Статистический анализ точности сборки с учетом пространственных допустимых отклонений расположения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.113.001

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ СБОРКИ С УЧЕТОМ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДОПУСТИМЫХ ОТКЛОНЕНИЙ РАСПОЛОЖЕНИЯ

© Л.Ф. Хващевская1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматривается задача разработки метода статистического анализа точности сборочных узлов с учетом пространственных допусков расположения. Необходимость и актуальность решения этой задачи вызвана тем, что в работах Д.А. Журавлёва и М.А. Гаера предложены новый дифференциально-геометрический подход к автоматизированному проектированию сборок с учетом допусков, а также новые алгоритмы задания пространственных допусков. Метод статистического анализа разработан в предположении, что рассматриваемые отклонения подчиняются нормальному закону распределения. Метод позволяет проводить анализ собираемости с учетом пространственных допустимых отклонений на любом уровне сборки.

Ключевые слова: сборка; пространственные допустимые отклонения; собираемость; нормальный закон распределения.

STATISTICAL ANALYSIS OF ASSEMBLING ACCURACY WITH REGARD TO PERMISSIBLE SPATIAL DEVIATIONS OF LOCATION L.F. Khvashchevskaia

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article deals with the problem of developing a method of statistical analysis of assembly accuracy based on spatial location tolerances. The urgency and relevance of solving this problem is determined by the fact that D.A. Zhuravlev and M.A. Gaer in their works propose a new differential geometric approach to the tolerance-conscious computer-aided design of assemblies, as well as new algorithms of setting spatial tolerances. The statistical analysis method has been developed assuming that considered deviations follow the normal law of distribution. The method enables assemblability analysis considering permissible spatial deviations at any level of assembly. Keywords: assembly; permissible spatial deviations; assemblability; normal law of distribution.

Анализ вариаций сборки играет немаловажную роль в повышении качества изделий и снижении производственных затрат. Первостепенное значение в данном процессе имеет анализ геометрических отклонений деталей, входящих в сборку. Ограничения на геометрические вариации сборки должны отражать функциональные требования, предъявляемые к сборке.

Современное машиностроение широко использует автоматизированное проектирование. Одной из фундаментальных проблем создания изделия в условиях компьютеризированного производства является проблема полной и точной реализации функциональных требований еще в процессе проектирования. Современные модули проектирования сборок, имеющиеся во всех ОДР-системах, не обладают возможностями трехмерного представления допусков как части компьютерной модели изделия. В работе [1] предложен новый дифференциально-геометрический подход к автоматизированному проектированию сборок с учетом допусков, а также представлены новые алгоритмы задания пространственных допусков. С точки зрения подходов, описанных в источнике [1], различают три основные группы допусков: 1) допуски расположения -допуски, связанные со взаимным положением составляющих поверхностей; 2) допуски, связанные с изги-

банием; 3) допуски, связанные с искажением метрики.

В статье [2] разработаны математические модели описания пространственных допустимых отклонений и математическая модель представления сборки с учетом пространственных отклонений. Каждому допуску, назначенному на некоторую поверхность детали, соответствует конфигурационное пространство допуска. Конфигурационное пространство поверхности отражает всевозможные изменения параметров данной поверхности, которые полностью характеризуют ее отклонение от номинальных размеров и формы при заданных значениях допусков. Конфигурационное пространство поверхности суть прямое произведение конфигурационных пространств всех допусков, назначенных на эту поверхность.

Согласно [2], сборка разбивается на уровни, каждому из которых соответствует так называемая С-деталь того же порядка, что и уровень сборки. Другими словами, сборкой уровня k называется сборка, в результате которой получена С-деталь порядка ^ Так, например, монолитный компонент, который нельзя разделить на отдельные детали, называется С-деталью порядка нуль. Если сборка состоит из (л+1)-го уровня, то конфигурационное пространство

уровня j поверхности будет иметь следующий вид:

1Хващевская Любовь Фёдоровна, аспирант, тел.: 89086569706, e-mail: xvlf@mail.ru Khvashchevskaia Lyubov, Postgraduate, tel.: 89086569706, e-mail: xvlf@mail.ru

, Рк , кк=п кка

'j1

^jt

где кк" - конфигурационные пространства, характеризующие отклонения поверхности Б^ от номиналов

относительно одного из допусков уровня ].

Задачей данного исследования является разработка метода статистического анализа точности сборочных узлов с учетом пространственных допусков расположения. К таким допускам относятся, например, допуск параллельности линии относительно базовой поверхности, допуск параллельности поверхности относительно базовой линии, допуск параллельности поверхности относительно базовой поверхности, допуск перпендикулярности линий относительно базовой линии, допуск перпендикулярности линии относительно комплекта баз, допуск наклона поверхности относительно базовой поверхности, допуск наклона поверхности относительно базовой линии, допуск наклона линии относительно базовой поверхности и т.д.

Пространственные отклонения могут быть вызваны целым рядом различных причин, вследствие чего они имеют стохастическую природу. Закон распределения является исчерпывающей характеристикой случайной величины, поскольку позволяет получить любую информацию об изучаемой случайной величине. Поэтому знание закона распределения определяет качество статистического метода. В настоящее время существуют несколько концепций обоснования закона распределения случайной величины [3]:

1) на основе наилучшей аппроксимации исходных экспериментальных данных;

2) на основе раскрытия физической или какой-либо другой модели образования исследуемого объекта или явления.

Рис. 1. Поле допуска параллельности плоскостей

П.А. Карепин в работе [3] предложил методологию теоретического обоснования закона распределения, основанную на использовании рядов Эджворта и Гра-ма-Шарлье.

При решении задачи анализа пространственных отклонений расположения будем считать, что рассматриваемые отклонения подчиняются нормальному закону распределения, а для обоснования одномерного нормального закона используем первый подход.

Пусть Д - допуск параллельности плоскости относительно базовой плоскости, то есть Т - разность между наибольшим и наименьшим расстояниями между прилегающими плоскостями в пределах нормируемого участка ахЬ (рис. 1).

Тогда [2] конфигурационным пространством данной плоскости при единственном заданном на нее допуске параллельности является поверхность единичной сферы, ограниченная круговым сегментом, осью которого является вектор п нормали базовой плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Конфигурационное пространство

Величина в наибольшего угла отклонения вектора нормали N данной плоскости от вектора нормали базовой плоскости определяется из формулы:

А

в = arcsin

Ja2 + b2

в

Если А

A«

+ bz

то можно считать, что

■J.

a2 + b2

Значение угла в будем называть ^-допуском параллельности плоскостей.

Пусть угол ф - угол, характеризующий ^-отклонения данной плоскости от базовой плоскости. Тогда справедливо, что -в<ф<в.

Положение точки в конфигурационном пространстве рассматриваемой плоскости можно описать двумя параметрами: углом ф и углом у (рис. 3). Для угла у справедливо: 02п.

Рис. 3. Углы, определяющие положение точки _в конфигурационном пространстве_

а

Максимальная вариация рассматриваемой плоскости в поле допуска параллельности зависит только от угла ф. Предполагая, что ф подчиняется нормальному закону распределения, найдем долю Рк отклонений от параллельности плоскостей, удовлетворяющих пределам толерантности, путем интегрирования одномерного нормального распределения:

Pk =

1

в

-в

(Ф-мУ

2-а.

ёф = Ф

-м

где у - математическое ожидание угла ф; оф - сред-неквадратическое отклонение угла ф;

г

2 г —

Ф(г) = е 2 dt - функция Лапласа.

42л *

0

Аналогичным образом можно проанализировать другие допустимые отклонения расположения.

Пусть имеем сборку нулевого уровня. Отклонения поверхностей С-детали, от которых зависит результат сборки нулевого уровня, будем называть критическими отклонениями сборки нулевого уровня, а соответствующие им переменные - критическими переменными сборки нулевого уровня. Поверхности, отклонения которых влияют на результат сборки нулевого уровня, назовем критическими поверхностями.

Поскольку результатом сборки нулевого уровня является С-деталь нулевого порядка, то успешность (качество) такой сборки будет определяться успешностью (качеством) каждой критической переменной сборки.

Предположим, что результат рассматриваемой сборки нулевого уровня определяется т критическими поверхностями и I критическими переменными, имеющими нормальные законы распределения.

Ограничения на критические переменные сборки запишем в виде:

-А < и < а ,

где А, - некоторые константы, определяющие приемлемые пределы критических переменных.

Чтобы определить качество сборки нулевого уровня, необходимо оценить одновременно качество всех критических переменных С-детали нулевого порядка. Для этого функции плотности вероятности нескольких критических переменных должны быть объединены в единое многомерное распределение.

Уровень успешности РКс0 сборки нулевого уровня можно оценить, вычислив следующий интеграл:

Ркс0 =| | ••• | /(М;соу)и.аи2....• йиг,

A1 A2

-A,

где

f (M ;cov) =

—(U -M )T-cov-1-(U -M)

(г, -Л/2 I 1/2

( 2ж) - |cov|

функция плотности 1-мерного нормального распределения; М - вектор математических ожиданий критиче-

ских переменных сборки (вектор средних отклонений критических переменных от номиналов); ооч - матрица ковариаций критических переменных; и - вектор критических переменных, то есть

>1 (U11

M = М2 , и = U2

Ml) , Ul,

^ 2

cov =

а12 а21 а22

Л

a/1 а12

°2l

Здесь оц (/ ф]) - корреляционные моменты критических переменных и, и Ц; о - дисперсии критических переменных.

Отметим, что, если критические поверхности идеальны, то вектор М суть нулевой вектор. Отклонения средних могут радикально снизить успешность сборки. Вектором М в функции плотности нормального распределения сборки эти отклонения автоматически учитываются. Ковариационная матрица сборки отражает вариации сборочных критических переменных и взаимосвязи между ними. Если критические переменные сборки не коррелированы (а в случае нормального закона и независимы), то ковариационная матрица имеет диагональный вид.

Если критические переменные сборки нулевого уровня не коррелированы, то уровень успешности Ркс0 такой сборки можно оценить следующим обра-

зом:

l А

Pkc0 =Щ f (мW=П

=1 -а

i=1

Ф| A м

CT,

I /

где /(щ;о) - функции плотности одномерного нормального распределения случайной величины и.

Из этой формулы видно, что в случае некоррелированности критических переменных сборки нулевого уровня «успех» сборки равен произведению «успехов» критических переменных нулевого уровня.

Пусть имеется т С-деталей порядка нуль. Общее количество допусков, назначенных на поверхности всех деталей порядка нуль, равно е. Будем считать, что общее число С-деталей порядка нуль, используемых в сборке первого уровня, равно б, б < т, а количество допусков первого уровня равно £ Поскольку допустимые пространственные отклонения расположения характеризуются одним параметром, то количество критических переменных первого уровня будет равно £ Ограничения на критические переменные и] сборки первого уровня имеют вид:

-А < и) < А.

Тогда «успех» сборки первого уровня при отсутствии коррелированности критических переменных

e

1

первого уровня будет определяться по формуле:

£

Рщ =Пф 1=1

r A-И ^

а

где а- - среднеквадратические отклонения критических переменных первого уровня; /} - средние сдвиги критических переменных и} первого уровня;

г

2 г —

Ф(г) = е 2 dt - функция Лапласа.

42л *

0

Рассуждая аналогично, «успех» сборки уровня ] при условии некоррелированности критических переменных уровня] можно рассчитать по формуле:

PKCj =ПФ 1=1

Ai-и

где а( - среднеквадратические отклонения критических переменных и! уровня ]; /- средние сдвиги

критических переменных и1 уровня ].

Если критические переменные уровня ] коррели-рованы, то «успех» сборки уровня ] будет найден по следующей формуле:

А1 А2

4

PKCj = i i - i f ('MJ ;c°v j К ' dUi ' -' dUi '

- A1 -A2 - A

где

f (Mj;c°vj ) =

J )=

(2^)

i/2

1/2

-1 (UJ -MJ )Г •(cov 3 )-1 •(Ui -MJ) -

cW

функция плотности г-мерного нормального распределения; М - средних сдвигов сборки уровня ] (вектор средних отклонений критических переменных от номиналов); О - матрица ковариаций сборки уровня ]; и - вектор критических переменных сборки уровня ], то есть

MJ =

И И2 3

И /

Uj =

uy

«2

а

j 2

а

J 12

ulJ

а

J21

V i1

J 2

1r

J2i

а

i 2

а

J 2

Предложенный метод статистического анализа сборок позволяет проводить анализ собираемости с учетом пространственных допустимых отклонений на любом уровне сборки.

Статья поступила 06.10.2015 г.

Библиографический список

1. Журавлёв Д.А., Гаер М.А., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учетом допусков // Вестник ИрГТУ. 2002. № 12. С. 82-92.

2. Гаер М.А. Моделирование трехмерных допусков при ав-

томатизированном проектировании сборок с помощью ква-

тернионов // Вестник ИрГТУ. 2004. № 4. С. 177-186. 3. Карепин П.А. Теоретические законы распределения и их обоснование в задачах анализа точности многомерных размерных цепей: монография. М.: Изд-во МГАУ им. В.П. Го-рячкина, 1999. 256 с.

r