Моделирование структур решений задач для определения их трудности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л.А.ГОРБУНОВА

Омский государственный аграрный университет

УДК 37.001.5

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИХ ТРУДНОСТИ

СТРУКТУР

В ДАННОЙ РАБОТЕ АНАЛИЗИРУЕТСЯ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ТРУДНОСТИ ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ГРАФОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУРЫ ИХ РЕШЕНИЯ И ПОСЛЕДУЮЩАЯ СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗАДАЧ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ТРУДНОСТИ ИХ РЕШЕНИЯ.

Введение

Понятие «задача» очень емкое, и поэтому оно является одним из важных понятий в психологии и педагогике. Вопрос о необходимости исследования самих задач как сложных объектов четко ставится в психологических, дидактических и методических исследованиях. Так, например, У. Рейтман отмечает: «...если мы попытаемся понять, как люди решают задачу какого-либо вида, нам необходимо иметь хорошее представление о структуре решаемой им задачи». [1,с.177] Задача как сложная система имеет свое внешнее и внутреннее строение. Внешнее, сюжетное строение задачи называют информационной структурой. Внутреннее устройство задачи называют структурой, которая остается неизменной в процессе поиска ее решения

Степень проблемности задачи зависит от того, какие компоненты информационной структуры являются неизвестными. Можно предположить, что наивысшая степень проблемности задачи достигается в том случае, когда неизвестным является компонента—требование. Степень проблемности усилится тогда, когда неизвестно то или иное сочетание компонент^ условие, требование, способ решения, базис решения) В настоящее время еще неизвестен критерий, определяющий степень проблемности задачи Трудность задачи качественно определяется исходной проблемной ситуацией задачи, поэтому степень трудности и степень проблемности равнозначны по основной психологической структуре.[ 1 ,'с. 93]

Тудность задачи является психолого—дидактической категорией и представляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности. Одним из основных компонентов трудности является сложность задачи, зависящая от числа элементов, входящих в структуру задачи, и числа связей между элементами. Сложность зависит от структуры задачи, но не зависит от мнения субъекта.

В понятие «трудность задачи» входят степень ее новизны по отношению к усвоенным знаниям и способам действия, степень обобщенности нового знания, а также интеллектуальные возможности учащегося. Из сказанного следует, что информационная структура является основой такой важной характеристики задачи, как трудность.

Большие трудности встречают педагоги в своих усилиях научить учащихся самостоятельно ставить перед собой и решать задачи разной степени трудности, а также найти эффективные способы помогать учащимся продвигаться от решения простых задач к более сложным, посильным для них задачам. В процессе решения задач педагог остро нуждается в классификации разнообразных задач по степени сложности так, чтобы более простые в структурном отношении задачи отличались количественными и качественными характеристиками от более сложных. Педагог должен иметь возможность предъявить учащемуся более простую вспомогательную задачу в случае, когда последний не справляется со сложной

В дидактике требование к постепенному усложнению и упрощению учебного материала имеет принципиальное значение, однако его научное обоснование находится в начале разработки. В.Б. Беспалько рассматривает усвоение как процесс познавательной деятельности, заключающийся в овладении определенными порциями информации, подлежащими измерению и учету.

Качественные и количественные параметры постепенного усложнения задания остаются не раскрытыми в психологическом и педагогическом планах. Усложнение учебных задач часто проявляется в применении большого вычислительного аппарата, который создает видимость мыслительных усилий учащегося, а в действительности сдерживает стремление к более активным формам умственного труда.

В основе предлагаемой методологии расчета трудности учебных задач по физике лежит концепция шага догадки, предложенная Н.И.Жинкиным. [2] Трудность шага измеряется с помощью коэффициента концептуальной трудности к, минимальное значение которого выбирается равным единице. Представление о коэффициенте концептуальной трудности было получено из концепции визуальной карты. [3]

Структура решения задачи

Структура решения задачи—объективная ее характеристика, а ее количественная оценка является основой для систематизации задач в систему по нарастающей сложности их решения.

Для выявления структуры решения задачи используют общий метод, который заключается в аналитическом поиске решения с использованием графологического подхода. Графовая модель решения задачи выражает программу, в которой четко указана последовательность выполняемых действий.

Задача 1. При включении электромотора в сеть напряжением 120 В он потребляет ток 15 А. Определите мощность, потребляемую мотором и его КПД, если сопротивление обмотки 1 Ом.

Структура решения может быть представлена в виде следующих отношений:

1. T| = Pn: Р, 2. Рз= U х I

з. р =р - Ар 4. Др = i2 х и

Рис. 1

Рис. 2

Используя восходящий анализ, построим ориентированный граф поиска решения задачи (рис.1) В графе поиска выявляются вершины, являющиеся элементами структуры задачи. Совместный анализ графа поиска и информационной структуры позволяет выявить структуру данной задачи. Другой способ представления структуры решения — это модификация граф-схемы (рис 2) Как видно из рисунка 2, структура решения задачи—это зафиксированный алгоритм ее решения.

Структурная характеристика задачи весьма динамична. Она состоит из условия и требования, которые связаны между собой таким образом, что от решающих задачу требуется какое-то их преобразование. Условие—это более или менее определенные информационные системы, из которых следует исходить при попытках решения, а требование—это то, что нужно достигнуть в процессе преобразования исходных информационных систем.

Преобразование компонентов задачи будет продолжаться до тех пор, пока не преодолеется существующее противоречие между условиями и требованиями, те пока не будет решена задача Решающий задачу пытается все время сблизить, сопоставить и соотнести между собой условия и требования, включить их в единую систему отношений. Это отношение задано с самого начала, но на первых стадиях решения задачи весьма неопределенно. [ 4 ] Измерение трудности решения задачи Трудность—величина субъективная и зависит от стратегий решения задач индивидуальным мозгом. При использовании разных способов решения показатель трудности может изменяться, поэтому необходима разработка классификации показателей трудности. В этом заключается наша первоочередная задача.

На примере задачи 1 определим трудность решения. Общая трудность системы ( задачи ) равна сумме трудностей каждого шага ( действия ): Т = Т, + Т2 + Т3 + Т, Трудность первого шага может быть оценена следующим образом:

Т,= к,-С,

где к, -коэффициент концептуальной трудности первого шага, С,—сложность первого шага.

Аналогично определяется трудность последующих шагов. Сложность элементарного дерева (шага ) определяется как произведение числа вершин этого дерева ( п ) и числа связей дерева ( т ). Сложность элементарной операции учитывается добавлением к показателю сложности определенной суммы баллов в соответствии с класификацией элементарной операции (+ 1 или +2). Для дерева (рис 3) С = 3- 3 = 9, а для дерева ( рис.4 ) С = 3' 3 + 1 = 10. Коэффициент концептуальной трудности можно определить с помощью линейной логики , которая предусматривает последовательность шагов, когда из 1 шага вытекает 2 шаг, из 2—3 и т.д.

Учет трудности задачи посредством введения коэффициента концептуальной трудности связан с глубиной эвристического поиска. Способность мозга к

С с

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5

эвристическому поиску определяется структурой визуальной карты (ВК). Концепция ВК сформулирована относительно недавно. [ 3, с.260 ] Визуальная карта позволяет более успешно решать задачи в условиях недостаточной информации, что можно показать логической цепочкой с пропущенными этапами (рис.5).

Концептуальную трудность вычислительных операций можно определить следующим образом: если шаги не пропускаются, то коэффициент концептуальной трудности (к) принимается равным единице, если пропущен один шаг, то к = 2, если пропущено два шага, то к = 3. [3, с.261]

На примере задачи 1 определим трудность ее решения:

к, = 2 к2 = 2 к3=1 к4 = 1

Т,= к1-С1 = 2-9 = 18 Т2 = к2 • С2 = 2 • 9 = 18

Т3 = к3 • С3 = 1 -9 = 9 Т4 = к4-С4=1-9 = 9

Т = Т, + Т2 + Т3 + Т4 =18 + 18+9 + 9 = 54

Показатель трудности является универсальным для его использования в процессе систематизации задач, которые можно разграничить по уровням для любых дисциплин:

1-уровен ь-Т порядка 200(сложные задачи)

2-уровен ь-Т порядка 100( средние задачи)

3-уровен ь-Т порядка 50 ( простые задачи)

Структурный анализ решения задач по физике в

курсе средней школы показал, что наибольший показатель трудности решения Т = 90, а наибольшее число задач приходится на трудность Т = 60 Заключение

Учебная задача представляет собой «интеллектуальное пространство», в пределах которого реализуется ее решение. Преподаватели часто сталкиваются с ситуациями, когда учебный процесс не достигает поставленной цели не потому, что учащиеся не умели или не имели нужных умений и способностей, а потому, что система учебных задач им не дала возможность дальше продвинуться. [5, с. 17 ]

Педагогический анализ учебных задач дает ответ на вопрос, какую дидактическую функцию эти задачи выполняют в учебно-воспитательном процессе. Наши исследования показывают, что большинство задач в существующих сборниках задач по физике для средней школы предназначены для закрепления учебного материала. Проблемные задачи встречаются время от времени.

Психологический анализ дает ответ на вопрос, что делает учащийся, решая задачу. Большинство существующих задач направлено на простые мыслительные процессы. Анализируя кибернетические условия решения задач, наблюдаем стереотипность учебных задач. В сборниках отсутствуют задачи для фронтального решения, которые должны быть настолько сложными, чтобы дать возможность разделить действия между учащимися. В противном случае, один ученик решает, а остальные наблюдают, поэтому без соответствующего набора задач групповое обучение приводит к пассивности обучаемых, даже при хорошей организации учебного процесса.

Дидактика не предоставляет педагогам соответствующую информацию ни для составления, ни для эффективного использования учебных задач. Часто случается, что целые группы задач перенимаются без какой-либо обработки из учебника в учебник. Большинство задач решается воспроизведением знаний (Т порядка ниже 50). Задачи, которые давали бы возможность творческого мышления и возбуждали

познавательную активность учащихся, например в виде проблемных ситуаций, встречаются редко. Таким образом, можно констатировать, что назрела необходимость нового этапа составления учебных задач—проектирования, в котором первоочередной задачей является разработка классификации коэффициентов концептуальной трудности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в школе - Москва, МГПИ, 1985г.

2. Жинкин Н И. Речь как проводник информации. -Москва, Наука, 1982г.

М.Н.СОКОЛОВСКИЙ

Омский Государственный технический университет

УДК 519.1

Пусть к - натуральное число и

а,, я,.....л,; />, Д.... А (1)

- две заданные последовательности целых чисел. Обозначим через

V. = уА п,.л,,....я4 А А.....Ьк)

число неубывающих последовательностей л,,л-2,...,л,, л,<лг<...<л1, (2)

целых чисел, удовлетворяющих неравенствам

а, <, л,. < Ь,, 1 < I < к • (3)

Кроме «/,, будем рассматривать также их частный случай - величины <рк, задаваемые равенством

<р. = ч>, (ь,, />,...../л) = V, (0.0.....о, 6, А.....М (4)

Целью настоящей работы является вывод рекуррентных формул для вычисления величины ¡рк и ^

Поставленную задачу можно рассматривать как обобщение известной задачи о баллотировке ([1], стр. 67) или связанной с ней задачи об очереди ([2], стр. 80). В задаче об очереди при заданных натуральных к,т,п требуется подсчитать число последовательностей, состоящих из к единиц (успехов) и т нулей (неудач), удовлетворяющих следующему условию: в любом начальном отрезке последовательности (включая ее саму) число неудач превосходит число успехов не более чем на п Для последовательности с к успехами и т неудачами определим V. как число неудач в начальном отрезке до /-го успеха. , . . < Очевидно,что о5= л, <л\ <...<;л\ <т.Сама последовательность имеет вид о'!10': *1...0''"л*"1(Г''.те-однозначно восстанавливается по числам л-,,лг,...,л'1 Нетрудно проверить, что требования к "благоприятным последовательностям можно записать в виде я,- </Ж-1, 1</е Но это означает, что решением задачи об очереди будетчисло ^(¿1,6,,..,^), где Ь,=п+1-\, 1<1<к

3. Гидлевский A.B. , Сосновский Ю.М. Основы проектирования систем учебных задач в курсе физики \\ Естественнонаучное образование в реализации идей гуманистической педагогики.-Омск, ОмГПУ 2001г. ( с.264—268).

4. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач. Методическое пособие,—Москва, Высшая школа, 1972г.

5. Толлингерова Д., Голоушова Д., Канторкова Г. Психология проектирования умственного развития детей,—Москва—Прага, Роспедагенство, 1994г.

ГОРБУНОВА Людмила Анатольевна, старший преподаватель кафедры физики Омского государственного аграрного университета

Переходя к выводу рекуррентных формул для (рк и I//,, заметим прежде всего, что ввиду (4) любая формула для <рк порождает формулу для ^. Далее, последовательности (1), аргументы величин фк и у, без ограничения общности можно считать неубывающими. Действительно, по произвольным последовательностям

(1) построим новые, {с,} и {</,}, положив

с, = шах{я,,я,.....п,.}, 1 <, 1 < к, (5)

(¡, = тт{б,.,6,А}- 1 ^¡<к. (6)

Последовательности, задаваемые (5) и (6), очевидно, не убывают, а система неравенств (3) эквивалентна системе с, <х, < . 1 < / ^ А , для всех последовательностей

(2). Отсюда получаем

^(я„я ......л(АА.'-А)=п(с1>сг.-->с*АА>---А)-( 7)

При я, = я2 = ... = я, =0 из(7) и(4)следует

<РАЬЛ.....(8)

Имея в виду (7) и (8), в дальнейшем все соотношения между величинами <р„ и <//к ПРИ различных ) будем записывать так, чтобы они удовлетворяли следующему условию: при монотонности аргументов всех величин <рк и ук, входящих в левую часть, этим же свойством обладает и правая часть. Фактически же все такие соотношения справедливы при любых значениях аргументов.

В случае произвольных последовательностей (1) система всех неравенств из (2) и (3) может оказаться несовместной, что по определению означает ц/^,0,,.. .,ак,Ь\,Ь2,.. .,Ьк) = 0. Нетрудно показать, что для неубывающих последовательностей (1) критерием такой

МОНОТОННЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ С ЗАДАННЫМИ ВЕРХНИМИ И НИЖНИМИ ГРАНИЦАМИ

РАССМАТРИВАЕТСЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЧИСЛА КОНЕЧНЫХ МОНОТОННЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ЗАДАННЫМИ ВЕРХНИМИ И НИЖНИМИ ГРАНИЦАМИ ОТ ОГРАНИЧИВАЮЩИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. УКАЗАННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ОБОБЩАЮТ ИЗВЕСТНЫЕ В КОМБИНАТОРИКЕ БАЛЛОТИРОВОЧНЫЕ ЧИСЛА. НАЙДЕНЫ ЭФФЕКТИВНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ. ПРИ НУЛЕВОЙ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ ЧИСЛО ПРИМЕНЕНИЙ РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛЫ СОВПАДАЕТ С ДЛИНОЙ РАССМАТРИВАЕМЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.