Моделирование пространственных допустимых отклонений сборочных единиц с помощью бикватернионов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оригинальная статья / Original article УДК 621.757

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-11-71-88

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДОПУСТИМЫХ ОТКЛОНЕНИЙ СБОРОЧНЫХ ЕДИНИЦ С ПОМОЩЬЮ БИКВАТЕРНИОНОВ

1 9

© Л.Ф. Хващевская1, Д.А. Журавлёв2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

РЕЗЮМЕ: Пространственные отклонения, возникающие в механических узлах, являются результатом изменения формы, ориентации или месторасположения геометрических элементов сборочных единиц. Если такие отклонения возникают между сопрягаемыми поверхностями компонентов сборки, то они влияют на конечный результат сборки. Учет этих отклонений уже на стадии проектирования сборочных единиц является одним из условий успешной сборки и обеспечения собираемости. Цель настоящей статьи - представление общего подхода к формализованному описанию допустимых пространственных отклонений геометрических элементов сборочных единиц. При исследовании использовалось математическое моделирование с применением теории бикватернионов. Разработан новый подход к формализованному представлению полей геометрических допусков сборочных единиц с использованием математического аппарата бикватернионов. Построены конфигурационные многообразия допусков ориентации и месторасположения, и дана их классификация. Использование бикватернионов для описания пространственных допустимых отклонений геометрических элементов сборочных единиц позволяет комплексно описывать эти отклонения и учитывать взаимосвязи между ними. Построенные конфигурационные многообразия позволяют учитывать пространственные допустимые отклонения сборочных единиц уже на стадии геометрического проектирования.

Ключевые слова: пространственные допустимые отклонения, сборка, математическое моделирование, собираемость, бикватернионы

Информация о статье: Дата поступления 05 октября 2018 г.; дата принятия к печати 30 октября 2018 г.; дата онлайн-размещения 30 ноября 2018 г.

Для цитирования: Хващевская Л.Ф., Журавлёв Д.А. Моделирование пространственных допустимых отклонений сборочных единиц с помощью бикватернионов. Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018;22(11):71-88. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-11-71-88.

BIQUATERNION-BASED MODELING OF ASSEMBLY UNIT PERMISSIBLE SPATIAL TOLERANCES

1 2 Lyubov F. Khvashchevskaya , Diomid A. Zhuravlev

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk 664074, Russian Federation

ABSTRACT: Dimensional deviations arising in mechanical assemblies result from the change in the shape, orientation or position of assembly geometrical elements. If these deviations occur between the mating surfaces of assembly components they affect the final result of the assembly. One of the main conditions of successful assembly and assemblabil-ity is accounting for these deviations as early as the design stage of assembly units. The purpose of the article is representation of the general approach for the formalized description of permissible spatial tolerances of assembly unit geo-

1Хващевская Любовь Федоровна, программист кафедры технологии и оборудования машиностроительных производств, e-mail: xvlf@mail.ru

Lyubov F. Khvashchevskaya, Programmer of the Department of Technology and Equipment of Machine-Building Production, e-mail: xvlf@mail.ru

2Журавлёв Диомид Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры технологии и оборудования машиностроительных производств, e-mail: dio@istu.irk.ru

Diomid A. Zhuravlev, Dr. Sci. (Eng.), Professor of the Department of Technology and Equipment of Machine-Building Production, e-mail: dio@istu.irk.ru

metrical elements. The study employs mathematical modeling using the biquaternion theory. A new approach has been developed for formalized imaging of the fields of assembly unit geometrical tolerances using the mathematical apparatus of biquaternions. Configuration manifolds of orientation and position tolerances are built and classified. Biquaternions used to describe permissible spatial deviations of assembly unit geometric elements enable comprehensive description of these deviations and consideration of their correlation. The constructed configuration manifolds allow to take into account the permissible spatial tolerances of assembly units at the stage of geometric design.

Keywords: permissible spatial tolerances, assembly, mathematical modeling, assemblability, biquaternions

Information about the article: Received October 5, 2018; accepted for publication October 30, 2018; available online November 30, 2018.

For citation: Khvashchevskaya L.F., Zhuravlev D.A. Biquaternion-based modeling of assembly unit permissible spatial tolerances. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018;22(11):pp. 71-88. (In Russ.) DOI: 10.21285/1814-3520-2018-11-71-88.

Введение

Для проведения пространственного анализа собираемости механических узлов на стадии проектирования необходимо решить множество сложных задач. Одной из таких задач является задача включения размерных и геометрических пространственных допустимых отклонений компонентов узла в модель для 3D анализа. Решение этой задачи предполагает построение математических моделей пространственных допустимых отклонений. Ю.Н. Ляндон в конце 50-х годов 20-го века сделал попытку комплексно описать отклонения, а с появлением компьютеров, позволивших проводить автоматизированные расчеты, исследования в этом направлении получили новый импульс. За это время было предложено много математических методов и моделей для представления пространственных допустимых отклонений. В работах [5,10-16] допустимые отклонения рассматриваются уже как часть процесса проектирования сборок. Дифференциально-геометрический подход к моделированию пространственных допустимых отклонений сборочных единиц был предложен в [1]. Там же было предложено допуски сборок разделить на 3 основные группы:

1) допуски взаимного расположения;

2) допуски изгибания;

3) допуски искажения метрики.

В работах [2] и [4] для математического описания полей геометрических допусков ориентации и формы (плоскостность, прямолинейность), определенных в стандарте ГОСТ 2464281*, использовались кватернионы с действительными компонентами. Введено понятие конфигурационного пространства поверхности как пространства возможных изменений параметров поверхности, полностью характеризующих ее отклонение от номинальных размеров и формы при заданных значениях допусков [4]. Каждому допуску ориентации поверхности поставлено в соответствие определенное конфигурационное пространство. Однако следует отметить, что при построении конфигурационных пространств не учитывались взаимосвязи параметров, характеризующих пространственные отклонения. Наличие таких взаимосвязей существенно влияет на результат сборки.

В работах [3] и [6] допуски произвольной формы поверхности рассматриваются с точки зрения первой и второй квадратичных форм поверхности. Варьируя коэффициентами квадратичных форм и отмеченными реперами, можно получать реальную форму поверхности детали

ГОСТ 24642-81 Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположения поверхностей. Введ. 18.03.81. М.: ИПК Издательство стандартов, 2002.

GOST 24642-81 basic rules of interchangeability. Tolerances of shape and location of surfaces. Enter. 18.03.81. M.: IPK Publishing house of standards, 2002.

при каждом значении заданных на нее допусков формы.

Появление стандартов ГОСТ Р 53089-2008 и ГОСТ Р 53442-2015, которые устанавливают нормирование геометрических характеристик изделий, требует новых подходов к математическому описанию полей геометрических допусков для проведения полноценного 3D-анализа собираемости.

Целью статьи является разработка общего подхода к формализованному описанию пространственных допустимых отклонений сборочных единиц с использованием математического аппарата бикватернионов.

Методы исследования

Бикватернионы будем использовать для описания пространственного положения геометрического элемента.

Бикватернионы были введены У. Клиффордом [9] как обобщение кватернионов Гамильтона. Идеи Клиффорда развил А.П. Котельников в своей работе по винтовому исчислению [7].

Приведем кратко теоретические сведения о бикватернионах, которые будем использовать в дальнейших рассуждениях.

Бикватернион - это кватернион, элементами которого являются дуальные числа [8]:

Q

rq0 +s- q00 Л q +s- q°

q2+s- q°

q3 +s• q°

где е - единица Клиффорда и е2 = 0.

Бикватернион можно еще записать в виде:

О = я + £■ я0.

Здесь q =

q0

qi qi

qs

- главный кватернион; q" =

q0

qi q0 q0

- моментныи кватернион.

Бикватернион состоит из дуальной и винтовой частей. Дуальной частью бикватерниона является дуальное число

йыа1О = д0 + е ■ , а винтовой частью является трехмерный дуальный вектор (винт):

screw Q =

qi +s• q° qi+s- q° qsq°

Бикватернион, у которого дуальная часть равна нулю, называется чисто винтовым [8]. Бикватернион, у которого винтовая часть равна нулю, называется чисто дуальным [8]. Модулем бикватерниона Q является дуальное число вида:

|Q| = |q|-(1 + е-[Q"|) .

V 2 2 2 2 q + q + ъ + q

TQl =

Здесь

q0 • q° + qi • q0 + q2 • q0 + q3 ■ q0

q

- модуль главного - параметр бикватерниона Q.

кватерниона

q;

Перечислим основные операции над бикватернионами.

1. Бикватернионное сопряжение: Q =

Ъо + е- Ъо (qi +s- q°)

(q2+е- q°)

(Ъз +е- Ъз0)

2. Сложение и вычитание бикватернионов выполняется почленно:

P±Q

(Po ±Ъо) + е-(Po0 ±Ъо0) (Pi ± qi )+е-( pi0 ± qi0) (P2 ±Ъ2) + е-(p20 ±q2) (Рз ±Ъз) + е-(Рз0 ±q0)_

3. Умножение бикватерниона на бикватернион обозначается знаком ® и выполняется по формуле:

R = P ® Q = p ® q + е(р ® q0 + p0 ® q),

где Q = я + £■ , Р = р + £■ р0.

Бикватернионное умножение некоммутативно. 4. Вынесение за скобки главного кватерниона.

Если главный кватернион я не является нулевым, то бикватернион Q = я + £■ может быть представлен в виде:

Q = q®(l + е • q-1 ®q0) = (l + е-q0 ®q-1)® q ,

где I

i + е ■ 0 0 + е- 0 0 + е- 0 0 + е- 0

- тождественный бикватернион.

5. Бикватернион О-1, обратный к бикватерниону О, определяется следующим образом:

Q-1=

_Q_

IQII'

где Ю = д02 + д2 + д22 + д2 + е^ 2 ■{д^ ■ д00 + д ■ д° + д2 ■ д20 + дъ ■ д30) - норма бикватерниона О .

Бикватернион не определен, если ||О|| = 0. Если ||О|| ^ 0, то О0О-1 = О-10О = I.

Предположим, что текущее положение геометрического элемента получено из исходного положения путем конечного перемещения, и геометрический элемент представлен в подвижной системе координат Y в бикватернионном виде, то есть 7р = [о,7р,7р2,7р]г, тогда его компоненты в неподвижной системе координат Х будут найдены по формуле:

= Л ® Y p ® Л"1,

(1)

где хр (¥ р) - бикватернион р в системе координат Х (У) соответственно; хР {* = 0,3) - компоненты бикватерниона в неподвижной системе координат; Л - собственный бикватернион конечного перемещения геометрического элемента. Справедлива и обратная формула:

¥р = Л-10Х р 0 Л. Собственный нормированный бикватернион Л имеет следующий вид [8]:

Л =

Ф

cos— 2

Ф

Е • sin —

Ф

Е • sin —

Ф

Е • sin —

где Е; Ц = 1, 2, 3) - компоненты чисто векторного бикватерниона оси Е = е + е^ е0 конечного перемещения геометрического элемента; е - единичный векторный кватернион, определяющий направление оси перемещения, е0 - моментный векторный кватернион оси относительно начала координат; Ф = р + ер° - дуальный угол поворота геометрического элемента, причем ф - обычный угол поворота геометрического элемента вокруг оси Е, р0 - поступательное перемещение геометрического элемента вдоль этой оси.

Для бикватерниона Л справедливы равенства: |Л| = 1 и [ А ] = 0.

Предположим, что ось Е = е + е^ е0 задана дуальными углами, которые она образует с осями неподвижной системы координат:

Г, = 7 + s • 70 (i = 1,2,3) ,

где 7 - угол между осью Е и /-ой осью координатной системы (г = 1, 2, 3); 70 - расстояние

между осью Е и /-ой осью координатной системы. Тогда собственный бикватернион Л записывается следующим образом:

Л =

р P ■ P cos--s---sin —

2 2 2

• P ( P О ■ P ■ ,

cos7 • sin — + s• (— • cos — • cos7 -7 • sin — • sin7)

P

P

P

:„P

О

cos7 • sin — + s • (— cos—• cos7 -7 • sin — • sin7)

2

2

2

2

• P P P о ■ р ■ ,

cos 7 • sin — + s • (--cos — • cos 7 -7 • sin — • sin 7)

3 2 2 2 2

(2)

Пространственные отклонения геометрического элемента, нормируемого допуском расположения, будем характеризовать с помощью собственного нормированного кватерниона (2). При этом, если на геометрический элемент назначен допуск ориентации, то

Р° = 0, 70 = 0 ^ = 1,з) и из формулы (2) получаем собственный нормированный кватернион к поворота геометрического элемента в виде:

X =

(P

'2

P

sin

2

P

sin

2

P

sin

2

(3)

где (р - угол поворота рассматриваемого элемента вокруг оси e = (cos7, cos 7, cos7).

Конфигурационные многообразия пространственных допустимых отклонений расположения и их классификация

Конфигурационным многообразием допуска расположения, установленного на геометрический элемент сборочной единицы, назовем геометрическое место точек на плоскости или в пространстве, характеризующих его допустимые конфигурации (допустимые положения).

Под допустимым положением (допустимой конфигурацией) геометрического элемента будем понимать такое положение, когда ни одна его точка в пределах нормируемого участка не нарушает поле допуска.

Допустимые конфигурации геометрического элемента зависят от нормируемой геометрической характеристики элемента.

Так, например, если на геометрический элемент (линию, поверхность) назначен допуск параллельности, то его допустимые конфигурации обусловлены поворотами.

Каждому допустимому положению рассматриваемого элемента будет однозначно соответствовать определенная точка на конфигурационном многообразии, которую будем называть К-точкой.

Геометрия конфигурационного многообразия допуска расположения рассматриваемого элемента будет определяться совокупностью К-точек. Границу конфигурационного многообразия образуют К-точки, соответствующие наибольшим допустимым пространственным отклонениям элемента от теоретически точного расположения.

В качестве примера сборочной единицы возьмем блок размера а х Ь х к, и для определенности будем считать, что а > Ь (рис. 1).

Рис. 1. Отклоненное положение верхней поверхности блока Fig. 1. Deflected position of the upper surface of the block

Рассмотрим построение конфигурационного многообразия допуска параллельности верхней плоской поверхности блока относительно базовой плоскости (нижней поверхности блока). Из ГОСТ Р 53442-2015 известно, что нормируемая верхняя плоская поверхность блока должна быть расположена между двумя параллельными плоскостями, которые расположены друг от друга на расстоянии, равном значению допуска А и параллельными базовой плоскости (рис. 2).

Отклоненное положение верхней плоскости блока относительно базовой плоскости будем описывать по отклоненному положению нормали к верхней поверхности блока относительно нормали к базовой плоскости (рис. 1).

Неподвижную систему координат Х поместим в центре поля допуска параллельности.

Единичный вектор \ оси Ох3 направим по нормали n к базовой плоскости блока, единичные векторы i и 4 осей Ох и Ох2 соответственно расположим вдоль ширины и длины нормируемого участка так, чтобы получилась правая тройка. Координатный орт Т3 системы

координат Y направим по нормали к верхней поверхности блока в номинальном положении, и будем считать, что в номинальном положении верхней поверхности блока ориентации координатных систем X и Y совпадают.

Обозначим: р - угол поворота верхней поверхности блока, то есть угол между вектором нормали n к верхней плоской поверхности блока в номинальном положении и вектором нормали N к этой поверхности в отклоненном (фактическом) положении. В теоретически точном положении верхней плоскости блока этот угол равен нулю. Ось поворота располагается в

координатной плоскости öxYx2, поэтому Уъ=~. Единичный вектор, характеризующий направление оси поворота верхней плоскости блока, определится следующим образом:

_ N x N' e = ■

Рис. 2. Поле допуска параллельности поверхности относительно базовой плоскости Fig. 2. Tolerance field of the surface parallelism relative to the reference plane

Здесь знаком «*» обозначено векторное умножение векторов.

Из выражения (3) получаем собственный нормированный кватернион поворота верхней плоской поверхности блока в виде:

X =

'2

£

sin

2

£

sin

2

0

(5)

Таким образом, для описания пространственных допустимых конфигураций верхней плоскости в поле допуска параллельности относительно базовой плоскости необходимо задать ось поворота е =(cos^, cos/2, 0) и угол поворота р. При этом справедливо

равенство cos2 yl + cos2 у2 = 1.

Поскольку нормируемый участок верхней плоскости блока представляет собой прямоугольник размера aх b, то угол ^ё[0; ж) , а угол поворота р зависит от угла ух, и справедливы следующие соотношения:

sin^max =

А

~b!

А

a

если ух = 0 , ж

если у1 =

2

А b b

■ , если ух = arctg —; ж - arctg —

л/a2 + b2 a a

Границу конфигурационного многообразия образуют К-точки К(ф; , для которых ^ = (знак определяется по правилу буравчика) при значениях угла л), то есть

Кгр (±^тах;^). Так как считаем, что а > Ь, то — < — и < Ф

\ п > а Ь п '

Каждой К-точке рассматриваемого конфигурационного многообразия поставим в соответствие кватернион ф = (0, ф, ф, 0 )г истинного эйлерова поворота верхней плоскости, который записывается следующим образом:

max „.max

Ф = ( 0,

ç ■ cos/!, ç ■ cos/2

\T , 0).

Модуль кватерниона ф равен углу поворота верхней плоскости блока, то есть ф =ф

и, следовательно, зависит от угла, который составляет ось поворота верхней плоскости блока с положительным направлением координатной оси Ох1. В граничных К-точках угол поворота

верхней плоскости блока принимает свое максимальное значение, поэтому ф =Ф\ , а

для всех К-точек конфигурационного пространства рассматриваемого допуска

параллельности справедливо неравенство a •

Ф

+ b ■

Ф

/1=0

<Л.

Рис. 3. Конфигурационное многообразие допуска параллельности плоскости относительно базовой плоскости Fig. 3. Configuration manifold of the plane parallelism tolerance relative to the reference plane

Таким образом, конфигурационное многообразие допуска параллельности верхней плоской поверхности блока относительно базовой плоскости является двумерным, и представляет собой ромб (рис. 3). Точка К0 представляет номинальное положение верхней поверхности блока, то есть параллельность базовой плоскости.

Рассмотрим далее построение конфигурационного многообразия позиционного допуска линии на примере оси отверстия в плите (рис. 4).

Пусть Д - позиционный допуск оси отверстия. Согласно стандарту ГОСТ Р 53442 -2015 ось нормируемого отверстия должна располагаться в пределах цилиндра (рис. 5), ось которого совпадает с теоретически точным положением оси отверстия относительно базовых плоскостей А, В, С, а диаметр равен значению допуска, то есть —. Теоретически точное положение оси цилиндра относительно баз определяют теоретически точные размеры б1, с(2 и б3.

Единичный вектор \ оси Ох3 неподвижной системы координат направим вдоль оси отверстия в номинальном положении, единичные векторы \ и \ осей Ох{ и Ох2 соответственно расположим так, чтобы получилась правая тройка. Координатный орт \ подвижной системы координат У направим вдоль реальной оси отверстия, и будем считать, что в номинальном положении оси нормируемого отверстия, координатные системы X и У совпадают.

Рис. 4. Ось отверстия, нормируемая позиционным допуском Fig. 4. Hole axis normalized by the positional tolerance

Бикватернион T, характеризующий пространственные отклонения оси отверстия относительно номинального положения, имеет вид:

T

1

£

s---cos у

2

£

s---cos у

2

£0

s---cos у

2 .

= 1 + s — 2

Здесь р0 = - модуль чисто векторного кватерниона t = [0,^,t2,ц] , t =р0 • cos7 (/ = 1,з)- компоненты кватерниона.

Поскольку для направляющих косинусов оси e =(cos7;cos/2;0) справедливо равенство cos2 7 + cos2 7= 1, то конфигурационное многообразие позиционного допуска оси отверстия двумерное, его образуют tf-точки K(р0; 7), для которых р0 е[-р(^х;р°ж],

7 е[0;ж).

Так как при всех значениях угла 7е[0;ж) максимальная величина поступательного

0 А

смещения оси отверстия, нормируемой позиционным допуском, равна р^х = —, то, следовательно, границу конфигурационного многообразия позиционного допуска оси отверстия образуют К-точки Kгр = K(±р!х; 7).

Рис. 5. Цилиндрическое поле позиционного допуска оси отверстия Fig. 5. Cylindrical field of the hole axis positional tolerance

Чисто векторный кватернион t = [0; р^о^;р°-cosy2; 0]поступательного перемещения рассматриваемой оси соответствует К-точке K = K(р0; 7) и тах=р^х. Для всех К-точек справедливо неравенство: |р0| <р°ах при 7е[0;^).

Таким образом, конфигурационное многообразие позиционного допуска оси отверстия представляет собой круг радиуса р°ах, показанный на рис. 6.

Рис. 6. Конфигурационное многообразие позиционного допуска оси отверстия Fig. 6. Configuration manifold of the hole axis positional tolerance

Рассмотрим построение конфигурационного многообразия допуска соосности для примера, показанного на рис. 7. Предположим, что нормируемый участок рассматриваемой оси имеет длину L.

Поле допуска ограничено цилиндром, диаметр которого равен числовому значению допуска, то есть А (рис. 8). Ось цилиндра совпадает с базовой осью А.

Рис. 7. Допуск соосности оси относительно базовой оси Fig. 7. Axis coaxiality tolerance relative to the reference axis

A

Рис. 8. Цилиндрическое поле допуска соосности оси Fig. 8. Cylindrical field of axis coaxiality tolerance

Неподвижную систему координат Х поместим середине базовой оси. Единичный вектор \ оси О^ направим вдоль оси, а единичные векторы { и \ осей Ох и Ох соответственно расположим так, чтобы получилась правая тройка. Подвижная система координат Y жестко связана с нормируемым участком оси: единичный вектор ^ направлен вдоль нормируемой

оси и векторы \, ^ образуют правую тройку, полюс находится в середине нормируемого

участка оси. Считаем, что в номинальном положении рассматриваемой оси неподвижная и подвижная системы координат совпадают.

Ось, нормируемая допуском соосности, может совершать поступательное движение вдоль оси с единичным вектором ё = cos^-i + cos/2- i на расстояние (р°, поворачиваться вокруг оси с единичным вектором ё на угол ф и вокруг оси S, перпендикулярной оси ё. Угол е[0;2^) и cos27l + cos2/2 = 1, а / ] .

Тогда положение рассматриваемой оси характеризует бикватернион М вида:

M =

p в (p . (p в

cos — • cos — s---sin — cos —

2 2 2 2 2

в '2 в '2

2 2

в sin-- 2 p cos — 2 cos у2 - p0 bs- — 2 • (cos p • 2 в cos—cosy + 2 p • sin-- 2 в sin — 2 cosy)

в sin — 2 p • cos — 2 • cos у - p Ys- — 2 • (cos p 2 в • cos — • cos у 2 p - sin — 2 в •sin — 2 •cosy)

в p p0 p в

sin — • sin--s---cos — sin —

2 2 2 2 2

Отсюда видим, что положение рассматриваемой оси характеризуется углами ф, в, /1, у2 и величиной ее линейного смещения ф0 Рассмотрим взаимосвязь этих параметров.

Для простоты рассуждений предположим, что 7 = 0, то есть рассматриваемая ось смещается вдоль координатной оси Ох1. Тогда угол ф - угол поворота рассматриваемой оси вокруг координатной оси Ох1, а угол в - угол поворота рассматриваемой оси вокруг координатной оси Ох2.

Ь

На оси возьмем, например, точку А

0,0,

. Поскольку линейное смещение А точки

А при повороте вокруг координатной оси Ох1 с одной стороны равно АХг = ^(р^х)2 -(р0)2 , а с

L 2Л

другой стороны АХз = — -sin|р|, то, следовательно, получаем р = ±arcsin—

2.

p f -p )2

то

2 '''' ' ' Ь

есть (р = /(р0). Отсюда видим, что при р0 = 0 угол р принимает максимальное значение

0

pmax = arcsin 2pm L

и минимальное значение p = - arcsin

; 2-pm

L

равен нулю.

Пусть р> 0. Поскольку р 0 =

- 2p0

-, а при ри =(1^ этот угол

< 0, то функция

)2 -(р0)2)-(Ь2 - 4(рпих0)2 + 4(р0)2) р = /(р0) убывает при всех значениях р0 е(0;р^). Аналогично рассуждая можно показать, что при угле поворота рассматриваемой оси р< 0 функция р = /(р0) возрастает при всех

0 / 0 ч ^ . 2у1 р )2 -(р0 )2

значениях р е(0;р^х). На рис. 9 приведен график зависимости р = агсБт—^--—-——

Ь

для положительных значений угла р поворота рассматриваемой оси при фиксированном значении у = ^е[0;2ж) и р^ = 0,5мкм.

Угол поворота в при р0 =р^х угол в равен нулю (также как и угол поворота р), а при р0 = 0 этот угол принимает свое максимальное значение, равное максимальному значению угла р, то есть Отах =ртах. Приведенные рассуждения справедливы для любых значений 71 е[0;2^).

Отметим также, что для нормируемого участка оси длиной ^ максимальное значение

тЯу . А п А угла поворота равно р = агсБт—, а р0ах = —.

Ь 2

Рис. 9. График зависимости ф = f (0 ) при = 0,5мкм и ф>0 Fig. 9. Dependency graph of ф = f (0 ) at = 0,5мкм and ф> 0

Конфигурационное многообразие оси, нормируемой допуском соосности, представляет собой эллипсоид (рис. 10) с полуосями <тах и <ах .

Рис. 10. Конфигурационное многообразие допуска соосности Fig. 10. Configuration manifold of coaxiality tolerance

В таблице представлена классификация конфигурационных многообразий пространственных допустимых отклонений расположения.

Конфигурационные многообразия SD-допусков расположения _Configuration manifolds of 3D location tolerances_

Группы

Виды

Геометрическая интерпретация

- конфигурационное многообразие допуска перпендикулярности линии относительно комплекта баз

(база А - плоскость; база В - плоскость);

- конфигурационное многообразие допуска параллельности линии относительно базовой плоскости;

- конфигурационное многообразие допуска перпендикулярности линии относительно базовой линии;

- конфигурационное многообразие допуска наклона линии относительно базовой линии

Конфигурационные многообразия допусков ориентации

- конфигурационное многообразие допуска параллельности линии относительно базовой линии;

- конфигурационное многообразие допуска перпендикулярности линии относительно базовой поверхности;

- конфигурационное многообразие допуска наклона линии относительно базовой поверхности

- конфигурационное многообразие допуска параллельности поверхности относительно базовой поверхности;

- конфигурационное многообразие допуска параллельности поверхности относительно базовой линии;

- конфигурационное многообразие допуска перпендикулярности поверхности относительно базовой поверхности;

- конфигурационное многообразие допуска перпендикулярности поверхности относительно базовой линии;

- конфигурационное многообразие допуска наклона по-

\ Kp

/V 7 \

/V' \

у

верхности относительно базовой плоскости.

конфигурационное многообразие допуска параллельности поверхности относительно комплекта баз (база А - плоскость;

база В - плоскость; рассматриваемый элемент поверхности - линия)_

Конфигурационные многообразия допусков месторасположения

конфигурационное многообразие

позиционного допуска точки

конфигурационное многообразие позиционного допуска линии

- конфигурационное многообразие позиционного допуска плоскости;

- конфигурационное многообразие позиционного допуска линии (линия расположена на плоскости)_

- конфигурационное многообразие допуска соосности оси относительно базовой оси;

- конфигурационное многообразие допуска концентричности точки

Заключение

Таким образом, использование бикватернионов дает общий подход для формализованного описания пространственных допустимых отклонений геометрических элементов сборочных единиц и позволяет комплексно описывать эти отклонения. Построенные конфигурационные многообразия допусков расположения позволяют учитывать взаимосвязи между параметрами, характеризующими пространственные допустимые отклонения рассматриваемых элементов, и включать геометрические допуски в пространственный размерный анализ.

Библиографический список

1. Журавлев Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учетом допусков // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2002. № 12. С. 82-92.

2. Журавлев Д.А., Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ. 2005. № 1. С. 116-125.

3. Журавлев Д.А., Гаер М.А. Допуски, связанные с изгибанием поверхности // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2006. № 4 (28). С. 12-15.

4. Гаер М.А., Журавлев Д.А., Яценко О.В. Конфигурационные пространства поверхностей деталей и сборок // Вестник ИрГТУ. 2011. № 10 (57). С. 32-36.

5. Гаер М.А. Технология конфигурационного прямого моделирования // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2012. № 11 (70). С. 44-47.

6. Гаер М.А., Шабалин А.В., Валов А.А. Дифференциально-геометрический подход к описанию допусков искажения метрики // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2015. № 9 (104). С. 34-39.

7. Котельников А. П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. М.: КомКнига, 2006. 224 с.

8. Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М.: Физматлит, 2006. 512 с.

9. Clifford W. Preliminary Scetch of Biquaternions // Proc. of London Math. Soc. 1873. Vol. IV. pp. 381 -393.

10. Davidson J.K., Shah J.J., Mujezinovic A. A new mathematical model for geometric tolerances as applied to round faces. Baltimore: Maryland, 2000.

11. Davidson J.K., Shah J.J. Mathematical model to formalize tolerance specifications and enable full 3D tolerance analysis. In Service and Manufacturing Grantees and Research conference. Dallas: Texas, 2004.

12. Ghie W., Laperriere L., Desrochers A. Re-design of mechanical assemblies using the Jacobian-Torsor model // Models for Computer aided tolerance in design and manufacturing. London: Springer, 2006. P. 95-104.

13. Pasupathy T.M.K., Morse E.P., Wilhelm R.G. A Survey of Mathematical Methods for the Construction of Geometric Tolerance Zones // Journal of Computing and Information Science and Engineering. 2003. № 3(1). P. 64-75.

14. Polini W. Geometric Tolerance Analysis. Geometric Tolerances. Impact on Product Design. Quality Inspection and Statistical Process Monitoring. 2011. XVIII. P. 39-68.

15. Roy U., Li B. Representation and interpretation of geometric tolerances for polyhedral objects. II Size. Orientation and Positional tolerances // Computer Aided Design. 1999. № 31(4). P. 273-285.

16. Turner J.U., Wozny M.J. The M-space theory of tolerances in geometric modeling for CAD Applications / Eds. Wozny M.J., McLaughlin J.L. Elsevier Science Publishers. IFIP. 1988. P.163-187.

References

1. Zhuravlev D.A., Grushko P.Ya., Yatsenko O.V. On new differential geometric approaches to computer-aided design of assemblies with allowance for tolerances. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2002, no.12, pp. 82-92 (In Russian).

2. Zhuravlev D.A., Gaer M.A. Spatial geometrical tolerance characteristic. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2005, no. 1, pp. 116-125 (In Russian).

3. Zhuravlev D.A., Gaer M.A. Tolerances associated with surface bending. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2006, no. 4(28), pp. 12-15 (In Russian).

4. Gaer M.A., Zhuravlev D.A., Jacenko O.V. Configuration spaces of parts and assembly surfaces. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2011, no. 10(57), pp. 32-36 (In Russian).

5. Gaer M.A. Technology of configurational direct modeling. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2012, no.11(70), pp. 44-47 (In Russ.)

6. Gaer MA, Shabalin A.V., Valov A.A. Differential geometric approach to metric distortion tolerance description. Vestnik

Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2015, no. 9 (104), pp. 34-39. (In Russ.)

7. Kotelnikov A.P. Vintovoye schisleniye i nekotoryye prilozheniya yego k geometrii i mekhanike [Screw counting and some of its applications to geometry and mechanics]. Moscow: KomKniga Publ, 2006, 224 p. (In Russ.).

8. Chelnokov Yu.N. Kvaternionnyye i bikvaternionnyye modeli i metody mekhaniki tverdogo tela i ikh prilozheniya. Ge-ometriya i kinematika dvizheniya [Quaternion and bi-quaternion models and methods of solid mechanics and their applications. Geometry and kinematics of motion]. Moscow: Fizmatlit. Publ., 2006. 512 p. (In Russ.).

9. Clifford W. Preliminary Scetch of Biquaternions. Proc. of London Math. Soc. 1873, Vol. IV, pp. 381 -393.

10. Davidson J.K., Shah J.J., Mujezinovic A. A new mathematical model for geometric tolerances as applied to round faces. Baltimore. Maryland Publ., 2000.

11. Davidson J.K., Shah J.J. Mathematical model to formalize tolerance specifications and enable full 3D tolerance analysis. In Service and Manufacturing Grantees and Research conference. Dallas: Texas Publ., 2004.

12. Ghie W., Laperriere L., Desrochers A. Re-design of mechanical assemblies using the Jacobian-Torsor model. Models for Computer aided tolerance in design and manufacturing. London: Springer Publ., 2006. P. 95-104.

13. Pasupathy T.M.K., Morse E.P., Wilhelm R.G. A Survey of Mathematical Methods for the Construction of Geometric Tolerance Zones. Journal of Computing and Information Science and Engineering, no. 3(1), (2003), pp. 64-75.

14. Polini W. Geometric Tolerance Analysis. Geometric Tolerances. Impact on Product Design. Quality Inspection and Statistical Process Monitoring. (2011), XVIII, pp. 39-68.

15. Roy U., Li B. Representation and interpretation of geometric tolerances for polyhedral objects. II Size. Orientation and Positional tolerances. Computer Aided Design, no. 31(4), (1999), pp. 273-285.

16. Turner J.U., Wozny M.J. The M-space theory of tolerances in geometric modeling for CAD Applications, eds. Wozny M.J., McLaughlin J.L., Elsevier Science Publishers, IFIP, 1988, pp. 163-187.

Критерии авторства

Хващевская Л.Ф., Журавлёв Д.А. имеют равные авторские права и в равной мере несут ответственность за плагиат.

Criteria for authorship

Khvashchevskaya L.F., Zhuravlev D.A. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagi arism.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.