CC BY
9
The article presents the analysis of the stress-strain state of the workpiece material cumulative cladding, it of damage and the distribution of temperature by its volume in the process of extruding a measuring rod blanks.
Key words: the cumulative cladding, plastic deformation, medium voltage, range hood, stamping, deformation, metal forming.
Kukhar Vladimir Denisovich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, Vladimir. I). Kiichar a tsu. tula. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Kireeva Alena Evgenevna, candidate of technical sciences, docent, kireale-na@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Mitin Oleg Nikolayevich, candidate of technical sciences, doctoral, mpf-tula@rambler.ru, Russia, Tula, OPC "SPA "SPLAV"
УДК 519.87; 004.94
МОДЕЛЬ КОНТРОЛЯ СИСТЕМЫ С ОТКЛЮЧЕНИЕМ И УПРЕЖДАЮЩИМ ВОССТАНОВЛЕНИЕМ КОМПОНЕНТА
М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Д.В. Заморёнова, С.Н. Федоренко
Построена модель контроля системы с отключением и упреждающим восстановлением компонента на период контроля с использованием метода траекторий. Выполнена дискретизация системы с непрерывным фазовым пространством состояний на основании алгоритма фазового укрупнения. Проведено моделирование процесса функционирования такой системы. Выполнено сравнение результатов моделирования, полученных с использованием метода траекторий и теоремой о среднестационарном времени пребывания системы в подмножестве состояний.
Ключевые слова: полумарковская система, стационарное распределение, метод траекторий, повторные попадания, скрытые отказы, средства контроля.
Введение. Основнойзадачей проектирования любых технологических систем является получение максимального экономического эффекта от их функционирования. При условии обеспечения заданного качества выпускаемых изделий экономический эффект складывается из выигрыша в производительности с учетом затрат, направленных на обеспечение надежного функционирования всех подсистем, в том числе и систем автоматической загрузки исходными компонентами, деталями и т.п. [1-5].
Как правило, определение зависимости экономического эффекта и существующих потерь при известных затратах не вызывает сложностей и подробно рассмотрено в работе [6].
Одними из направлений повышения надежности технологического оборудования на стадии эксплуатации является применение стратегий упреждающего восстановления по результатам технического диагностирования состояния оборудования [7 - 9] и статистического контроля качества выпускаемых изделий [10 - 12]. При этом, естественно, возникают затраты на создание аппаратуры контроля и более частые восстановления, моменты проведения которых определяются заданным временем наработки, а производительность аппаратуры контроля влияет на ее стоимость.
Таким образом, параметрами оптимизации могут являться время наработки и время проведения контроля.
Основная сложность выбора параметров оптимизации заключается в построении математической модели технологической системы, связывающей ее производительность с указанными параметрами оптимизации.
Формализация постановки задачи. Рассматривается система S, состоящая из одного компонента, выполняющего определенные функции и аппаратуры контроля его работоспособности. Система функционирует следующим образом. В начальный момент времени компонент приступает к работе, контроль включен, время безотказной работы компонента - случайная величина a с функцией распределения F(t) = P{a £ t} и плотностью распределения f (t). Контроль проводится через случайное время 5 с функцией распределения R(t) = P{5 £ t} и плотностью распределения r (t).
Отказ компонента обнаруживается только в результате проведения контроля (скрытый отказ). На время проведения контроля работа компонента приостанавливается. Длительность проведения контроля - случайная величина g с функцией распределения V(t) = P{g £ t} и плотностью распределения v(t). Если в результате проведения контроля установлено, что компонент работоспособен, но его суммарная наработка с момента последнего восстановления не меньше заданного уровня m > 0, то проводится упреждающее восстановление компонента. В случае, когда суммарная наработка компонента меньше заданного уровня m , компонент продолжает работу. Если в результате контроля обнаружен скрытый отказ компонента, то проводится его обычное восстановление; время упреждающего или обычного восстановления - случайная величина ß с функцией распределения G(t) = P{ߣ t} и плотностью распределения g(t). На период любого восстановления контроль приостанавливается, после восстановления все свойства компонента обновляются. Полагается, что случайные величины a, ß, 5, g независимы и имеют конечные математические ожидания.
Необходимо отметить, что в литературе приводится модель такой системы [13], позволяющая получать стационарные характеристики системы. Однако при анализе сложных систем [14, 15], когда используется иерархический подход к построению моделей [16], такой информации о функционировании системы недостаточно, так как требуется информация о функциях распределения случайных величин, характеризующих функционирование такой системы.
Целью данной работы является построение полумарковской модели функционирования описанной системы, позволяющей определять искомые функции распределения методом траекторий [17].
Построение полумарковской модели. Функционирование системы £ описывает полумарковский процесс ) [18] с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний [19, 20]. Введем следующее множество Е полумарковских состояний системы:
Е = {111, 210х, 211х, 222,101х, 200, 222}.
Расшифруем содержательный смысл кодов состояний:
111 - компонент восстановлен и приступил к работе, контроль включен;
210 х - начался контроль, компонент работоспособен и отключен, суммарная наработка компонента с момента последнего его восстановления (без учета времени проведения контроля) равна х > 0;
211х - проведен контроль, работоспособный компонент продолжил работу, его суммарная наработка, равная х > 0 , меньше заданного уровня
т;
222 - проведен контроль, компонент работоспособен, его суммарная наработка не меньше заданного уровня т, началось упреждающее восстановление компонента, контроль приостановлен;
101х - наступил отказ компонента, до начала контроля осталось время х > 0;
200 - начался контроль, компонент, находящийся в отказе, отключен;
222 - проведен контроль, обнаружен отказ, и началось обычное восстановление компонента, контроль приостановлен.
Отметим, что в состояниях 210 х, 211х используется «время назад», а в состоянии 101х - «время вперед».
Временная диаграмма и граф переходов системы [21] изображены на рис. 1 и 2 соответственно.
а
я
а
111 210х 211х 210х 222 111 101х 200 222
111
Рис. 1. Временная диаграмма функционирования системы
101х
1
1
200
Е.
Рис. 2. Граф переходов системы
Приведем времена пребывания в состояниях системы, переходные вероятности вложенной цепи Маркова и стационарное распределение вложенной цепи Маркова [13].
Времена пребывания в состояниях системы
0211х = 5л[а-х]+. 0Ш = ал8, 0210х = 7,
0222 = Р , 0101х = х , 0200 = 7, 0222 = Р . Переходные вероятности вложенной цепи Маркова {Хп; п > 0}:
р2\0Жс = р{а > §, 5 е ^ = р(ху(х > 0;
¥
р1С)1^х = р{§ - а е йХ}= | г(х + г)/(г)dtdx, х > 0;
0
р2}0^ = р{[а-х]+ > 5, 5е Су-х}= Р(у)Г(у-х)Су, 0 < х < т, у > х;
р2п? = р{5 - [а - х]+ е Су}= ^^(У + г)СгСу, 0 < х < т, у > 0;
р211х = 1, если 0 < х < т; Р222 = 1, если х > т; 210х 210 х ^
р111 = р200 = р222 = р111 = 1 222 101х 200 222 .
Стационарное распределение вложенной цепи Маркова:
Р(111)=Р0,
т
Р(210х)=р(211х) = Р0^г (х)¥(х), 0 < х < т / .. л
р(210 х) = Р0 Р(2~2) = Р0
г(х) + | г(х - у)НГ (у)йу
0
¥(х), х >|1,
У т
V1
Р(101х) = Р0
Р(200) = Р(222) = Р0
| ¥ (х)г (х)dх + | ¥ (х)dх | г (х - у)Нг (у)ф
т0
¥ | ¥
I г (х + у)/(у)йу +I кг (у^у I / (у + г) г (х + г
V 0 0 0
/ ( у + г )кг
IЯ (х)/(х^х + I Я (г)&I/(у + г)кг (у)йу V 0 0 0
где кг (г) = ^ г (п)(г) - плотность функции восстановления п=1
Нг (г) = ^ Я*(п)(г) процесса восстановления, порожденного случайной ве-п=1
личиной 5; постоянная Р0 находится из условия нормировки.
Применим алгоритм фазового укрупнения [22, 23] для перехода от системы с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний к системе с дискретным фазовым пространством состояний.
Определим стационарное распределение вложенной цепи Маркова системы с дискретным фазовым пространством состояний:
Р111 =Рo,
т _
' ' 44 т " х
Р910 = Р211 =Р0Iкг(х)¥(0 < х <т 210 0
г т
1
Р210 =Р0
7
Р222 =Р0
Р101 =Р0
Р200 = Р222 =Р0
I г(х)¥(х)йх + Л г(х - у)кг (у)¥ (х)йудх
т 0
_ т
I ¥ (х)г (х)йх + I ¥ (х)dх I г (х - у)кг (y)dy
V т т 0
^ N
¥ т ¥
I Я( у)/(у^у +1 кг (у^у I / (у + г) Я(г
V 0^00
¥ ¥ т
I я (х)/(х^ +1 я (гуг I /(у + г)кг (у^у
V 0 0 0
х >т,
сю
Найдем вероятности переходов системы с дискретным фазовым пространством состояний:
/V ¥ ¥
Р210 = I Р(х)г(х)Сх, р^1 = I я(г)/ (г )Сг,
0
II р (у )г (у - х )кг (х )СуСх
0
¥¥
11 Я( у)/ (х + у )кг (х )СуСх
р210 = 0 х р211 =-
Р101 = 0х р211 =-
| р (х )кг (х )сх
| р (х )кг (х )сх
Р
211
210 р222
210
,111 „200 „222 „111
р! 1 1 _ р^ии _ рЛЛЛ _ 1 1 _ 1
210 А0 , А1 ' " 210 Р0 + Р1 ^ 222 = 101 = 200 = 222 = .
+Р
210 210
Р - +Р
210 210
Определим функции распределения времен пребывания в состояни-
ях:
р ш (г ) = Р (г )• я(г); ^10 = У(г); р222 (г ) = О (г); ^00 = У(г); Р22(г )=У(г);
¥
I [я(г + х)- я( х)] / (х )сх
р211 (г ) = ■
; р211 (г ) = 1 - рх (г )• я(г)
- Д(х)] / (х )Сх
О
¥
I [р (г + х)- р (х )]^Г (х )сх
где р (г ) =
![1 - р (х )]^г (х )сх
О
Граф системы с дискретным фазовым пространством состояний приведен на рис. 3.
Рис. 3. Граф системы с дискретным фазовым пространством
состояний
303
¥
¥
0
0
1
0
О
¥
О
Выделим траектории. Для подмножества E+
Для подмножества E_
Т\ ={%Ь 200' ^22 }; 72 = ^210 }; Г3 = ^210' ^22 }. Определим вероятности Pi попадания в состояния:
Р = Р111 . Р = Р 211 . пи =-:-. р211 =-;
Р111 +Р211 Р111 +Р211
Р Р01 +Р11
р =_Р101_. Рл = 210 210
р101- ,0 -1 ' Р210 _ ,0 -1
Р101 +Р - +Р - Р101 +Р - + Р ~
210 210 К101 210 210
В соответствии с теоремой о полной вероятности определяются вести Р^ реализации ка Для подмножества E+
ь .
Для подмножества E_
т ~
роятности Р^ реализации каждой из траекторий.
Р+= Р111; Р2+= Р211
Рл = Р П1 • Р_ = Р - • Р211- Р_ = Р - • Р222 Ч Р2 Р210 Р210 ' 2 р210 210 '
В соответствии со следствием 2 теоремы, приведенной в работе [18], находим функция распределения времен пребывания системы в каждой из траекторий.
Для подмножества E+
Fl+(t ) = );
F2+(t ) = F2ll(t).
Для подмножества E_
Ff(t ) = Fl0l(t )* F2oo (t) * F222 (t);
F2~(t) = F2lo (t); F3-(t) = F2lo (t) * F222 (t), где * - знак операции свертки.
Находим функцию распределения времени пребывания в подмножествах вне зависимости от начального состояния.
Для подмножества E+
F+ez ^ ) = Р+- Fl+(t) + Р2+ • F2+(t).
Для подмножества E_
Frez ^) = Р_ • Fl_ (t) + Р2_ • F2_ ^) + Рз_ • ^).
304
Исходными данными для моделирования служат функции распределения Г ^), ?(), V ^) и О ), распределенные по обобщенному закону
г _1 г _1
Эрланга второго порядка с параметрами 1 = 0,022 ч , = 0,0667 ч ,
1? = 0,083 ч-1, 1? = 0,25 ч-1, IV = 6,67 ч-1, 12 = 20,0 ч-1, Л°О = 2,67 ч-1, О 1
1° = 8,0 ч . Результаты моделирования показаны на рис. 4.
20
60
80
100
Рис. 4. Функции распределения времени пребывания системы в подмножестве работоспособных (кривая 1) и неработоспособных
(кривая 2) состояний
Также проводилось сравнение математических ожиданий времен пребывания системы в подмножествах, найденных по полученным выше функциям распределения и по теореме о стационарном времени пребывания системы в подмножестве состояний, приведенной в работе [24]: по теореме
Т+ = 14,25086 ч; Т_ = 2,331128 ч; методом траекторий
Т+ = 14,25086 ч; Т_ = 2,331128 ч.
Полученные результаты показали расхождение в 97-м знаке после запятой, что говорит о точности примененного метода моделирования и правильности построения модели.
В дальнейшем планируется использовать метод траекторий для решения ряда других задач, связанных с функционированием информационных и производственных систем.
Исследования выполнены при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 15-01-05840.
Список литературы
1. Прейс В.В. Надежность автоматических роторно-конвейерных линий для сборки многоэлементных изделий // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2003. № 10. С. 17 - 22.
2. Прейс В.В., Фролович Е.Н. Компоновка, производительность и надежность роторных машин для розлива жидких продуктов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2010. Вып. 4-1. С. 3 - 14.
3. Прейс В.В. Модели и оценка надежности роторных систем автоматической загрузки с функциональными отказами // Автоматизация и современные технологии. 2002. № 10. С. 3 - 8.
4. Прейс В.В. Модели и оценка надежности роторных систем автоматической загрузки с параметрическими отказами // Автоматизация и современные технологии. 2003. № 1. С. 9 - 15.
5. Прейс В.В. Надежность роторных систем автоматической загрузки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. 110 с.
6. Копп В.Я. Моделирование автоматизированных производственных систем. Севастополь: Изд-во СевНТУ. 2012. 700 с.
7. Ядыкин Е.А., Прейс В.В. Теоретические основы технической диагностики автоматических роторных и роторно-конвейерных линий в массовых производствах // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2012. Вып. 10. С. 9 - 20.
8. Ядыкин Е.А., Прейс В.В. Оценка структурной надежности многоканальной части автоматических роторных линий на стадии проектирования // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 2. С. 437 - 443.
9. Прейс В.В., Семенов Д.Н. Обеспечение надежности роторных машин для розлива и укупорки жидких продуктов на стадии проектирования // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 4. С. 82 - 92.
10. Горелов А. С., Прейс В.В. Управление качеством автоматизированной сборки многоэлементных изделий массового выпуска на основе статистических методов // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2012. № 1. С. 40 - 43.
11. Горелов А.С., Прейс В.В., Саввина Е.А. Определение параметров статистического регулирования технологического процесса на основе экономических показателей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2012. Вып. 2. С. 374 - 380.
306
12. Горелов А.С., Прейс В.В., Саввина Е.А. Экономическая оценка планов статистического контроля качества и регулирования автоматизированной сборки многоэлементных изделий // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2013. № 4. С. 3 - 5.
13. Obzherin Y.E., Peschansky A.I., Boyko Y.G. Semi-Markovian Model of Control of Restorable System with Latent Failures // Applied Mathematics. 2011. Vol. 2. No 3. P. 383 - 388.
14. Obzherin Y.E., Boyko E.G. Semi-Markov Models Control of Restorable Systems with Latent Failures. USA, Elsevier, Academic Press. 2015. 214 p.
15. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Моделирование автоматизированных линий. Севастополь: Изд-во СевНТУ. 2006. 240 с.
16. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием. Севастополь: Изд-во СевНТУ. 2000. 284 с.
17. Апробация метода траекторий на примере моделирования процесса функционирования производственного элемента с обесценивающими отказами / М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, Д.В. Заморёнова // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 8. Ч. 1. С. 57 - 71.
18. Королюк В.С. Стохастические модели систем; отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка. 1989. 208 с.
19. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход / пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.
20. Peschansky A.I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. Germany: LAP LAMPERT Academic Publishing. 2013. 138 p.
21. Райншке К., Ушаков И. А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь. 1988. 208 с.
22. Королюк В.С. Суперпозиция процессов марковского восстановления // Кибернетика. 1981. № 4. С. 121 - 124.
23. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения Киев: Наукова думка. 1976. 181 с.
24. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982. 236 с.
Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доц., zamoryonoff@,gmail.com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, проф., v_kopp@,mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Заморёнова Дарья Викторовна, канд. техн. наук, доц., zamik@ukr.net, Россия, Севастопольский государственный университет,
Федоренко Сергей Николаевич, ст. преподаватель, sergey.fedor@mail.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
STOCHASTIC MODEL OF SYSTEM CONTROL WITH DISCONNECTION AND PROACTIVE RECOVERY OF THE COMPONENT
M.V. Zamoryonov, V.Ya. Kopp, D.V. Zamoryonova, S.N. Fedorenko
A model is constructed for controlling the system with shutdown and pre-recovery recovery of the component for the monitoring period using the trajectory method. A discretization of a system with a continuous phase space of states is performed on the basis of the phase-coherence algorithm. The process of functioning of such a system is simulated. Comparison of modeling results obtained using the trajectory method and the theorem on the average stationary time of the system stay in a subset of states is compared.
Key words: semi-Markov system, stationary distribution, method of trajectories, repeated enterings, hidden failures, means of control.
Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryo-noffagmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v koppamail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Zamoryonova Darya Viktorovna, candidate of technical sciences, docent, za-mika Hkr.net, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Fedorenko Sergey Nikolaevich, Senior Lecturer, sergey.fedor@mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University
УДК 621.9.06
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ
ОПЕРАЦИЙ
А. О. Чечуга
Рассматриваются основные тенденции процесса концентрации технологических процессов в условиях массового и серийного производства. Анализируется возможность наличия уровня оптимальной концентрации элементарных операций технологического процесса.
Ключевые слова: концентрация операций, концентрация технологического процесса, уровень концентрации производства.
Концентрация операций в процессе обработки изделий на предприятиях машиностроительного профиля неразрывно связана со структурно-компоновочной схемой автоматизированного технологического оборудования, реализующего разработанный технологический процесс. То есть
308
