CC BY
5
CURRENT STATUS OF APPLICATION AND DEVELOPMENT OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE METHODS IN INDUSTRIAL CONTROLLERS AND INTELLIGENT CONTROL SYSTEMS
S.L. Gorobchenko, B.M. Shifrin, S.V. Alekseeva, A.S. Gogolevsky, A.S. Krivonogova, Yu.L. Pushkov, S.A. Voinash
The current state of the application and development of artificial intelligence methods in industrial controllers and intelligent control systems is considered. A review of some of the works that give an idea of the achievements and progress in the application of artificial intelligence is given. The main directions of application of neuromodels and artificial intelligence models based on fuzzy logic are shown. The main industry directions and areas of activity are identified, where the introduction of management based on artificial intelligence is most appropriate and in demand.
Key words. artificial intelligence, neuromodels, neural networks, fuzzy logic models, application of artificial intelligence, industrial controllers, intelligent control systems.
Gorobchenko Stanislav Lvovich, candidate of technical sciences, [email protected], Russia, St. Petersburg, St. Petersburg State University of Industrial Technologies and Design, Consulting Center Promconsult,
Shifrin Boris Markovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, St. Petersburg State Forest Technical University,
Alekseeva Svetlana Vladimirovna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, St. Petersburg, St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering,
Gogolevskiy Anatoly Sergeevich, candidate of technical sciences, senior researcher, [email protected], Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,
Krivonogova Aleksandra Stanislavovna, candidate of technical sciences, docent, kas.spb. [email protected], St. Petersburg State Forest Technical University,
Pushkov Yury Leonidovich, candidate of technical sciences, docent, pushkov_yura@mail. ru, Russia, St. Petersburg, St. Petersburg State Forest Technical University,
Voinash Sergey Alexandrovich, junior researcher, [email protected], Russia, Rubtsovsk, Rubtsovsk Industrial Institute (branch) of Polzunov Altai State Technical University
УДК 519.87:004.94
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-3-112-120
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛУМАРКОВСКОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ НЕПРОСТОГО ПОТОКА ВОССТАНОВЛЕНИЯ
М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Н.И. Чаленков
В работе приводится и доказывается теорема о функциях распределения времени пребывания в подмножестве непрерывных состояний с учетом непростого процесса восстановления. С использованием приведенной теоремы проводится моделирование функционирования однокомпонентной системы, при использовании стратегии календарной профилактики с отключением рабочего элемента на период профилактики. При построении модели снимается ограничение на количество наработок на профилактику за время восстановления рабочего элемента. Проводится укрупнение системы с непрерывным фазовым пространством состояний. Определяются вероятности переходов и стационарное распределение вложенной цепи Маркова. При использовании метода траекторий определяются функции распределения времен пребывания системы в подмножествах работоспособных и неработоспособных состояний. Результаты моделирования сравниваются с данными, полученными с использованием теоремы о среднестатистическом времени пребывания системы в подмножестве состояний.
Ключевые слова: полумарковская система, алгоритм фазового укрупнения, стационарное распределение, функция распределения, метод траекторий.
В настоящее время, когда страна стоит на пути больших вызовов и импортозамещения, наиболее актуальными вопросами становятся вопросы разработки нового технологического оборудования. Одним из важнейших этапов разработки является этап стохастического моделирования проектируемых объектов [1-5]. На данном этапе появляется возможность обоснованно оценивать экономическую эффективность проекта. В то же время, ошибки, допущенные на этапе моделирования, могут привести к значительным временным и финансовым потерям, связанным с необходимостью заново проходить все этапы разработки от моделирования до внедрения.
Мощным средством моделирования проектируемого оборудования является аппарат полумарковских процессов [6-10], позволяющий получать достаточно точную информацию о функционировании систем. Однако, ввиду сложности применения, данный аппарат не получил широкого распространения. Указанная сложность применения связана с необходимостью, при моделировании систем с общим фазовым пространством состояний, решать системы интегральных уравнений для определения стационарного распределения вложенной цепи Маркова [4-6]. Существуют алгоритмы фазового укрупнения [5, 7], позволяющие перейти от моделирования системы с общим фазовым пространством состояний к аналогичной системе с дискретными состояниями, однако большинство из этих алгоритмов требуют определения стационарного распределения вложенной цепи Маркова.
В работе [11] предложен метод фазового укрупнения, не требующий определения стационарного распределения вложенной цепи Маркова. Однако данный метод требует дополнительного решения, если в исследуемой модели появляется необходимость определения функции распределения (ФР) времени пребывания в подмножестве непрерывных состояний с учетом непростого процесса восстановления.
Из [6] известна формула для определения функции распределения случайной величины, являющейся разностью двух случайных величин а и р при условии, что а > р:
Д[ + у) - у)/у)Ф
Ра-р 0) = Р{[а - Р] < (} = -0-
а-
|[1 - х)1/( х)йх
0
Данная формула пригодна для случая, когда мы имеем дело просто со случайными величинами (СВ) а и р с функциями распределения р!^) и ), имеющими плотности распределения (ПР) /^)
и /2($).
Если же вместо СВ р рассматривается простой процесс восстановления, порождаемый ФР
да „к ~
р2 (^), то есть с ПР (^) = х / (^), где р = х р.., учитывая что р. = р, имеющая ПР
к=1 р к I =1 '
ур (^) = /(*)к (^), а значит = х / (*)к ^) = ^ (^), то нужно пользоваться формулой [11]:
рк к=1 2
да
+ у) - Р1(у)/(У^у (1)
Ра-рЕ С) = Р{[а - рЕ ]+ < 0 = ^^-,
|[1 - /
0
да / \7
где ^2 (у) = /2 (у) = X / (у) - плотность функции восстановления.
к=1
В случае, если вместо простого процесса восстановления рассматривается непростой процесс, порождаемый ФР р (^) первого скачка и ФР Р2 (/), то есть с ПР
да
/2 (0 = /у (0 + Е А (').
к=0 к
где рк = Е , учитывая что р. =р, имеющая ПР /р ({) = /(*)к ({), а значит
I =1
да
/^ (() = / (() + X / (*)к ({); СВ у является временем первого скачка и имеет ПР, то формула (1) не-
У к=0
применима и необходимо пользоваться следующей теоремой.
Теорема о ФР времени пребывания в подмножестве непрерывных состояний с учетом непростого процесса восстановления.
ФР разности СВ а и СВ р ^ - времени восстановления после к скачков в одноименном непростом потоке восстановления, порождаемом ФР ) СВ рк и ФР р (^) СВ у с ФР р (^) при условии , что а > р2, имеет вид:
р „ (г) - Р/Га_1Р, 1 + < А - 0_' (2)
Я[ + у) _ Р1(у)] (у)йу
-рЕ (?) - кЙ< Ъ -
|[1 _ Р1( у)]у (у)йу 0
где /у (г) и (г) - плотность распределения СВ у и плотность восстановления потока восстановле-
ний, порождаемого СВ р и у равная (,) - /^ ({) - /у (?) + ^ /2(*)к (?).
к - 0
Доказательство. Докажем справедливость выражения (2). В данном случае рассматривается
не одна СВ, а целое множество, состоящее из I р., где р. - р, к - (1, да), которая имеет ПР /2(*)к (г) и
I-1
СВ У с ПР Уу (г).
ФР (г) определяется также по формуле (1). Причем для п скачков процесса восстанов-
ления /2 (г) в формуле (1) имеет вид:
¿2(0 - Уу (г) + 1/2(*)к (г) к-0
Подставляем полученное выражение в (1)
+ у)_Р1(у)](/у(у) + I/2 )к(у))«у (3) Ра_рЕ (г) - ^--, (3)
1 Р ()(/у (у) + I )к (уМ
0 к - 0
Выражение у (г) + ц/(*)к (г) является плотностью восстановления случайного процесса и
у к-0
для п скачков:
(г) - /у (г) + 1/2(*)к(г). к-0
Для случая, когда п ^ да плотность восстановления случайного процесса:
¿2 (г) - /у (г) + I/2(*)к(г). к-0
Тогда (3) примет вид:
![[(( + у)_ р|(у)] (у¥у
Ра_рЕ (г) - 0
(4)
а-
\ Т1()к2у (г )& 0
Таким образом, выражение (4) полностью аналогично выражению (2).
Теорема доказана. Рассмотрим применение теоремы о ФР времени пребывания в подмножестве непрерывных состояний с учетом непростого процесса восстановления на примере моделирования функционирования однокомпонентной системы с учетом календарной профилактики с отключением рабочего элемента на период профилактики.
Рассмотрим функционирование такой системы. Время ее безотказной работы - СВ а с ФР Р1(г) - Р(а1 < г), время восстановления системы - СВ р1 с ФР 01(г) - Р(р1 < г). В случайные моменты времени (через промежутки времени а2 с ФР Р2(г) -Р{а2 <г)) проводится профилактика, время проведения профилактики - СВ р2 с ФР 02 (г) - Р(Р2 < г). Профилактика проводится, если момент начала профилактики попал на период работы системы. После проведения профилактики работа системы начинается сначала (рабочие свойства системы полностью обновляются). СВ а1, а2, р1, Р2 предполагаются независимыми, имеющими конечные математические ожидания и дисперсии; у ФР Р1(г), 01{г), 02(г) существуют плотности /1 (г), ^1(г), § 2 (г).
Необходимо отметить, что модель подобной системы уже построена, однако при ее построении было принято существенное ограничение, которое заключается в следующем: за время восстановления происходит не более одного события - начало профилактики. В данной работе это ограничение снимается за счет использования приведенной выше теоремы.
Для описания функционирования системы используем ПМВ ,вп; п > 0} и соответствующий ему ПМП £(/). Физические состояния системы: 1 - система исправна, 0 - система восстанавливается, 2 -система профилактируется. Расширим ФПС, введя полумарковские состояния:
Е = {221,210,102х, 112 г, 200у), где 221 - началась профилактика, работа системы прервана; 210 - профилактика завершена, работа системы началась сначала; 102х - системы завершила работу, началось восстановление; время, оставшееся до проведения профилактики х > 0; 112z - произошло восстановление системы; время, оставшееся до проведения профилактики г > 0; 200у - профилактика не проводится, т.к. момент профилактики попал на момент восстановления системы; время, оставшееся до окончания восстановления у > 0.
Граф состояний системы приведен на рис. 1.
Рис. 1. Граф состояний системы
Для данной системы подмножества работоспособных Е+ и неработоспособных Е_ состояний имеют вид:
Е+ = {221,210,112г}, Е_ = {200у,102х} .
Для достижения цели моделирования, а именно определения коэффициента готовности такой системы воспользуемся методом траекторий. Требуется произвести укрупнение системы, то есть перейти от системы с непрерывным фазовым пространством состояний к системе с дискретными состояниями.
В таком случае непрерывные компоненты и их функции распределения будут равны:
да
= [2 "«!]+, ^(,) = 0
Я[ + х) " Р2(х)ШхУЬ. „112 г в]++ р200 г в]+
; г = „102 Iх " Р1] + „102 [У " Р1]
|[1 - х)] х)йх
Рг (Г) = Р
112 0 102
да даг
| [Ух ^ + х) - Рх (х)] (х)ёх | [Уу (/ + х) - Ру (х)] (х)ёх
+ Р
200 0
; у = у1 -а х ]+;
да I02 да
| [1 - Рх (х)]]1 (х)ёх | [1 - Ру (х)] (х)ёх
00
да
| [ ( + х) - Ог (х)] х (х)ёх 0 .
Ру (() =-
|[1 - Ог( х)] (х)йх
где а - случайная величина, которая представляет собой процесс восстановления, чья плотность равна /а (г) - /х (г) + / (г), / (г) - плотность процесса восстановления состоящего из случайных величин I а {, где а. - а 2, к - (1, да), которая имеет ПР /!рк (у).
I-1
Для вычисления последней ФР определены вероятности переходов:
,210
,221
р221 -1; р112 -1; Р2002 - 1 р2(г)/ут; р22000 -1Ру(г)Ь№; Р210 -1 р2(г)/х(г)Л;
0 0 0 да да да
Р21002 - 1 Р1(г)/2(г)Л; Р1У22 -1 Рх(г)а(г^г; р^0 -1 ед/(г)Л. 0 0 0 Определив вероятности переходов, запишем времена пребывания системы в состояниях:
0221 -р2, 0210 -а1 Ла 2, 0112 х - а1 л 2, 0 200х-а 2 л у , 0102х - р1 л х, где л - знак минимума.
Найдем ФР времен пребывания системы в состояниях:
Р221 ( г)-02(г), Р210(г)-Р1(г)• Р2(г), Рш(г)-Р1(г)• Рг(г), Р 200 ( г) - Р 2 ( г) • Р у ( г), Р102(г) - в\ (г) • Рх (г).
Для получения искомых характеристик необходимо найти стационарное распределение вложенной цепи Маркова (ВЦМ). Для этого требуется составить и решить систему уравнений:
-.221
Р221 -Р210 • Р210 + Р112,
Р210 - р221,
Р Р Р102 р102 -р210 • р210 ,
-.200
(5)
р200 -р102 • р\02 + р200 • р200
Р -р р112 , р г>112
р112 - р102 •р 102 + р200 •р 200 .
Для решения данной системы вместо одного из уравнений вводится уравнение нормировки:
р221 + р210 + р102 + р200 + р122 - 1. Тогда система (5) примет вид:
200
р221 + р210 + р102 + р200 + р122 -1
р210 -р221,
р -р г>102
р102 -р210 •р210 ,
(6)
Р
200
р 200 -р102 •
102 Р112
р 200
с>112 , Р 7,112 р112 -р102 •р 102 +р 200 •р200.
Произведем преобразования системы (6):
р221 + р210 + р102 + р200 + р122 -1
р210 -р221,
р -р 7,102
р102 -р221 •р210 ,
р200 -р221 •
р102 р200 р210 • р102 Р112 р200
р102
р112 -р221 •р210.
СО
со
со
Отсюда следует:
„102 Р 200
р + р + р Р102 + р Р210 ' Р102 + Р221 +Р221 +Р221 'Р210 +Р221--Ц2-+
Р200
+ Р Р102 „112 +р „102 р200 =1 + р221 'Р?10 'Р101 +р221 'Р 210 'Р102 =1
Р112 * Р200
210
2 + Р112 Р102 + Р102 р 200 + 2 + Р200 ' Р210 + Р210 ' Р102 +
+ Р112 Р102 Р112 + Р112 + Р200 ' Р210 'Р101 + Р200
Р
102
210
Р200 = 1 Р102
Упростим выражение:
р221 '
^ „112 , 0 „102 р112 , „102 „200 ^ 2' Р200 + 2' Р210 ' Р200 + Р210 'Р102
Р210102
= 1
Из системы (6) получим:
р221 =
Р112 Р200
0 р112^0 р102 р112 , р102 р200
2'Р200 + 2'Р210 'Р200 + 'Р'
210 ^102
р210 =
р102 =
Р112 Р200
г, „112 , 0 „102 р112 , „102 „200' 2'Р200 + 2'Р210 'Р200 + 'Р<
210
Р112 Р102 Р200 Р210
210 102
о р112 , 0 „102 р112 , „102 „200' 2'Р200 + 2'Р210 'Р200 + 'Р<
р200 =
р112 =
210 Р102 Р200 Р210 Р102
210 402
о р112 , 0 „102 р112 , „102 „200' 2'Р200 + 2'Р210 'Р200 + 'Р<
210
Р102 Р112 Р210 Р200
210 102
о р112 , 0 „102 р112 , „102 „200' 2'Р200 + 2'Р210 'Р200 + 'Р<
210 ^200 ^210 402 Для определения функций распределения времен пребывания системы в подмножествах Е+ и Е- воспользуемся методом траекторий [12].
Используя теорему о ФР времен пребывания системы в состояниях с учетом повторных попаданий, определяем ФР ^221 ) и ) времен пребывания в состояниях 221 и 210 с учетом повторных попаданий в них за время пребывания в подмножестве Е+ :
Р221(=
Р221^)
с221 -(с221 - 1)./221 ()
Рш(*) =
Р2ш(5)
где
с221 =
т221
Р221' т221
с210 =
с210 -(с210 - 1)./210 ()
т210
Р210 т210
Выделим траектории и, в соответствии с теоремой о полной вероятности, определим вероятности рТ реализации каждой из траекторий, на основании переходных вероятностей вложенной цепи Мар-
кова:
Т1 = {112,221,210}; РТ = 1. Определяются ФР времен пребывания системы в траекториях:
Р\ = Р112 * Р221 * Р2610 . Т.к. траектория всего одна, то искомая ФР времени пребывания системы в подмножестве Е+
вне зависимости от начального состояния равна:
= Р112 * Р221 * Р210 .
Рассмотрим пример моделирования такой системы с известными параметрами распределения случайных величин.
Исходными данными для моделирования служат функции распределения ), р ((), О^) и О2 (); которым соответствует обобщенный закон Эрланга второго порядка с параметрами А^, А 2; цц, ц2; "1, и2; У1, У2 соответственно; причем
/1(( )=
А1А2(е-^ -е-А21)
где А1 = 0,0667 ч-1, А2 = 0,200 ч-
где щ = 0,1333 ч-1, Ц2 = 0,400 ч-
где и = 6,667 ч 1, и = 20,0 ч
й(( ) =
А 2 -А1
Ц1Ц2 (е-ц1 - е -Ц 2* )
Ц 2 -Ц1
"^(е-"1' - е )
"2 -"1
_ У1У2(е-У1? - е" "У 2{ )
82 (( ) =
У 2 -У1
где у1 = 2,667 ч-1, 72 = 8,00 ч-1.
На рис. 2 приведена искомая р ) функция распределения, полученная в данной работе.
100
í
Рис. 2. Вид ФР времени пребывания системы в подмножестве Е+
Сравним значения математического ожидания полученной нами функции и математического ожидания, определяемого с помощью теоремы о среднестатистическом времени пребывания системы в подмножестве состояний [7]:
Е т р/
Т = /еЕ+_. (7)
+ Е Е Рк] р/
кеК с Е+ уеЕ-
Математическое ожидание полученной нами функции распределения составляет 25.3712638632 ч, тогда как, определяемое с помощью выражения (7) - 25.3712638632 ч.
Нетрудно констатировать, что математические ожидания совпадают.
Проведенное сравнение математических ожиданий времен пребывания в подмножестве работоспособных состояний, полученных на основании найденной в работе функции распределения и на основании теоремы о среднем стационарном времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний, показало правильность полученных результатов.
В дальнейших исследованиях планируется применение метода для моделирования более сложных технического обслуживания в автоматизированном производстве, а также применение построенной модели при оптимизации времен проведения профилактик в исследуемых системах.
Список литературы
1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. Пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.
2. Барзилович Е.Ю. Модели технического обслуживания сложных систем: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1982. 231 с.
3. Глеч С.Г. Определение оптимальных моментов профилактики технологической ячейки с мгновенно пополняемым резервом времени // Сборник научных трудов СИЯЭиП. Севастополь: СИЯЭиП, 2001. Вып.5. C. 187 - 193.
4. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982. 236 с.
5. Королюк В.С. Стохастические модели систем. Отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.
6. Королюк В.С. Суперпозиция процессов марковского восстановления. Кибернетика. 1981. №4. С. 121 - 124.
7. Королюк В.С. Полумарковские процессы и их приложения. В.С. Королюк, А.Ф. Турбин. К.: Наук. Думка, 1976. 181 с.
8. Peschansky A.I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. Germany: LAP LAMPERT Academic Publishing, 2013. 138 p.
9. Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь, 1988. 208 с.
10. Копп В.Я Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием. В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, А.И. Песчанский. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. 284 с.
11. Заморёнов М.В., Копп В.Я., Заморёнова Д.В. Метод моделирования регенерирующих систем. Математическое моделирование. 2018. Т. 30. № 6. С. 134-144.
12. В.Я. Копп. Использование метода траекторий для построения полумарковской модели структуры «технологическая ячейка - накопитель». В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Ю.Е. Обжерин, М.Ю. Ларин. Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление №3(247). Санкт-Петербург: Издательство Политехнического университета, 2016. с. 23-34
Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, zamoryonoff@gmail. com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Чаленков Никита Игоревич, ассистент, chalenkov-nikita@;yandex.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
SIMULATION OF A SEMI-MARKOV SYSTEM WITH A NON-SIMPLE RECOVERY FLOW TAKING INTO ACCOUNT
M.V. Zamoryonov, V.Ya. Kopp, P.N. Florya, N.I. Chalenkov
This article presents and proves the theorem on the distribution functions of the sojourn time in the subset of continuous states with consideration to non-simple renewal stream. With the above theorem, the functioning of a one-component system is simulated using a calendar prevention strategy with the shutdown of a working element for the period of preventive maintenance. The limitation on the number of preventive maintenance work during the work item renewal is removed when building the simulation. The enlargement of the system with a continuous phase space of states is carried out. The transition probabilities and the stationary distribution of the embedded Markov chain are determined. When using the trajectory method, the distribution functions of the sojourn times of the system in subsets of healthy and inoperable states are determined. The simulation results are compared with the data obtained using the theorem on the average time spent by the system in a subset of states.
Key words: Semi-Markov system, phase enlargement algorithm, stationary distribution, distribution function, trajectory method.
Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Chalenkov Nikita Igorevich, assistant, chalenkov-nikita@yandex. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University
