Асимптотический анализ в задачах нелинейного теплообмена и его приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

10

Секция 1

Список литературы

1. Пригожин И. УФН. 1980. Т. 131. № 2. С. 185; Prigogine I. Nobelprize.org, (1977), http://www.nobelprize.org/ mbel_prizes/chemistry/laureates/1977/prigogine-lecture.pdf.

2. Gerasev A. P. J. Non-Equilib. Thermodyn. 2011. V 36. № 1. P. 55.

3. Герасев А. П. УФН. 2004. Т. 174. № 10. С. 1061.

4. Gerasev A. P. J. Non-Equilib. Thermodyn. 2018. V. 43. № 3. P. 221.

Комплекс программ по решению систем ОДУ

С. В. Гололобов, Ю. М. Лаевский

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Email: laev@labchem.sscc.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10013

Библиотека предназначена для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и разработана на основе многостадийных методов Е. А. Новикова. Основная подпрограмма библиотеки осуществляет автоматическое переключение между явным и неявным методом в зависимости от оценки текущей жесткости системы ОДУ. В явной схеме используется 9-стадийный метод первого порядка с расширенной областью устойчивости [1]. Контроль глобальной ошибки совместно с контролем устойчивости позволяет методу работать на оптимальном количестве стадий. Как только точность начинает ограничивать 9-стадийный метод, он переключается на метод Мерсона 4-го порядка. В качестве неявного метода используется L-устойчивый метод с адаптивным шагом на основе контроля глобальной ошибки [2]. Этот метод имеет 4-й порядок и использует 2 вычисления правой части, одно вычисление матрицы Якоби, одно LU-разложение матрицы Якоби и 5 решений системы линейных алгебраических уравнений с матрицей Якоби на каждый шаг. Библиотека может использовать вычисление матрицы Якоби как с помощью подпрограммы, предоставленной пользователем, так и самостоятельно. Библиотека совместима с языками Си и Фортран. Хотя она написана на Си, для совместимости с Фортраном сделаны некоторые изменения в интерфейсе, которые не являются стандартными для программ, написанных на Си.

Для проверки возможностей библиотеки ode_solver взят набор достаточно сложных тестов, предложенных Э. Хайрером [3]. Там же находятся правильные ответы для рассматриваемых систем ОДУ и программы для решения этих систем ОДУ с помощью неявного 3-стадийного метода Рунге - Кутты типа Радо, метода типа Розенброка и экстраполяционного метода на основе неявного метода Эйлера. В тестах 6, 8-10, 12 рассмотрены начально-краевые задачи для уравнений с частными производными. При этом дискретизация по пространству (переход к системе ОДУ) осуществляется как разностным методом (тесты 6, 8, 9), так и с использованием преобразования Фурье (тест 10).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 19-11-00048). Список литературы

1. Новиков Е. А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997.

2. Новиков Е. А. Исследование (m,2) методов решения жестких систем // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12. № 5. С. 103-115.

3. Хайрер Э. http://www.unige.ch/~hairer/testset/testset.html

Асимптотический анализ в задачах нелинейного теплообмена и его приложения

М. А. Давыдова, С. А. Захарова Московский государственный университет Email: m.davydova@physics.msu.ru, sa.zakharova@physics.msu.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10014

В настоящей работе предлагается новый подход к исследованию многомерных нелинейных задач теплообмена, основанный на использовании современных методов асимптотического анализа в многомерных нелинейных сингулярно возмущенных задачах (см. [1-2]). Исследуется вопрос о существовании устойчивых по Ляпунову классических стационарных и периодических решений с пограничными и внутренними переходными слоями в сингулярно возмущенных задачах нелинейной теплопроводности путем построения асимптотических приближений таких решений произвольного порядка точности с последующим обоснованием формальных построений на основе принципа сравнения [3].

Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений

11

Результаты работы могут быть использованы для описания процессов в нагретых нелинейных средах, связанных с задачами управляемого разогрева и межфазовых переходов, с целью определения те-плофизических характеристик среды, восстановления параметров источника по заданной конфигурации области разогрева и величине скачка температуры; с целью создания эффективных численных алгоритмов решения прямых и коэффициентных обратных задач теории управляемого разогрева и межфазовых переходов, а также для создания тестовых численных алгоритмов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-29-10080).

Список литературы

1. Davydova M. A., Nefedov N. N. Existence and stability of contrast structures in multidimensional singularly perturbed reaction-diffusion-advection problems // Lecture Notes in Computer Science. 2017. Vol. 10187. P. 277-285.

2. Nefedov N. N., Sakamoto K. Multi-dimensional stationary internal layers for spatially inhomogeneous reaction-diffusion equations with balanced nonlinearity // Hiroshima Mathematical Journal. 2003. Vol. 33. No. 3. P. 391-432.

3. Wang J. Monotone method for diffusion equations with nonlinear diffusion coefficients // Nonlinear Analysis. 1998. No. 34. P. 113-142.

Конечно-элементная аппроксимация граничного условия на бесконечности для задачи срочного американского опциона

A. А. Ефремов, Л. В. Гилева, В. В. Шайдуров Институт вычислительного моделирования СО РАН Email: efremov@icm.krasn.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10015

В области стохастической финансовой математики одна из важных задач - моделирование ценообразования срочного американского опциона. Поскольку получить аналитическое решение для модели срочного американского опциона на ограниченном временном интервале не представляется возможным в силу нелинейности задачи, к решению задачи применяются различные численные методы [1]. Наряду с классами древовидных методов и методов Монте-Карло, активно используются детерминистические методы, основанные на решении обратной начально-краевой задачи специального вида [2, 3]. В работе рассматривается решение задачи со свободной границей комбинированным конечно-элементным по-лулагранжевым методом с использованием конечных элементов специального вида для аппроксимации правого граничного условия на бесконечности.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 20-01-00090 А).

Список литературы

1. Merton, R. C. Theory of Rational Option Pricing / R. C. Merton // The Bell J. of Economics and Management Science. 1973. Vol. 4, no. 1. P. 229-288.

2. Jiang, L & Li, C. (2005). Mathematical modeling and methods of option pricing. 10.1142/5855.

3. А. А. Ефремов, В. В. Шайдуров Комбинированный численный метод решения задачи о ценообразовании срочного американского опциона // Материалы XXIII Международной научно-практической конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика Михаила Федоровича Решетнева (11-15 ноября 2019 г., г. Красноярск) в 2 частях. Часть 2. 2019. С. 163-164.

Проблема получения решения уравнений в окрестности оси цилиндрической системы координат при использовании конечно-разностных методов

B. П. Жуков

Институт вычислительных технологий СО РАН Новосибирский государственный технический университет Email: zukov@ict.nsc.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10016

При решении уравнений конечно-разностными методами в цилиндрической системе координат в окрестности оси нередко возникают существенные отклонения от точного решения. В работе показано, что они связаны не только с проблемами устойчивости схем (шаг сетки по углу около оси пропорционален