Систематизация задач в курсе физики по трудности их решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л. А. ГОРБУНОВА Н. Г. РЫЖЕНКО

Омский государственный аграрный университет

УДК 519.711.3.001.33

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗАДАЧ

В КУРСК физики

ТРУДНОСТИ

В ДАННОЙ РАБОТЕ ПРЕДЛАГАЕТСЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ГРАФИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ ТРУДНОСТИ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗАДАЧ В КУРСЕ ФИЗИКИ ПО НАРАСТАЮЩЕЙ ТРУДНОСТИ ИХ РЕШЕНИЯ.

Введение

До настоящего времени в педагогической науке слабо разработаны принципы, которые лежат в основе усложнения задач. Остается неясным: почему одна задача в большей, а другая - в меньшей степени активизирует мыслительную деятельность учащихся? Качественные и количественные параметры постепенного усложнения задач остаются не раскрытыми в психологическом и педагогическом планах.

Усложнение задач с помощью большого вычислительного аппарата создает видимость мыслительных усилий учащихся, а в действительности искусственно сдерживает стремление к активным формам умственного труда. Соизмерять степень мыслительных усилий, прилагаемых учащимися к решению разных типов задач, отличающихся по количественным и качественным параметрам, представляет интерес для исследователей.

В данной работе акцентируется внимание на проблеме поиска эффективных методов измерения количественных параметров задач: сложности и трудности. Проблему технологического обоснования количественного определения характеристик сложности и трудности задач будем рассматривать в двух аспектах: 1) исследование проблем стратегий интеллектуального поиска; 2) исследование проблем измерения сложности и трудности задач и последующая систематизация.

1. Стратегии интеллектуального поиска решения задач

Проблеме выяснения стратегий интеллектуального поиска при нахождении человеком решений задач посвящено немало публикаций. К числу наиболее важных относятся работы Линдсея Н. и Нормана Д., Пойа Д., Тихомирова O.K., Брунера Д.

Для подробного исследования процесса интеллектуального поиска необходимо иметь эффективный способ представления событий. Необходимо строить изображение последовательности операций, совершаемых во время решения задачи. «Одним из методов, пригодных для этой цели, является граф решения задачи, разработанный А.Ньюэлом...» [1, с.477].

Математик Пойа Д. считает, что для того, чтобы решить задачу, «мы, во-первых, должны понять задачу... Во-вторых, мы должны составить план, который бы привел нас к решению» [2, с.208].

Трудность состоит в том, чтобы придумать надлежащий план, который привел бы нас к решению. В учении о решении задач рассматривается два типа планов: алгоритмы и эвристические приемы. Эвристические приемы больше напоминают эмпирические правила; это процедуры или описания, которыми относительно легко пользоваться и ценность которых оправдывается предшествующим опытом решения задач. Однако в отличие от алгоритмов эвристические приемы не гарантируют успеха [1, с.485].

Особенности рассмотренных стратегий решения задач коренятся в характере процессов, протекающих

в мозгу человека. При работе над любой сложной задачей одна из основных трудностей состоит в необходимости непрерывно контролировать, на каком этапе решения мы находимся и какие результаты достигнуты к данному моменту. С увеличением сложности задачи растет и объем оперативной информации, за которой мы должны следить. И здесь неоценима роль графового моделирования для сохранения информации и предупреждения от блужданий.

То, что мы часто прибегаем к таким внешним средствам (семантическим графам), свидетельствует о том, что главным фактором, определяющим ход внутренних процессов решения задач и принятия решений, являются ограниченные возможности для кратковременного хранения информации...

Даже у человека малая емкость кратковременной памяти (5-10 единиц информации) накладывает определенные ограничения на структуру и степень сложности процессов мышления, поскольку ему необходимо контролировать продвижение процесса решения задачи и полученные промежуточные результаты. В принципе возможно предсказать, когда человек окажется неспособным решить ту или иную задачу просто потому, что он не в состоянии уследить за всеми событиями, происходящими в данный момент [1, с. 495].

В работе Линдсея Н. и Нормана Д. иллюстрируются основные процедуры, которые человек использует при решении задачи: «...он начинает с того, что разбивает процесс достижения этой цели на некоторое число отдельных шагов. Затем он приступает к поочередной проверке ряда простых стратегий, каждая из которых дает ему определенную информацию...» [1, с. 476].

Брунер Д. [ 8 ] и Линдсей Н. [ 1 ] разбивают стратегии интеллектуального поиска на сканирующие и фокусирующие. В случае, когда сканирующие стратегии «не срабатывают», используют фокусирующие стратегии: «Второй подход представлен обратным поиском. Здесь человек рассматривает искомое решение, задаваясь вопросом: какой предварительный шаг необходим для того, чтобы прийти к нему? После определения этою шага определяется шаг, непосредственно ему предшествующий, и т.д.» [1, с.484].

С увеличением трудности задач фокусирующие стратегии оказываются более эффективными в 2-3 раза. Наиболее эффективные стратегии — фокусирующие, когда решение задачи проводится по методу Пойа — от цели к предыдущим этапам.

Нгуен-Ксуан А. и Шао Ж. называют «стратегиями» методы построения серии (решения). В своих исследованиях они выделяют пять стратегий, которые «являются действенными стратегиями, так как они применяются систематически, то ведут к решению» [3, с. 90]. В процессе решения задачи «...испытуемые меняют стратегию, поскольку новая стратегия более адекватна в сложившейся ситуации. Предполагается, что стратегия является «более адекватной» по сравнению с любой другой, если она влечет за собой уменьшение нагрузки на память и применение умозаключений»

[3, с.97]. возможность систематического контроля выполнения процедур и наименьшая нагрузка на память являются критериями выбора стратегии.

2. Измерение количественных параметров задачи

Количественными параметрами задачи являются сложность и трудность ее решения. Сложность структуры решения задачи определяется числом элементов, входящих в структуру задачи и числа связей между элементами. Сложность решения задачи будем отождествлять со сложностью дерева (модель структуры решения задачи). Сложность структуры решения задачи рассчитывается как сумма сложностей этапов интеллектуального поиска С = £С, (по трейдеру Ю.А.) [4, с. 256].

Сложность отдельного шага (отношения) рассчитывается как произведение числа вершин элементарного дерева (п ) и числа связей каждой вершины (т ). Для элементарного дерева (рис.1) сложность определяется так: C = nm = 3x2 = 6.

Понятие «трудность» задачи представляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности: запас знаний, степень их глубины, уровень владения практическими умениями, опыт решения задач, степень интереса к задаче и потребность в ее решении. «Трудность решения задачи человеком создается не только субъективными факторами, но и объективными факторами: структурой самой задачи, ее сложностью» [5, с. 26].

В основе расчета трудности лежит концепция шага догадки, предложенная Жинкиным Н.И. [6]. Трудность шага измеряется с помощью коэффициента концептуальной трудности (к). Минимальное значение коэффициента (К) выбирается равным единице и вычисляется он следующим образом: к = 1, если в структуре решения задачи не пропускаются шаги; к = 2, если в структуре пропущена одна операция; к =3, если пропущены две и более операции. [7, с 267]

Общая трудность системы (задачи) определяется суммированием трудностей каждого шага (действия)

т = £г,

Трудность одного шага может быть оценена следующим способом:

Т, = к(С„

где к, - коэффициент концептуальной трудности отдельного шага; С, - сложность этого шага.

Определим количественные параметры задач по теме «Законы сохранения импульса».

Задача! Вагон массой 30 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным вагоном массой 20 т. С какой скоростью движется сцепка?

Предметная область задачи состоит из трех величин - массы (т), скорости V и импульса Р. Два значения массы известны-т, и т2 , одно значение т-неизвестно. Два значения скорости - известное V, и U - искомое. Одно значение импульса Р - неизвестное.

Моделируем структуру решения задачи с отношениями суммирования и зависимости:

1) U = P/m 2) m = m, + m2 3) P = m, V,

Структуру решения задачи изобразим графически с помощью дерева (рис.2). Сложность решения отождествляем со сложностью дерева.

Структурными элементами решения задачи являются вершины дерева.

Сложность задачи 1: С = Зх2 + Зх2 + Зх2=18(по методу суперпозиции сложностей элементарных де-

Рис.1

Рис.2

ревьев, входящих в состав семантического дерева с = Т.С, = I Pi га • Мы остановимся на втором способе определения сложности. Можно рассчитывать сложность методом исключения (по Шрейдеру [4, с.141-142] ): С = = 2x7 + 2x3 + 2x3 = 26, т.е. сложность дерева определяется суммированием сложностей каждой из его вершин. Сложность вершины (U) определим следующим образом: С = 2 х 7 = 14, где 2-число дуг, входящих в вершину (U); 7 - число всех вершин, включая и саму вершину (U). Аналогично определяется сложность других вершин.

Определим коэффициенты концептуальной трудности для каждого шага:

В отношении(1) пропущено две операции (Р = Р, и Р = mil), поэтому к,= 3. В отношениях (2) и (3) не пропущено ни одной операции, поэтому kj = к, = 1. Трудность каждого действия (шага) определим:

Т, = к, С, = 3 х 14 = 42 Т2 = к2 С2 = 1 х 6 = 6 Т3 = к, С3 = 1 х 6 = 6 Т = Т, + Тг + Т3 = 42 + 6 + 6 = 54

Задача 2. Тележка с песком катится со скоростью 1 м/с по горизонтальному пути без трения. Навстречу тележке летит шар массой 2 кг с горизонтальной скоростью 7 м/с. Шар после падения в песок застревает в нем. В какую сторону и с какой скоростью покатится тележка после столкновения с шаром? Масса тележки 10 кг.

В задаче рассматривается три ситуации: равномерное движение тележки, движение шара навстречу тележке и движение тележки вместе с шаром.

Структура решения задачи данной задачи представлена в виде пяти отношений:

1) U = PVnV 2) m1 = m, + m2 3) P = P2 - P, 4)P2=m2V2 SJP^m,^

Структура решения задачи характеризуется семантическим графом (рис.3).

Сложность решения: С = 2х12 + 2хЗ + 2х7 + 2хЗ+ + 2 х 3 = 56.

Коэффициент концептуальной трудности (к) каждого шага (действия): k2= kt = ks = 1, так как в этих действиях не пропущены операции; к, = 2, так как пропущена одна операция (Р = Р, + Рг); к, = 3, так как пропущены две операции (Р = Р1 и Р1 = U т1).

Трудность решения задачи; Т = 3х24+1х6 + 2х х 14+1x6 + 1x6 = 118.

Задача 3. Стоящий на льду человек массой 60 кг ловит мяч массой 0,5 кг, который летит горизонтально со скоростью 20 м/с. На какое расстояние откатится человек с мячом по горизонтальной поверхности льда, если коэффициент трения равен 0, 05?

Графическая модель структуры решения задачи представлена на рис.4.

Структура решения задачи;

1) Б = 112/2а 4) 1) = Р7т

2) а= Пт 5) Р2 = т2 Уг 7) Р1 = Р2

3) ¥ = гп т д 6) т = т, + т2

Основные отношения задачи: (1), (2), (3), (4), (5), (6).

Коэффициенты концептуальной трудности каждого шага: к„ = к5= к^ = 1, К4 = к,= к, = 2.

Сложность решения: С = 3х17 + 2х8 + 3х4 + 2х х7 +2x3+2x3 = 105.

Трудность решения задачи: Т=2х51 + 1х16 + 2х 12+ 2х 14+1x6 + 1 хб =182.

Задача 4. Допустим, что вы катитесь на велосипеде по инерции со скоростью 5 м/с. Ваша масса вместе с велосипедом равна 70 кг. Вы наклоняетесь и подхватываете лежащий на земле рюкзак массой 15 кг. Какой станет ваша скорость, если вы подхватываете его в течении 0,1 с? Какую среднюю силу развивает ваша рука?

Используя восходящий анализ построим семантический граф поиска решения задачи, где для каждой вершины определено то или иное отношение (рис. 5).

Структура решения задачи:

1) Р = та 2) а = ОМ1 3) ОУ = У-и 4) и = Р'/т 1 5) т1 = т, + т 6) Р = т V 7) Р = Р1

Количественные характеристики задачи: С = 2 х 13 + + 2x11+ 2x9 + 2 х7+ 2x3 + 2x3 = 92.

^ = ^ = ^ = ^ = ^ = Кц — 3.

Т= 1 x26 + 1 x22 + 1 x 18 + 3x14 + 1 x6 + 1 x6= 120.

Анализируя количественные характеристики приведенных выше задач, можно сделать вывод, что количественные характеристики задач одной темы разные. Количественные параметры задач зависят от количества структурных элементов.

Задача 1. С = 26 Т= 54

(структурных элементов ■ -7).

Задача 2. С = 56 Т = 118

(структурных элементов - 11).

Задача 4. С = 92 Т = 120

(структурных элементов- 13).

Задача 3. с = 105 Т= 182

(структурных элементов- 17).

Рис. 3

Рис.4

Заключение

Структура задачи определяет стратегию способа ее решения и ее сложность, которая является составляющей другой характеристики задачи-трудности.

Проблема трудности не может бьггь решена без проблемы сложности. Поэтому мы считаем, что показатель трудности является универсальным для его использования в процессе систематизации учебных задач по уровням трудности.

Оценивая сложность задач только по количеству шагов (действий), мы не учитываем особенности процесса решения как системы шагов. Решая простую задачу, учащийся не в состоянии решить сложную, так как для этого требуется выстроить логическую последовательность из шагов элементарных задач для получения результата.

Комплексная оценка структуры решения задачи является основой для систематизации учебных задач по нарастающей трудности:

«простые» задачи - порядка Т= 50 «средние» задачи - порядка Т = 100 «сложные» задачи - порядка Т = 200. Большое количество школьных задач имеют трудность порядка 60. Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся, встречаются редко.

Литература

1.ЛиндсейН., Норман Д. Переработка информации у человека. М., Мир, 1974.

2. ПойаД. Как решать задачу.//Пособие для учителей. М., Учпедгиз, 1961.

3. Нгуен-Ксуан А., Шао Ж. Умозаключения и стратегии решения задач. // Вопросы психологии. № 1, 1997, с.02-97.

4. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М., Наука, 1971.

5. Тихомиров А.К. Психология мышления. М., МГПИ, 1984.

6. Жинкин Н.И. Речь как проводник информации. М., Наука, 1982.

7. Гидлевский A.B., Сосновский Ю.М. Основы проектирования систем учебных задач в курсе физики.//

Естественнонаучное образование в реализации идей гуманистической педагогики // Омск, ОмГПУ, 2001, с.264-268.

8. Брунер Дж. Психология познания. М., Прогресс, 1977, 416с.

ГОРБУНОВА Людмила Анатольевна - старший преподаватель кафедры физики Омского государственного аграрного университета.

РЫЖЕНКО Николай Григорьевич - кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики преподавания математики Омского государственного педагогического университета.

Новые поступления

В библиотеку ОмГТУ поступили следующие издания:

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. -9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 478, [1] е.: ил, табл. + Прил.. -Предм. указ.

Гусак A.A. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Справ, пособие к решению задач / А. А.Гусак. -2-е изд., стер. - Минск: ТетраСистемс, 2001. - 287 с. - Библиогр.

Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: Учеб. пособие / Б. Н. Иванов. - М.: Лаб. Базовых Знаний, 2002. - 288 е.: ил. - (Технический университет). - (Математика). - Библиогр.: с. 285. -Предм. указ.

Начертательная геометрия: Учеб. для строит, специальностей вузов/ Н. Н. Крылов, Г. С. Иконникова, В. Л. Николаев, В. Е. Васильев; Под ред. Н. Н. Крылова . -8-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 2002. - 223, [1] е.: ил. - Библиогр.