CC BY
13Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
11
Результаты работы могут быть использованы для описания процессов в нагретых нелинейных средах, связанных с задачами управляемого разогрева и межфазовых переходов, с целью определения те-плофизических характеристик среды, восстановления параметров источника по заданной конфигурации области разогрева и величине скачка температуры; с целью создания эффективных численных алгоритмов решения прямых и коэффициентных обратных задач теории управляемого разогрева и межфазовых переходов, а также для создания тестовых численных алгоритмов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-29-10080).
Список литературы
1. Davydova M. A., Nefedov N. N. Existence and stability of contrast structures in multidimensional singularly perturbed reaction-diffusion-advection problems // Lecture Notes in Computer Science. 2017. Vol. 10187. P. 277-285.
2. Nefedov N. N., Sakamoto K. Multi-dimensional stationary internal layers for spatially inhomogeneous reaction-diffusion equations with balanced nonlinearity // Hiroshima Mathematical Journal. 2003. Vol. 33. No. 3. P. 391-432.
3. Wang J. Monotone method for diffusion equations with nonlinear diffusion coefficients // Nonlinear Analysis. 1998. No. 34. P. 113-142.
Конечно-элементная аппроксимация граничного условия на бесконечности для задачи срочного американского опциона
A. А. Ефремов, Л. В. Гилева, В. В. Шайдуров Институт вычислительного моделирования СО РАН Email: efremov@icm.krasn.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10015
В области стохастической финансовой математики одна из важных задач - моделирование ценообразования срочного американского опциона. Поскольку получить аналитическое решение для модели срочного американского опциона на ограниченном временном интервале не представляется возможным в силу нелинейности задачи, к решению задачи применяются различные численные методы [1]. Наряду с классами древовидных методов и методов Монте-Карло, активно используются детерминистические методы, основанные на решении обратной начально-краевой задачи специального вида [2, 3]. В работе рассматривается решение задачи со свободной границей комбинированным конечно-элементным по-лулагранжевым методом с использованием конечных элементов специального вида для аппроксимации правого граничного условия на бесконечности.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00090 А).
Список литературы
1. Merton, R. C. Theory of Rational Option Pricing / R. C. Merton // The Bell J. of Economics and Management Science. 1973. Vol. 4, no. 1. P. 229-288.
2. Jiang, L & Li, C. (2005). Mathematical modeling and methods of option pricing. 10.1142/5855.
3. А. А. Ефремов, В. В. Шайдуров Комбинированный численный метод решения задачи о ценообразовании срочного американского опциона // Материалы XXIII Международной научно-практической конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика Михаила Федоровича Решетнева (11-15 ноября 2019 г., г. Красноярск) в 2 частях. Часть 2. 2019. С. 163-164.
Проблема получения решения уравнений в окрестности оси цилиндрической системы координат при использовании конечно-разностных методов
B. П. Жуков
Институт вычислительных технологий СО РАН Новосибирский государственный технический университет Email: zukov@ict.nsc.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10016
При решении уравнений конечно-разностными методами в цилиндрической системе координат в окрестности оси нередко возникают существенные отклонения от точного решения. В работе показано, что они связаны не только с проблемами устойчивости схем (шаг сетки по углу около оси пропорционален
12
Секция 1
радиальной координате узлов сетки), но и аппроксимацией. Предложено простое решение этой проблемы в случае МГД уравнений с учетом эффекта Холла для задачи о тиринг неустойчивости. Задача имеет непосредственное отношение к установкам "токамак". Предложенный подход может быть использован для других уравнений и обобщен для других систем координат с особенностями.
Список литературы
1. Жуков В. П. Э Конечно-разностная схема для решения двухжидкостных МГД-уравнений в цилиндрической системе координат // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2005, Т. 45, № 1, С. 156-169.
2. Zhukov V. P. A Finite Difference Scheme for Solving Two-Liquid Magnetohydrodynamic Equations in Cylindrical Coordinates//Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2005. V 45. N 1. P. 149-162.
Варианты решения вырожденной 3D задачи линейной упругости методом конечных элементов
М. И. Иванов1 И. А. Кремер1,2
1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН 2Новосибирский государственный университет Email: ivanov@sscc.ru, igor.a.kremer@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10017
Решения краевых задач линейной теории упругости с заданными граничными нагрузками определены с точностью до множества жестких перемещений, в 3D случае его размерность равна 6. В работе [1] приводятся и обосновываются варианты условий однозначной разрешимости такой краевой задачи. В работах [2, 3] показан способ получения обобщенных постановок краевых задач, базирующийся на разложении жестких перемещений в сумму поступательного и вращательного движений. В качестве альтернативного подхода и по аналогии с методом, изложенным в работе [4], нами получена невырожденная расширенная постановка задачи упругости, решение которой автоматически удовлетворяет ограничениям на циркуляцию поля перемещений. Описана конечноэлементная технология получения соответствующей СЛАУ, предложен алгоритм ее решения, на примерах решения модельных задач исследованы свойства этого алгоритма.
Список литературы
1. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.-Л.: Гостехиздат, 1952, 216 с.
2. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Вариационно-разностные схемы для решения плоской задачи теории упругости //В сб.: Вариационно-разностные методы в математической физике, ВЦ СО АН СССР, С. 15-33, Новосибирск, 1974.
3. Bochev P., Lehoucq R. Energy Principles and Finite Element Methods for Pure Traction Linear Elasticity // Computational Methods in Applied Mathematics, Vol. 11 (2011), № 2, pp. 173-191.
4. Ivanov M. I., Kremer I. A., Urev M. V Solving the Pure Neumann Problem by a Finite Element Method //Numerical Analysis and Applications. - 2019. - Vol. 12. - №4. - pp. 359-371. https://doi.org/10.1134/S1995423919040049.
Моделирование процесса фильтрации двухфазной жидкости на основе законов сохранения в интегральной форме
М. И. Иванов, И. А. Кремер, Ю. М. Лаевский
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
Email: laev@labchem.sscc.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10018
В докладе описан подход к построению монотонных численных схем для решения задачи фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости с использованием модели Баклея - Леверетта [1]. Главной особенностью этой модели является наличие разрывных решений, причем течение в окрестности разрыва адекватно описывается законами сохранения в интегральном виде. Фазовые насыщенности аппроксимируются постоянными в ячейках сетки разрывными функциями. Для каждой ячейки интегральные законы сохранения, аппроксимирующие потоки, записываются на основе противопотоковой схемы. В этом случае полная скорость и давление рассчитываются с использованием уравнений смешанного метода конечных элементов с элементами Равьяра - Тома наименьшей степени и диагонализован-ной матрицей масс для суммарной скорости. Также рассмотрены вопросы учета нагнетательных и эксплуатационных скважин в этой дискретной модели. В частности, предложен подход, основанный на
