Формирование дискретного ряда точек составных кривых линий под действием нормальной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 515.2

С.М. КОВАЛЬОВ, С.1. БОТВШОВСЬКА, А.В. ЗОЛОТОВА, С О. ЛОСЬ

Кшвський нацiональний ушверситет будавництва i армтектури

ФОРМУВАННЯ ДИСКРЕТНОГО РЯДУ ТОЧОК СКЛАДЕНИХ КРИВИХ Л1Н1Й П1Д Д1СЮ НОРМАЛЬНОГО НАВАНТАЖЕННЯ

Розглянуто формування дискретного каркаса криво'! лши, яка е двовимiрною ттерпретащею пневматично'1 оболонки високого тиску, з урахуванням власно'1 ваги матерiалу та зусиль, як виникають у затяжках. Задача формування дискретного каркасу моделi поверхт пневматично'1 оболонки може бути вирiшена на основi використання статико-геометричного методу (СГМ). Р1зноматттсть форм таких конструкцш можна отримати за рахунок як р1зних елементiв спирання контуру (лтшних i точкових), так i за рахунок ргзних внутрiшнiх затяжок (канатiв i тросових елементiв) i додаткових з 'еднань.

Ключовi слова: геометричне моделювання, пневматична оболонка, дискретний каркас, статико-геометричний метод

С.Н. КОВАЛЁВ, С.И. БОТВИНОВСКАЯ, А.В. ЗОЛОТОВА, С О. ЛОСЬ

Киевский национальный университет строительства и архитектуры

ФОРМИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО РЯДА ТОЧЕК СОСТАВНЫХ КРИВЫХ ЛИНИЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ

Рассмотрено формирование дискретного каркаса кривой линии, которая является двумерным аналогом пневматической оболочки высокого давления, с учетом собственного веса материала и усилий, которые возникают в затяжках. Задача формирования дискретного каркаса модели пневматической оболочки может быть решена на основе использования статико-геометрического метода (СГМ). Разнообразие форм таких конструкций можно получить как за счет разных элементов опоры контура (линейных и точечных), так и за счет разных внутренних затяжек (канатов и тросовых элементов) и дополнительных соединений.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, пневматическая оболочка, дискретный каркас, статико-геометрический метод

S. raVALEV, S. BOTVINOVSKA, A. ZOLOTOVA, S. LOS

Kyiv National University of Construction and Architecture

FORMATION OF THE DISCRETE SET OF POINTS OF COMPOUND CURVES UNDER

THE NORMAL LOAD

The task of formation of the discrete frame model of the shell can be accomplished using the static-geometric method (SGM). Variety of forms of such constructions can be obtained as from different (linear and point) elements of the contour support as well as from different internal ties (cable stays and rope elements) and additional connections. Considered the formation of the discrete frame of the curve that is a two-dimensional interpretation of pneumatic shell high pressure with the own weight of the material and forces that emerge in the ties taken into account

Keywords: geometric modeling, pneumatic shell, discrete frame, static-geometric method.

Постановка проблеми

Застосування пневматичних конструкцш в архiтектyрi i бyдiвництвi обумовлюеться можливютю за !х допомогою перекривати велик прогони конструкщями з малою вагою; компактшстю самих пневматичних конструкцш в транспортному (неробочому) стан та коротким термшом монтажу таких конструкцш.

Поверхш пневматичних оболонок надлишкового високого тиску, в щеат, формуються тд дiями нормальних до поверхш зусиль та зусиль власно! ваги. Як правило, це м'як оболонки, що характеризуются малою жорстшстю на згин. Несуча спроможшсть таких конструкцш шдвищуеться за рахунок накладання на них шдсилюючих канапв або тросових елеменпв. Стабшьшсть форми пневматичних оболонок забезпечуеться внутршшм тиском, в результата чого в оболонщ виникають розтягyючi зусилля.

Аналiз останшх дослвджень i публжацш

Пневматичнi конструкци знайшли широке застосування у виробництвi меблiв, в суднобудуванш, у будiвництвi та архiтектурi у другий половинi двадцятого сторiччя. Вони виготовляються з повiтронепроникних матерiалiв. Конструкцiя таких оболонок займае проектне положения завдяки надмiрному тиску повиря, що И заповнюе.

Основи теорп м'яких оболонок було закладено Алексеевим С.О. в робоп [1]. Дуже часто в якостi покриття в архiтектурi використовують пневмоподушки (на прямокутному опорному контурi) i пневмол1нзи (на довшьному опорному контурi). Для розрахуншв конструкцiй такого типу Дж. Оденом i В. Кубiтцем [7] було запропоновано використовувати метод к1нцевих елеменпв, який знайшов подальший розвиток у роботах Ч. Л^ Дж. Леонарда [8], Н. Срiвастави [9], В.Н. Кислоокого [4], В.1. Усюк1на [5], Р.Г. Борсова [2], Е. Хауга [6].

Мета дослщження

Найщкавшими, на сьогодш, залишаються питання моделювання подiбних поверхонь за наперед заданими умовами на довтних опорних контурах. Задача формування дискретного каркасу модел1 поверхш пневматично! оболонки може бути виршена на основi використання статико-геометричного методу (СГМ), який е наочною штерпреташею методу сшнчених рiзниць.

Рiзноманiтнiсть форм таких конструкцш можна отримати за рахунок як рiзних елементiв спирання контуру (лiнiйних та точкових), так i за рахунок рiзних внутршшх затяжок (канатiв i тросових елеменпв) i додаткових з'еднань.

Площинним аналогом подiбно! задачi е формування дискретного ряду точок складених кривих лшш пiд дiею нормального навантаження.

Мета роботи - змоделювати дискретний каркас криво! лши, яка е двовимiрною iнтерпретацiею пневматично! оболонки високого тиску з урахуванням власно! ваги матерiалу оболонки та зусиль, як1 виникають у затяжках.

Викладення основного матерiалу дослiдження

За основу дискретного моделювання поверхонь пневматичних конструкцш збиткового високого тиску можна прийняти площинну задачу формування кривих лшш у дискретному виглядi. Дискретнi каркаси кривих лшш формуються як натягнуп нитки пiд дiею зосереджених зусиль, прикладених до !х вузлiв, за наперед заданими умовами. В якосп останшх можуть обиратись: вузли, спшьш для дек1лькох кривих лiнiй; одна або дешлька внутрiшнiх затяжок, що будуть сприяти жорсткостi конструкцi!; коефщенти напруження у ланках (стиску або розтягнення); аплiката одного iз вузл1в. Площинна задача обрана тому, що вона проспша у розв'язаннi, шж тривимiрна, але передбачаеться !! подальше узагальнення на поверхнi у тривимiрному просторi.

В такому випадку, зусиллям збиткового внутршнього тиску на вузли поверхш будуть вщповщати нормальнi зусилля, прикладеш до вузлiв дискретно! модел1 криво! лiнi!. Власнiй вазi матерiалу пневматично! оболонки у двовимiрнiй моделi будуть вiдповiдати вертикальнi зусилля, пропорцшш довжинам в'язей дискретно! модел1 криво! лши. У спрощеному випадку, з певним наближенням, величину власно! ваги можна задавати, у всiх вузлах дискретно! модел1 криво! лiнi!, однаковою.

Розглянемо дискретну модель криво! лши, що буде двовимiрною iнтерпретацiею пневматично! оболонки високого тиску. На рис. 1 представлена розрахункова схема побудови дискретного точкового каркасу криво! лши. Для розв'язання задачi будемо враховувати, що на вузли тако! моделi дiе збитковий внутрiшнiй тиск, аналогом якого приймаеться зусилля р) та власна вага елеменпв - (О), прикладеш до кожного з вузлiв ламано!. Слад також враховувати, що окремим параметром е власна вага окремих в'язей-розтяжок - (О'). Напрямок зусиль вибираеться таким, як показано на рис. 1.

високого тиску

В1СНИКХНТУ№3(62), 2017р., ТОМ 2 ПРИКЛАДНА ГЕОМЕТР1Я ТА

КОМП'ЮТЕРШ ТЕХНОЛОГИ

Елементами тако! моделi виступають: вузли (А, B, С, D, E, в'язi (ребра) як одного, так i другого пояав, типу (ЕР); в'язi-розтяжки, яш з'еднують вузли двох рiзних пояав (АD). Власна вага елементiв конструкцп у вузлах типу (Е) приймаеться, у спрощеному варiантi, однаковою для вах вузлiв. Власна вага елементу у вузлi (типу В) приймаеться у 2 рази бшьшою, а власна вага елементу у вузлах (типу А, D) включае в себе ще i половину власно! ваги стержня (АD).

Серед вузл1в тако! моделi можна видiлити: «звичайш» вузли, як1 е незакрiпленими, (типу Е, F) з iндексом розгалуження - 2; закрiпленi вузли, яш можуть бути заданими та можуть вiдповiдати крайовим умовам задачi типу (С). До "особливих" вузл1в можна ввднести вузли (типу А), з iндексом розгалуження - 3, та вузли (типу В), з шдексом розгалуження - 4.

Для розрахунку координат вузлiв дискретно! криво! лшп обираемо статико-геометричний метод (СГМ). Складаемо систему рiвнянь рiвноваги вузлiв. Зовшшш зусилля, як1 iмiтують надлишковий тиск, прикладеш до вузлiв е нормальними i будуть залежати вгд координат сумiжних вузлiв дискретно! криво!. Осшльки, координати вузлiв е невiдомими, то система рiвнянь рiвноваги вузл1в стае нелшшною. В процесi моделювання дискретно! криво! лшп необхвдно весь час уточнювати коефiцiенти пропорцiйностi при зусиллях у вузлах, та напрямок зовшшнього формоутворюючого навантаження.

Розв'язання нелiнiйних систем рiвноваги вузлiв при формуваннi дискретних образiв статико-геометричним методом (СГМ) потребуе правильно! органiзацi!' iтерацiйних процеав. Це дозволить отримати цiленаправлений результат з дов№ною допустимою похибкою [3]. Ва розрахунки у подальшому будемо виконувати за допомогою системи МаШСАЭ.

Застосовуючи метод посл1довних наближень оргашзовуемо iтерацiйний процес. На першому етат необхвдно правильно обрати перше наближення. Найпростiшим е варiант, коли ва зовнiшнi зусилля, прикладенi до вузл1в з рiвномiрним кроком вздовж оа ОХ дискретно! криво! лшп, направлен вертикально. Пiсля знаходження координат вузл1в першого наближення, надал1 будемо уточнювати зовшшне навантаження кРх;, кРу; за формулами (1), (2):

кРх, = , кР(у'+1 - у'-1) (1)

х;+1 - х;-1) +(у,+1 - у-1)

- кР( х; +1 - X;-1)

Г,-^-(2)

X+1 - х;-1) + ( У;+1 - У;-1)

де кРх;, кРу, - складовi формоутворюючого навантаження, що прикладаеться до кожного з вузл1в криво! лiнi!, в склад якого входить як величина збиткового тиску так i власна вага;

хь yi - координати вузлiв дискретно! моделi;

i - номер вузлiв у глобальнiй системi координат.

Форма дискретно! моделi криво! лшп, що може бути двовимiрним аналогом перерiзу пневматично! оболонки, повшстю залежить в1д зусиль, що прикладаються до !! вузлiв.

Приклад 1. Розглянемо формування складено! криво!, яка е контуром перерiзу пневматично! оболонки за наступними вих1дними даними. Задано, дивлячись на рис. 1, ординати у^ вузлiв дискретно! ламано!: вузла типу (С), з номером i=0, i одного з вузл1в типу (Е), з номером /'=5: у0=2.5, у5=0. Власна вага елеменпв 0=0.1. Величини проекцiй формоутворюючого зусилля кРх;, кРу; i координати невщомих вузл1в дискретно! криво! знаходимо iз системи рiвнянь рiвноваги (3):

X-1 - 2 Х{ + Х;+1 + кРх,; = 0;

Уг-1 - 2¥^ + ¥;+1 + кРу,; + О; + о; = 0;

кРу

Зпдно iз алгоритмом, спочатку знаходимо абсциси та ординати вузл1в у першому наближенш, коли зусилля зовшшнього навантаження kPi вважаемо вертикальними.

Дал1 уточнюемо величину формоутворюючого навантаження i координати вiдповiдних вузлiв. Для отримання концевого результату знадобилося три ггерацп. Результати занесенi у табл. 1. За даними таблиц побудовано графiки кривих першо! та останньо! iтерацiй (рис. 2).

Значення координат вузлiв, як1 було отримано на IV ггерацп, зб^аються з вщповщними координатами III iтерацi!.

Таблиця1

№ вузла, i кРу1 кРх1 Я Хг

1 2 3 4 5

I Шераця

0 -0.3000 0.0000 2.5000 0.0000

1 -0.2985 -0.0299 2.3971 2.1182

2 -0.2942 -0.0588 2.0901 4.2059

3 -0.2873 -0.0862 1.5832 6.2337

4 -0.2785 -0.1114 0.8835 8.1736

5 - - 0.0000 10.0000

6 0.2343 -0.1874 -1.6874 8.3045

7 0.2572 -0.1543 -3.036 6.4181

8 0.2785 -0.1114 -4.0225 4.3744

9 0.2942 -0.0588 -4.6252 2.2171

10 0.3000 0.0000 -4.8280 0.0000

II тераЦя

0 -0.3000 0.0000 2.5000 0.0000

1 -0.2984 -0.0306 2.3971 2.1192

2 -0.2940 -0.0598 2.0900 4.2072

3 -0.2872 -0.0866 1.5833 6.2345

4 -0.2789 -0.1104 0.8838 8.1735

5 - - 0.0000 10.0000

6 0.2390 -0.1814 -1.6946 8.2976

7 0.2591 -0.1512 -3.0456 6.4104

8 0.2788 -0.1108 -4.0324 4.3690

9 0.2941 -0.0592 -4.6351 2.2147

10 0.3000 0.0000 -4.8380 0.0000

Ш ггеращя

0 -0.3000 0.0000 2.5000 0.0000

1 -0.2984 -0.0306 2.3971 2.1193

2 -0.2940 -0.0598 2.0900 4.2075

3 -0.2872 -0.0866 1.5833 6.2347

4 -0.2789 -0.1104 0.8838 8.1736

5 - - 0.0000 10.0000

6 0.2390 -0.1817 -1.6942 8.2980

7 0.2591 -0.1514 -3.0451 6.4108

8 0.2788 -0.1108 -4.0319 4.3693

9 0.2941 -0.0592 -4.6346 2.2148

10 0.0000 0.0000 -4.8375 0.0000

Приклад 2. Необхвдно побудувати дискретну криву лшш, яка буде двовим1рним аналогом пневматично! оболонки високого тиску 1 матиме одну затяжку, вузол типу (В). В якосп вихщних даних задаш ординати вузл1в номер 0, 2: у0=0, у2=1. Для розрахунку власну вагу приймаемо 0=0.1. У вузл1 номер 5 плануемо зробити затяжку, вузол типу (В) (рис. 1).

Обчислення координат криво! виконуемо за описаним вище алгоритмом. Складаемо систему р1внянь р1вноваги вузл1в (3), розв'язання яко! вщбуваеться в ггерацшному режимг Так само, як 1 в попередньому приклад^ результати розрахунк1в зведеш у табл. 2. За результатами розрахуншв побудовано графши кривих першо! 1 останньо! иерацп (рис. 3).

Таблиця 2

№ вузла kPyi kPxi Yi Xi

I тераЦя

0 - - 0.0000 0.0000

1 -0.5821 0.1455 0.7496 1.9587

2 -0.6000 -0.1196 1.0000 3.8301

3 -0.5821 -0.1732 0.7329 5.7733

4 -0.5367 -0.2208 -0.0333 7.8204

5 - - -1.2519 10.0000

6 0.5571 -0.3634 -2.3704 8.1329

7 0.5993 -0.3027 -2.8156 6.0477

8 0.5747 -0.2216 -2.5440 4.1441

9 0.5031 -0.1185 -1.5809 2.1076

II тераЦя

0 0 0

1 -0.5821 0.1455 0.7499 2.0013

2 -0.6000 -0.0027 1.0000 3.8527

3 -0.5809 -0.1503 0.7317 5.7068

4 -0.5373 -0.2670 -0.0352 7.7158

5 - - -1.2559 10.0000

6 0.5588 -0.2187 -2.3765 8.0568

7 0.5994 -0.0258 -2.8214 5.8881

8 0.5732 0.1772 -2.5486 3.6930

9 0.5060 0.3224 -1.5850 1.6804

III тераця

0 0 0

1 -0.5821 0.1455 0.7499 2.0013

2 -0.6000 -0.0027 1.0000 3.8526

3 -0.5809 -0.1503 0.7329 5.7068

4 -0.5374 -0.2670 -0.0333 7.7158

5 - - -1.2519 10.0000

6 0.5588 -0.2187 -2.3704 8.0568

7 0.5994 -0.0258 -2.8156 5.8881

8 0.5732 0.1772 -2.5440 3.6929

9 0.5060 0.3224 -1.5809 1.6803

Слад зазначити, що математичний апарат статико-геометричного методу повшстю ввдповщае математичному апарату методу скшчених рiзниць (МСР), тому похибка СГМ аналогiчна тiй, що виникае при розрахунках за МСР i достатньо широко вивчена у лтгератург Саме тому, у процесi розв'язання поставлених задач похибка не дослщжуеться. Використання СГМ надае наочностi процесу формування дискретного точкового каркаса криво! лшп тд дiею зовнiшнього формоутворюючого навантаження.

1 - ]тсрац1я

IV - ! i | MI i у

Рис. 3. Приклад 2. График кривоТ i3 затяжкою, перша i остання ггерацц Висновки

Площинна штерпретащя тривимiрно! задачi формування пневматично! оболонки високого тиску дозволила сконструювати i проаналiзувати алгоритм визначення дискретного точкового каркасу криво! лшп за методом поступових наближень. Аналiз результатiв розв'язання тестових прикладiв показуе, що ггерацшний процес збiгаеться до четвертого десяткового знаку.

В перспектив^ запропонований алгоритм буде узагальнений для розв'язання тривимiрноl 3aAa4i

формування дискретного точкового каркаса пневматично! оболонки.

Список використаноТ лггератури

1. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек / С.А. Алексеев // Расчет пространственных конструкций. — М.: Стройиздат, 1967. — Вып. XI. — С. 31-52.

2. Борсов Р.Г. Исследование напряженно-деформированного состояния конструкций из мягких оболочек разностными методами [Текст]: Автореф. дис. на соиск. учен. степени канд. техн. наук : (05.07.03) / Моск. высш. техн. училище им. Н.Э. Баумана. — Москва : [б. и.], 1976. — 16 с.

3. Ботвшовська C.I. Нелшшш зaдaчi формування дискретних обрaзiв статико-геометричним методом // Сучасш проблеми моделювання: зб. наук. праць. — Мелитополь: Видавництво МДПУ iм. Б. Хмельницького, 2014. — Вип. 3. — С. 21-27.

4. Кислоокий В.Н. Исследование статики и динамики висячих, пневмонапряженных и комбинированных систем методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений, 1977. — № 4. — С. 27-30.

5. Усюкин В. И. Техническая теория мягких оболочек и ее применение для расчета пневматических конструкций. В кн.: Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1983, — С. 299-333.

6. Haug E. Finite element analysis of nonlinear membrane structures / E. Haug, G.H. Powell // Proc. IASS Pacific Symposium: Part II. Tension Structures and Space Frames. — Tokyo and Kyoto, 1971. — P. 165 - 175.

7. Oden J.T. Numerical analysis of nonlinear pneumatic structures / J.T. Oden, W.K. Kubitza // Proceedings of the 1-st International colloquium on pneumatic structures. — Stuttgart, 1967. — Р. 87-107.

8. Li C.-T., Leonard J. W. Finite Element Analysis of Inflatable Shells / C.-T. Li, J. W. Leonard // Journal of the Engineering Mechanics Division. — 1973. — Vol. 99. — P. 495-514.

9. Li C.-Т., Srivastava N.K. Analysis of pneumatic shells with or without cable net; general finite-element formulation / C.-Т. Li, N.K. Srivastava // Computers and Structures. — 1974. — Vol. 4. — P. 813-828.