CC BY
19
УДК 621.0:519.873
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОТКЛЮЧЕНИЕМ РАБОЧЕГО
ЭЛЕМЕНТА НА ПЕРИОД ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЯ
М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, С.Н. Федоренко
Построена модель контроля системы без отключения компонента на период контроля с использованием метода траекторий. Выполнена дискретизация системы с непрерывным фазовым пространством состояний на основании алгоритма фазового укрупнения. Проведено моделирование процесса функционирования такой системы. Выполнено сравнение результатов моделирования, полученных с использованием метода траекторий и классического метода моделирования систем.
Ключевые слова: полумарковская система, стационарное распределение, метод траекторий, повторные попадания, скрытые отказы, средства контроля.
Повышение надежности производственных систем и качества выпускаемой ими продукции является актуальной проблемой современного производства. Данную проблему позволяют решить автоматизированные системы управления технологическими процессами, важную часть которых составляет локальная система технического контроля.
Несмотря на разнообразие и высокий уровень контрольно-измерительной аппаратуры, важной является проблема выявления и устранения отказов оборудования, одним из видов которых являются скрытые отказы [1].
Скрытым отказом называется отказ, не обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования, но выявляемый при проведении технического обслуживания или специальными методами диагностики [2].
В сложных производственных системах, где достаточно трудно проследить за индивидуальной работой всех узлов и деталей (компонентов), применяется периодический контроль скрытых отказов. Это означает, что контроль проводится через случайные (в частном случае - фиксированные) интервалы времени, которые должны быть оптимальными для всей системы, обеспечивая при этом ее максимальную надежность и эффективность. Решение этой задачи возможно на основе построения математических моделей контроля восстанавливаемых систем с учетом скрытых отказов.
В данной статье рассматривается система £, состоящая из одного компонента, выполняющего определенные функции и аппаратуры контроля его работоспособности. Система функционирует следующим образом. В начальный момент времени компонент приступил к работе, контроль включен. Время безотказной работы (ВБР) компонента - СВ а с функцией
распределения (ФР) F(t) = P{a £ t} и плотностью распределения (ПР) f (t). Контроль проводится через случайное время 5 с ФР R(t) = P{5 £ t} и ПР r(t). Отказ компонента обнаруживается только в результате проведения контроля (скрытый отказ), на время проведения контроля работа компонента приостанавливается. Длительность проведения контроля СВ g с ФР V(t) = P{g £ t} и ПР v(t). Время восстановления (ВВ) компонента после обнаружения отказа СВ b с ФР G(t) = P{b £ t}и ПР g(t). На период восстановления контроль приостанавливается, после восстановления все свойства компонента обновляются. Предполагается, что СВ a, b, 5, g независимы и имеют конечные математические ожидания.
Необходимо отметить, что стационарные характеристики такой системы - математическое ожидание времен пребывания системы в подмножестве работоспособных T+ и неработоспособных T_ состояний и др. - найдены в [3]. Однако при моделировании сложных систем, как правило, используется иерархический подход к построению моделей. Для построения иерархических моделей недостаточно информации о стационарных характеристиках, т.к. для стыковки элементов внутри одного уровня иерархии (горизонтальные связи) и информационной согласованности уровней между собой требуется информация о функциях распределения времен пребывания системы в подмножестве работоспособных и неработоспособных состояний [4, 5].
Исходя из вышеизложенного, целью статьи является определение функций распределения случайных величин - времен пребывания системы в подмножестве работоспособных и неработоспособных состояний.
Для моделирования предлагается метод траекторий, приведенный в
[6]. Данный метод позволяет получать точное решение уравнений марковского восстановления для системы с дискретным фазовым пространством состояний. Переход от системы с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний к системе с дискретным фазовым пространством состояний производится по алгоритму фазового укрупнения
[7].
Функционирование системы опишем полумарковским процессом (ПМП) X(t) с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний [8 - 12]. Введем следующее множество M полумарковских состояний системы
M = {111,212 х, 211х, 101х, 202,220}.
Расшифруем содержательный смысл кодов состояний:
111 - компонент начал работать, контроль включен;
212х - начался контроль, компонент работоспособен и отключен, до наступления отказа осталось время x > 0 (без учета времени проведения контроля);
211х - контроль окончился, компонент продолжил работу, до наступления отказа осталось время х > 0;
101х - наступил отказ, до начала контроля осталось время х > 0;
202 - начался контроль, компонент, находящийся в отказе, отключен;
220 - окончился контроль, обнаружен отказ, началось восстановление компонента, контроль приостановлен.
Временная диаграмма и граф переходов системы изображены на рис. 1 и 2 соответственно.
111 212х 211х 212х 211х Ю1х 202 220 111 212х
Рис. 1. Временная диаграмма функционирования системы
1_
Рис. 2. Граф переходов системы
Время 021пребывания системы в состоянии 211х определяется двумя факторами: оставшимся временем х до наступления скрытого отказа и временем 8, определяющем периодичность контроля. Следовательно, &211х где л - знак минимума. Аналогично определяются времена
пребывания в остальных состояниях:
е1П=ал8, е212х=7> 0101* =*> е202 =т> 022О=Р- (!)
В [3] найдены переходные вероятности
оо
р2Шх = р|а_ 56 ¿лл =1/(х + Г)г(0Жс1х, х > 0;
0 175
plOldx = P{g _ a Î dx} = J r ( x +1 )f (t )dtdx, x > 0;
0
pfib? = P{x_§î dy}= r(x_ y)dy, 0 < y < x; (2)
p2ndy = P{d_ x Î dy }= r (x + y )dy, y > 0;
d21 1x d202 d220 d111 i P212 x = P101x = P202 = P220 = 1
и стационарное распределение ВЦМ такой системы
Ро =Р(111) = р(220) = р(202),
¥
р(211х) = р(212 х) = р01 Иг (г) / (х +г ,
0
¥
р(101х) = ро | V
г (х) / (z)dz,
0
¥ *( )
где р0 находится их условия нормировки; Иг (г) = ^ г (п)(г) - плотность
п=1
функции восстановления Нг (г) процесса восстановления, порожденного *(п)
СВ о; ^ '(г) - п-кратная свертка плотности распределения г(г);
Vr (z, x) = r(z + x) + J r(z + x _ s)hr (s)ds - плотность распределения прямого
0
остаточного времени для того же процесса восстановления.
Запишем ФР времен пребывания системы в состояниях:
Fш(t) = F(t)- R(t) ; F2i2x = V(t) ;
Fi0lx (t ) = ix (t); F202 (t ) = V (t); F220 (t) = G(t) ; F 21 ix (t) = lx (t)-R(t ). Применим метод траекторий для моделирования данной системы. Первый шаг. Переход от системы с непрерывными состояниями к системе с дискретными состояниями Sj е M+.
Сначала находится стационарное распределение ВЦМ р(2l 1), р(212), р(l0l) для дискретных состояний S211, S212 и S101:
¥ ¥
р (212) = р (2ll) = р 0 J dx J hr (t )f (x +1 )dt = р0 J hr (t )dt J f (x +1 )dx = р0 J F (t )hr (t )dt,
0 0 0 0 0
¥ ¥ ¥ ¥ ¥
р (l0l) = р0 J dx J Vr ( z, x )f ( z )dz = р 0 J f ( z )dz J Vr ( z, x )dx = р0 J f ( z )dz = р 0.
0 0
0
176
z
00
00
00
0
0
Тогда стационарное распределение ВЦМ примет вид
Гр0 =р(111) = р(220) = р(202) = р (101);
¥
р(212) = р(211) = р01Ё(г% (г)dг,
0
1
где р0
¥
4 + 2IЁ (г )кг (г )dг 0
Следующим этапом является определение вероятностей переходов укрупненной системы.
Для состояний 5^111 и ^ц вероятности переходов примут вид
г „212йХ „ ¥¥ ¥ ¥
д!2 = тл—= | ск |/(х + г)х{г^г = IЁ(г)г(г^г, р111 0 0 0
¥ ¥ ¥ ^111011 = !_Ш—'1Ш = I dx | г(х + г)/(г)Л = I я(г)/(г^,
р!11
0 0 0
¥ ¥
р0 |dx |Иг (г)/(х + г^г | г(х + у^у |/(х)Я(х)dx
__101 = 0 0 _211 =
р 01 ё (г )Иг (г ^г I ё 1 (г )Нг (г )dг
0 0
¥
I / (х )Я( х )dx
_212 = _101 =. _0_
_211 = 1 " _211 = 1 -.
| ё 1(г )Нг (г )dг 0
Найдем ФР времени пребывания системы в укрупненных дискретных состояниях и
¥ ¥
77 Л) I Ё101х(г )•р101xdx Ё101(г ) =-¡=-;-=
р0 I!х(г^х IУг (z,хX)/zdz 0 0
I р101х^ р0
г ¥
= I dx I уг (z, х) / ^ )dz = I / ^ V г )dz; 0 0 0
¥
¥
0
0
¥
¥
¥
А (л | ¿211х( )р211х^
¿211(') =-;--=
I р211хах
¥ ¥ | (1 - 1х )Я(г | Нг (2 )/(X + г)с1
О О
¥
р0 IF(')ИГ ('
_ 1 - ^)
11х (' X | (2) / (х + 2 2
О
Преобразовав числитель, получим
¿211 (' ) = 1 - )-
I ^ (' + 2 )нг (2 2)d.2
Второй шаг. Выделение всех возможных траекторий перехода системы из подмножества М+ в подмножество М- и обратно. Для подмножества М+
Для подмножества М-
Т1 _{^212}; Т2 _{510Ь S202, ^220}. Третий шаг. Определяются вероятности р попадания в состояния:
Р211 .
Т
+
{^211}
р _ р111
Р111 _-
Р111 +Р211
Р211 _
Р111 +Р211
Р212 _ Р111 • Р212+Р211 • Рш2; Р101 _ Р111 • Рш1 + Р211 • Р2?1.
Четвертый шаг. На основании теоремы, приведенной в [6], заменяются времена пребывания в состояниях а/ на 0/ - времена пребывания системы в состояниях с учетом повторных возвратов.
Для данной системы необходимость в выполнении четвертого шага отсутствует, из-за того, что, как видно из графа переходов системы, ни в одном из рассматриваемых подмножеств состояний М+ и М- нет циклов (петель возврата).
Пятый шаг. В соответствии с теоремой о полной вероятности опТ
ределяются вероятности Р^ реализации каждой из траекторий.
о
о
о
1
оо
о
о
Для подмножества M+
P+ = Pili; P+ = p211 •
Для подмножества M_
P- = P212; P— = Pl01.
Шестой шаг. В соответствии со следствием второй теоремы, приведенной в [6], находим ФР времен пребывания системы в каждой из траекторий.
Для подмножества M+
F+(t) = F11 (t); ) = F211(t).
Для подмножества M-
Ff (t) = F212 (t); Ff(t) = F101 (t) * F202 (t) * F220 (t), где * - знак операции свертки.
Седьмой шаг. Находим ФР времени пребывания в подмножествах вне зависимости от начального состояния.
Для подмножества M+
F+ez (t ) = P1+- F+(t) + P+ • F+(t).
Для подмножества M_
F—ez (t ) = Pf- Ff(t) + P2 • F—(t).
Исходными данными для моделирования служат ФР F(t), R(t), V (t) и G(t), распределенные по обобщенному закону Эрланга второго порядка с параметрами
lF = 0,33 ч-1, lF = 1,0 ч-1, lR = 0,083 ч-1, lR = 0,25 ч-1, )V = 6,67 ч-1, lV = 20,0 ч-1, lG = 2,67 ч-1, lG = 8,0 ч-1
соответственно.
Результаты моделирования приведены на рис. 3.
Также проводилось сравнение математических ожиданий времен пребывания системы в подмножествах, найденных по полученным выше ФР и по теореме о математическом ожидании, приведенной в [13]:
- по теореме
T+ = 3,53103448 ч; T-= 13,11034482ч;
- методом траекторий
T+ = 3,53103448 ч; T-= 13,11034482ч.
Полученные результаты показали расхождение в 97-м знаке после запятой, что говорит о точности примененного метода моделирования и правильности построения модели.
О 20 40 60 so 100
t
Рис. 3. Результаты моделирования методом траекторий: 1 - ФР времени пребывания системы в подмножестве работоспособных состояний; 2 - неработоспособных
В дальнейшем планируется использовать предложенный метод для решения ряда других задач, связанных с функционированием информационных и производственных систем.
Исследования выполнены при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 15-01-05840.
Список литературы
1. ГОСТ 27.002 - 89. Надежность в технике. М.: Изд-во стандартов,
1989.
2. Obzherin Yu.E., Peschansky A.I., Boyko E.G. Semi-Markovian Model of Control of Restorable System with Latent Failures //Applied Mathematics. 2011. Vol. 2. No3. P. 383 -388.
3. Obzherin Yu.E., Boyko E.G. Semi-Markov Models. Control of Restorable Systems with Latent Failures. USA, Elsevier, Academic Press, 2015. 214 p.
4. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Моделирование автоматизированных линий. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006. 240 с.
5. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. 284 с.
6. Апробация метода траекторий на примере моделирования процесса функционирования производственного элемента с обесценивающими отказами / М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, Д.В. Заморёнова // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. Вып. 8. Ч. 1. С. 57 - 71.
7. Королюк В.С. Стохастические модели систем / отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наук. думка, 1989. 208 с.
8. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход / пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.
9. Райншке К., Ушаков И. А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь, 1988. 208 с.
10. Peschansky A.I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. Germany: LAP LAMPERT Academic Publishing, 2013. 138 p.
11. Королюк В.С. Суперпозиция процессов марковского восстановления // Кибернетика. 1981. №4. С. 121 - 124.
12. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наук. Думка, 1976. 181 с.
13. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наук. думка, 1982. 236 с.
Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доц., zamoryonoff@gmail.com, Россия, Севастопольский государственный университет,
Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, проф., v koppaimail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Обжерин Юрий Евгениевич, д-р техн. наук, проф., ohjseva mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Федоренко Сергей Николаевич, ст. преподаватель, sergey.fedor@mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
MODELING OF THE OPERATION PROCESS OF THE TECHNICAL SYSTEM WITH THE WORKING ELEMENT CUT-OFF DURING THE CONTROL PERIOD
M. V. Zamoryonov, V. Ya. Kopp, Yu.E. Ohzherin, S.N. Fedorenko
A control model of the system without the component cut-off during the control period using the method of trajectories is presented in this article. The sampling of the system with a continuous phase space of states hased on the phase consolidation algorithm is performed. The simulation of the operation process of such a system is conducted. The comparison of the simulation results obtained using the method of trajectories and the classical system modeling method is accomplished.
Key words: semi-Markov system, stationary distribution, method of trajectories, repeated enterings, hidden failures, means of control.
181
Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryo-noff@gmail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v kopp@mail.ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Obzherin Yuriy Evgenievach, doctor of technical sciences, professor, ob-isev@mail.ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Fedorenko Sergey Nikolaevich, senior lecturer, sergey.fedor@mail.ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University
УДК 621. 892.1
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПРОЦЕССОВ ОКИСЛЕНИЯ НА ВЯЗКОСТНО-ТЕМПЕРАТУРНЫЕ СВОЙСТВА МОТОРНЫХ МАСЕЛ
Б.И. Ковальский, В.Г. Шрам, О.Н. Петров, А.Н. Сокольников,
С.И. Иванова
Представлены результаты исследования вязкостно-температурных характеристик товарных и окисленных моторных масел. Установлено, что вязкость масел зависит от концентрации продуктов окисления, а вязкостно-температурные характеристики в диапазоне температур от 40 до 130 °С, выраженные индексом вязкости, в начале процесса окисления уменьшают этот показатель, а с увеличением концентрации продуктов окисления сохраняется тенденция его увеличения.
Ключевые слова: коэффициент поглощения светового потока, кинематическая вязкость, индекс вязкости, продукты окисления, вязкостно-температурные характеристики.
Изменение кинематической вязкости моторных масел в процессе эксплуатации двигателей внутреннего сгорания в основном оценивается по величине этого показателя, который влияет на ресурс масел. Однако на изменение вязкости одновременно влияют процессы окисления, температурной и механической деструкции масел, продукты неполного сгорания топлива и износа. Поэтому целью настоящих исследований является оценка влияния продуктов окисления на вязкостно-температурные характеристики моторных масел.
