолттна
дтянка.
A.V. NAYDYSH, L.E. NIKIFOROVA, D.V. SPIRINTSEV
Melitopol State Pedagogical University named after Bogdan Khmelnitsky
GEOMETRICAL DESIGN OF DSC WITH RECTILINEAL BY AREAS BY METHOD OF DISCRETE INTERPOLATION ON BASIS OF CORNERS OF CONDENSING
Annotation
In the practical tasks of design often there are basic data as point rows with rectilineal areas that in the process of interpolation must remain rectilineal. At application of well-known methods of continuous interpolation this situation inevitably conduces to oscillation and falling of exactness. Therefore, for a decision the set problem, consideration of methods of discrete interpolation is perspective. A problem consists of application of methods of discrete geometrical design for a decision the set problem.
First on the necessity of decision of this task paid attention Найдыт В.М. and offered the idea of her decision on the basis of relation of the second divide differences in the key points of rectilineal area.
As one of variants of decision of this task, the method of the local condensing of ДПК is offered with rectilineal areas on the basis of an offer by us method of discrete interpolation on the basis of corners of condensing.
Discrete interpolation of discretely submitted curve (DSC) by the method offered earlier is considered on the basis ofparities (ratio) between corners of a condensation. Thus straightforwardness of sites initial DSC is kept.
Keywords: discrete interpolation, discretely submitted curve, corners of condensing, rectilinear area.
Постановка проблеми. При практичному моделюванш часто зустр1чаються вихвдн даш у вигляд1 точкових ряд1в з прямолшшними дшянками, яш в процеа штерполяци повинш лишатися прямолшшними. При застосуванш вщомих метод1в неперервно! штерполяци ця ситуац1я неминуче веде до осциляци i падшня точносл. Проблема полягае у застосуванш метод1в дискретного геометричного моделювання для розв'язання поставлено! задача
Аналгз остантх дослгджень. Вперше на необхщнють розв'язання дано! задачi звернув увагу Найдиш В.М. [1] i запропонував щею и розв'язання на основi ставлення других роздшених рiзниць у вузлових точках прямолшшно! дшянки.
Вiдомi методи моделювання [3] не дають змоги проводити згущення ДПК довшьно! конф^рацп, у яко! прямолiнiйнi дшянки мають довiльнi розташування вiдносно глобально! системи координат (або мають при цьому значш ускладнення та похибки). Як один iз варiантiв розв'язання дано! задач^ пропонуеться спосiб локального згущення ДПК з прямолшшними дшянками на основi запропонованого нами методу дискретно! штерполяци на основi купв згущення [2, 4].
Формування цшей CTaTTi. Метою дано! статтi е висвгтлення результатiв дослвдження застосуванню методу дискретно! штерполяци на основi шляхов згущення для розв'язання поставлено! задача
Основна частина. Розглянемо фрагмент ДПК, задано! координатами сво!х вузлiв (xj, yi), i = 0;n , в глобальнш системi координат (рис. 1). Цей фрагмент мае опуклу дшянку (i — 2,i — 1,i) i прямолшшну дiлянку (i, i +1, i + 2, i + 3).
При згущеннi таких ДПК треба забезпечити:
1. Заданий порядок наближення згущено! опукло! дшянки (i — 2, i — 1, i) в т. i злiва i прямо! лiнi!
(,...,1 + 3).
2. Таку роботу алгоритмiв згущення, коли точки згущення на прямолiнiйнiй дмнщ (г,...,г + 3) розташовуються на ланках (г, г +1), ( + 1, / + 2), (г + 2, / + 3).
Рис. 1. Змша кута сум1жноспу вузл1 I при згущент зл1ва в1д нього.
г + 3
Розглянемо розв'язання прямог задачи Порядок наближення [3] в т. г криволшшно! дiлянки до прямолшшно! будемо розглядати, як вiдношення кута сум1жносп ук (на К -му кроцi згущення). Ланки згущено! супроводжуючо! ламано! лшп (СЛЛ) дмнки (г — 1,г), що примикае до вузла г, до кута
вщношення у0 вихвдно! ДПК. Очевидно, що швидк1сть наближення (наск1льки вказане вiдношення спадае з кожним кроком згущення). Залежить ввд того, як буде формуватися множина променiв згущення у вузлi г . Особливiсть згущення в околi вузла г (злiва) полягае в тому, що кут сум1жносп у вузлi г весь час вимiрюеться вiд одного i того ж променя, що е продовженням ланки (г,...,г + 3). Умовимось у подальшому [2], що тут згущення [2] у вузлi г для даного кроку згущення формуеться за допомогою одного i того ж коефщента ), тобто
Д =м.у0, дк = л■ у—1 (1)
Нескладш мiркування доводять, що пiсля К -го кроку згущення у вузл1 г утворюеться кут
• к
сумiжностi у г що дорiвнюе
Тодi порядок наближення г дорiвнюе
У
=(1—¡¡к ■у0
гк
= (1—¡¡к
(2)
(3)
Осшльки 0 < ¡1 < 1, то з кожним кроком згущення ] зменшуеться, характеризуючи стетнь
наближення останньо! ланки згущено! СЛЛ до прямолшшно! дшянки. Якщо зараш задати ]к = £ i деяке Л, то число крошв згущення, коли буде досягнуто заданий порядок наближення £ , дорiвнюе
(
К = Е
\
+1,
(4)
.18 (1 — Л)
де Е() - цша частина ввд виразу у дужках. Швидшсть наближення можна зб№шити або зменшити шляхом змiни ) на кожному кроцi згущення. Тодi замiсть (3) маемо
к
„к
г =П(1—)т).
т=1
Число крошв згущення для досягнення заданого £ в цьому випадку визначаеться шляхом послщовного
зб1льшення К до досягнення умови гк < £.
Розглянеморозв'язання другог задачи Прямолшшна дшянка може мати щонайменше дв1 ланки з нульовим значениям кута сум1жносл в спшьному вузл1. При згущенш прямолшшних ланок можлив1 2 вар1анти:
1. Обидва кути сум1жносп у вузлах ланки дор1внюють нулю (ланка (г +1, г + 2) на рис. 1).
2. Один кут сум1жност1 дор1внюе нулю (^¿+1 = о), а шший у0 Ф 0 .(рис. 1).
Розглянемо перел1чеш вар1анти по порядку. 1й варiант. у0+1 = у0+ 2 = 0. Спираючись на [2], маемо значення локально! абсциси X+1 5 точки згущення
Т. л = [г +1,г + 2]---, (6)
г+1,5 1 , ] & Д+1++ ъ Д+2- , ()
де [г +1, г + 2] - довжина ланки (г + 1, г + 2),
Д+1+ - кут згущення справа в1д вузла (г +1), Д + 2 - зл1ва ввд вузла (г + 2). Осшльки Д +1+ = Д+2- = 0, то розкриваючи невизнанють за правилом Лотталя, маемо
хг+1,5 = [г +1, г + 2] •1, уг +15 = 0, (7)
тобто точка згущення розташовуеться посередиш ланки (г +1, г + 2).
Аналопчну ситуацш будемо мати при наступних кроках згущення.
2й вар1амт . у0 Ф 0, у0+1 = 0 . Тод1
Хг+0,5 = [г, г+1] / Я;1- . (8)
^ Д+ + ^ Д+1-
Оск1льки Д+1- = 0, Д + Ф 0, то хг+0,5 = 0 1 уг+1 5 = 0, тобто точка згущення (г + 0,5) зб1гаеться з
вузлово! т. г. При подальшому згущенш в1др1зок [г,г + 0,5] = 0 1 ва точки згущення ( + 0,5т ), т = 1; к, до К -го кроку включно зб1гаються з вузлом г .
В1др1зок (г + 0,5,г +1), довжина якого дор1внюе [г,г +1] мае в граничних точках (г + 0,5) 1 (г +1) нульов1 кути сум1жност1 1 тому згущаеться у в1дпов1дност1 з вар1антом 1.
Зб1г точок г 1 (г + 0,5т) на меж1 опукло! 1 прямолшшно! д1лянок тдкреслюе вщповвдний порядок !х наближення.
Висновки. Згущення ДПК з прямолшшними д1лянками включае два етапи: згущення опукло! дшянки з забезпеченням заданого порядку !! наближення до прямолшшно! д1лянки г, власне, згущення прямолшшно! дшянки. Розроблеш рашше [2] алгоритми усшшно виконують вказаш розрахунки 1 побудови.
Лггература
1. Найдиш В.М. Можливостi та перспективи розвитку дискретного геометричного моделювання / В.М. Найдиш, В.М. Брустинов, В.М. Верещага, А.В. Найдиш // Мiжвiдомчий науково-технiчний збiрник «Прикладна геометрiя та iнженерна графша». - Вип. 56 - К.:КНУБА 1994, - С. 11-13.
2. Найдиш В.М. Дискретна штерполящя плоских точкових рядiв на основi кутiв згущення / В.М. Найдиш, В.О. Лебедев // Пращ Тавршсько! державно! агротехшчно! академп. - Вип. 4, Т. 20. -Мелггополь: ТДАТА, 2003. - С. 43-48
3. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов Т.4 Ок-Сло. - М: "Советская энциклопедия", 1984. - 1216 с.
4. Найдиш А.В. Метод дискретно! штерполяци на основi купв згущення / А.В. Найдиш, В.С. Сремеев, В.О. Лебедев // "Прикладна геометрiя та шженерна графша".- К.:КНУБА 2013, - Вип. 91 - С. 193198.
