CC BY
34
МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELLING
УДК 539.3
С. Н. Гребенюк, С. И. Гоменюк, Е. Л. Мизерная, В. В. Киричевский
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОМПОЗИТОВ И КОНСТРУКЦИЙ НА ИХ ОСНОВЕ
Предложена методика решения некоторых задач механики композитов. Рассмотрены задачи вязкоупругого деформирования и деформирования с трещиной. Решение получено на основе метода конечных элементов. Данная методика реализована в виде пакета прикладных программ «М1РЕЛА+».
Композиционные материалы получили широкое распространение в технике благодаря высокой прочности и жесткости при наименьшей материалоемкости, что достигается изменением структуры армирования. Так как композиты создаются искусственно, то это позволяет варьировать их свойства. При проектировании конструкций необходимым является проведение прочностного расчета, что требует определения напряженно-деформированного состояния конструкции или ее составляющих. Разработка эффективных систем автоматизированного проектирования при создании конструкций из композиционных материалов позволяет значительно облегчить труд инженеров и исследователей, работающих в этой области.
Значительные математические трудности при расчете появляются из-за анизотропии свойств материала, различных особенностей конструкции, ее несовершенств, таких как поры, трещины, разрезы. Так как для очень многих композитов в качестве матрицы используется резина, то на сложность расчета влияют еще вязкоупругие свойства материала. Кроме того, конструкции часто имеют сложную геометрическую форму. Это приводит к тому, что использовать аналитические методы расчета становится невозможным. В последнее время очень широко применяются численные методы расчета с использованием компьютерной техники.
В настоящее время нет универсальной методики определения напряженно-деформированного состояния композиционных конструкций сложной геометрической формы в условиях вязкоупругого деформирования. Использование разработанных на данный момент теорий, описывающих вязкоупругое поведение композиционных материалов, возможно лишь для конструкций простой геометрической формы. Широкое их при-
© Гребенюк С. Н., Гоменюк С. И., Мизерная Е. Л., Киричевский В. В., 2006
менение сдерживается из-за громоздкости и сложности математических моделей и невозможности их решения большинством существующих методов или низкой точностью получаемых результатов.
В работе [1] изложен метод операторных цепных дробей, который позволяет в наиболее полной форме при соблюдении высокой степени точности получать решения многих задач линейной теории вязкоупругос-ти для анизотропных тел как с фиксированными, так и подвижными границами. С помощью данного метода также исследовано вязкоупругое деформирование полубесконечного ортотропного тела при действии жесткого штампа [2].
С помощью метода операторных цепных дробей в работе [3] получено решение задачи о напряженном состоянии вязкоупругой ортотропной полуплоскости, нагруженной силой, нормальной к границе полуплоскости. На основе принципа Вольтерра и решения соответствующей задачи теории упругости определено поле напряжений в полуплоскости.
На основе наследственной теории Больцмана-Воль-терра получено аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии полого ортотроп-ного цилиндра под действием внутреннего давления, защемленного по наружной поверхности [4]. Выведены соотношения для перемещений, деформаций и напряжений в зависимости от времени.
В процессе изготовления либо эксплуатации в композиционных материалах возникают различного рода трещины, которые существенно влияют на распределение напряженно-деформированного состояния у вершины, а также на долговечность работы конструкции в целом [5].
Данная работа является развитием методики, предложенной в статьях [5-7]. Так как композиционный материал, как правило, состоит из матрицы и армирующих волокон, а частота армирования достаточно большая, то учесть влияние каждого волокна на напряженно-деформированное состояние всей конструкции не представляется возможным. Поэтому при моделировании напряженно-деформированного состояния композиционных материалов используют различные гипотезы, упрощающие расчет. Композит представляется в виде однородного анизотропного тела, а его упругие характеристики выражаются через упругие постоянные матрицы и армирующего материала в зависимости от их объемных долей.
Для описания вязкоупругих свойств матрицы и армирующих волокон воспользуемся наследственной теорией Больцмана-Вольтерра [8], согласно которой модуль упругости матрицы и модуль упругости армирующих волокон принимают вид
Ес = Ес - {кс(£ - т)Ес(т)^
(2)
где Кк(£ - т) - разностное ядро релаксации материала матрицы, Ек - модуль упругости материала матрицы, Кс(£ - т) - разностное ядро релаксации материала армирующих волокон, Ес - модуль упругости материала армирующих волокон.
Связь между напряжениями и деформациями для анизотропного материала запишется на основе закона Гука:
I] „г]к/
а = с е^
1] „ где а - компоненты тензора напряжений, с - компоненты тензора упругих постоянных, ек/ - компоненты тензора деформаций.
Тензор упругих постоянных материала определяется через упругие постоянные структурных составляющих композита [9]. Заменим интегральным оператором Вольтерра (1), (2) модуль упругости армирующих волокон и модуль упругости матрицы [8].
Согласно правилу смесей [10] продольный модуль упругости в системе координат армирования (рис. 1) рассчитывается по формуле
Е1 = Е с Ус + Е к( 1 - Ус ),
жй2
где Ус = ~ТТ~гс - коэффициент армирования, харак-4 л0
теризующий относительное объемное содержание волокон, йс - диаметр волокон, Но - толщина армированного слоя, гс - частота армирования.
Поперечные модули упругости ЕЕ2 и Е3 на основе наследственной теории Больцмана-Вольтерра определяются соотношениями
Е 2 = Е з -
Е сЕ
УсЕ к + (1 - Ус) Е с
В системе армирования модули сдвига С12 и 013 принимают вид
0012 - 0013 -
0 сС к
УсС к + (1 - Ус) С с
здесь (0с и Ок - модули сдвига материала волокон и матрицы:
^ Е с ^ Е к
0с - -i-., , .. ч, 0к -
2 (1 + Ус)'
2 (1 + Ук)'
(3)
Ек - Ек -¡кк(£- т)Eк(т)dт,
(1) где ус и Уд - коэффициенты Пуассона материала во-
локон и матрицы, соответственно.
г
Соотношение для модуля сдвига С?23 с учетом (3) примет вид
О к
G23 = GR
kr + + (1 - ) 7г
_Gcl
G R
Vrkr + (1 + WcKR) 7Г Gc
где Kr = 3 - 4vr.
Одним из наиболее универсальных методов расчета конструкций является метод конечных элементов. Данный метод позволяет рассчитывать конструкции сложной геометрической формы при любых условиях на-гружения и закрепления конструкции.
Воспользовавшись конечно-элементным подходом на основе вариационного принципа Лагранжа [6], получим систему разрешающих уравнений с интегральными операторами. Для нахождения решения проведем дискретизацию по времени. На основе модифицированного метода Ньютона-Канторовича предложен алгоритм решения задачи механики композитов в условиях вязкоупругого деформирования.
Данная методика реализована в виде пакета прикладных программ «М1РЕЛА+» [11, 12] для PC IBM на языке Фортран и позволяет при минимальных знаниях языка программирования и механики деформируемого твердого тела производить расчет напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов в условиях вязкоупругого деформирования. В качестве ядер релаксации и ползучести могут использоваться ядра Работнова, Ржаници-на и Колтунова.
Задача 1. Рассмотрим шарнирно закрепленную пластину из композиционного материала. Размеры пластины: 0, 2 х 0, 05 х 0, 02 м (рис. 1). Физические постоянные металлических волокон Ec = 1277, 5 МПа, Vc = 0, 3 и резиновой матрицы Er = 4, 4 МПа, Vr = 0, 4. Диаметр волокон dc = 7 • 10 4 м, частота армирования ic = 2900 волокон/м, интенсивность нагрузки ст = = 10 2 МПа. Время принимается равным t = 1 с.
Так как резина относится к материалам с наследственными свойствами, а для металлов, в сравнении с резиной, наследственные свойства не столь ярко выражены, то расчет будем проводить в предположении отсутствия вязкоупругих свойств металла. В качестве ядра релаксации резины используем ядро Ю. Н. Работ-нова с реологическими характеристиками а = -(0, 6), Р = 1, 06, у = 0, 58. Расчет проводился при различных углах армирования.
На рис. 2 показана зависимость максимальных напряжений от угла армирования. Как видно, наименьшее напряжение в упругом случае наблюдается при угле 30°, а в вязкоупругом - 45°, затем напряжение резко увеличивается и становится максимальным при угле 60° и снова уменьшается.
На рис. 3 показано распределение максимальных перемещений в зависимости от угла армирования. Сначала перемещения плавно возрастают и принимают наибольшее значение при угле 30°, затем резко уменьшаются и принимают минимальное значение при угле 90°.
Можно сделать следующие выводы. Наибольшее отклонение вязкоупругого решения от упругого наблюдается при угле армирования 0° и составляет 31-32 %. Минимальное отклонение наблюдается при угле 90°
Рисунок 1 - Расчетная схема композитной пластины
о. МПа О
-0,4 -0.45 -0,5
30 45 60
90 ф
-0.55
-0.6
-0.65
-0.7
,/1
А //
\ / j /
\ ч. / f /
Рисунок 2 - Распределение максимальных напряжений в зависимости от угла армирования материала: 1 - упругое, 2 - вязкоупругое решение
30 45
60
90
11,, ы
0 -0,01 -0,02 -0,03 -0,04 -0,05 -0,06 -0,07 -0,03
Рисунок 3 - Распределение максимальных перемещений в зависимости от угла армирования материала: 1 - упругое, 2 - вязкоупругое решение
/V //
1 / / t
ft
4
к / 2
t f
t
и составляет для напряжений 2 %, для перемещений 18 %.
Другой важной задачей механики композитов является исследование напряженно-деформированного состояния конструкций вблизи вершины трещины. Для того чтобы более точно определить распределение на-
Рисунок 4 - Расчетная схема композитной балки
Рисунок 5 - Распределение напряжений по длине пластины при ф - 0 ------упругое,---- вязкоупругое решение
Рисунок 6 - Распределение напряжений по длине пластины при ф - 90 -------упругое,---- вязкоупругое решение
пряжений и деформаций вблизи вершины трещины, используют либо сгущение сетки трещины, либо сингулярный конечный элемент. Данную методику можно применить в рамках пакета прикладных программ «М1РЕЛА+».
Задача 2. Рассмотрим ортотропную композиционную балку с трещиной. Расчетная схема приведена на рисунке 4. Размеры балки: длина а - 0, 5 м; ширина Ь - 0, 06 м; толщина Н - 0, 065 м, длина трещины £ = - 0, 25 м.
Упругие постоянные материалов: материала матрицы - модуль упругости Ек - 1277, 5 МПа, коэффициент Пуассона Ук - 0, 4; материала волокон - модуль упругости Ес - 3,4 МПа, коэффициент Пуассона Ус - 0, 3. Диаметр волокон йс - 7 • 10 м, частота армирования 1с - 2900 волокон/м, приложенная нагрузка а - 0, 0154 МПа. Задача решалась в упругой и вязкоупругой постановке. В качестве ядра релаксации резины используем ядро Ю. Н. Работнова с реологическими характеристиками а - -0, 6, р - 1, 06, у - 0, 58.
Напряженно-деформированное состояние для углов армирования и около вершины трещины приведены на рисунках 5 и 6 соответственно.
Таким образом, около вершины трещины растягивающие вязкоупругие напряжения превышают упругие приблизительно на 14 % при угле армирования 0° и приблизительно на 20 % при угле армирования 90°.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Каминский А. А. Исследование деформирования анизотропных вязкоупругих тел // Прикладная механика. -2000. - Т. 36, вып. 11. - С. 39-63.
2. Каминский А. А., Черноиван Ю. А. Вязкоупругое деформирование ортотропного тела (полуплоскости) под действием жесткого штампа // Прикладная механика. -2000. - Т. 36, вып. 7. - С. 81-91.
3. Каминский А. А., Черноиван Ю. А. Напряженное состояние вязкоупругой ортотропной полуплоскости, нагруженной сосредоточенной силой // Прикладная механика. - 2000. - Т. 36, вып. 2. - С. 124-130.
4. Киричевский В. В., Гребенюк С. Н., Мизерная Е. Л. Напряженно-деформированное состояние полого ортотроп-ного цилиндра в условиях вязкоупругого деформирования // Новые материалы и технологии в металлургии и машиностроении. - 2005. - № 2. - С. 76-80.
5. Гребенюк С. Н, Киричевский В. В. Напряженно-деформированное состояние композитных конструкций с трещинами // Вюник Сх1дноукраТнського нацюнального уж-верситету. - 2006. - № 3 (97). - С. 53-58.
6. Гребенюк С. Н, Киричевский В. В., Толок В. А. Определение напряженно-деформированного состояния композиционных материалов в условиях вязкоупругого деформирования // Труды двенадцатого симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов», 15-19.10.2001. -Изд-во НИИШП, Москва, 2001. - Т. 1. - С. 147-151.
7. Киричевський В. В., Гребенюк С. М. Розрахунок бага-тошаровоТ композитноТ пластини в умовах в'язкопруж-ноТ деформацп // Вюник Сх1дноукраТнського нацюнального ушверситету. - 2002. - № 3 (49). - С. 95-100.
8. Киричевский В. В. Метод конечных элементов в механике эластомеров. - К.: Наук. думка, 2002. - 655 с.
9. Киричевский В. В., Дохняк Б. М., Карпушин А. Д. Матрица жесткости пространственного конечного элемента для исследования конструкций из композиционных
материалов // Вюник Сх1дноукраТнського державного ушверситету. - 1999. - № 3 (18). - С. 109-116.
10. Композиционные материалы. Справочник // Под общ. ред. Д. М. Карпиноса. - К.: Наукова думка, 1985. -592 с.
11. Метод конечных элементов в вычислительном комплексе «М1РЕЛА+» / Киричевский В. В., Дохняк Б. М., Козуб Ю. Г., Гоменюк С. И., Киричевский Р. В., Гребе-нюк С. Н. / Под ред. В. В. Киричевского. - К.: Наукова думка, 2005. - 408 с.
12. Гребенюк С. Н., Киричевский В. В., Гоменюк С. И. Вяз-коупругое деформирование конструкций из композиционного материала // Вюник Сх1дноукраТнського нацюналь-ного ушверситету. - 2003. - № 12 (70). - С. 226-231.
Надшшла 2.06.06
Запропоновано методику розв'язання деяких задач ме-хатки композит1в. Розглянуто задач1 в'язкопружного де-формування та деформування з трщиною. Розв'язок отри-мано на основ1 метода сктченних елемент1в. Дану методику реал1зовано у вигляд1 пакету прикладних програм «М1РЕЛА+».
The method of the solution of some problems of a mechanics of composites is offered. The problems of viscoelastic deformation and deformation with a crack are reviewed. The solution is obtained on the basis of a finite element method. The given method realised as an application package «М1РЕЛА+».
УДК 539.3
P. В. Киричевский, E. С. Решевская, В. M. Тархова, Е. В. Прокопенко,
В. В. Киричевский
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ КОМПЛЕКСЕ
«М1РЕЛА+»
Описываются классы задач механики деформируемого твердого тела, решение которых можно получить при помощи вычислительного комплекса «М1РЕЛА+», основанного на методе конечных элементов (МКЭ). Решены задачи контакта эластомерных виброизоляторов, задачи определения напряженно-деформированного состояния прямоугольной плиты с трещиной. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжений вдоль фронта трещины.
ВВЕДЕНИЕ
Для решения задач механики деформируемого твердого тела одним из широко используемых методов является метод конечных элементов. Применение этого метода позволяет производить расчет конструкций на прочность и жесткость со сложной геометрией, различными схемами нагружения, а также учитывать специфические свойства материалов деталей.
В связи с развитием численных методов решения различных классов задач теории упругости появилась потребность в универсальных системных комплексах, реализующих данные методы на высоком и эффективном уровне. Такие системы должны обладать гибкостью, позволять пользователю вносить изменения на уровне метода расчета. Среди первых программных комплексов, разработанных для исследования металлических конструкций можно выделить: ASKA [1], TITUS [2], GENESYS [3], SESAM-69 [4], NASTRAN [5], TURBAN [6], ПРОЧНОСТЬ [7], МИРАЖ [8] и др. Вычислительных систем, предназначенных для опреде-
© Киричевский Р. В., Решевская Е. С., Тархова В. М., Прокопенко Е.
ления напряжения и деформаций эластомерных конструкций, сравнительно немного: SARLAS [9], ЕЕЕ-[10], АБША [11], UPRUG [12], М1РЕЛА+ [13].
В программном комплексе «М1РЕЛА+» реализован расчет эластомерных конструкций на основе метода конечных элементов, развитого применительно к особенностям эластомеров. Процесс расчета состоит из трех взаимосвязанных этапов. На первом этапе реализуется работа препроцессора: задается конечно-элементная дискретизация расчетной схемы, топология и граничные условия исследуемого объекта, физические характеристики материала. На втором этапе работа процессора включает в себя: расчет матрицы жесткости конечных элементов, построение разрешающей системы уравнений и ее решение. На третьем этапе реализуется работа постпроцессора: находится вектор узловых перемещений, на основе которого определяются поля деформаций и напряжений и их значения заносятся в файл.
Вычислительный комплекс «М1РЕЛА+» состоит из нескольких подсистем, решающих задачи теории упругости различных классов. В нем реализованы задачи линейной и нелинейной теории упругости, вязкоупру-гости и теплопроводности, задачи нелинейной механики разрушения, определения температуры диссипатив-ного разогрева, линейной механики разрушения, расчета конструкций из композитов, динамики, долговечности и задач контактной механики. В., Киричевский В. В., 2006
