CC BY
7
times of the system on the transition paths are determined. The probabilities of the realization of each of the paths are found. The total probability formula is used to determine the transition time of the system from one subset of states to another. Comparison of the simulation results obtained using the path method and the classical system simulation method is performed.
Key words: semi-Markov system, stationary distribution, method of paths, latent failures, means of control.
Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, za-moryonoffagmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v koppaimail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Fedorenko Sergey Nikolaevich, senior lecturer, sergey.fedor@mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Zamoryonov Ilia Mikhailovich, student, ilia.zamoryonovagmail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University
УДК 519.87:004.94 Б01: 10.24412/2071-6168-2021-4-69-76
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ НЕПРЕРЫВНОЙ ПРОФИЛАКТИКИ
В.Я. Копп, П.Н. Флоря, М.В. Заморёнов, И.М. Заморёнов
Рассматривается функционирование однокомпонентной системы при использовании стратегии непрерывной профилактики - такой профилактики, при проведении которой рабочий элемент во время проведения профилактики продолжает функционировать. Проводится укрупнение системы с непрерывным фазовым пространством состояний. При использовании метода траекторий определяются функции распределения времен пребывания системы в подмножествах работоспособных и неработоспособных состояний. Проводится сравнение результатов моделирования с данными полученными с использованием теоремы о среднестатистическом времени пребывания системы в подмножестве состояний.
Ключевые слова: полумарковская система, алгоритм фазового укрупнения, функция распределения, метод траекторий.
При эксплуатации любого оборудования одним из важнейших показателей является его срок службы, который может быть значительно увеличен за счет рациональной стратегии технического обслуживания данного оборудования [1 - 3]. Известны случаи, когда незначительные неисправности второстепенных узлов оборудования, которые могли быть ликвидированы за короткое время, приводили к выводу из строя основного оборудования, влекущему за собой довольно сложные ремонтные работы. Для решения данной проблемы возможны различные подходы к планированию проведения профилактического технического обслуживания. Также решением данной проблемы является возможность проектирования технических систем, в которых заложена возможность проведения непрерывной профилактики, то есть технического обслуживания без остановки основного оборудования.
Целью данной статьи является разработка математической модели [4 - 10], позволяющей определять производительность системы с учетом указанного вида профилактики.
Рассмотрим функционирование такой системы. Время ее безотказной работы -СВ ai с ФР Fi(t) = P(ai < t), время восстановления системы - СВ bi с ФР Gi(t) = P(pi < t). В случайные моменты времени (через промежутки времени a2 с ФР F2(t) = P(a2 < t)) проводится профилактика, время проведения профилактики - СВ b2 с ФР G^(t) = P(b2 < t). Профилактика проводится, если момент начала профилактики попал на период работы системы. После проведения профилактики работа системы начинается сначала (рабочие свойства системы полностью обновляются). СВ ai ,
a2, bi, Р2 предполагаются независимыми, имеющими конечные математические ожидания и дисперсии; у ФР Fi(t), F2(t), Gi(t), G2(t) существуют плотности fi(t), f2(t), gl(t), g2(t).
Для описания функционирования системы используем ПМВ {Xn, 9n; n > 0} и соответствующий ему ПМП ) . Физические состояния системы: i - системы исправна, 0 - системы восстанавливается, 2 - системы профилактируется.
Расширим ФПС, введя полумарковские состояния:
E = {22 ix,2i0,i00,i02x,i i2x,200x},
где 22ix - началась профилактика, работа системы продолжается; время, оставшееся до окончания ее работы х > 0; 2i0 - профилактика завершена, работа системы началась сначала; i00 - работа системы завершена, профилактика прервана; i02zi - системы завершила работу, началось восстановление; время, оставшееся до проведения профилактики zi > 0; ii2z2 - произошло восстановление системы; время, оставшееся до проведения профилактики z2 > 0; 200y - профилактика не проводится, т.к. момент профилактики попал на момент восстановления системы; время, оставшееся до окончания восстановления y > 0.
Граф состояний системы приведен на рис. i.
При построении полумарковской модели были приняты следующие допущения:
за время восстановления происходит не более одного события - начало профилактики;
за время между профилактиками происходит не более 1 отказа. Для данной системы подмножества работоспособных Е+ и неработоспособных Е- состояний имеют вид:
Е+ = {221х,210,112г2}, Е_ = {100,200_у,102г1>. Для достижения цели моделирования, а именно определения коэффициента готовности такой системы необходимо воспользоваться методом траекторий. Для чего требуется произвести укрупнение системы, то есть перейти от системы с непрерывным фазовым пространством состояний к системе с дискретными состояниями. В таком случае непрерывные компоненты будут равны:
г1 _ « - «1 ]+; у _ Рш2Ь - *1]+ + Рш Ь - а2]+;
Г2 = Р20000 [«2 - у]+ + [а2 - Р1 ]+; X = Рш1 [«1 - а2 ]+ + Р^[а2 - г2]+.
Отсюда, функции распределения выше указанных величин по теоремам Коро-люка В.С. [6] и Заморёнова М.В. [11] будут равны:
¥
_ | + х) - *2( х)/( х)ф>
FZ1 (?) = 0-;
¥
1 [1 - Р( х)]/1( х)№х
0
¥ ¥ 1 [Оу(г + х) - х)]Ы х)ф | [С№ + х) - х)]/2( х)ау
) _ Р102 0_+ Р2210_;
* У () _ Р210-¥-+ Р210-¥-
1 [1 - О (х)]/Л (х)№х 1 [1 - О (х)]/2 (х)№х
00
¥ ¥
1 [*2 (? + х) - (х)]/у (х)йу 1 [*2 (? + х) - (х)]й (х)йу
* „(Л _ Р200 0_+ Р112 0_;
* г2(?) _ Р100 -¥-+ Р100 -¥-
1 [1 - (х)]/у (х)№х 1 [1 - (х)^ (х)№х
00
¥¥
1 [*1 (? + х) - (х)]/2 (х)йу 1 [*1 (? + х) - * (х)]/ 2 (х)йу
* ) _ Р2210_+ Р102^_.
* х () _ Р210 -¥-+ Р210-¥-
1 [1 - (х)/ (х)№х 1 [1 - (х)]/ 2 (х)№х
00 Очевидно, для вычисления приведенных ФР необходимо определить вероятности переходов:
Р200 _р112 _, р221_, Р102 _1; Р200 _1; Р112 _1;
¥ ¥
Р22? _ 102(?)/х(?№; Р222\0 _ 102«)/х(?№; 0 0
¥ ¥ ¥
Рш1 _ 1 т)/г№; Р2?02 _ 1 *1(?)/2(?№; Р/00 _ 1 01(Г)/2№;
0 0 0
¥
Р000 _ 1)/2(? №.
0
Определив вероятности переходов, запишем времена пребывания системы в состояниях:
0221 =Р2 лх' 0210 =а1 ла2'
^200 = У, 0112 = 22, 0102х =Р1 л 21> 01ОО =Р1 ла2'
где л - знак минимума.
Найдем ФР времен пребывания системы в состояниях:
1 221(/) = О 2(/) • 1х (!) , 1210 ) = ) • 12(/), 1200(0 = 1уЦ), ЁтЦ) = Fz2(t),
1102 (^) = О1(1) • 121(1), 1100 (^) = О1(1) • 12 (*) . Для получения искомых характеристик необходимо найти стационарное распределение вложенной цепи Маркова (ВЦМ). Для этого требуется составить и решить систему уравнений:
221
Р221 =Р210 • ^210 +Р112'
Р210 = р221 •^>222110,
р100 = р221 •р2^10, (1)
р102 = р210 • Р200 '
р200 = р102 + р100 • Р120000,
112
.р112 = р200 + р100 • Р100 . Для решения данной системы вместо одного из уравнений вводится уравнение нормировки:
р221 + р210 + р200 + р122 + р102 + р100 =1. Тогда система (1) примет вид:
р221 + р210 + р200 + р122 + р102 + р100 = 1
р210 = р221 •р22Ь
р100 = р221 • Р220,
р102 = р210 • Р200 '
р200 = р102 + р100 • Р120000,
112
р112 = р200 +р100 • Р100 . Произведем преобразования системы (2):
р221 + р210 + р200 + р122 + р102 + р100 = 1 р210 = р221 •р222110,
р100 = р221 •р2^0,
р =р р 210 р102 р102 = р221 • Р221 • Р210'
р =р (Р 210 р102 + р100 р 200 р200 = р221 Р221 Р210 + Р221 Р100
р =р (Р 210 р102 + р100 р200 ) р100 р112 р112 = р221 • 1^221 • р210 + р221 •р100 /+р221 • р221 •р100.
(2)
Упростим
р221 + р210 + р200 + р122 + р102 + р100 = 1' р210 р100 :
р р 210 р221 • р221 '
р р100 р221 • р221 '
Отсюда:
р =р р 210 р102 р102 = р221 • р221 •р210'
р =р (р 210 р102 + р100 р200) р200 = р221 • р221 • р210 + р221 •р100 >
р =р (р 210 р102 + р100 р 112 = р221 • р221 • р210 + р221
„210 . ^ („210 „10^ „100 „200 ] р221 +р221 • р221 +р22Г р221 • р210 + р221 •р100 )+
+ р221 • (р222110 • + р221)+ р221 • ^Щ0 • р210 + р221 • р221
Упростим выражение р221
1 + р222Т + />22« + р{0Р • Л20°00 +
+ р210 • рЖ + « + • рЮо + рЮ0
= 1,
Упростим выражение: р221
В результате решения системы (2) получим
1
о ,-а „210 „102 ^„100 „200 ^„100
2 + -3-р221 •р210 + р221 •р100 + р221
= 1,
р221 =
р210 =
„210 р102, „100 „200 ^„100' 2 + 3 р221 •р210 + р221 •р100 + р221
р 210 р221
о,., „210 „102 ^„100 „200 . „100 ' 2 + 3 р221 •р210 + р221 •р100 + р221
р100
р102
р200
р100 р221
о,., „210 Е>102, „100 „200 ^„100' 2 + 3 р221 •р210 + р221 •р100 + р221
„210 „102 р221 •р210
о,., „210 „102 ^„100 „200 . „100' 2 + 3 р221 •р210 + р221 •р100 + р221
„210 „102 + „100 „200
. р221 •р210 + р221 •р100_
о^т р210 „102 ^ „100 „200 ^„100' 2 + 3 р221 • р210 + р221 •р100 + р221
р112 =
„210 „102 ^ „100 р221 •р210 + р221
п^ъ р210 „102 ^ „100 „200 , „100 ' 2 + 3 р221 •р210 + р221 •р100 + р221
Для определения функций распределения времен пребывания системы в подмножествах Е+ и Е_ воспользуемся методом траекторий [12].
Используя теорему о ФР времен пребывания системы в состояниях с учетом
о о
повторных попаданий, определяем ФР 1221(^) и ) времен пребывания в состоя-
ниях 221 и 210 с учетом повторных попаданий в них за время пребывания в подмножестве Е+ :
1221(я) •
12°21(^) =
с221 "(с221 - 1)/221(э)
73
1
FUs) = ^
с210 "(с210 - !^-/210 ) где
т210 т221 Р -1 Р - р210 с210 -210-> С221 = , Р221 -1, Р210 - Р221 .
Р210 • т210 Р221 • т221
Выделим траектории и, в соответствии с теоремой о полной вероятности, определим вероятности реализации каждой из траекторий, на основании переходных вероятностей вложенной цепи Маркова:
Т1 - {112,221} Т2 - {112,221,210}; Р1Т - Р]®?, Р2Т - Р222\0 •
Определяются ФР времен пребывания системы в траекториях:
Р\ - 12 * ^221 р2 - 12 * р221 * р2% .
Искомая ФР времени пребывания системы в подмножестве Е+ вне зависимости от начального состояния равна:
р - РТ • РТ + РТ • РТ - Р1 р1 + Р2 р2
Подставив, получим:
- Р22\ • р112 * р221 + Р222110 • р112 * р221 * р210 Рассмотрим пример моделирования такой системы с известными параметрами распределения случайных величин.
Исходными данными для моделирования служат функции распределения р ^), р2 ^), G1 () и G2 ^); они распределены по обобщенному закону Эрланга второго порядка с параметрами А^, 12; М-1, т2; ^1, 71, 72 соответственно; причем
Л(, - - 2'),
12 "А1
где 11 = 0,0667 ч-1, 1 = 0,200 ч-1;
/2 (, ^ " ^ 2'), т 2 -т1
где т = 0,1333 ч-1, т = 0,400 ч-1;
^2 "^1
где и = 6,667 ч 1, и2 = 20,0 ч 1;
Я2(,)-7172<е-7" "е"72'), 7 2 "71
где у1 = 2,667 ч-1, 72 = 8,00 ч-1.
На рис. 2 приведена искомая ) функция распределения, полученная в данной работе.
Сравним значения математического ожидания полученной нами функции и математического ожидания, определяемого с помощью выражения
X т'Р'
Т -_____(3)
- X X Рг
кеК сЕ+ ]еЕ"
Математическое ожидание полученной нами функции распределения составляет 19.1287301015 ч, тогда как, определяемое с помощью выражения (3) - 19.1287301015 ч. Нетрудно констатировать, что математические ожидания совпадают.
Рис. 2. Вид ФР времени пребывания системы в подмножестве Е+
Проведенное сравнение математических ожиданий времен пребывания в подмножестве работоспособных состояний, полученных на основании найденной в работе функции распределения и на основании теоремы о среднем стационарном времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний, показало правильность полученных результатов.
В дальнейших исследованиях планируется применение метода для моделирования более сложных технического обслуживания в автоматизированном производстве, а также применение построенной модели при оптимизации времен проведения профи-лактик в исследуемых системах.
Исследования выполнены при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 19-01-00704.
Список литературы
1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. / пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.
2. Барзилович Е.Ю. Модели технического обслуживания сложных систем: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк. 1982. 231 с.
3. Глеч С.Г. Определение оптимальных моментов профилактики технологической ячейки с мгновенно пополняемым резервом времени // Сборник научных трудов СИЯЭиП. Севастополь: СИЯЭиП, 2001. Вып.5. С. 187 - 193.
4. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982. 236 с.
5. Королюк В.С. Стохастические модели систем. Отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.
6. Королюк В.С. Суперпозиция процессов марковского восстановления // Кибернетика. 1981. №4. С. 121 - 124.
7. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова думка, 1976. 181 с.
8. Peschansky A.I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. Germany: LAP LAMPERT Academic Publishing, 2013. 138 p.
9. Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь, 1988. 208 с.
10. Копп В.Я, Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. 284 с.
11. Заморёнов М.В., Копп В.Я., Заморёнова Д.В. Метод моделирования регенерирующих систем. Математическое моделирование. 2018. Т. 30. № 6. С. 134-144.
12. Использование метода траекторий для построения полумарковской модели структуры «технологическая ячейка - накопитель» / В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Ю.Е. Обжерин, М.Ю. Ларин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление № 3 (247). СПб: Изд-во Политехнического университета, 2016. С. 23-34.
Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, профессор, v koppamail. ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Флоря Павел Николаевич, сотрудник, gydra@bk.ru, Россия, Севастополь, Федеральное государственное унитарное предприятие «13 судоремонтный завод Черноморского флота» Министерства обороны Российской Федерации,
Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, Zamoryonoff@gmail.com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Заморёнов Илья Михайлович, студент, ilia.zamoryonovagmail. com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
STUDY OF THE FUNCTIONING OF A SINGLE-COMPONENT SYSTEM TAKING INTO
ACCOUNT CONTINUOUS PREVENTION
V. Y. Kopp, P.N. Florya, M. V. Zamoryonov, I.M. Zamoryonov
The functioning of the one-component system when using the strategy of continuous prevention - such prevention, during which the working element continues to function during prevention is considered. The enlargement of the system with a continuous phase space of states is carried out. When using the trajectory method, the distribution functions of the sojourn times of the system in subsets of healthy and inoperable states are determined. The simulation results are compared with the data obtained using the theorem on the average time spent by the system in a subset of states.
Key words: semi-Markov system, phase consolidation algorithm, distribution function, trajectory method.
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v koppamail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Florya Pavel Nikolaevich, employee, gydra@bk.ru, Russia, Sevastopol, Federal State Unitary Enterprise «13 ship repair plant of the black sea fleet» of fhe Ministry of defense of the Russian Federation,
Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, Zamoryonoff@,gmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Zamoryonov Iliya Mikhailovich, student, ilia.zamoryonov@,gmail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University
