CC BY
5
УДК 514.18
В В. СШРИЦЕВ1, О.В.СП1РЩЦЕВА2, В О. ЛЕБЕДЕВ3
1 Таврiйський державний агротехнолопчний ушверситет 2 Днiпропетровський нацюнальний унiверситет iM. Олеся Гончара 3 Мел™польський державний педагогiчний унiверситет iMern Богдана Хмельницького
ДИСКРЕТНА 1НТЕРПОЛЯЦ1Я ПРЯМОЛ1Н1ЙНИХ Д1ЛЯНОК ДПК НА ОСНОВ1 АДАПТИВНОГО СПОСОБУ
В po6omi пропонуеться розв 'язання 3adaui дискретноi штерполяцп ДПК, що мае прямолтшш дтянки, на ocHoei запропонованого раште адаптивного способу при pi3Hux eapiaHmax завдання euxidmx умов. При цьому збер^аеться прямолтштсть дтянок вихiдноiДПК.
Ключовi слова: дискретно представлена крива, прямолтшна дтянка, адаптивний споЫб
V.V.SPIRINTSEV 1 ,O.V.SPIRINTSEVA 2, V.O. LEBEDEV3
1 Tavria State Agrotechnological University 2 Dnepropetrovsk National University named after Oles Honchar 3 Melitopol State Pedagogical University named after Bogdan Khmelnitsky
DISCRETE INTERPOLATION OF DSC RECTILINEAR SITES BY ADAPTIVE WAY
Annotation
Discrete interpolation (condensation) flat discretely presented curve (DSC) of any configuration including ambiguous in relation to axis Ox, can be most effectively carried out on the basis of angular parameters. The methods developed in this direction are focused on a local condensation of each link of an accompanying broken line (ABL) of DSC with the coordination of the specified parameters values in knots of DSC. Thus, there is a necessity for such methods of interpolation development which would allow to solve effectively the task of rectilinear sites of DSC condensation.
While practical modeling we often meet initial data presented like dot numbers with rectilinear sites which during interpolating should remain rectilinear, i.e. condensation points should lay on one straight line. Application of continuous interpolation methods does not allow to solve ouch task as thus it is impossible to avoid to oscillation and also sharp falling of accuracy is observed. In work the decision of discrete interpolation of DSC task which has rectilinear sites is given on the basis of adaptive way offered before at various variants of initial conditions.
Condensation of DSC with rectilinear sites includes two stages: convex sites condensation with maintenance of the set order of their approach to a rectilinear site and a consecutive condensation of rectilinear site links. The offered algorithms effectively carry out the specified calculations and constructions.
Keywords: discretely presented curve, a rectilinear site, adaptive way.
Постановка проблеми. Дискретна штерполящя (згущення) плоских дискретно представлених кривих (ДПК) дов1льно! конфпурацп, в тому числ i неоднозначных по вщношенню до ос Ox, найб1льш ефективно може бути здшснена на основ1 кутових параметр1в. Розроблеш в цьому напрямку методи ор1ентоваш на локальне згущення кожно! з ланок супроводжуючо! ламано! лшп (СЛЛ) ДПК з погодженням значень вказаних параметр1в у вузлах ДПК.
При практичному моделюванш школи трапляються вихщш даш у вигляд1 точкових ряд1в з прямолшшними д1лянками. Особливють процесу штерполяцп вказаних д1лянок полягае в тому, що при згущенш даш д1лянки повинш залишатися прямолшшними (точки згущення повинш розташовуватися на однш прямш). Застосування неперервних метод1в штерполяцп не дозволяе ефективно розв'язувати поставлене завдання. Це пов'язано з тим, що даш методи не в змоз1 забезпечити вщсутшсть осциляцп, у зв'язку з чим неможливо гарантувати забезпечення необхвдно! точносл моделювання. Таким чином виникае необхвдшсть в розробщ таких метод1в штерполяцп, що дозволили би ефективно розв'язати поставлене завдання згущення прямолшшних д1лянок ДПК.
Анaлiз останшх досл1джень. Вперше на необхвдшсть розв'язку даного питання звернув увагу Верещага В.М. [1]. В подальших дослвдженнях, проведених Щербшою В.М. [2], Лебедевим В.О. [3], Сосновських Д.О. [4], Сшршцевим Д.В. [5], Сшршцевим В.В. [6] було досить ефективно розв'язано задачу дискретно! штерполяцп прямолшшних д1лянок ДПК, з урахуванням розроблених авторами метод1в. В данш робот пропонуемо застосувати запропонований нами в робот [7] адаптивний спос1б для здшснення завдання дискретно! штерполяцп ДПК, що мае прямолшшш д1лянки.
Формулювання цшей CTaTTi. Метою статп е висвгтлення результапв дослвдження застосуванн адаптивного способу дискретно! штеропляцл для розв'язання поставлено! задача
Основна частина. При практичному моделюванш нервдш ситуацп, коли вихвдна ДПК мае прямолшшш д1лянки. Однак, не завжди вихвдш даш вм1щують шформацш щодо прямолшшносп т1е! чи
шшо! дмнки ДПК. Тому доцшьним було розглянути два варiанти завдання: прямолiнiйнiсть дiлянки визначена у вихвдних даних; вихiднi данi не визначають прямолiнiйнiсть дiлянки.
Розглянемо розв'язання першого варiанту завдання (прямолiнiйнiсть дiлянки визначена у вихвдних даних).
Розглянемо фрагмент ДПК, задано! координатами (х^, у^),г = 0; п, сво1х точок у глобальнш системi координат (рис.1). Цей фрагмент складаеться з двох опуклих дiлянок (г — 1, г), (г + 3,г + 4) i прямолшшно! (г,...,г + 3). На прямолiнiйнiй дiлянцi розташованi вузли г +1 та г + 2, яш розбивають 11 на три ланки (г, г +1),(г +1, г + 2),(г + 2, г + 3). Кути сум1жносл в загальних вузлах г +1 i г + 2 для
даних ланок дорiвнюють нулю (у°+1 = 0, /¡+2 = 0). У вузлах г i г + 3 здшснюеться стикування опуклих дiлянок (г — 1, г) i (г + 3, г + 4) iз прямолiнiйною (г,...,г + 3).
Рис. 1. Схема згущення ДПК, що мае прямол1н1йну далянку
Для розв'язання поставленого завдання необидно:
1) забезпечити стикування опуклих дшянок (г — 1, г) i (г + 3, г + 4) з прямолшшною (г,..., г + 3 ) при заданому порядку наближення, що дозволить зробити регульовану амплтгуду стрибкоподiбноl змiни кривини в точщ стику;
2) здiйснити локальне згущення ланок (г, г +1), (г +1, г + 2), (г + 2, г + 3 ), що лежать на прямолшшнш дшянщ (г,...,г + 3) використовуючи алгоритм розробленого нами адаптивного способу. Причому, точки згущення повинш розташовуватися на прямолшшнш дшянш в межах зазначених ланок.
Розглянемо локальне згущення ланки (г — 1, г) ДПК (рис.2) зпдно з основним алгоритмом адаптивного способу [7]. Розiб'емо ланку (г — 1, г), довжина яко! I, на п рiвних частин (в нашому
випадку п=4), що утворюють рiвномiрну сiтку з кроком к, i на цiй сищ побудуемо точки згущення. Розв'язання поставлено! задачi пропонуеться здiйснити наступним чином:
Рис. 2. Локальне згущення ланки ДПК на основ1 адаптивного способу
1) Порiвнюeмо кути сумiжностi у0— i у0 (рис.2) у вузлах i — 1 i i, ввдповщно. Виявляемо менший з них. З боку меншого кута, зпдно з рис.2 -у0, проводимо промшь а4 пiд кутом
0\ • .. ■ 1 ■ л (л
а4 = arctg(Р4 ■ tgy° ) до вихвдно1 ланки ( i — 1, i ), де p/ = 1 _ (l _ /) /În2 - деякий коефщент керування згущено1 СЛЛ ДПК, що залежить вiд числа розподiлiв ланки / при згущенш (на першому кроцi /=п, в нашому випадку /=4; на наступному кроцi /=n-1 i т.д.) та коефщенту згущення / =0,25 [3].
В результата перетину даного променя а4 з лшею зв'язку x = 3 одержуемо точку згущення т.3,
ордината яког у^ = h ■ tga4. Далi з'еднуемо отриману точку згущення т.3 з вузловою т.0 хордою 0-3, що
утворюе з вихщною ланкою ( i — 1, i ) кут р3: (рз = arctg
У л
А—ч
2) Порiвнюемо отриманi кути в3-0 i в0-з, де в3-0 - кут, що утворюе хорда 0-3 i промшь а4 :
дз_о =а4 + (3; в0-3 - кут, що утворюе хорда 0-3 i попередня ланка ( i — 2, i — 1) , #0_з = У°-1 _Рз. В результатi порiвняння даних кутiв в3-0 i в0-3 виявляемо менший з них. В нашому випадку, зпдно з рис.2 в3-0 < в0-3 . Продовжуемо згущати з боку меншого кута в3-0 згвдно з пунктом 1): проводимо промшь аз з отримано! рашше точки згущення т.3 тд кутом аз = arctg(pз ■ tgai+1) до вихвдно! ланки (i, i +1), де Рз - деякий коефщент керування при /=з. В результатi перетину даного променя аз з лшею зв'язку x = 2 одержуемо точку згущення т.2. З'еднуемо отриману точку згущення т.2 з вузловою т.0 хордою 0 -2,
/ Л - -
що утворюе з вихвдною ланкою ( i — 1, i ) кут р2: ( = arctg , де У 2 = Уз + h ■ tgаз -
ордината точки згущення т.2. Повертаемося до початку пункта 2), тобто порiвнюемо отримаш кути в2-0 i в0-2, де в2-0 - кут, що утворюе хорда 0-2 i промшь аз, #2-0 = а + (2 ; во-2 - кут утворений мiж хордою
0-2 i ланкою ( i _ 2, i _ 1), Оо_2 = У/°-1 _ (2. Виявляемо менший з них, i продовжуемо процес згущення, зпдно викладено! методики, поки не отримаемо усi точки згущення та не сформуемо згущену СЛЛ ДПК.
В результата локального згущення дано! ланки ( i — 1, i ) на основi алгоритму адаптивного
способу [7] була сформована згущена СЛЛ, що у вузлi стику i утворюе кут сум1жноста yf (див. рис.1), де / - вщповщае кроку ланки (числу розподшв ланки при згущенш). Ввдповщно до рис. 1 кут сумiжностi
У/ :
У/ =У0 _аi_, (1)
де а{_ - кут нахилу останньо! ланки згущено! СЛЛ до ланки ( i — 1, i ), аi_ = arctg(p/ ■ tgyf );
/ sin//
Р/ = 1 — (1 _ /) /in2, при /=п - деякий коефщент керування згущено! СЛЛ ДПК.
Порядок наближення [8] т]/ криволiнiйноï дмнки до прямолiнiйноï в деякому вузлi i будемо розглядати, як ввдношення кута сумiжностi у/, утвореного останньою ланкою згущеноï СЛЛ дмнки ( i — 1, i ) у даному вузлi, до кута сумiжностi у0 вихiдноï ДПК:
у/
т1/ = \ <s , (2)
Уо
де s - як завгодно мале число, s > 0 .
Виразимо величину кута пiсля пiдстановки значення у/ iз (1) в (2) :
аi _ = у? _л/ У? = arctg(p/ ■ tgy<° ^
(з)
Вираз (3) можна привести до наступного вигляду:
tg(у0 У)= Р/ ■ tgy0, (4)
Виразимо значення р' з (4), враховуючи те, що 1«у -[ ■ у°° )=- . ,
ра =- о
1«у0 -1« уО)
у-л ■уо )= - *[ 'Л
1+1«У0 ■ 1«У0 )
1 + 1«У0 ■ 1« У0
(5)
Виразимо величину числа розподшв ' розглянуто! ланки (0 — 1,0) ДПК при якому буде досягнутий зазначений порядок наближення, попередньо задавши = £
1п24п
у0 -'«(£■ У,°)
1— 1 0 у,
' = Е{ е 1п(1-^ }+1, (6)
де Е{} - цiла частина вщ виразу в дужках.
Враховуючи отримане значення числа розподiлiв ' ланки (6) визначаемо скориговане значення коефщента р' та координат точок згущення (зпдно алгоритма адаптивного способу [7]) ланки (0 -1,0) ДПК, що примикае до прямолшшно! дмнки, забезпечуючи при цьому заданий порядок наближення £ .
Стикування опукло! дшянки (0 + 3,0 + 4) i прямолшшно! (0,...,0 + 3 ) iз заданим порядком наближення необхвдно здiйснювати аналогiчним образом.
Розглянемо прямолшшну дiлянку (0,...,0 + 3 ) рис.1. Осшльки дана дшянка розбита на три ланки (0,0 +1), (0 +1,0 + 2), (0 + 2,0 + 3 ), то завдання локального згущення прямолшшно! дшянки будемо здшснювати в 3 етапи:
1) згущення ланки (0,0 +1), де кути сумiжностi: у0°+1 = 0, у0 Ф 0;
2) згущення ланки (0 +1,0 + 2), де кути сумiжностi: у0°+1 = 0 , у0°+2 = 0;
3) згущення ланки (0 + 2,0 + 3 ), де кути сумiжностi у вузлах: у0^ = 0, у0°+3 Ф 0.
Основною особливютю адаптивного способу дискретно! штерполяцп е те, що процес згущення здшснюеться в одному напрямку (ввд меншого кута до б№шого), шакше можлива поява осциляцп. В нашому випадку, при згущенш ланок (0,0 +1), (0 +1,0 + 2), (0 + 2,0 + 3 ), що розташовуються на
прямолшшнш дмнщ, процес згущення здшснюеться в наступних напрямках: ввд кута у0+1 = 0 до кута
у0 >у0 +1 ; Biд кута у0+2 = 0 до кута у0+3 >у0+2; вiд кута у0+1 = 0, до кута у0+2 = 0. Враховуючи основной алгоритм адаптивного способу, можна побачити, що вс точки згущення будуть розташовуватися на однiй прямiй лiнi!.
Розглянемо розв'язання другого варiанту завдання (вихщш данi не визначають прямолiнiйнiсть дмнки).
У випадку, коли вихiднi даш не вмiщують iнформацi!' стосовно прямолшшносп дiлянки (0,..., 0 + 3), працюе основний алгоритм адаптивного способу. В даному випадку вщпадае необхiднiсть забезпечення стикування опуклих дшянок (0 -1,0) i (0 + 3,0 + 4) з прямолшшною (0,...,0 + 3 ) при заданому порядку наближення.
Висновки та перспективи подальших досл1джень. В результатi проведених дослвджень було розв'язано задачу згущення ДПК, що мае прямолшшш дмнки на основi розробленого адаптивного способу дискретно! штерполяцп при рiзних варiантах завдання вих1дних умов. Згущення ДПК з прямолшшними дiлянками включае два етапи: згущення опуклих дмнок (0 -1,0) i (0 + 3,0 + 4), зпдно з запропонованою в робот [7] методикою, з забезпеченням заданого порядку !х наближення до прямолiнiйно! дшянки (0,...,0 + 3 ) та послщовне згущення ланок прямолшшно! дмнки. Запропонованi алгоритми ефективно виконують вказанi розрахунки та побудови. Задачею подальших дослвджень е систематизащя та узагальнення отриманих результатiв для формування загального обчислювального алгоритму адаптивного методу дискретно! штерполяцп, з метою подальшого розвитку напрямку дискретно! штерполяцп плоских ДПК довшьно! конфiгурацi!' в декартовш системi координат, що враховуе кутовi параметри цiе!' ДПК. Використання отриманих результатiв на практицi дощльно при побудовi геометричних моделей явищ i процесiв з наперед заданими диференцiйно-геометричними характеристиками.
Лггература
1. Верещага В.М. Дискретное моделирование замкнутых кривых / В.М. Верещага, В.М. Щербина // Мелитопольский институт механизации сельского хозяйства. - Мелитополь, 1994. Деп. в ГНТБ Украины 20.04.94г., № 803-Ук 94.
2. Щербина В.М. Геометрическое моделирование спиралеобразных дискретно представленных кривых линий: дис. к-та. техн. наук/ В.М. Щербина - Мелитополь, ТГАТА, 2003, - 192с.
3. Лебедев В.О. Згущення ДПК з прямолшшними дшянками/ В.О. Лебедев// Прикладна геометрiя та шженерна графжа. - К: КНУБА, 2004. - Вип. 74. - С. 184 - 188.
4. Малина В.М. Побудова згущено! ДПК з прямолшшною донкою методом введения додаткових рiвнянь в систему основних тотожностей згущення / В.М.Малкша, Д.О. Сосновських // Пращ Тавршсько! державно! агротехшчно! академп. - Мелггополь:ТДАТА, 2007. Вип. 4, Т.35.-С.
5. Сшршцев Д.В. Згущення прямолшшних дмнок ДПК на основi варiативного формування рiзницевих схем кутових параметрiв / Д.В. Спiрiнцев // Пращ Тавршського державного агротехнолопчного унiверситету. - Мелiтополь: ТДАТУ, 2008. Вип. 4, Т.39. - С.155-161.
6. Сшршцев В.В. Згущення прямолшшних дмнок ДПК на основi заданого закону змiни кутових параметрiв / В.В. Спiрiнцев // Пращ Тавршського державного агротехнолопчного ушверситету. -Мелггополь: ТДАТУ, 2009. Вип. 4, Т.42. - С.65-72.
7. Найдиш В.М. Адаптивна схема локального згущення точкового ряду з заданими у вузлах дотичними/ В.М.Найдиш, В.В.Спiрiнцев // Системт технолог!!. Регiональний м1жвуз1вський збiрник наукових праць. -Випуск 3(44). - Дшпропетровськ, 2006.-С.49-56.
8. Математическая энциклопедия / Гл. ред.: И.М. Виноградов. - М.: Советская энциклопедия. Т.4 Ок-Сло., 1984. - 1216 с.
