CC BY
39
ПСИХОЛОГИЯ И ПЕДАГОГИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 4. С. 241-246.
УДК 37.001.5 А.В. Гидлевский
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
ИСЧИСЛЕНИЕ ТРУДНОСТИ ДИДАКТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Предлагается простой метод оценки трудности решения дидактической задачи, созданный на основе субъект-предикатного подхода. Метод обладает достаточной точностью, что обеспечивает высокую эффективность его использования в задачах дифференцированного обучения и измерения качества образования. Данный метод может оказаться особенно эффективным в системе ЕГЭ.
Ключевые слова: субъект-предикатный подход, сложность структуры решения, трудность дидактической задачи.
Введение
Актуальность проблемы исчисления трудности дидактической задачи обусловлена возрастающей ролью тестинга в образовании, а также необходимостью в связи с этим уточнения оснований дифференцирующего обучения и измерения качества результата образования.
Качество результата образования может быть измерено через преодоленную трудность учебно-методического обеспечения образовательного процесса. Для измерения степени преодоления упомянутой трудности необходимы тесты, главным требованием к которым следует считать высокое разрешение инструментария. В качестве тестовых заданий используется часть дидактических задач, трудность которых обычно определяется неуспешностью в их решении по некоторой «плавающей» выборке. Тестологи с этим обстоятельством вынуждены мириться, оправдываясь тем, что они приближаются к идеальной выборке, внося соответствующие коррективы (прибегая к различного рода ухищрениям). Данное стремление к идеальной выборке, возможно, поддерживается соответствующим определением трудности тестового задания. «Трудность тестового задания (уровень трудности) - основная количественная характеристика тестового задания, не зависящая от выборки испытуемых и отраженная на определенной шкале» [1, 2]. С независимостью от выборки, казалось бы, все ясно. В систему исчисления трудности нужно ввести объективные (объективированные) когнитивные параметры. Проблема шкалы вытекает из проблемы объективности и предусматривает поиски в направлении создания метода приемлемой точности. Для создания реперных точек шкалы привязка к успешности все же необходима, однако имеет подчиненный характер.
Несмотря на прозрачный характер проблемы поиска метода исчисления трудности дидактической задачи, данная проблема продолжает, что называется, ходить по кругу. Некоторые исследователи пы-
© А.В. Гидлевский, 2010
таются ранжировать задачи по уровням неизвестно чего, поскольку не всегда могут отделить понятия сложности, трудности, неуспешности, проблемности друг от друга [3, 4]. В работах последнего десятилетия мы также видим, что «сложность -это объективная характеристика задачи, которая определяется структурой процесса поиска решения» [5, с. 51]. А «трудность задачи является субъективной характеристикой, т. е. зависит от того, кто решает эту задачу» [5, с. 54]. Но ведь и структура процесса поиска зависит «от того, кто решает эту задачу». Если бы автор добавил, что сложность определяется структурой экспертного решения, по сути субъективного, но объективированного лаконичностью, рациональностью, эффективностью, тогда определение понятия сложности выглядело бы более логичным. В противном случае основания разделения сложности и трудности выглядят крайне неубедительно, что, в общем, характерно для современной дидактики. Так, например, В.М. Кротов вообще не отделяет сложность от трудности и говорит: «Во многих сборниках задач по физике содержатся задачи разной сложности (трудности). Выделяются простые, сложные и очень сложные задачи. Обозначенные уровни трудности по-разному называются. Например, низкого и среднего уровня сложности, повышенной трудности и олимпиадные» [6]. Аналогичной точки зрения придерживается и А.Л. Сакович [7].
Вместе с тем имеется немало работ, в которых исследователи разделяют понятия сложности и трудности логико-гностической задачи. Так, например, А.Н. Колмогоров и его последователи связывают понятия сложности и энтропии. Данная связь предусматривает алгоритмический подход, согласно которому под сложностью объекта понимается минимальная длина описания данного объекта (минимальная длина алгоритма) [8, с. 253]. Для дидактической задачи это минимальная длина решения. Однако концепция, предложенная А.Н. Колмогоровым, не учитывает трудности алгоритмизации. Ученый лишь ставит такую задачу, призывая исследователей использовать когнитивный подход [8, с. 222]. Другими словами, согласно концепции А.Н. Колмогорова, сложность - это длина наиболее короткого, рационального алгоритма решения задачи, в
который следует включить и кратчайший путь понимания условия. А трудность - это длина алгоритма с учетом некоторых когнитивных параметров.
Р.А. Гильманов также считает трудность задачи ее объективной характеристикой, «поскольку вызывается объективными закономерностями механизма мыслительной деятельности» [9, с. 62].
В свою очередь и В.П. Мизинцев рассматривает трудность как алгоритмокогнитивный параметр задачи, однако определяет ее в отличие от А.Н. Колмогорова и Р.А. Гильманова как субъективную характеристику - когнитивную часть он не эксплицирует в протокольное пространство решения задачи [10, с. 136].
Алгоритмический подход поддерживает также Г.А. Балл, поскольку в его представлении сложность задачи оценивается количеством операций [11, с. 121].
Признавая необходимость точной дифференциации дидактических задач по трудности, ряд исследователей ограничивается рассмотрением лишь сложности задачи, перенося ее в структурную (алгоритмическую) часть решения. Данный прием позволяет перейти от рассуждений к внедрению метода исчисления сложности. Метод же предусматривает, что и как учитывать. Некоторые авторы, которые исследуют, что учитывать, предлагают соответствующие факторы сложности. Так, И.Я. Лернер выделяет три фактора сложности задачи:
1) количество данных условия;
2) число логических звеньев (шагов, операций) в решении задачи;
3) число параллельных выводов в процессе решения задачи [12]. Для каждого из вышеуказанных факторов И.Я. Лернер установил три качественных уровня и выделил в качестве главного второй фактор, что, в общем-то, очевидно. Но тогда мы имеем полное право причислить и И.Я. Лернера к сторонникам алгоритмического подхода.
В работах [13, 14] трудность дидактической задачи - это суперпозиция субъективных факторов и сложности решения. Причем в сложность решения включены как количества элементов (отношений вида с = аЪ), так и виды связей (качество) - явные и неявные. Неявная (свернутая) связь может быть эксплицирована в явную посредством введения дополнитель-
ного отношения (или нескольких), а таковая экспликация может представлять собой разворачивание трудности в сложность. Фактически поддерживая данную идею, авторы [13, 14] оценивают сложность по нижеследующей формуле:
Б = т + п+ I, где т - число основных отношений, п -число явных связей, I - число видов связей (явные или неявные). В задачах средней трудности величины т, п и I могут принимать, в частности, следующие значения: т = 2, п = \, I = \. Вычисляем: 8=4. Относительная ошибка е может быть оценена исходя из минимального вклада переменных, входящих в правую часть равенства для вычисления сложности. Этот вклад равен единице: Дй = 1. Тогда е = АБ/Б = 1/4. Значение относительной ошибки, выраженное в процентах, будет равно 25 %. Как мы видим, разрешение метода невелико.
В более совершенном методе Н.Г. Ры-женко и др. сложность рассчитывается как суперпозиция вершин и дуг графа, отображающего структуру решения задачи [15-18].
Граф структуры решения, которое мы привели в предыдущем примере, может выглядеть следующим образом (рис. 1).
а
Рис. 1. Граф структуры условного решения задачи
Сложность структуры решения, показанного на рис. 1, согласно [15-18] равна сумме сложностей вершин а, Ъ и с. Сложность вершины определяется как произведение числа связей, выходящих из вершины на число узлов, включая соответствующую вершину. Сложность вершины а: За= 2-7 = 14.
Сложность вершины Ъ: Бь = 2-5 = 10. Сложность вершины с: йс = 2-3 = 6.
Суммарная сложность вершин 8 равна 30. Разрешение метода для данного решения равно отношению минимальной сложности вершины к суммарной сложности графа, е = Бс/ Б = 6/30. Выраженное значение в процентах будет равно 25 %.
Основным достоинством метода Н.Г. Рыженко и др. является его высокая эффективность для ранжирования учебных текстовых задач по сложности.
Сложность задачи - «длина» алгоритма ее экспертного решения - может быть использована для введения понятия трудности как разности показателей сложности решений «ученика» и «эксперта» [19]. Однако для этой цели необходимо фиксировать весь процесс решения задачи, что в тестинге часто бывает неприемлемым.
Сущность метода
В отличие от рассморенных выше методов оценки сложности решения задачи, мы предлагаем эффективный метод оценки трудности решения.
Рассмотрим предлагаемый метод на примере решения задачи из [5].
Задача. Определите напряженность электростатического поля Е между обкладками плоского воздушного конденсатора емкостью С, если их заряды д\ = -2 д и д2 = +3д соответственно. Расстояние между обкладками равно с?.
Для построения структуры решения задачи мы используем субъект-предикат-ный подход, позволяющий рассматривать структуру решения как иерархию текстовых субъектов [20]. Субъекты же, в зависимости от их модифицируемости и места в иерархии, имеют различный «трудност-ный» вес. С использованием данного подхода мы можем оценивать трудность решения, минуя расчеты сложности, в которых нет необходимости, поскольку сложность входит в расчет трудности неявно через количество действий и текстовых субъектов. Граф структуры решения задачи показан на рис. 2.
Применение графологической модели позволяет достичь высокого уровня наглядности всей последовательности действий в решении задачи. Неизвестная величина Е выступает в роли главного текстового субъекта, ранг которого равен 0. Решение задачи представляет собой процесс раскрытия главного текстового субъекта
через субъекты рангов 1-4. Некоторые субъекты далее не раскрываются (не модифицируются) и носят название терминальных. Численные значения терминальных субъектов либо заданы условием задачи, либо могут быть легко определены. Для таких субъектов мы устанавливаем последний ранг (таблица), несмотря на то, что на графе они могут занимать другое
Е
место. Нетрудно увидеть, что граф решения обладает определенной симметрией, вызванной сходством раскрытия субъектов первого ранга. Поэтому итоговая трудность решения может быть уменьшена на величину трудности повторных операций в раскрытии субъекта Еу.
Ранг 1
Ранг 2
Ранг 3
Ранг 4
Величина трудности терминальных субъектов или трудность их определения, по-видимому, должна быть минимальной и определять разрешение метода. Удобно положить ее для каждого субъекта равной единице.
Общую трудность решения как последовательного отделения субъектов можно вычислить следующим образом. Для разделения субъектов на модифицируемые и не модифицируемые зададим для каждого субъекта коэффициент модифицируемости д следующим образом. Если субъект далее не модифицируется, то д = 1. Если субъект модифицируется, то для каждого непосредственного модификата д = 2. Исходная трудность модификации субъекта равна трудности определения терминальных субъектов и также имеет минимальное значение, равное единице (То = 1).
Другой трудностной характеристикой является коэффициент иерархичности, величину которого мы определим следующим образом. Целесообразно для всех терминальных субъектов, формирующих конечное выражение, задать минимальную
трудность, а для этого необходимо для них выбрать минимальное значение коэффициента иерархичности, равное единице. На рис. 2 для субъекта последнего ранга (так же, как и для других терминальных субъектов) коэффициент иерархичности равен единице. Для субъектов третьего ранга коэффициент иерархичности равен двум и т. д. (таблица).
Значения коэффициентов для соответствующих субъектов мы поместили в таблицу.
Итоговая трудность решения задачи равна суммарной трудности определений субъектов за вычетом трудности повторяющихся операций.
Т = Те - Тповт Из последнего столбца таблицы мы находим суммарную трудность субъектов (трудность их определения). Как нетрудно увидеть, она равна 65. Трудность повторяющихся субъектов в симметричной ветви при вершине Ег равна 29. При вычитании получаем:
Т = 65-29 = 36 Оценим разрешение метода для данной величины трудности, которое опреде-
лим по отношению минимального значения трудности, равного единице, к общей трудности.
£ = 1/Т = 1/36 = 0,028. В процентах это будет менее трех процентов, чего вполне достаточно для ранжирования решений задач по степени трудности. Учет трудности условия значительно улучшит разрешение метода.
Значения коэффициентов для соответствующих субъектов
Субъекты Ранг субъ- екта Коэф. иерархи- чности, ки Коэф. модифи- цируе- мости, км Трудность определе- ния субъекта, Т/ = ки км
Е1 1 4 4 16
е2 1 4 4 16
ст7 2 3 4 12
ог 2 3 4 12
Б 3 2 2 4
2е£0 4 1 1 1
Я! 4 1 1 1
Яг 4 1 1 1
Сс1 /££о 4 1 1 1
Б(повтор) 4 1 1 1
Заключение
Для оценки трудности решения дидактической задачи необходимо воспользоваться ее экспертным решением, которое, как правило, начинается от неизвестного.
Если для решения задачи «экспертная» идеология очевидна, то для определения трудности условия необходимо ориентироваться на формулировку условия составителем задачи, каковая в графическом представлении может представлять собой отнюдь не самый лаконичный вариант, что также добавляет трудности к задаче. Таким образом, общая трудность задачи может быть вычислена, как сумма трудности экспертного решения и трудности условия, которое сформулировано составителем.
Важной проблемой является также создание шкалы трудности дидактических задач. Для этой цели можно ориентироваться на следующую модель. В качестве основной «реперной» точки возможен выбор трудности, которая соответствует средней трудности задач, включенных в типовые сборники. Другая «реперная» точка может отвечать средней трудности олимпиадных задач. И наконец,
третьей «реперной» точкой может служить трудность простых заданий на уровне основных понятий, отношений, законов.
Отличительной особенностью предлагаемого нами способа является его высокое разрешение. Относительная погрешность в определении трудности задач может составлять единицы процентов.
В рассмотренном примере мы для простоты изложения учитывали лишь параметры иерархичности и модифицируемости текстовых субъектов. Однако данный метод открыт и для других параметров и эффективной адаптации к различным условиям его применения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Психологическая энциклопедия. 1Ж1_: 1пПр:// mirslovarei.com/content_psy/TRUDNOST-ТЕ5ТОУОСО-2АОА1\1иА-иТОУЕ1\1-TRUDNOSTI-32463.html
[2] Отраслевой стандарт Министерства образования РФ. Педагогические тесты. Термины и определения. 1Ж1_: http://bank.orenipk.ru/Text/ И 9_135.htm
[3] Загвязинский В. И. Измерение уровня проблемное™ в обучении // Объективные характеристики, критерии, оценки и измерения педагогических явлений и процессов. М. : Педагогика, 1973. С. 233-237.
[4] Фурман А. В. Влияние особенностей проблемной ситуации на развитие мышления учащихся // Вопросы психологии. 1985. № 2. С. 68-72.
[5] Гузеев В. В. Соотнесение сложности и трудности учебных задач с уровнями планируемых результатов обучения // Школьные технологии.
2003. № 3. С. 50-56.
[6] Кротов В. М. К вопросу о сложности (трудности) физических задач // <£чз1ка: праблемы вы-кпадання. 1999. №3. С. 69-74. 1Ш1_: 1пПр:// www.alsak.rU/content/view/30/151/1/2/
[7] Сакович А. Л. Сложность физических задач и их уровни // Ф1з1ка. Праблемы выкпадання.
2004. № 1. С. 33-40. 1Ж1_: http://www.alsak.ru/ content/view/17/151/1/2/
[8] Колмогоров А. Н. Теория информации и теория алгоритмов. М. : Наука, 1987. 304 с.
[9] Гильманов Р. А. Измерение трудности учебных упражнений посредством моделирования процесса их выполнения : дис. ... канд. пед. наук. Казань, 1987. 156 с.
[10] Мизинцев В. П. Информационный анализ показателя сложности и трудности учебной задачи // Вопросы преподавания физики в высшей школе. Хабаровск, 1976. С. 132-186.
[11] Балл Г. А. Теория учебных задач: психологопедагогический аспект. М. : Педагогика, 1990. 184 с.
[12] Лернер И. Я. Факторы сложности познавательных задач // Новые исследования в педа-
гогических науках. М. : Педагогика, 1970. Вып. 14. С. 86-91.
[13] Крупич В. И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе. М. : Изд-во МГПИ, 1985. 118 с.
[14] Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике: формирование приемов учебной деятельности : кн. для учителя. М. : Просвещение, 1990. 128 с.
[15] Рыженко Н. Г., Жигачева Н. А. Структуризация и систематизация сюжетных задач по сложности их решения // Вестник Омского университета. 1998. № 4. С. 111-114.
[16] Жигачева, Н. А., Рыженко, Н. Г. Графовое моделирование структур решений сюжетных задач // Математические структуры и моделирование. 1999. Вып. 4. С. 104-117.
[17] Быкова Н.П. Методика формирования обобщенных умений на основе моделирования задач физики и математики // Омский научный вестник. 2004. № 3 (28). С. 225-229.
[18] Рыженко Н. Г., Болотюк Л. А. Сборник уров-невых дифференцированных текстовых задач по алгебре. 8-9 класс : сб. задач для учителей и учащихся / под ред. Н.Г. Рыженко. СПб. : Лисс, 2003. Ч. 1. 90 с.
[19] Нгуен-Ксуан А., Жинь Шао. Умозаключения и стратегии решения задач // Вопросы психологии. 1997. № 1. С. 82-98.
[20] Доблаев Л. П. Смысловая структура учебного текста и проблемы его понимания. М. : Педагогика, 1982. 176 с.
