CC BY
2
УДК 51.7
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-3-101-106
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ G/G/1/1
В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Н.И. Чаленков
В статье рассматривается применение численного метода фазового укрупнения полумарковских систем с общим фазовым пространством состояний. Основная составляющая метода - теорема о функции распределения разности двух случайных величин, при условии, что вторая порождается разностью случайной величины и непростого потока восстановления. В качестве примера рассмотрена система массового обслуживания 0/0/1/1. Приводятся результаты моделирования классическим и численным методами.
Ключевые слова: Полумарковская система, распределение Эрланга, граф состояний.
Введение. Мощным средством анализа систем различного функционального назначения является теория массового обслуживания. Для марковских систем данная теория детально разработана и не вызывает особых сложностей. Однако, для случая, когда система является, например, полумарковской, в этой области остается огромное поле деятельности для исследований. Использование классического метода моделирования полумарковских систем с общим фазовым пространством вызывает значительные и часто непреодолимые трудности ввиду сложности данного математического аппарата. Кроме этого, системы интегральных уравнений для определения стационарного распределения вложенной цепи Маркова (ВЦМ) не всегда разрешимы. Следует также отметить, что, для случаев, когда необходимо определять не только моментные характеристики искомых случайных величин, но и их функции распределения, необходимо решать систему уравнений марковского восстановления, которая является системой уравнений Вольтарра второго рода с полустохастическим ядром. При значительном количестве состояний это является крайне трудоемкой задачей.
Целью статьи является апробация предложенного авторами [1-3] метода фазового укрупнения путем сравнения полученных результатов с результатами, полученными классическим методом [4] а также определение функции распределения времени обслуживания.
Моделирование системы G/G/1/1. Авторами предложен новый подход базирующийся на следующей теореме и лемме, описанных в [1-3].
Данная теорема позволяет определить вид функции распределения времени пребывания в состояниях с точностью до констант. Вид функций соответствует функции распределения остаточного времени наработки после отказа [5,6]. Для определения констант необходимы дополнительные условия. Для системы массового обслуживания G/G/1/1, описанной ниже, - четыре (по числу состояний на графе содержащих непрерывную компоненту).
Первое условие - это выражение математического ожидания времени обслуживания заявки. Второе условие - это выражение для математического ожидания времени ожидания заявки, поступающей в систему массового обслуживания. Третье условие - количество заявок в очереди, определяемое по формуле Литтла. Четвертое условие - это средняя длина очереди, также определяемая по формуле Лит-тла.
Опишем функционирование системы полумарковским процессом с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний. Введем следующее множество М полумарковских состояний системы:
М = М+ и М_
где
М+ = {1,11х1,11х20,10^}, М_ = {00у2}.
Граф состояний системы представлен на рис. 1. Состояния системы:
1 - прибор, находившийся в ожидании, начал обслуживать поступившее требование; 11x1 - поступило требование и стало в очередь, до конца обслуживания осталось время Х1;
11x2 0 - поступившие требование потеряно, до конца обслуживания осталось время Х2;
10 у1 - прибор освободился и стал обслуживать требование из очереди, до следующей заявки
осталось время у;
00у2 - прибор освободился, в очереди заявки нет, до следующей заявки осталось время у2.
Далее для простоты нумерации будем использовать только числа. Предполагаем, что система укрупнена, тогда выражения функций распределения обслуживания заявки и простоя имеют вид:
X2 . e-h • е4 u2 • е-Uyt -ui • е~Urt F(t) - 1 --,G(t) - 1 -u2 e U1 e
X 2 - X f (t) = F '(t), g (t) = G '(t),
ГО
«об = J ^ ' mpos = J t'G' 0 0 Искомые функции:
u2 - u1
F(t + xi) - F(xi) F(t + x2) - F(X2)
Fx1 (t) --;—-'Fx2(t) -
Gvi (t) -
1 - F (xi)
G (t + V1) - G( V1)
Gy2 (t) -
1 -F(x2) G(t + V2) - G(V2)
1 - с(л) ' У2^ 1" 0(у2)
В приведенных выше выражениях константы х1, х2, у1, у2 являются неизвестными и их надо определить. Функции распределения времен пребывания системы в состояниях:
(г) = 1 - (1 - ¥(г)) • (1 - 0(г)); ^00 (г) = Су2 (г);
¥ш( г) = 1 - (1 - ¥( г)) • (1 - Оу1 ( г)); ¥п( г) = 1 - (1 - ^ ( г)) • (1 - С(г));
¥п( 0 = 1 - (1 - ¥х2 ( 0)^(1 - С(г)).
Рис. 1. Граф состояний системы
Средние времена пребывания системы в состояниях:
да да
т1 = • ¥1 ( г^г; шц = • ¥ц 0 0
да да
^ Л ' Л '
ш110 = • ¥110 ш10 = V • ¥10 00
да
т00 = -¥00' (№. 0
Вероятности переходов:
да да да
Роо = 1; Р100 = | я (О • (1 - ¥ (/))Л; Р11 = |я (0 • ¥ т; р/10 = | g (г) • (1 - ¥Х1 см;
0 0 0
да да да да
р1/ = | я (0 •• ¥х1 (ОЛ; р//0 = I я (г) • (1 - ¥х2 (0)Л; С = | я (г) • ¥х2 (0^; р/с1 = | / (г) • 0У1 №;
0 0 0 0
да
р0° = 1 / (041 - оУ1(г))Л. 0
Стационарное распределение ВЦМ:
Р1 =-
11
2 + ^ + Р|
11
РГ • Р
роо -р1;
11
Р
00
10
Р10 Р00 410 ' 40
D11 D110
Р1 • Pi11 Р1 • Р1 • Р11
р11 --00 ;р10 -р11;р110
р 00 р10
Стационарные вероятности состояний ПМП:
Р00 • m00
Р10 • Р00 410 40
Л1 -Л11 -
р 00 • m00 +р1 • m1 + р11 • m11 +р110 • m110 +р10 • m10
р1 • m1
р00 • m00 +р01 • m1 + р11 • m11 +р110 • m110 +р10 • m10
р11 • m11
р 00 • m00 + р 01 • m1 + р11 • m11 +р110 • m110 +р10 • m10
р110 • m110
р 00 • m00 +р 01 • m 1 +р11 • m11 +р110 • m110 +р10 • m10
р10 • m10
р00 • m00 + р01 • m1 + р11 • m11 + Р110 • m110 + р10 • m10
Математическое ожидание времени прибытия заявки:
m m110 т т110 --' т
Р
10
posx - Р100 • (m1 + m00) + Р111 • m1>
110
m
m,
110 1
110
pos2 - РТ • mn + РА0 • (Ро1 • (mn + m10) + Р0 • (mn + mw + m00 )),
11
00
pos3 = • т110 + р111°0 • (рт • (тпо + т10)+ рт ' (тпо + тю + т00 )) Математическое ожидание времени обслуживания заявки:
ШоЬ1 = Р1°° • т1 + Р111 • Р111° • (шп + т1) + р11 • р110 • (т + тп + тш)),
11
pr
00
pr
тоЬ2 = р1<°° • + р1° • рЦ • (Ш1° + тп) + р1«1 • р™ • (тп + тш + тш)), По теореме о среднем стационарном времени пребывания системы в подмножестве состояний мы определяем времена пребывания системы в М_ и М :
11 10
11
Д1 п110
T_ -
р00 • m00 р 00
T+-
р1 • m1 +р10 • m10 +р11 • m11 +р110 •m
110
р00
Запишем систему для определения констант.
А
р1 + Л0 р110
• mobx +
р10
Л +р0 + -
•m
• mob2 - mob
р1
р110 +р1 +р11 р11
Pos3
р +р11 +р110
• m + "lpos\ ^
+
•m -m "lpos2 "lpos
р +рц +Л10
T2 - (л11 + Л110)• mpos
T12 - (2Л11 + 2•^110 + Л1 + Л10)• mpos
1
Решая численно систему уравнений, находим неизвестные константы х/,л^,У/,У2. Функция
распределения между моментами выхода заявки из системы определяется по формуле п-разрядка потока событий:
( X),
Km (x) - pF(x) + p S (1 - p) F(
m-1
где F (*)m (x) - свертка порядка m; p - вероятность того, что обслуживающий прибор работает.
Результаты моделирования системы G/G/1/1. Исходными данными для моделирования служат ФР F1 ( t), G1 (t) распределенные по закону Эрланга второго порядка с параметрами и, u. Причем
X1X 2(e -ht - e "h2t)
fi ()=-
g1
(()=
2(e И( -e Ц2)
X 2 - Ц 2 - Mi
где Xi= 0.9929784070 (ч-1); ^2=1.007121603 (ч-1); Ц1=0.9929784070 (ч-1); ^=1.007121603 (ч-1).
Математические ожидания времен обслуживания и простоя соответственно равны:
mob = mpos = 2.
Находим нижние граничные значения Х1, Х2, y1, y2. Далее осуществляется поиск значений
* * * *
Х1 , Х2 , У1 , y2 являющихся решениями системы дополнительных условий. В результате поиска получены следующие результаты:
x1 = 1.415; x2 = 0.705; y1 = 0.458; y2 = 1.601. При этом средние времена обслуживания и простоя системы равны: mob = 2.015741180; mpos = 2.009970436.
А средние времена пребывания в состояниях равны:
m10 = 1.09292586; m11 = 0.9570394823; m110 = 1.043247911; m1 = 1.249987499; m00 = 1.384496588. В таблице представлено сравнение результатов классического и предложенного метода.
Результаты^ моделирования классическим и предлагаемым методамами
Параметры Классический Предлагаемый Погрешность, %
mob 2 2.015741180 0.78
mpos 2 2.009970436 0.49
Кг 0.5 0.500716736 0.14
На рис. 2 представлены графики функций распределения времен пребывания в состояниях 1,
11, 110.
а б в
Рис. 2. Функции распределения времен пребывания в состояниях: а - состояние 10; б - состояние 11; в - состояние 110
Проведенное сравнение математических ожиданий времен пребывания в подмножестве работоспособных состояний, полученных на основании найденной в работе функции распределения и на основании теоремы о среднем стационарном времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний, показало правильность полученных результатов.
В дальнейших исследованиях планируется применение метода для моделирования более сложных технических систем в автоматизированном производстве, а также применение построенной модели при оптимизации времен резервирования.
Список литературы
1. Байхельт Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. Ф. Байхельт, П. Франкен, пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.
2. Копп В.Я. Разновидность фазового укрупнения полумарковских систем на примере моделирования синхронной автоматизированной линии. В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Н.И. Чаленков. Интеллектуальные системы в производстве. 2018. Т.16 №3. С.97-102.
3. Kopp, V.Ja The numerical nethod of the phase integration of non-regenerating semi-Markov systems. V.Ja. Kopp, M.V. Zamoryonov, N.I. Chalenkov. Transaction of Azerbaijan National Academy of Science, Series of PhysicalTechnical and mathematical Science: Informatics and Control Problems, Vol. 38, №6, 2018. P. 3-15.
4. Kopp V.Ya. Phase enlargement of semi-markov systems without determining stationary distribution of embedded markov chain. V.Ya. Kopp, M.V. Zamorenov, N.I. Chalenkov, I.A. Skatkov. SPIIRAS Proceedings, no. 3, vol. 19, 2020. P. 539-563.
5. Королюк В.С. Суперпозиция процессов марковского восстановления. Кибернетика, №4, 1981. С. 121 - 124.
6. Королюк В.С. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. В.С. Королюк, А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка, 1982. 236 с.
Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, профессор, v_kopp@mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, zamorvonoff@gmail. com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Чаленков Никита Игоревич, ассистент, chalenkov-nikita@yandex.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
SIMULATION OF THE G/G/l/1 SYSTEM V.Ya. Kopp, M.V. Zamoryonov, N.I. Chalenkov
The article considers the application of the numerical method of phase enlargement of semi-Markov systems with a common phase space of states. The main component of the method is the theorem on the distribution function of the difference of two random variables, provided that the second one is generated by the difference of a random variable and a non-simple recovery flow. As an example, the queuing system G/G/l/1 is considered. The results of modeling by classical and numerical methods are presented.
Key words: Semi-Markov system, Erlang distribution, state graph.
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v_kopp@mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryonoff@smail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Chalenkov Nikita Igorevich, assistant, chalenkov-nikita@yandex. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University
