АНАЛИЗ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ОТКАЗОВ И РЕЗЕРВА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Востриков Максим Викторович, преподаватель, aspirinl979@mail. ru, Россия, Чита, Забайкальский институт железнодорожного транспорта

CONSTRUCTIVE CALCULATION OF THE MAGNETIC AMPLIFIER OF THE SYMMETRICAL REVERSE

TRACTION CURRENT DEVICE

A.V. Pultyakov, K.V. Menaker, E.M. Bushuev, M.V. Vostrikov

The problem of asymmetry of reverse traction current in sections electrified with alternating current remains relevant at the present time. The authors previously proposed a scheme for a symmetrical reverse traction current device based on continuous measurement of the values of the traction current components in rail lines and changes in their reactance using controlled magnetic amplifiers. This paper provides information on the calculation of the structural and electrical parameters of magnetic amplifiers, taking into account the values of traction currents operating in railway transport and possible asymmetry coefficients.

Key words: magnetic amplifier, reverse traction current, reverse traction network, asymmetry, symmetrical device.

Pultyakov Andrey Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, head of the department, pultyakov@irgups.ru, Russia, Irkutsk, Irkutsk State Transport University,

Menaker Konstantin Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, menkot@mail. ru, Russia, Chita, Zabaikalsk Rail Transport Institute, a branch of Irkutsk State Transport University,

Bushuev Evgeny Mikhailovich, senior lecturer, Evgeniybush@yandex.ru, Russia, Chita, Zabaikalsk Rail Transport Institute, a branch of Irkutsk State Transport University,

Vostrikov Maxim Viktorovich, senior lecturer, aspirin19 79@mail.ru, Russia, Chita, Zabaikalsk Rail Transport Institute, a branch of Irkutsk State Transport University

УДК 519.87:004.94

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-3-95-101

АНАЛИЗ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ОТКАЗОВ И РЕЗЕРВА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Н.И. Чаленков

С использованием аппарата полумарковских процессов, проводится анализ функционирования системы с учетом отказов и резерва энергетической системы. Проводится укрупнение системы с непрерывным фазовым пространством состояний методом, не требующим определения стационарного распределения вложенной цепи Маркова для непрерывной системы. Для укрупненной системы определяются вероятности переходов и стационарное распределение вложенной цепи Маркова, а также времена пребывания системы в состояниях. При использовании метода путей находятся пути перехода системы из подмножества работоспособных состояний, и определяется функция распределения времени пребывания системы в этом подмножестве. Результаты моделирования сравниваются с данными, полученными с использованием теоремы о среднестатистическом времени пребывания системы в подмножестве состояний. Приводится вид искомой функции распределения.

Ключевые слова: Полумарковская система, функция распределения, метод траекторий, резервирование.

Проблема повышения надежности в настоящее время представляет довольно сложную и важную задачу, которая решается, в том числе, и за счет введения временного резервирования. Например, в производственных системах это может быть подключение накопителей [1-8], в системах обработки данных - резервных серверов, обеспечивающих непрерывную работу системы во время отказа основного сервера [9].

При разработке технических систем с резервированием необходимо на этапе моделирования получить максимально точные прогнозы функционирования такой систем. Такую возможность предоставляет аппарат полумарковских процессов [10-15], позволяющий учитывать производительность и надежность отдельных элементов системы, а также влияние резервирования на функционирование системы.

В данной статье предлагается с использованием аппарата полумарковских процессов рассмотреть процесс функционирования технической системы с отказами, а также с учетом отказов и резерва энергетической системы.

Рассмотрим функционирование такой системы. Время ее безотказной работы - СВ а1 с ФР (/) = Р(а1 < /), время восстановления системы - СВ Д с ФР G1 (?) = Р(Д < /). Время безотказной работы энергетической системы - СВ а 2 с ФР ^(г) = Р(а 2 < г), время восстановления энергетической системы - СВ Д^ с ФР G2 (г) = Р(Д2 < г). Время работы резерва энергетической системы - СВ аз с ФР ^з (г) = Р(а з < г), время восстановления энергетической системы - СВ Дз с ФР Gз (г) = Р(Дз < г). СВ а1, а2, аз, Д, Д, Дз предполагаются независимыми, имеющими конечные математические ожидания и дисперсии; у ФР ), ¥2(г), ¥з(г), О1(0, G2(t), G3(t) существуют плотности /1(г), /2(г),

/зС), Я1(*Ь Я2 (г), £з(').

Граф состояний системы приведен на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний системы

Опишем состояния системы:

Soo - работа системы началась заново;

510 - произошел отказ системы, началось восстановление системы;

S0xi - произошел отказ энергосистемы, работа основной системы продолжается оставшееся время безотказной работы x > 0, началось восстановление энергосистемы;

511 - произошел отказ основной системы, за время восстановления основной системы, проводим профилактику энергосистемы;

S02 - закончился резерв энергосистемы, проводится восстановление энергосистемы и резерва, а также профилактика основной системы.

Разделим состояния системы на два подмножества (работоспособных E+ и неработоспособных E_) состояний:

E+ = {00,0 xl}, E_ = {10,11,02}.

Причем

E = E+ n E_

где E = {00,0x1,10,11,02} - все множество состояний системы.

Для достижения цели моделирования, а именно определения коэффициента готовности такой системы воспользуемся методом траекторий [16, 17]. Требуется произвести укрупнение системы, то есть перейти от системы с непрерывным фазовым пространством состояний к системе с дискретными состояниями.

Как видно из описания системы, в нашем случае имеется только одно состояние, которое содержит непрерывную компоненту, равную:

x=[а1 _а 2 ]+;.

Функция распределения этой величины по теореме Королюка В.С. [12] о разности двух случайных величин при условии, что первая больше второй, будет равна:

Fx (t) = ■

J[[ + x) _ F1( x)] x)dy

ж

J[1 _ F1( x)l/2( x)dx 0

Далее, необходимо определить вероятности переходов системы:

96

10 „01 УТ^ч^чл- Р00 - 1-Р00 - 1-Р00 - 1--' --> 1 1 Г\ - ^ ' 1 1 - 1 > -/ А1 - 1 '

РЙ" -1р2(г)а№; Р001 - 1Р 1(0/2(0^

00

40

;11

02

Р0 - 1 ЫО^хтзт; Р01/ - 1 /х(<)°2(0^3(0^ ; Р011 - 1 /з(0С2(0Рх№ . 000 Определив вероятности переходов, запишем времена пребывания системы в состояниях:

000 -а1 да2, 0ц -Р2, 00x1 -хдР2 ла3, 002 -Рз, 010 -Р1,

где л - знак минимума.

Найдем ФР времен пребывания системы в состояниях:

Р00 ( о - р 1 ( о • Р2 (0, Р11 ( о - в 2 (0, Р0х1(0 - Рх ( 0 • в 2 ( 0 • Р з ( 0, Р 02 (о - в з (t), Р10 (о - в1( 0.

Для получения искомых характеристик необходимо воспользоваться стационарным распределением вложенной цепи Маркова (ВЦМ), для чего требуется составить и решить систему уравнений. Решение системы представлено ниже:

-_1_

Р00 - 2 + Р01 Р02 + р01 Р11 ' 2 + Р00 • Р01 + р00 •р01

11

11

р,

10

Р10 -

Р01 -

Р11 -

00

2 + р01 р 02 + р 01 р1Г 2 + р00 • р01 + р00 ^01

р

01

00

2 + р 01 р02 + р01 р1Г 2 + р00 • р01 + р00 ^01

р01 р11 р00 ^01

2 + р01 р02 + р 01 р1Г 2 + р00 • р01 + р00 ^01

Р02

р01 р02 00 01

1 _1_ р01 р02 Р01 р 2 + р00 • р01 + р00 ^01

Для определения функций распределения времен пребывания системы в подмножествах е и Е_ воспользуемся методом путей [1з], разработанным авторами.

Выделим все возможные пути перехода системы из подмножества Е+ в Е_.

-{^00 }, ^12 -{—01 } ^ -{—01—00—01} ^ -{^00—01—00 }, ^ -{^01^00—01—00 } Остальные пути образовываются при повторном попадании системы в состояния —дд и -01. Введем гипотезы реализации каждого из путей из подмножества Е+ Н 0 - система не попадает в состояние —01;

Н1 - система попадает в состояние —00 один раз в —01 один раз и выходит в Е_.

Нз - система попадает в состояние —00 два раза в —01 один раз и выходит в Е_.

Н2 - система попадает в состояние —00 два раза в —01 два раза и выходит в Е_.

Н 2 - система попадает в состояние —00 три раза в —01 два раза и выходит в Е_.

Н2 - система попадает в состояние —00 три раза в —01 три раза и выходит в Е_.

Н з - система попадает в состояние —00 четыре раза в —01 три раза и выходит в Е_.

Н^ - система попадает в состояние —00 к раз в —01 к раз и выходит в Е_.

НЪк - система попадает в состояние —00 к+1 раз в —01 к раз и выходит в Е_. Тогда вероятности реализации каждого из путей будут равны:

р(н 0)-р(2)-рЛ0?+р0,1 )(р?10 р00' рНз)- р000 (р«011;

01 11

00 V 01

р(н 2)-р^1 (2 + р11 )(р0010р0001 1 р(н 2)- р000 р'р0012

р

00 97

01 00 ; р(

оо

со

со

г()= poo'cp?,2 - Pli1 dfPO.^ ph3)= PO(«сI-p((2 )=rOi aï+ Pol1 ta1 ) -1; p(h,3 )=PO («

Определим условные вероятности события А - «время пребывания системы во множестве состояний пути меньше t» для каждой гипотезы.

P(A | Ho )=Foo ((); p(a|Hi2 )=Foo (t) * %(0 ; p(a|h3 )= Foo (t)(*)2 * Foi (t); p(a|h2)= Foo(a)(*)2 *Foi(t)(*)2; p(a|h|)= Foo(t)(*)3*Foi(a)(*)2; P^H2 )= Foo (a )(*)3 * Foi(t)(*)3; p(a|h| )= Foo (t)(*)4* Foi (a)(*)3;

p(a|H2)= Foo(A)(*)k * Foi(tf*; p(a|h3)= Foo(t)+1*Foi(t). где * - знак операции свертки, *(k) - знак операции свертки k-го порядка.

Тогда функция распределения F+ (( ) времени пребывания системы в подмножестве E+ имеет

вид:

F+ (t ) = poo0 foo (t )+Po0oi(Po0i2 + Pii P0 poo1 ) foo (t )* Fnat )+ + p0oi(Pooi2 + rOi ( ) foo A)(*)2 * Foi«*« +

+ Po0o1(ao0i2 + PiiO A)<*)3 * Foi(t)<*)3 +...+ + Po0o1( + Pit ) Foo Ap" * %Ар"....+ + poo0 (rOirOO ) Foo A)<*)2 * Foi(()+pjg (pOirOO ) Foo (t )(*)3 * FOi(( )(*)2 + + poo0 (aP0 )) Foo (t )<*)4* FoiA )<*)3 +...+ + poo0 (pOO ) (t P"+1* Foi(t )<*>"...=

= Po0o1(Po0i2 + Po7)z(aot PO?)11 Foo (t P" * Foiaa P" +

"=1

+ poo0 к" ) Foo (t p" * Fnt)*-1

"=1

На основании преобразований Лапласа переходим в комплексную область:

f+ (s) = Po0o1 ( + Poi1 ) foo WfUW + PO S(OooVf»(s)i+1 Foi (s/.

i=1 i=0

Оба слагаемых представляют собой сумму двух бесконечных сходящихся рядов, которые в пределе дают нам следующее выражение:

F ( ) Ро0о1(Ро012 + rOi1 )foo (s Foi (s )+ Po Foo (s ) + S " 1 "(0 )(s)Foi(s) 1 )o(sKi(s)

Искомою функцию распределения получаем, произведя переход из области изображений в область оригиналов.

Рассмотрим пример моделирования такой системы с известными параметрами распределения случайных величин.

Исходными данными для моделирования служат функции распределения Fi (t), Fz (t), F3 (t), Gi (t), Gz (t) и G3 (t) ; они распределены по обобщенному закону Эрланга второго порядка с параметрами:

Xii = 0,11 ч-1, Х12 = 1,09 ч-1; Х21 = 0,055 ч-1, Х22 = 0,545 ч-1; Х31 = 0,275 ч-1, Х32 = 2,725 ч-1; ци = 1,101 ч-1, Щ2 = 10,899 ч-1; Ц21 = 0,22 ч-1, Ц22 = 2,18 ч-1; Ц31 = 1,101 ч-1, Ц32 = 10,899 ч-1.

На рис. 2 приведена искомая F+ (t ) функция распределения, полученная в данной работе.

Сравним значения математического ожидания полученной нами функции и математического ожидания, определяемого на основании теоремы о среднем стационарном времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний:

Е miPt

t+=-

ieE+

(1)

Е Е р№

кеК с Е+ ]еЕ_

Математическое ожидание полученной нами функции распределения составляет 8.715з0482987 ч, тогда как, определяемое с помощью выражения (1) - 8.715з0482987 ч. Нетрудно констатировать, что математические ожидания совпадают.

10 20 30 40 50

Рис. 2. Вид ФР времени пребывания системы в подмножестве E+

Проведенное сравнение математических ожиданий времен пребывания в подмножестве работоспособных состояний, полученных на основании найденной в работе функции распределения и на основании теоремы о среднем стационарном времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний, показало правильность полученных результатов.

В дальнейших исследованиях планируется применение метода для моделирования более сложных технических систем в автоматизированном производстве, а также применение построенной модели при оптимизации времен резервирования.

Список литературы

1. Дружинин Г.В. Об оценке надежности технологических систем с накопителям. Надежность и контроль качества (Ежемес. прил. к журн. "Стандарты и качество"). 1986, № 10. С. 8.

2. Егоров В.А., Лузанов В.Д., Шербаков С.М. и др. Транспортно-накопительные системы для ГПС. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1989. 293 с.

3. Заморёнов М.В., Копп В.Я., Заморёнова Д.В., Владимирова Е.С. Имитационная модель структуры "накопитель - технологическая ячейка - накопитель". Автоматизация и измерения в машино-приборостроении. Севастополь: Изд-во СевГУ. 2019. № 4 (8). С. 64-71.

4. Заморёнов М.В., Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Ларин М.Ю.. Использование метода траекторий для построения полумарковской модели структуры «технологическая ячейка - накопитель». Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление №3(247). Санкт-Петербург: Издательство Политехнического университета, 2016. С. 23-34.

5. Заморёнов М.В., Копп В.Я., Филипович О.В., Заморёнова Д.В. Моделирование структуры "ячейка-накопитель" методом путей при абсолютно надежном накопителе // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 10-20.

6. Заморёнов М.В., Ларин М.Ю., Копп В.Я. Использование метода путей для моделирования системы «обслуживающее устройство - накопитель». Современное машиностроение: Наука и образование: материалы 5-й Международной научно-практической конференции / Под ред. А.Н. Евграфова и А.А. Поповича. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2016. С. 820-830.

7. Копп В.Я., Карташов Л.Е., Обжерин Ю.Е., Мащенко Е.Н. Анализ функционирования накопительных элементов автоматизированных линий на базе диффузионной аппроксимации. Оптимизация производственных процессов: Сб. науч. тр. Севастополь: Alliance Française, 1994. Вып. 2. С.112-121.

8. Копп В.Я., Карташов А.Л., Заморёнов М.В., Клюкин В.Ю. Полумарковская модель структуры технологическая ячейка - накопитель. Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2016. № 1(237). С. 16 - 28.

9. Копп В.Я., Заморёнов М.В., Селькин А.А., Филипович О.В. Моделирование процесса функционирования системы «устройство приема информации - устройство обработки информации». Вестник современных технологий: сб. науч. тр. Севастоп. гос. ун-т;. Севастополь: СевГУ, 2016. Вып. 1. С. 58-65.

10. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982. 236 с.

11. Королюк В.С. Стохастические модели систем. Отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.

12. Королюк В.С. Суперпозиция процессов марковского восстановления. Кибернетика. 1981. №4. С. 121 - 124.

13. Королюк В.С. Полумарковские процессы и их приложения. В.С. Королюк, А.Ф. Турбин. К.: Наук. Думка, 1976. 181 с.

14. Peschansky A.I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. Germany: LAP LAMPERT Academic Publishing, 2013. 138 p.

15. Копп В.Я Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием / В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, А.И. Песчанский. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. 284 с.

16. М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Д.В. Заморёнова, Ю.Л. Явкун. Моделирование процесса функционирования обслуживающего устройства с обесценивающими отказами методом путей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 4. С. 225-236.

17. Заморёнов М.В., Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Ларин М.Ю.. Использование метода траекторий для построения полумарковской модели структуры «технологическая ячейка - накопитель». Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление №3(247). Санкт-Петербург: Издательство Политехнического университета, 2016. С. 23-34.

Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, zamoryonoff@gmail. com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, профессор, v_kopp@mail. ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Чаленков Никита Игоревич, ассистент, chalenkov-nikita@,yandex.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет

ANALYSIS OF THE SYSTEM FUNCTIONING WITH CONSIDERING FAILURES AND RESERVE

OF THE ENERGY SYSTEM

M.V. Zamoryonov, V. Ya. Kopp, N.I. Chalenkov

Using the apparatus of semi-Markov processes, an analysis of the functioning of the system is carried out, taking into account failures and the reserve of the energy system. A system with a continuous phase space of states is enlarged by a method that does not require the determination of the stationary distribution of an embedded Markov chain for a continuous system. For an enlarged system, the transition probabilities and the stationary distribution of the nested Markov chain are determined, as well as the times the system spends in states. When using the path method, the transition paths of the system from a subset of operable states are found, and the distribution function of the system's time spent in this subset is determined. The simulation results are compared with the data obtained using the theorem on the average time the system spends in a subset of states. The form of the desired distribution function is given.

Key words: Semi-Markov system, distribution function, trajectory method, redundancy.

Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryonoff@gmail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,

Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v_kopp@mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,

Chalenkov Nikita Igorevich, assistant, chalenkov-nikita@yandex. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University