CC BY
1312
Секция 1
радиальной координате узлов сетки), но и аппроксимацией. Предложено простое решение этой проблемы в случае МГД уравнений с учетом эффекта Холла для задачи о тиринг неустойчивости. Задача имеет непосредственное отношение к установкам "токамак". Предложенный подход может быть использован для других уравнений и обобщен для других систем координат с особенностями.
Список литературы
1. Жуков В. П. Э Конечно-разностная схема для решения двухжидкостных МГД-уравнений в цилиндрической системе координат // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2005, Т. 45, № 1, С. 156-169.
2. Zhukov V. P. A Finite Difference Scheme for Solving Two-Liquid Magnetohydrodynamic Equations in Cylindrical Coordinates//Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2005. V 45. N 1. P. 149-162.
Варианты решения вырожденной 3D задачи линейной упругости методом конечных элементов
М. И. Иванов1 И. А. Кремер1,2
1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН 2Новосибирский государственный университет Email: ivanov@sscc.ru, igor.a.kremer@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10017
Решения краевых задач линейной теории упругости с заданными граничными нагрузками определены с точностью до множества жестких перемещений, в 3D случае его размерность равна 6. В работе [1] приводятся и обосновываются варианты условий однозначной разрешимости такой краевой задачи. В работах [2, 3] показан способ получения обобщенных постановок краевых задач, базирующийся на разложении жестких перемещений в сумму поступательного и вращательного движений. В качестве альтернативного подхода и по аналогии с методом, изложенным в работе [4], нами получена невырожденная расширенная постановка задачи упругости, решение которой автоматически удовлетворяет ограничениям на циркуляцию поля перемещений. Описана конечноэлементная технология получения соответствующей СЛАУ, предложен алгоритм ее решения, на примерах решения модельных задач исследованы свойства этого алгоритма.
Список литературы
1. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.-Л.: Гостехиздат, 1952, 216 с.
2. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Вариационно-разностные схемы для решения плоской задачи теории упругости //В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике, ВЦ СО АН СССР, С. 15-33, Новосибирск, 1974.
3. Bochev P., Lehoucq R. Energy Principles and Finite Element Methods for Pure Traction Linear Elasticity // Computational Methods in Applied Mathematics, Vol. 11 (2011), № 2, pp. 173-191.
4. Ivanov M. I., Kremer I. A., Urev M. V Solving the Pure Neumann Problem by a Finite Element Method //Numerical Analysis and Applications. - 2019. - Vol. 12. - №4. - pp. 359-371. https://doi.org/10.1134/S1995423919040049.
Моделирование процесса фильтрации двухфазной жидкости на основе законов сохранения в интегральной форме
М. И. Иванов, И. А. Кремер, Ю. М. Лаевский
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
Email: laev@labchem.sscc.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10018
В докладе описан подход к построению монотонных численных схем для решения задачи фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости с использованием модели Баклея - Леверетта [1]. Главной особенностью этой модели является наличие разрывных решений, причем течение в окрестности разрыва адекватно описывается законами сохранения в интегральном виде. Фазовые насыщенности аппроксимируются постоянными в ячейках сетки разрывными функциями. Для каждой ячейки интегральные законы сохранения, аппроксимирующие потоки, записываются на основе противопотоковой схемы. В этом случае полная скорость и давление рассчитываются с использованием уравнений смешанного метода конечных элементов с элементами Равьяра - Тома наименьшей степени и диагонализован-ной матрицей масс для суммарной скорости. Также рассмотрены вопросы учета нагнетательных и эксплуатационных скважин в этой дискретной модели. В частности, предложен подход, основанный на
Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
13
методе фиктивных областей, для задачи с заданными интегральными дебитами. Предложенная дискретная модель иллюстрируется численными экспериментами с различными геометриями расположения скважин, анизотропными тензорами абсолютной проницаемости, трещиновато-пористыми средами и проч. Кроме того, даны некоторые рекомендации для решения вырожденных седловых систем, возникающих при моделировании.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 19-11-00048). Список литературы
1. Buckley, S. E., and Leverett, M. C. Mechanism of fluid displacement in sands // Transactions of the A. I.M. E. 1942. V. 146. P. 107-116.
Собственные функции Коссера для первой краевой задачи теории упругости в шаре
C. Г. Казанцев1, В. Б. Кардаков2 1Институт математики им. С. Л. Соболева
2Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин),
Email: kazan@math.nsc.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10020
В основе данной работы лежат исследования С. Г. Михлина [1], который систематизировал результаты по спектру пучка операторов теории упругости, полученные в работах Эжена и Франсуа Коссера, в 1898-1901 гг., см. также [2-4]. С. Г. Михлиным были доказаны основные свойства собственных функций спектра, такие как полнота и ортогональность. В настоящей работе построены собственные функции Коссера для первой краевой задачи теории упругости в шаре. Ранее они были известны только частично.
Список литературы
1. Михлин С. Г. Спектр пучка операторов теории упругости // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28, № 3(171). C.43- 82.
2. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: 1994. 272 с.
3. Алгазин С. Д. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54, № 2. C. 138-147.
4. Ерофеев В. И. Братья Коссера и механика обобщенных континуумов // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2, № 4. С. 5-10.
Алгоритмы расщепления в методе конечных объемов при численном решении уравнений вязкой несжимаемой жидкости
В. М. Ковеня1,2, Д. Тарраф2
1Институт вычислительных технологий СО РАН 2Новосибирский государственный университет Email: kovenya@ict.nsc.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10019
В работе рассмотрены неявные консервативные численные алгоритмы решения уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости [1] на основе метода конечных объемов. Этот подход позволяет находить решение уравнений в геометрически сложных областях, не прибегая к преобразованиям координат, что приводит к существенному снижению затрат ресурсов ЭВМ. Схемы обладают свойством полной аппроксимации, они пригодны для решения стационарных и нестационарных задач любой размерности. Для реализации алгоритмов апробированы различные формы расщепления, что позволяет свести их к решению отдельных расщепленных уравнений и решению уравнения Пуассона
Предложенный алгоритм апробирован на решении ряда задач, в том числе на задачах, имеющих точные решения. Приведены результаты расчетов, получены оценки сходимости, даны оценки затрат на решение задач, что позволяет сделать вывод об эффективности предложенного алгоритма.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-20-00168).
