Конфигурационные пространства поверхностей деталей и сборок Текст научной статьи по специальности «Математика»

Напряжения, возникшие в результате действия моментов, найдем из выражения (2)

Ты 1 = \Т°(у)уф ;

Ты 2 = - У2 Т° (у)у 2ф ,

где у1,у2 - текущая координата; Jy - момент инерции сечения.

На рис. 1, е, ж представлены эпюры найденных напряжений изгиба. Остаточные деформации изгиба оставшейся части пластины могут быть определены также достаточно просто.

Таким образом, в результате удаления припуска в пластине произошло перераспределение имевшихся в ней термических остаточных напряжений. При перераспределении исходных остаточных напряжений, эпюра которых изображена на рис. 1б, возникают

напряжения растяжения - сжатия (рис. 1д) и напряжения изгиба (рис 1 е, ж). После снятия сил зажима оставшаяся часть пластины удлинится и изогнется от

действия сил р и Р2, в свою очередь, эпюра остаточных напряжений уравновесится относительно новой оси инерции и примет вид, изображенный на рис. 1 з. Следует отметить, что результаты окончательных расчетов по определению остаточных деформаций в представленной работе и конечные выражения определения остаточных деформаций, представленные в работе [3], полностью совпадают.

Представленная в данной статье работа проводится при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации (Минобрнауки России) в рамках комплексного проекта «Разработка и внедрение комплекса высокоэффективных технологий проектирования, конструкторско-технологической подготовки и изготовления самолета МС-21», шифр 2010-218-02312.

Библиографический список

1. Константинов Л.С., Трухов А.П. Напряжения, деформации и трещины в отливках. М.: Машиностроение, 1985. 160с.

2. Промптов А.И. Остаточные напряжения и деформации при обработке маложестких деталей резанием: дис. ... докт. техн. наук. Куйбышев, 1975. 420 с.

3. Каргапольцев С.К. Остаточные деформации при фрезеровании маложестких деталей с подкреплением. Иркутск: Восточно-Сибирский институт МВД РФ, 1999. 136 с.

4. Биргер А.И., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов М.: Наука, 1986. 559 с.

УДК 621.757

КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЕТАЛЕЙ И СБОРОК М.А.Гаер1, Д.А.Журавлёв2, О.В.Яценко3

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматривается геометрическое моделирование пространственных отклонений деталей и сборок. Для каждого вида допусков расположения и формы описана методика построения соответствующего ему конфигурационного пространства, по точке которого можно получить различные положения отмеченного репера и/или измененные коэффициенты квадратичных форм этой поверхности в пределах заданного допуска, а значит, и полностью описанное положение поверхности в трёхмерном пространстве. Ил. 2. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: пространственные допуски деталей и сборок; сборка с учетом трехмерных отклонений; конфигурационные пространства.

CONFIGURATION SPACES OF PARTS AND ASSEMBLY SURFACES M.A. Gaer, D.A. Zhuravlev, O.V. Yatsenko

National Research Irkutsk State Technical University, Institute of Air Machine-Building and Transport, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The article deals with the geometrical modeling of spatial deflections of parts and assemblies. For each type of location and form of tolerances it describes the procedure to construct a corresponding configuration space, by whose point it is possible to derive various positions of the marked reference frame and/or altered coefficients of quadratic forms of this

1-

Гаер Максим Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, тел.: 89021709580 , e-mail: magaer@mail.ru

Gaer Maxim, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Technology of Mechanical Engineering, tel.: 89021709580, e-mail: magaer@mail.ru

2Журавлев Диомид Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения.

Zhuravlev Diomid, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Technology of Mechanical Engineering.

3Яценко Ольга Валерьевна, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения.

Yatsenko Olga, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Technology of Mechanical Engineering.

surface within a specified tolerance, and therefore, to obtain a fully described position of the surface in a three-dimension space.

2 figures. 7 sources.

Key words: spatial tolerances of parts and assemblies; three-dimensional deflection assembly; configuration spaces.

Основным видом информации о сборке является геометрическая информация, но в настоящее время не существует общепринятых методов автоматизированного проектирования сборок, также как и эффективных и универсальных методов описания допусков и проведения размерного анализа. Одним из главных вопросов, вызывающих большой интерес у поставщиков CAD/CAM/CAE систем, является адекватное формализованное описание сборки, в том числе с учетом допустимых пространственных отклонений.

Совершенно естественно сборку рассматривать как более сложную структуру, чем просто набор составляющих элементарных (неразложимых) компонентов. Каждой детали отдельно и сборке в целом будем ставить в соответствие некоторые пространства, точки которых характеризуют положение всех компонентов сборки в обычном трехмерном евклидовом пространстве.

Подход к сборке с учётом допусков требует в первую очередь несколько нового решения вопроса о графах сборки. Согласно статье [4] сборка разбивается на уровни, каждому из которых соответствует так называемая С-деталь того же порядка, что и уровень сборки. Другими словами сборкой уровня k называется сборка, в результате которой получена С-деталь порядка k. Так монолитный компонент, который нельзя разделить на отдельные детали, будем называть С-деталью порядка нуль. Тогда С-деталью порядка k является С-деталь, полученная в результате сборки С-деталей порядка не больше чем (k-1).

Соответственно допуск (детали или сборки) будем называть допуском (детали или сборки) уровня k, если от него зависит результат сборки уровня k, причём k -наименьшее такое значение.

Далее, из всех поверхностей деталей сборки выделим те, на которые заданы допуски, и каждой из них поставим в соответствие пространства, которые будем называть конфигурационными. Более строго пространство возможных изменений параметров данной поверхности, полностью характеризующих её отклонение от номинальных размеров и формы при заданных значениях допусков, будем называть конфигурационным пространством этой поверхности.

Пусть сборка состоит из (n -1) -го уровня. Обозначим через m количество С-деталей уровня

j (j = 0,n), через q - количество поверхностей /'-ой

С-детали уровня / (7 = 0, п, ■ = 1, т.), на которые

заданы допуски уровня ], и, наконец, через рк обозначим количество допусков, заданных на поверхность £ к (7 = 0, п, ■ = 1, т, к = 1, ) . Тогда конфигурационное пространство уровня ] поверхности

Sk будет иметь следующий вид: Kk = ПKka , где

JJ X X JJ

a=1

Кк - конфигурационные пространства, характеризующие отклонение поверхности Бк от номиналов

и7

относительно одного из допусков уровня / Также

определим Kjt = ПKk как конфигурационное про-

k=1

странство /-ой С-детали уровня j. В свою очередь,

mj

пространство Kj = ПKjt будем называть конфи-

i=1

гурационным пространством всего уровня j. Наконец,

n

K = ПKj - конфигурационное пространство всей

j=0

сборки, которое окончательно можно представить в следующем виде:

k

n mj qji Ря

K=П П П П j

j=0 i=1 k=1 a=1

Конфигурационные подпространства Kk" могут

быть различной размерности: dim Kk" > 0.

В частности, если на данную поверхность не заданы никакие допуски, то будем считать, что размерность dim Kk" = 0.

Таким образом, если точка х принадлежит конфи-

гурационному

подпространству

K

ka

то

x = (x , x ,..., xd ), где d = dim Kk. Такую точку будем обозначать x и говорить, что она имеет размерность d .

Тогда, если точка y принадлежит конфигурационному пространству уровня j данной поверхности, то

У = (x1i,x22,---,xm„), где m - количество допусков уровня j, заданных на данную поверхность. Размерность такой точки равна / = d + d2 н-----н dm, и

обозначать её будем У .

Далее, если точка z принадлежит конфигурационному пространству уровня j K , то

z = (y^,y22,...,У^), где число l - это количество

поверхностей, на которые заданы допуски уровня j.

Количество точек конфигурационного пространства, необходимое для тестирования возможности сборки, будем определять в каждом конфигурацион-

k

ном подпространстве Кк" по умолчанию. Однако

]]

установки по умолчанию можно изменять.

Наибольшее влияние на собираемость деталей и точность их расположения в узле или механизме оказывает точность расположения элементов этих деталей. Поэтому с точки зрения анализа сборки интерес в первую очередь представляет описание и нормирование отклонений расположения поверхностей элементов деталей.

Пусть каждая поверхность имеет свою некоторую локальную систему координат Е = ^, е, е2, еъ}, которую будем называть отмеченным репером данной

поверхности. Здесь е° - радиус-вектор начала координат, {е, е, е } - ортонормированный базис.

Для различных поверхностей могут быть определены различные правила построения отмеченных реперов. Тогда для движения поверхности в трехмерном пространстве (поворота, параллельного переноса) достаточно все преобразования проводить лишь с её отмеченным репером Е. При построении конфигурационных пространств крайне важно минимизировать количество независимых параметров, иначе могут возникнуть проблемы, связанные с обработкой громадных объемов данных. Таким образом, точка конфигурационного пространства поверхности будет определять лишь положение её отмеченного репера.

Наиболее естественным способом, позволяющим описывать повороты в трехмерном пространстве, является использование операторов преобразования и соответствующих им матриц [7] . Вообще, поворот можно задать с помощью матрицы 3*3 или с помощью углов Эйлера. Первый способ требует задания 9 значений, а второй является неоднозначным, так как двум разным наборам углов Эйлера могут соответствовать одинаковые ориентации и такое задание возможно, но громоздко [2].

Представление же трехмерных вращений при помощи кватернионов удобно тем, что кватернион определяет непосредственно его геометрические характеристики: ось вращения и угол поворота. При обычном описании вращения при помощи матриц для определения оси вращения и угла поворота необходимо проделать некоторые вычисления, а при использовании кватернионов он находится естественным образом. Хотя в работе [1] отмечалось, что объемы и скорость вычислений при сравнении операций, выполняемых с помощью матриц вращений, Эйлеровых углов, параметров Родригеса и кватернионов, сходны, но представление ориентации с помощью кватернионов является уникальным с точки зрения простоты формы задания и удобства оперирования.

Исходя из вышесказанного, каждому из допусков расположения сопоставим одно из двух следующих конфигурационных пространств.

1 . Поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом, осью которого является вектор

п', а наибольшим углом отклонения ф является угол у (рис . 1,а).

2 . Дуга единичной окружности с осью п' и углом у (рис . 1 ,б).

В зависимости от вида допуска они характеризуют отклонение одного из векторов отмеченного репера, а

именно вектора N данной поверхности от соответствующего вектора п' отмеченного репера базовой

поверхности. Положение вектора N описывается двумя параметрами: ф и у. Угол ф изменяется в пределах от 0 до у, а угол у е [°,2^] - в случае первого вида конфигурационных пространств и у = 0- в случае второго. Значение параметра у рассчитывается в зависимости от вида допуска и его значения А [3].

б

Рис. 1. Конфигурационные пространства допусков расположения

Конфигурационные пространства первого вида ставятся в соответствие допускампараллельности плоскостей, плоскостности, перпендикулярности оси относительно плоскости соосности относительно общей оси и др. Конфигурационные пространства второго вида ставятся в соответствие допускам перпендикулярности плоскостей, наклона плоскости перпендикулярности оси относительно оси базовой поверхности и др.

Далее, по каждой точке конфигурационного пространства, используя формулы преобразования отмеченного репера с помощью кватернионов [3], мы можем получать различные положения этого репера в трехмерном пространстве.

Таким образом, для разных значений параметров ф и у, соответствующих некоторому допустимому отклонению расположения рассматриваемой поверхности, получаем различные положения отмеченного репера этой поверхности в пределах заданного допус-

ка, а значит, и полностью описанное положение поверхности в трёхмерном пространстве.

Отдельно рассмотрим допуски формы: связанные с изгибанием поверхности и с искажением метрики. Допуски, связанные с изгибанием, мы характеризуем изменением коэффициентов второй квадратичной формы поверхности при сохранении неизменной первой квадратичной формы. В свою очередь, допуски, связанные с искажением метрики, характеризуем исключительно в терминах вариаций коэффициентов первой квадратичной формы поверхности.

Пусть г = г (и, V) - вектор-функция, описывающая произвольно параметризованную поверхность $ . Тогда на этой поверхности задана координатная сеть, состоящая из двух семейств линий и = и(.,а), V = у(., а).

Как известно, длина дуги кривой на данной поверхности находится через коэффициенты первой квадратичной формы этой поверхности по следующей формуле:

£ = JVEdu2 + 2Fdudv + Gdv2 .

Зафиксируем значение параметра у = сот^. Тогда длина дуги координатной линии и = и(.,а) равна

b__max

S = JVEdu2 = JJEdu.

Это означает, что изменение функции E = E(u,v) влияет на длину координатных линий u = u(t, а) .

Аналогично изменение функции G = G(u,v) влияет на длину координатных линий v = v(t, а).

Поскольку угол между двумя координатными линиями находится по формуле cos (р= ,F , то

л/О • Е '

при неизменных О и Е изменение коэффициента F будет влиять на этот самый угол.

При этом должно быть соблюдено условие

Е • О — Е2 > 0. Далее рассмотрим коэффициенты второй квадратичной формы. Если поверхность задана уравнением г = г(и,у), то координатная линия ч=оопв1 на этой поверхности задается уравнением Я(и ) = г(и, с). Тогда найдем кривизну этой координатной линии:

Г uu, Г u

k =

Оставляя неизменной первую квадратичную форму, остаются неизменными и векторы г и, Гу. Поэто-

му изменение коэффициента I второй квадратичной формы, очевидно, будем производить за счет изменения вектора Гии, а изменение коэффициента N второй квадратичной формы - за счет изменения вектора

Гуу . При этом понятно, что будут меняться кривизны координатных линий.

Отметим, что для описания допусков следует наложить некоторые правила на изменения коэффициентов для описания желаемых изменений. Например, для изменения угла наклона цилиндра необходимо менять F и I таким образом, чтобы коэффициент изменения F был равен синусу разницы исходного и получаемого угла, а коэффициент изменения I - её косинусу.

Таким образом, конфигурационным пространством поверхности, на которую задан допуск искажения метрики, будет прямоугольный параллелепипед К = Л1хД2хД3, где Дг - диапазон изменения

коэффициентов первой квадратичной формы Е, F, в соответственно.

Конфигурационным пространством поверхности, на которую задан допуск изгибания, будет прямоугольник Кп = 31хд2, где 81 - диапазон изменения

коэффициентов второй квадратичной формы I и N соответственно.

Каждой точке этих конфигурационных пространств

к =(к),к2,к3) и к/7 =(к1,к2) соответствует поверхность с измененными относительно номинальных коэффициентами квадратичных форм:

Е' = (1 + к) )Е; Е' = (1 + к/ )е ; О' = (1 + к] )О ; Ь' = (1 + к1п )ь; N' =(1 + к2 N ( 1 )

Тем самым, построение (и/или расчет координат необходимых в данный момент точек) поверхности по

данной точке конфигурационного пространства К и

К сводится к задаче построения поверхности по известным ее коэффициентам квадратичных форм [5].Обозначим через р(и,у) вектор-функцию измененной поверхности Б ' с коэффициентами квадратичных форм

Е + ДЕ, Е + ДЕ, О + ДО, Ь + ДЬ, М + ДМ, N+ М.

Для каждого значения функции р(и,у) найдем точку г (и, ~) поверхности Б такую, что

p(u, v) = r(iv, v)+ h(u, v)n(iv, v )

(2)

где п(и~,у~) - вектор нормали в точке первоначальной поверхности Б. Эта точка ищется как ближайшая к точке поверхности Б ', то есть из точки р(и, у) поверхности Б ' опускается перпендикуляр на поверхность Б (рис. 2) .

a

a

u

0

3

r

u

h(u, v)= p{u, v)—r{u, v)

(3)

Рис. 2. Взаимное положение точек номинальной и реальной поверхностей

Далее из уравнения (2) находим значение функ-

Таким образом, теперь мы можем моделировать допустимые отклонения, связанные с изгибанием поверхности и искажением метрики, такие как

m = max|h(u, v) , m+ = max(h(u, v)) (характеризует натяг), m_ = max(— h(u, v)) (характеризует зазор) и другие описанные в [6].

ции

Библиографический список

1. Funda J., Taylor R.H., Paul R.P. «On homogeneous transforms , quaternions and com-putational e-ciency», in IEEE Trans . Autom. And Robotics, Vol.6, 1990. Р.382-388.

2. Shoemake D., «Animating rotation with quaternion curves», in Computer Graphics Pro-ceedings, SIGGRAPH, p.245-254, July 1985.

3. Гаер М.А. Моделирование трёхмерных допусков при автоматизированном проектировании сборок с помощью кватернионов // Вестник ИрГТУ. 2004. № 4. С. 177.

4. Гаер М.А. Граф сборки с учётом допусков // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеров-ские чтения». 2004. С.62-64.

5. Гаер М.А. , Калашников А.С., Шабалин А.В. Квадратичные формы при моделировании сборок с допусками // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения». 2004. С. 64-68 .

6. Журавлёв Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков // Вестник ИрГТУ.2002. С.82-92.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 302 с.

УДК 681.532.55

УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ ВЫНУЖДАЮЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ОЦЕНКЕ НЕРАВНОМЕРНОСТИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ МАШИНЫ

А

А.Н.Клепацкий1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Предлагается использовать методы улучшения сходимости ряда Фурье для периодической вынуждающей силы (момента) при интегрировании дифференциальных уравнений движения механической системы. В частности установлено, что расчеты не выявляют влияния саморегулирования на неравномерность установившегося движения машины с приводом от асинхронного электродвигателя переменного тока при кратковременно-повторной нагрузке.

Ил. 1. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: неравномерность движения; саморегулирование; установившееся движение; ряд Фурье; сходимость; периодическая вынуждающая сила.

IMPROVEMENT OF FOURIER SERIES CONVERGENCE FOR A DRIVING MOMENT WHEN ASSESSING THE IRREGULARITY OF STEADY MOTION OF A MACHINE A.N. Klepatsky

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Ikutsk, 664074.

It is proposed to use the methods to improve the convergence of the Fourier series for a periodic driving force (moment) under the integration of differential equations of mechanical system motion. In particular, it is determined that the calculations do not reveal the influence of self-regulation on the irregularity of steady motion of the machine driven by an AC induction motor with intermittent load. 1 figure. 5 sources.

Key words: irregularity of motion; self-regulation; steady motion; Fourier series; convergence; periodic driving force.

1Клепацкий Александр Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры общеинженерной подготовки Усольского филиала ИрГТУ, тел.: 89021724073, e-mail: klepatski@inbox.ru

Klepatsky Alexander, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of General Engineering Training of Usolsky Branch, tel.: 89021724073, e-mail: klepatski@inbox.ru