CC BY
17
познавательную активность учащихся, например в виде проблемных ситуаций, встречаются редко. Таким образом, можно констатировать, что назрела необходимость нового этапа составления учебных задач—проектирования, в котором первоочередной задачей является разработка классификации коэффициентов концептуальной трудности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в школе - Москва, МГПИ, 1985г.
2. Жинкин Н И. Речь как проводник информации. -Москва, Наука, 1982г.
М.Н.СОКОЛОВСКИЙ
Омский Государственный технический университет
УДК 519.1
Пусть к - натуральное число и
а,, я,.....л,; />, Д.... А (1)
- две заданные последовательности целых чисел. Обозначим через
V. = уА п,.л,,....я4 А А.....Ьк)
число неубывающих последовательностей л,,л-2,...,л,, л,<лг<...<л1, (2)
целых чисел, удовлетворяющих неравенствам
а, <, л,. < Ь,, 1 < I < к • (3)
Кроме «/,, будем рассматривать также их частный случай - величины <рк, задаваемые равенством
<р. = ч>, (ь,, />,...../л) = V, (0.0.....о, 6, А.....М (4)
Целью настоящей работы является вывод рекуррентных формул для вычисления величины ¡рк и ^
Поставленную задачу можно рассматривать как обобщение известной задачи о баллотировке ([1], стр. 67) или связанной с ней задачи об очереди ([2], стр. 80). В задаче об очереди при заданных натуральных к,т,п требуется подсчитать число последовательностей, состоящих из к единиц (успехов) и т нулей (неудач), удовлетворяющих следующему условию: в любом начальном отрезке последовательности (включая ее саму) число неудач превосходит число успехов не более чем на п Для последовательности с к успехами и т неудачами определим V. как число неудач в начальном отрезке до /-го успеха. , . . < Очевидно,что о5= л, <л\ <...<;л\ <т.Сама последовательность имеет вид о'!10': *1...0''"л*"1(Г''.те-однозначно восстанавливается по числам л-,,лг,...,л'1 Нетрудно проверить, что требования к "благоприятным последовательностям можно записать в виде я,- </Ж-1, 1</е Но это означает, что решением задачи об очереди будетчисло ^(¿1,6,,..,^), где Ь,=п+1-\, 1<1<к
3. Гидлевский A.B. , Сосновский Ю.М. Основы проектирования систем учебных задач в курсе физики \\ Естественнонаучное образование в реализации идей гуманистической педагогики.-Омск, ОмГПУ 2001г. ( с.264—268).
4. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач. Методическое пособие,—Москва, Высшая школа, 1972г.
5. Толлингерова Д., Голоушова Д., Канторкова Г. Психология проектирования умственного развития детей,—Москва—Прага, Роспедагенство, 1994г.
ГОРБУНОВА Людмила Анатольевна, старший преподаватель кафедры физики Омского государственного аграрного университета
Переходя к выводу рекуррентных формул для (рк и I//,, заметим прежде всего, что ввиду (4) любая формула для <рк порождает формулу Для ^. Далее, последовательности (1), аргументы величин фк и у, без ограничения общности можно считать неубывающими. Действительно, по произвольным последовательностям
(1) построим новые, {с,} и {</,}, положив
с, = шах{я,,я,.....п,.}, 1 <, 1 < к, (5)
(¡, = тт{б,.,6,А}- 1 ^¡<к. (6)
Последовательности, задаваемые (5) и (6), очевидно, не убывают, а система неравенств (3) эквивалентна системе с, <х, < . 1 < / ^ А , для всех последовательностей
(2). Отсюда получаем
^(я„я ......л(АА.'-А)=п(с1>сг.-->с*АА>---А)-( 7)
При я, = я2 = ... = я, =0 из(7) и(4)следует
<РАЬЛ.....(8)
Имея в виду (7) и (8), в дальнейшем все соотношения между величинами <р„ и <//к ПРИ различных ) будем записывать так, чтобы они удовлетворяли следующему условию: при монотонности аргументов всех величин <рк и ук, входящих в левую часть, этим же свойством обладает и правая часть. Фактически же все такие соотношения справедливы при любых значениях аргументов.
В случае произвольных последовательностей (1) система всех неравенств из (2) и (3) может оказаться несовместной, что по определению означает ц/^,0,,.. .,ак,Ь\,Ь2,.. .,Ьк) = 0. Нетрудно показать, что для неубывающих последовательностей (1) критерием такой
МОНОТОННЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ С ЗАДАННЫМИ ВЕРХНИМИ И НИЖНИМИ ГРАНИЦАМИ
РАССМАТРИВАЕТСЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЧИСЛА КОНЕЧНЫХ МОНОТОННЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ЗАДАННЫМИ ВЕРХНИМИ И НИЖНИМИ ГРАНИЦАМИ ОТ ОГРАНИЧИВАЮЩИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. УКАЗАННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ОБОБЩАЮТ ИЗВЕСТНЫЕ В КОМБИНАТОРИКЕ БАЛЛОТИРОВОЧНЫЕ ЧИСЛА. НАЙДЕНЫ ЭФФЕКТИВНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ. ПРИ НУЛЕВОЙ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ ЧИСЛО ПРИМЕНЕНИЙ РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛЫ СОВПАДАЕТ С ДЛИНОЙ РАССМАТРИВАЕМЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.
ситуации является нарушение хотя бы одного из неравенств
Ь. > л,, | < у < А- (9)
В общем случае неравенства (9) в критерии следует заменить на с/, > с,, | < / < а- , где с, и определены в (5), (6). Критерием выполнения равенства О
будет нарушение хотя бы одного из неравенств
ь,>0; \Щ<к (10)
Непосредственно из определения следует инвариантность величин ц/к относительно сдвигов: для любого целого Д имеет место тождество
Vita«;.- ■ '<к А А- ■ A)=vM ■ -я, -А^ -ДА-Д.. А -Д).(11)
Для компактной записи рекуррентных формул удобно считать величины <рк и у/к определенными при к=0 (на пустых последовательностях) равенствами
= Vo = ' (12)
Для этих же целей будет использоваться обычное при использовании знака суммирования соглашение,
Es, =° при и >и. (13)
ТЕОРЕМА 1. Величины удовлетворяют равенствам
vM-'h.....«,АА.....Л,)=2]««'*-|(пих{в„У},-,шах{в1-,ЛЛ.....
* I (14)
' Доказательство Если h, < о,, обе части равенства (14) | равны 0 в соответствии с (9) и (13). Пусть 6, > я,.
При k=1 (14), с учетом (12), превращается в равенство
i '>. »,
ел<"> А) = ХУо = X1 = bi ~ +1,
что совпадает с определением ^,(а,А) как числа целых решений неравенства «,<.*■, <6,. При к>2 множество всех последовательностей (2), удовлетворяющих (3), разобьем на непересекающиеся множества Му, Й1 < у <ь{, отнеся к Мt те из них, для которых л-, = j. Из определения величин и множеств М, получаем
л
у/, («и«,.....ak,brb},...,bt)=
1=4,
Здесь и далее |М| означает мощность множества М. Для завершения доказательства (14) осталось заметить, что
мt состоит из последовательностей j.x^.x,.....xt,
удовлетворяющих условиям j < ,с2 < v, <... < л-,; п, ^ л- < , 2ii<k Эта система неравенств эквивалентна выполнению условий max{n,,y}s.v, <ö, , 2<(<А,ДЛЯ неубывающей последовательности .v2,.v,,.,.,.v,. Отсюда по определению величин получаем
! = г//; ,(шах{(и. /}, тах\о.,/},... тах {<■;,, j},Ь.,¿,,...,bk).
i СЛЕДСТВИЕ 1 Величины q>k удовлетворяют I равенствам
Ч'Л1>,-Ь:.....I\)=Y.<P> I (Ь; - jj>, - J-----b„-j)i (15)
Доказательство Подставим в(14) я, = я2 =... = «,= 0. Тогда тах|«,. /'[= max [<)._/} = /, 2<i<k. у > 0 , И, учитывая (4). получим
ъКЬ.....ö.)= •.,(/'. У.....УЛЛ-Л).
Осталось к каждому слагаемому правой части полученного равенства применить сначала (11), а затем
(4).
Формулы (14) и (15) позволяют находить величины <рк и с/ при любых наборах значений своих аргументов по обычной для рекуррентных вычислений схеме. Для вычисления значения неизвестной функции /, при заданном значении г4 ее аргумента в соответствии с рекуррентной формулой требуется знать значения предыдущей функции fkA при некоторых значениях ее аргумента; для вычисления всех этих значений требуется знать значения fk_, при некоторых значениях ее аргумента и т.д. Естественной характеристикой
сложности рекуррентного вычисления может служить функция = л,у), равная числу значений аргумента, в которых требуется знать значения при вычислении /Ду»). Функция отражает ветвление процесса вычислений. С точки зрения введенной характеристики вычисления <рк и \ук по формулам (14) и (15) являются очень сложными. Не останавливаясь на этом подробно, приведем без доказательства соотношения, подтверждающие быстрое ветвление при вычислении <рк с помощью (15). Можно показать, что
^М^АА.-А.^рЛМ:.....О. 1<^*(16)
С другой стороны, для <рг справедлива оценка
«-.(Л, А,-А.)=Ф, +Хбг + 0-(й.. - V, + 0- <17>
В случае строго возрастающей последовательности ¿.А^.-.А,. имеем Ь1-Ьы + \>2, поэтому из (16) и (17) следует
\<у<к (18)
Выведем рекуррентные формулы для <рк и у/к, которые значительно проще (14) и (15) в указанном выше смысле. Нам потребуется еще одно свойство величин ук и выражение числа неубывающих последовательностей с заданной нижней границей через величины <рк.
При фиксированном целом / рассмотрим взаимно однозначное отображение
(л„л2,.....V,)<-> (у,,у7,....ук.) = (/-*,,/-.*,_,,...,/-*,)
множества всех последовательностей (2) на себя. Множество последовательностей, удовлетворяющих системе (3), переходит в множество последовательностей, удовлетворяющих системе / - 6,+ы £ ^ < / - , | < / < /(. Отсюда по определению ц/к получаем тождество
• лАА- ■ АЬиМ.'Ч-,.-■ .,/-«,). (19)
Обозначим через Ьк(а[,а2,...,ак,1) множество всех последовательностей (2), удовлетворяющих неравенствам
^я,.\<1<к, хк <1 (20)
При выполнении (2) неравенство хк < I эквивалентно системе х, < /, 1 <; < к ■ Отсюда, по определению ц/к, имеем
или, используя (19) и (4),
.....ак,1\ = <рк{1-ак,1-ак_„...,1-а,) (21)
ТЕОРЕМА 2. При выполнении условий
Ьм + \ЪЬп\тк-1 (22)
величины (рк, удовлетворяют равенствам
к > I, (23)
с„ =Ьк-тах{б^ 0</</с-2, \<]<к-1.{2А)
Доказательство. При / = 6, все неравенства (20) содержатся в системе (3); дополнение (20) до (3) состоит из неравенств х,<Ь,, 1<1<^-1. Поэтому все последовательности (2), удовлетворяющие (3),
содержатся в множестве ¿4(л,,л2.....ак,Ьк), а число таких
последовательностей .....акможно
найти из равенства
^(^„..^АА.....^) = |4(о,.а2.--,я4А4ЬИ.(25)
где Р - множество всех последовательностей из К{а„а1,...,ак,Ьк). Для которых нарушено хотя бы одно неравенство . < ь,, 1 < / < к -1. Пусть ^ - множество всех элементов Р, для которых первое из нарушенных неравенств имеет номер 1+1, 0<1<к-2- Ясно, что
И "Н^?!+■ ■ -"Н^-г! ■ Первые слагаемые в правых частях (25) и (23) совпадают в силу (21). Поэтому для
доказательства (23) достаточно установить, что в условиях теоремы имеет место равенство
о < I < к -1 (26)
По определению множества Р1 всю совокупность ограничений на его элементы можно записать в виде трех групп неравенств:
а) л, < л2 <... < л.; < .V, йЬ,, I < <;; •
б) .»■„, <д,_, <...<л-( ; л\ >п,. / + | <ц<к; 2:6,, +1 ;
I • />
В) А ,
Неравенство в) можно исключить из ограничений как следствие неравенств л. < Ь и л,,, > ь.., +1, содержащихся в а) и б) соответственно. Действительно, из этих неравенств и условия (22) следует .у, < Ь, < +1 < л-Ч|. В
а) входят только л,,л,......V,, а в б) - только а„,,.\й2,......
Поэтому ¡/>| равна произведению числа решений а) на число решений б). Число решений а) равно
.....Ь,) по определению. Систему
неравенств б) можно записать в виде. л,Ч1 <.11Ч2 <...<.(,; V, > п1 ах {б,,, + 1,-я,}, / +1 < 5 < ^ ; .V,. < Ьк. Но это означает, что множеством решений б) является
+ + Из (21) и
определения (24) чисел с„ мощность последнего множества равна <рк(с,-1,...,с|Л_1). Этим завершается доказательство (26) и теоремы в целом.
СЛЕДСТВИЕ 2. При выполнении условий (22) величины <Рк удовлетворяют равенствам
.....ь,)= С-^с^^.^.(ьл.-А), .
к > 1 (27)
Здесь использовано обычное обозначение числа сочетаний и считаются выполненными соглашения (12), (13).
Доказательство. Подставим в (23), (24) " ~ я, = 0 . Тогда си = 6(. - тах{й,.,, + ],0} =
- />..,-1. и (23) запишется, с учетом (4), в виде
иМ...... -ьы -1,.. -г,., -Мьа,-. ..¿о.
м)
Проверим совпадение полученного равенства с (27). Для этого достаточно доказать, что
<рЛ,Ь.....Ь)=С1,., у>о, (28)
Последнее равенство представляет собой запись в терминах величин <рк хорошо известного в комбинаторике результата о числе представлений заданного неотрицательного числа в виде суммы заданного числа неотрицательных слагаемых (см., например, [1], стр. 58).
Действительно, <рх.{ь,ь.....Ь) есть по определению число
последовательностей л-,,лг,...,л1., удовлетворяющих условию 0 < л, < дгг <... < л,, < Ь, или, что тоже самое, число представлений
О < л*| <л, <... < < Ь числа Ь в виде суммы слагаемых.
В заключение заметим, что вычисление ^(¿>,,6,,...,^) с помощью (27) сводится к последовательному отысканию чисел ряда
00 = 1; «9,(6,); ^(¿р6г);...; <»>„бг„-А).
причем каждое следующее находится под предыдущим однократным применением (27). С точки зрения ветвления, о котором говорилось в абзаце после следствия 1, этот вычислительный процесс имеет сложность минимальную для рекуррентных
вычислений (сравни с (18)). Аналогично, вычисления ук с помощью (23), даже с учетом необходимости вычислять <рк_( во многих точках, значительно проще вычислений этих же величин с помощью (14).
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей, Т1, М. "Мир", 1984.
2. Н.Я. Виленкин. Комбинаторика, М., "Наука", 1969.
СОКОЛОВСКИЙ Мирон Наумович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей матиматики.
Защита диссертаций
В диссертационном совета Д 212.178.05 ОмГТУ состоялась защита диссертации Пальянова A.A. на соискание ученой степени кандидата технических наук «Повышение износостойкости углеродистой стали методом трибоэлектрического поверхностного упрочнения» по специальностям 05.02.04 -трение и износ в машинах и 05.02.01 - материаловедение в машиностроении.
К основным научным результатам, полученным автором, следует отнести: установленные характер и закономерности изменения структуры и напряженно-деформированного состояния поверхностного слоя углеродистой стали при одновременном воздействии контактного фрикционного нагружения и электрического тока, включающие изменение параметров тонкой структуры, существенное увеличение плотности дислокаций и внутренних напряжений сжатия (на один порядок); полученные уравнения регрессии, отражающие зависимость износостойкости углеродистой стали от режимов трибомеханической и трибоэлектрической упрочняющей обработки; математическую модель температурных полей, отражающую зависимость температуры от режимов трибоэлектрического нагружения и геометрии инструмента при заданных значениях показателей механических свойств; методику и установку для трибоэлектрического модифицирования структуры и свойств стали, обеспечивающую получение заданного повышения механических и триботехнических свойств стали.
Соискатель разработал рекомендации по назначению режимов трибоэлектрической обработки углеродистой стали, обеспечивающих получение качественных упрочненных поверхностей трения при существенном снижении себестоимости изделий, и установку для трибоэлектрической обработки на базе токарно-винтореэного станка пригодную для использования в условиях мелкосерийного производства.
Диссертационный совет рекомендует использовать технологию упрочняющей трибоэлектрической обработки при производстве деталей гидро- и пневмоапларатуры и других подвижносолряженных Деталей узлов трения взамен традиционной химико-термической обработки и нанесения износостойких покрытий, а также в учебном процессе при проведении лабораторного практикума по дисциплине «Технология конструкционных материалов» при изучении методов упрочняющей обработки.
