CC BY
7
АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ И ПРОИЗВОДСТВАМИ
УДК 621.0:519.873 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-4-63-69
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ПУТЕЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОТКЛЮЧЕНИЕМ РАБОЧЕГО ЭЛЕМЕНТА НА ПЕРИОД ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЯ
М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, С.Н. Федоренко, И.М. Заморёнов
Построена модель контроля системы с отключением компонента на период контроля с использованием метода путей. Выполнена дискретизация системы с непрерывным фазовым пространством состояний на основании алгоритма фазового укрупнения. Определяются все пути перехода системы из одного подмножества состояний в другое. Определяются времена пребывания системы на путях перехода. Находятся вероятности реализации каждого из путей. По формуле полной вероятности определяется время перехода системы из одного подмножества состояний в другое. Выполняется сравнение результатов моделирования, полученных с использованием метода путей и классического метода моделирования систем.
Ключевые слова: полумарковская система, стационарное распределение, метод путей, скрытые отказы, средства контроля.
Одним из существенных факторов, влияющих на производительность и надежность технических систем, являются скрытые отказы [1]. Скрытыми отказами называются отказы, не обнаруживаемые визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования, но выявляемые при проведении технического обслуживания или специальными методами диагностики [2].
Их особенностью является то, что такие отказы не обнаруживаются мгновенно в момент возникновения. Так, например, система продолжает функционировать, однако выпускаемая ею продукция по одному или нескольким параметрам не соответствует техническому заданию. Конечно, можно было бы проводить 100 процентный контроль, то есть контролировать каждое изделие, однако это может повлечь за собой значительное снижение производительности. В этом случае возникает задача определения оптимального значения времени между проведением контрольных операций, обеспечивающего максимальную производительность технической системы. Для решения такой задачи необходимо построить математическую модель процесса функционирования исследуемой системы, в которой описывается связь между временем проведения контроля и производительностью системы.
В данной статье рассматривается система $, состоящая из одного компонента, выполняющего определенные функции и аппаратуры контроля его работоспособности. Система функционирует следующим образом. В начальный момент времени компонент приступил к работе, контроль включен. Время безотказной работы (ВБР) компонента -
СВ a с функцией распределения (ФР) F(t) = P{a < t} и плотностью распределения (ПР) f (t). Контроль проводится через случайное время d с ФР R(t) = P{d < t} и ПР r(t). Отказ компонента обнаруживается только в результате проведения контроля (скрытый отказ), на время проведения контроля работа компонента приостанавливается. Длительность проведения контроля СВ g с ФР V(t) = P{g< t} и ПР v(t). Время восстановления (ВВ) компонента после обнаружения отказа СВ JJ с ФР G (t) = P{J < t} и ПР g (t). На период восстановления контроль приостанавливается,
после восстановления все свойства компонента обновляются. Предполагается, что СВ a, J, d, g независимы и имеют конечные математические ожидания.
Необходимо отметить, что стационарные характеристики такой системы, такие, как математическое ожидание времен пребывания системы в подмножестве работоспособных T+ и неработоспособных T_ состояний и др., найдены в [3]. Однако, при моделировании сложных систем, как правило, используется иерархический подход к построению моделей. Для построения иерархических моделей недостаточно информации о стационарных характеристиках, т.к. для стыковки элементов внутри одного уровня иерархии (горизонтальные связи) и информационной согласованности уровней между собой требуется информация о функциях распределения времен пребывания системы в подмножестве работоспособных и неработоспособных состояний [4, 5].
Исходя из вышеизложенного, целью статьи является определение функций распределения случайных величин - времен пребывания системы в подмножестве работоспособных и неработоспособных состояний при использовании метода путей [6].
Данный метод позволяет получать точное решение поставленной задачи определения функций распределения времен пребывания системы в подмножестве состояний для системы с дискретным фазовым пространством состояний. Переход от системы с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний к системе с дискретным фазовым пространством состояний производится по алгоритму фазового укрупнения
[7].
Функционирование системы опишем полумарковским процессом (ПМП) £(t) с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний [8 - 12]. Введем следующее множество M полумарковских состояний системы:
M = М+п М_, М+= {111, 211х}, М_= {212х, 101х, 202, 220}.
Расшифруем содержательный смысл кодов состояний:
111 - компонент начал работать, контроль включен;
212х - начался контроль, компонент работоспособен и отключен, до наступления отказа осталось время x > 0 (без учета времени проведения контроля);
211х - контроль окончился, компонент продолжил работу, до наступления отказа осталось время x > 0;
101 х - наступил отказ, до начала контроля осталось время x > 0 ;
202 - начался контроль, компонент, находящийся в отказе отключен;
220 - окончился контроль, обнаружен отказ, началось восстановление компонента, контроль приостановлен. Граф переходов системы изображен на рис. 1.
Рис. 1. Граф переходов системы
64
Время #211х пребывания системы в состоянии 211х определяется двумя факторами: оставшимся временем х до наступления скрытого отказа и временем 3, определяющем периодичность контроля. Следовательно, в211х = 3 а х, где л - знак минимума. Аналогично определяются времена пребывания в остальных состояниях:
=ал3, #212 х =7, #101х = х, ^202 = 7, #220 = Р.
В [3] найдены переходные вероятности
рЩ** = P[a -de dx}= J f ( x +1 )r (t )dtdx, x > 0;
0 ¥
pioiA = p{d-ae dx}= Jr(x +1)f (t)dtdx, x > 0;
pS2* = Р{х-de dy}= r(x-y)dy, 0<y <x; PZÎ = P{d - x e dy}= r(x + y)dy, y > 0;
p 211x = p 202 = p 220 = pill = 1 P212 x = P101x = P202 = P220 = 1 '
и стационарное распределение ВЦМ такой системы
\р0 = r(111) = Г(220) = р(202),
р(211х) = р(212х) = р0 J К (t) f (x
0
p(101x) = P0 Jvr ( z, x) f ( z)dz,
0
где p0 находится их условия нормировки; h (t) = ^ r*(n)(t) - плотность функции вос-
n=1
становления Hr (t ) процесса восстановления, порожденного СВ d ; r(n )(t ) - n-кратная
z
свертка плотности распределения r(t) ; n (z, x) = r(z + x) + J r(z + x - s)hr (s)ds - плот-
0
ность распределения прямого остаточного времени для того же процесса восстановления.
В [13] проведено укрупнение такой системы и найдены ФР времен пребывания в состояниях, стационарное распределение ВЦМ и вероятности переходов укрупненной системы. Для удобства читателя приведем их.
ФР времен пребывания системы в состояниях:
F111 (t) = F(t)• R(t) ; F212x = V(t ) ; Fm (t) = J f (z )vr ^ t) dz ; F202 (t ) = V(t ) ; F220 (t) = G(t ) ;
0
¥
J F (t + z )hr (z )dz
F211(t )=1 - R(t )—-.
J F (t )hr (t )dt
о
Стационарное распределение ВЦМ:
P0 = р(111) = р(220) = р(202) = р (101);
¥
р (212)= р (211)= р 0 J F (t h (t )dt, 0 где
0
1
Р 0 =-¥-
¥
4 + 2 J F (t )hr (t )dt 0
Вероятности переходов укрупненной системы.
212 dx
¥¥ ¥
г p212ax -
Р212 = УРш-ZHI = J dx J f (x + t)x{t)dt = JF(t)r(t)dt:
P111 0 0 0
Г pl0ldx p ¥ ¥ ¥
pm = Мл-НШ = J dx J r(x + t)f(t)dt = J R(t)f(t)dt,
p111 0 0 0
¥ ¥
p0 Jdx Jhr (t)f (x +1)dt J r(x + y)dy J f (x)R(x)dx 101 0 0 0 0
Р911 _ _
р 0 | Р (г )НГ (г| Р1 (г )НГ (г)ёг
о о
¥
I f (х )л(х)йХ
А212 _ 1 _ р101 _ 1 __0_•
Р211 _ 1 Р211 _ 1 ¥_
| Р1 (г )НГ (г
о
Выделим все возможные пути перехода системы из подмножества М+ в подмножество М_ и обратно.
Для подмножества М+:
Для подмножества М_ :
Р1 _{Я212}; Р2 _{%ЬЯ202'Я220}
Определим вероятности Р. попадания в состояния.
п р111 • р р211 • Р111 _-; Р211 _-;
Р111 +Р 211 Р111 +Р 211
Р212 = Р111 • РП12 + Р211 • Р22П; Р101 = Р111 • Pff + Р211 • Р21?!.
В соответствии с теоремой о полной вероятности, определяются вероятности
Р
Рк реализации каждого из путей. Для подмножества М + :
Р111; Р+_ Р211 •
Для подмножества М_ :
Р1_ _ Р212; Р2__ Р101 •
Находим ФР времен пребывания системы на каждом из путей. Для подмножества М+:
Р+(г)_ Рш (г); р2+(г)_ Рги (г) -
Для подмножества М_ :
Р_(г) _ Р212(г); Р2_(г) _ Р101(г )* Р202(г Р220(г)'
где * - знак операции свертки.
¥
¥
Находим ФР времени пребывания в подмножествах вне зависимости от начального состояния.
Для подмножества М+:
(г)_ р+(г) + Р2+- Р+(г).
Для подмножества М_ :
(г)_ Р1_- Р_(г) + Р2_- Р_(г).
Исходными данными для моделирования служат ФР Р(г), Я(г), V(г) и 1(г), распределенные по обобщенному закону Эрланга второго порядка с параметрами 1 _ 0.33 ч-1, V _ 1.0 ч-1, 1 _ 0.083 ч-1, 1 _ 0.25 чV _ 6.67 ч-1, 11 _ 20.0 ч-1, 1 _ 2.67 чЛ 122 _ 8 0 ч-1 соответственно.
Результаты моделирования приведены на рис. 2.
Рис. 2. Результаты моделирования методом путей: ФР времени пребывания системы в подмножестве работоспособных (кривая 1) и неработоспособных (кривая 2) состояний
Также производилось сравнение математических ожиданий времен пребывания системы в подмножествах, найденных по полученным выше ФР и по теореме о среднестатистическом времени пребывания системы в подмножестве состояний, приведенной в [14]:
по теореме:
T+ = 3.53103448 ч; T_ = 13.11034482ч ;
методом путей:
T+= 3.53103448 ч; T_ = 13.11034482ч ;
Полученные результаты показали расхождение в 99-м знаке после запятой, что говорит о точности примененного метода моделирования и правильности построения модели.
В дальнейшем планируется использовать полученную модель процесса функционирования технической системы с отключением рабочего элемента на период проведения контроля при расчете оптимального времени проведения контроля для достижения максимальной производительности системы.
Исследования выполнены при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 19-01-00704а.
Список литературы
1. ГОСТ 27.002 - 89. Надежность в технике.
2. Yuriy E. Obzherin, Aleksei I. Peschansky, Yelena G. Boyko Semi-Markovian Model of Control of Restorable System with Latent Failures // Applied Mathematics, 2011, Vol.2, No3, P.383 - 388.
3. Obzherin Yu.E., Boyko E.G. Semi-Markov Models. Control of Restorable Systems with Latent Failures. USA, Elsevier, Academic Press, 2015. 214 p.
4. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Моделирование автоматизированных линий. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2006. 240 с.
5. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Стохастические модели автоматизированных производственных систем с временным резервированием. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. 284 с.
6. Моделирование процесса функционирования обслуживающего устройства с обесценивающими отказами методом путей / М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Д.В. Заморёнова, Ю.Л. Явкун // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 4. С. 225-236.
7. Королюк В.С. Стохастические модели систем / отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наукова думка, 1989. 208 с.
8. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход / пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.
9. Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь, 1988. 208 с.
10. Peschansky A.I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. Germany: LAP LAMPERT Academic Publishing, 2013. 138 p.
11. Королюк В.С. Суперпозиция процессов марковского восстановления. Кибернетика. 1981. № 4. С. 121 - 124.
12. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1976. 181 с.
13. Моделирование процесса функционирования технической системы с отключением рабочего элемента на период проведения контроля / М.В. Заморёнов, В.Я. Копп, Ю.Е. Обжерин, С.Н. Федоренко // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. С. 173-182.
14. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982. 236 с.
Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, zamoryonoff@,gmail.com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, профессор, v_kopp@,mail. ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Федоренко Сергей Николаевич, ст. преподаватель, [email protected], Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,
Заморёнов Илья Михайлович, студент, ilia.zamoryonov@,gmail.com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
USING THE METHOD OF PATHS IN MODELING THE PROCESS OF FUNCTIONING OF A TECHNICAL SYSTEM WITH DISCONNECTING THE WORKING ELEMENT
FOR THE PERIOD OF CONTROL
M. V. Zamoryonov, V. Ya. Kopp, S.N. Fedorenko, I.M. Zamoryonov
A model of system control with disconnecting a component for the period of control using the method of paths is build. The discretization of the system with a continuous phase space of states is carried out on the basis of the phase coarsening algorithm. All paths for the transition of the system from one subset of states to another are determined. The residence
68
times of the system on the transition paths are determined. The probabilities of the realization of each of the paths are found. The total probability formula is used to determine the transition time of the system from one subset of states to another. Comparison of the simulation results obtained using the path method and the classical system simulation method is performed.
Key words: semi-Markov system, stationary distribution, method of paths, latent failures, means of control.
Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, za-moryonoffagmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v koppamail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Fedorenko Sergey Nikolaevich, senior lecturer, sergey.fedor@mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,
Zamoryonov Ilia Mikhailovich, student, ilia.zamoryonovagmail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University
УДК 519.87:004.94 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-4-69-76
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ НЕПРЕРЫВНОЙ ПРОФИЛАКТИКИ
В.Я. Копп, П.Н. Флоря, М.В. Заморёнов, И.М. Заморёнов
Рассматривается функционирование однокомпонентной системы при использовании стратегии непрерывной профилактики - такой профилактики, при проведении которой рабочий элемент во время проведения профилактики продолжает функционировать. Проводится укрупнение системы с непрерывным фазовым пространством состояний. При использовании метода траекторий определяются функции распределения времен пребывания системы в подмножествах работоспособных и неработоспособных состояний. Проводится сравнение результатов моделирования с данными полученными с использованием теоремы о среднестатистическом времени пребывания системы в подмножестве состояний.
Ключевые слова: полумарковская система, алгоритм фазового укрупнения, функция распределения, метод траекторий.
При эксплуатации любого оборудования одним из важнейших показателей является его срок службы, который может быть значительно увеличен за счет рациональной стратегии технического обслуживания данного оборудования [1 - 3]. Известны случаи, когда незначительные неисправности второстепенных узлов оборудования, которые могли быть ликвидированы за короткое время, приводили к выводу из строя основного оборудования, влекущему за собой довольно сложные ремонтные работы. Для решения данной проблемы возможны различные подходы к планированию проведения профилактического технического обслуживания. Также решением данной проблемы является возможность проектирования технических систем, в которых заложена возможность проведения непрерывной профилактики, то есть технического обслуживания без остановки основного оборудования.
