CC BY
21
материалов // Вюник Сх1дноукраТнського державного ушверситету. - 1999. - № 3 (18). - С. 109-116.
10. Композиционные материалы. Справочник // Под общ. ред. Д. М. Карпиноса. - К.: Наукова думка, 1985. -592 с.
11. Метод конечных элементов в вычислительном комплексе «М1РЕЛА+» / Киричевский В. В., Дохняк Б. М., Козуб Ю. Г., Гоменюк С. И., Киричевский Р. В., Гребе-нюк С. Н. / Под ред. В. В. Киричевского. - К.: Наукова думка, 2005. - 408 с.
12. Гребенюк С. Н., Киричевский В. В., Гоменюк С. И. Вяз-коупругое деформирование конструкций из композиционного материала // Вюник Сх1дноукраТнського нацюналь-ного ушверситету. - 2003. - № 12 (70). - С. 226-231.
Надшшла 2.06.06
Запропоновано методику розв'язання деяких задач ме-хатки композит1в. Розглянуто задач1 в'язкопружного де-формування та деформування з трщиною. Розв'язок отри-мано на основ1 метода сктченних елемент1в. Дану методику реал1зовано у вигляд1 пакету прикладних програм «М1РЕЛА+».
The method of the solution of some problems of a mechanics of composites is offered. The problems of viscoelastic deformation and deformation with a crack are reviewed. The solution is obtained on the basis of a finite element method. The given method realised as an application package «М1РЕЛА+».
УДК 539.3
P. В. Киричевский, E. С. Решевская, В. M. Тархова, Е. В. Прокопенко,
В. В. Киричевский
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ КОМПЛЕКСЕ
«М1РЕЛА+»
Описываются классы задач механики деформируемого твердого тела, решение которых можно получить при помощи вычислительного комплекса «М1РЕЛА+», основанного на методе конечных элементов (МКЭ). Решены задачи контакта эластомерных виброизоляторов, задачи определения напряженно-деформированного состояния прямоугольной плиты с трещиной. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжений вдоль фронта трещины.
ВВЕДЕНИЕ
Для решения задач механики деформируемого твердого тела одним из широко используемых методов является метод конечных элементов. Применение этого метода позволяет производить расчет конструкций на прочность и жесткость со сложной геометрией, различными схемами нагружения, а также учитывать специфические свойства материалов деталей.
В связи с развитием численных методов решения различных классов задач теории упругости появилась потребность в универсальных системных комплексах, реализующих данные методы на высоком и эффективном уровне. Такие системы должны обладать гибкостью, позволять пользователю вносить изменения на уровне метода расчета. Среди первых программных комплексов, разработанных для исследования металлических конструкций можно выделить: ASKA [1], TITUS [2], GENESYS [3], SESAM-69 [4], NASTRAN [5], TURBAN [6], ПРОЧНОСТЬ [7], МИРАЖ [8] и др. Вычислительных систем, предназначенных для опреде-
© Киричевский Р. В., Решевская Е. С., Тархова В. М., Прокопенко Е.
ления напряжения и деформаций эластомерных конструкций, сравнительно немного: SARLAS [9], EFE-SYS [10], ADINA [11], UPRUG [12], М1РЕЛА+ [13].
В программном комплексе «М1РЕЛА+» реализован расчет эластомерных конструкций на основе метода конечных элементов, развитого применительно к особенностям эластомеров. Процесс расчета состоит из трех взаимосвязанных этапов. На первом этапе реализуется работа препроцессора: задается конечно-элементная дискретизация расчетной схемы, топология и граничные условия исследуемого объекта, физические характеристики материала. На втором этапе работа процессора включает в себя: расчет матрицы жесткости конечных элементов, построение разрешающей системы уравнений и ее решение. На третьем этапе реализуется работа постпроцессора: находится вектор узловых перемещений, на основе которого определяются поля деформаций и напряжений и их значения заносятся в файл.
Вычислительный комплекс «М1РЕЛА+» состоит из нескольких подсистем, решающих задачи теории упругости различных классов. В нем реализованы задачи линейной и нелинейной теории упругости, вязкоупру-гости и теплопроводности, задачи нелинейной механики разрушения, определения температуры диссипатив-ного разогрева, линейной механики разрушения, расчета конструкций из композитов, динамики, долговечности и задач контактной механики. В., Киричевский В. В., 2006
Р. В. Киричевский, Е. С. Решевская, В. М. Тархова, Е. В, Прокопенко, В, В, Киричевский: ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ
РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ В МЕХАНИКЕ ЭЛАСТОМЕРОВ В СИСТЕМЕ «М1РЕЛА+»
Развитие машиностроения, автомобильного транспорта и других отраслей промышленности приводит к необходимости создания принципиально новых конструкций, в которых существенно важными являются требования минимизации энерго- и металлоемкости машин, а также повышения надежности и долговечности техники. Вместе с тем, режимы работ современных конструкций приводят к увеличению усталостных эффектов, износу. Для решения возникающих проблем можно внедрять новые конструкции машин и технологии, применять новые материалы, однако, неизменной остается на сегодняшний день концепция введения в структурную схему машин полимерных и эластомерных звеньев, как-то виброизоляторы, износостойкие покрытия, упругие прокладки, демпферы и т. д. [14].
По высокоэластичным и упругим свойствам механические характеристики резины подразделяются на равновесные, действующие при установившемся стационарном процессе, и кинетические, описывающие релаксационные процессы. Практически считается, что резина - несжимаемый материал и ее коэффициент Пуассона V = 0,5. Гипотеза о несжимаемости материала не может быть применена для определенных классов задач, в случае, если они сформулированы для эласто-мерных материалов - это исследование больших деформаций эластомеров, расчет тонкослойных резино-металлических элементов, задачи учета контакта и др.
Для учета особенностей эластомеров в системе «М1РЕЛА+» используется моментная схема конечного элемента. Используемый вариант МКЭ приводит к матрицам жесткости КЭ, которые учитывают жесткие смещения, эффект ложного сдвига, слабую сжимаемость эластомеров. Это достигается путем сопоставления раз-
ложений полей перемещений, деформаций и функции изменения объема (функции объемной деформации). Так, к примеру, коэффициенты разложения линейных деформаций в выражении для разложения функции изменения объема вносят существенные погрешности в решения. Отбрасывая или минимизируя данные члены разложения, тем самым обходим эффекты, связанные с вырождением задачи и замедлением сходимости МКЭ. Порядок разложения деформаций и функций изменения объема находится в строгом соответствии с порядком аппроксимации функции перемещений и выбирается с таким расчетом, чтобы исключить все компоненты деформаций, реагирующие на жесткие смещения и эффект ложного сдвига, и все компоненты функции изменения объема, реагирующие на слабую сжимаемость эластомера [15].
В частности, используя средства приведенного вычислительного комплекса можно найти решение контактных задач для эластомерных амортизаторов с различной формой поверхности нагружения. Расчетные схемы и условия нагружения приведены для исследуемых виброизоляторов ВН-100 (см. рис. 1, а) и ВРВ-100 (см. рис. 1, б).
Модель контактного взаимодействия описывалась при помощи условия непроникновения, полученная величина зоны контакта уточняется итерационно [16].
Алгоритм решения контактной задачи заключается в следующем. На первом шаге нагружения вычисляется матрица жесткости [/С]. Текущее значение параметров нагрузки определяется следующим образом:
Рп = Рп - 1 + Р . (1)
Из системы линейных алгебраических уравнений
[//]{Пп -1} = {Рп -1} (2)
находится вектор перемещений. Начальное приближение искомого решения {Аип( 1)} находится с помощью экстраполяционной формулы
{Аип( 1)} = { ип - 1 }
АР„
АР
(3)
п-1
Затем задаются краевые условия непроникания контактирующих тел. К узловым точкам, которые пересекают границу контакта после нагружения амортизатора, прикладывается вектор дополнительной нагрузки, который определяется новым вектором перемещений
{Аип(2)} = {Аип(1)} - {Аvn(1)Ь
п (1)/
п (1)/
(4)
где {Аип (1)} - вектор перемещения точек без учета граничных условий, {А ип( 2)} - новый вектор перемещений, {Аvn(l)} - вектор перемещений от дополнительной загрузки, который определяется по формуле
{А^( 1)} = {Аип( 1)}
(С - Хп2)((X
хпз - 2
+ 1
п( 1)*
22 (хпз - Х3) + (хп2 - Х2)
(5)
где прямая Х2 = с - граница раздела двух тел, Х2, Х3 -координаты узловых точек конструкции, хп2, хп3 -координаты узловых точек после нагружения.
Приближенное значение перемещений {Аип( 2)} подставляется в линейные уравнения, и определяется вектор узловых невязок {Лп( 2)}, численной характеристикой которого является сумма квадратов компонент узловых невязок {Л*}, позволяющая судить о сходимости получаемых решений.
Результаты исследований контактного взаимодействия эластомерных виброизоляторов с плитами различной массы представлены в таблице 1 и рис. 2 и 3.
Таблица 1
350 п 300 250 300 150 100 50 0
Рисунок 2
10 20 30
величина зон ы конт акта ,
50
Рисунок 3
Рисунок 4
ВН-100 ВРВ-100
Масса плиты, кг Величина зоны контакта, мм Масса плиты, кг Величина зоны контакта, мм
150 6,487 100 29,7
300 10,614 200 38,4
450 14,969 300 39,7
В системе «М1РЕЛА+» имеется возможность графического представления, как исходных данных, так и результатов расчета, в виде трехмерных изображений. Распределения перемещений (см. рис. 4) и напряжений (см. рис. 5) при контактной нагрузке на конечно элементной модели амортизаторов изображены ниже.
>» Е0М ■ i И ИИ-Ц
■7 '+г г о: -а вса-Ь
■I
Рисунок 5
Р. В. Киричевский, Е. С. Решевская, В. М. Тархова, Е. В, Прокопенко, В, В, Киричевский: ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ
Как видно из рисунков 2 и 3, получены линейные зависимости величины зоны контакта от действующих нагрузок, что подтверждает предположение о том, что рассматриваемые задачи являются задачами теории упругости. Отличия величин зон контакта может быть объяснено различием форм виброизоляторов и соответствующими им режимами нагружения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЕ С ТРЕЩИНОЙ В РАМКАХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО КОМПЛЕКСА «М1РЕЛА+»
Задание трещины при решении задач механики разрушения методом конечных элементов можно осуществлять несколькими способами. Трещина может моделироваться при помощи специальных элементов, у которых закладывается часть объема с нулевыми упругими характеристиками по сравнению с материалом конструкции.
При решении симметричных задач, когда трещина лежит в плоскости симметрии, удобно задавать трещину с помощью краевых условий. При этом для узлов, лежащих перед фронтом трещины, перемещения в направлении, перпендикулярном плоскости симметрии, запрещаются. А узлы, лежащие на берегах трещины, могут перемещаться в этом направлении.
При решении несимметричных задач трещина задается в виде вырезанной полости нулевого объема, при этом узлам, которые лежат на берегах трещины, присваиваются различные порядковые номера, а узлам, которые лежат за фронтом трещины, одинаковые порядковые номера - такая область называется вырожденной. При моделировании продвижения трещины эти параметры изменяются [17].
Одним из основных методов определения коэффициентов интенсивности напряжений является прямой метод - непосредственно с помощью формул:
= У27.
Г • 0
кшяп2
к,
(5 - 8v)соз0со§3^
О \ • ® • 30 (7 - 8v)Бт^т —^
к
(9 - 8V) 0 э1п320 1 (- 3 + 8 V) соз 2соз3/0
'11
22
'33
23
>13
42 пт
к
2 V соз -
0и . 0 . 30
со8 2 (1- Эт^Ш —
0( + . 0 . 3и соБ ^ (1 + 81П ^ 81П —
.0 0 30 зт^соз^соз —
+к
0
-2V 81П -
. 00- 30 - 81П 2 (2 + соБ 2 соз —
.00 30 2 соз 2 соз —
0(. . 0 . 30
со8 2 (1 - Эт^Ш "2-
к
III
01
со8 2
0
- 81П 0]
(7)
где т, 0 - полярные координаты в плоскости, перпендикулярной фронту трещины.
Можно использовать методику определения коэффициентов интенсивности напряжений, предложенную в [18], согласно которой коэффициенты интенсивности напряжений вычисляются в определенных точках и затем усредняются. При этом большое значение имеет форма и размеры области, в которой берутся эти точки, а также степень сгущения сетки разбиения.
В рамках вычислительного комплекса «М1РЕЛА+» [13] определено напряженно-деформированное состояние плиты с угловой трещиной (см. рис. 6, а) и плиты с поверхностной трещиной (см. рис. 6, б).
Приведем решение задачи о растяжении плиты с угловой трещиной (см. рис. 7), размеры которой соответственно равны I = 8 м, т = 8 м, Н = 16 м. Размеры трещины а = 0,055 м, Ь = 0,04 м; на концах плиты приложена растягивающая нагрузка 0,1 МПа; модуль Юнга Е = 2,1 МПа; коэффициент Пуассона V = 0,3.
Распределение напряжений СТ33 вдоль оси х3 приведено на рис. 8.
На рис. 9 приведено распределение коэффициентов интенсивности напряжений К вдоль фронта трещины.
Аналитическая формула вычисления коэффициентов интенсивности напряжений имеет вид [19]
„ _ ст^/ЛЬ _ гЬ Ь а К - -///ттг
Е (к у
ГЬ Ь а "I
{а' 1' ,
1
Е (к)- С1 + 464( ь165]2,
[М1 + м2 (Ь)2 + М,( Ь) д/ф
х
х
+
а)
Рисунок 6
М1 = 1,13 - 0, 09- при - < 1, 1 а а
М2 = -0, 54 + 0, 89(0, 2 + Ь)-1 при а < 1, М3 = 0, 5 + (0, 65 + -)^ + 14^1 - 24 при - < 1, (8)
д = 1 + (0,1 + 0, 35(2))( 1 - э1пф)2, 1
, Г(Ь)2 2 + . 2 14 Ь <,
' ф = (а)С08 ф+81П ф при _ < 1, = [8ес (
па) Ы2
1йес (Ш41\ , а = /, w = ш).
Угол ф, входящий в (8), определяется согласно рис. 10.
Далее в рамках вычислительного комплекса «М1-РЕЛА+» [13] определено напряженно-деформированное состояние плиты с поверхностной трещиной (см. рис. 11). Приведем решение задачи о растяжении плиты, размеры которой соответственно равны I = 8 м, ш = 8 м, Н = 16 м. Размеры трещины а = 0,055 м, Ь = = 0,04 м; на концах плиты приложена растягивающая нагрузка 0,1 МПа; модуль Юнга Е = 2,1 МПа; коэффициент Пуассона V = 0,3.
На рис. 12 приведено распределение коэффициентов интенсивности напряжений // вдоль фронта трещины.
Аналитическая формула вычисления коэффициентов интенсивности напряжений имеет вид [19]
Рисунок 7
„ = оТПЬ ГЬ Ь = Е ( к)**
ы е^у
1
Е (к)=^+ 1,464( а
Ес = [М1 + М2(Ь)2 + М3(Ь) д^
М1 = 1, 08 - 0, 03Ь при Ь < 1, 1 а а
М2 = -0, 44 + 1, 06(0, 3 + -)-1 при а < 1,
Ь Г Ы15 Ь
М3 = -0, 5 + 0, 25Ь + 14, 8 1 - Ь при Ь < 1, 3 а ал а
д1 = 1 + (0, 08 + 0, 4(Ь)2)( 1 - э1пф)3,
д2 = 1 + (0, 08 + 0,15(Ь))*)( 1 - со8ф)3, 1
'ф = [(а) ^ + 81д2ф при Ь < 1, (£ = I, W = ш).
(9)
Угол ф, входящий в (9), определяется согласно рис. 10.
Р. В. Киричевский, Е. С. Решевская, В. М. Тархова, Е. В. Прокопенко, В. В. Киричевский: ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ
Рисунок 8
Рисунок 9
Рисунок 10
Рисунок 12
ВЫВОДЫ
По расчетным моделям контактных задач в процессе вычисления в программном комплексе «М1РЕЛА+» получены линейные зависимости величины зоны контакта от действующих нагрузок, что подтверждает предположение о том, что рассматриваемые задачи являются задачами теории упругости. Отличия величин зон контакта может быть объяснено различием форм виброизоляторов и, соответственно, площадью поверх-
ности, вступающей в контакт, а также режимами на-гружения.
Результаты расчета задач механики разрушения показывают, что данная методика адекватно описывает распределение напряжений и деформаций у вершины трещины и позволяет определить коэффициенты итен-сивности напряжений в задаче о центральной эллиптической трещине в прямоугольной плите с достаточной точностью.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Скрим Э., Рой Дж. Р. Автоматическая система кинематического анализа // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ / Пер. с англ. Под ред. А. П. Филина: В 2-х т. - Л.: Судостроение, 1974. - Т. 2. - С. 36-37.
2. Launay P. et al. The three-dimensional thermoelastic computer code «TITUS» // Prepr. 1 st. Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. Berlin, 1971. - Amsterdam: Amsterdam e. a., 1971. - 5. - P. M5-4/1-M5-4/21.
3. Ruoff G, Stein E. The development of general purpose programs and systems // Structural Mechanics Computer Programs. Symposium held at the University of Maryland, June, 1974. - Univ. Press of Virgnia Charlottes Vile, 1974. - P. 703-719.
4. Araldsen P. O. The application of the superelement method in analysis and design of ship structure and machinery components // National Symp. On Computerized structural Analysis and Design, Norway, March. - 1972. -P. 2-93.
5. Butler T. G., Michel D. NASTRAN. A summary of the functions and capabilities of the NASA structural analysis computer system. - Washington, 1971. - 22 p.
6. Mlejer H. P., Mai M. M. TURBAN. Version 1.0. Ein Spezi-eless Programmsystem zur linearen sistischen Analyse von rotierender Schalentragwerken. Anleitung fur den Benutzer // ISD. Ber. - 1970. - № 3. - S. 174-179.
7. Комплекс прикладных программ расчета оболочечных конструкций. Листинг. ПР0ЧН0СТЬ-75. Система математического обеспечения расчетов пространственных конструкций / Гончаренко И. Е., Завьялов Г. Г., Кири-чевский В. В. и др. - К.: Республиканский фонд алгоритмов и програм АН УССР, 1975. - Т. 5. - 357 с.
8. Городецкий А. С. К расчету комбинированных систем методом конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 1972. - Вып. 16. -С. 123-125.
9. Gupta B. P., Finney R. H. Application of finite element method to the analysis of high-capacity laminated elasto-merie parts // Exp. Mech. - 1980. - 2, № 3. - P. 18-31.
10. Dunger R. EFESYS - an engineering finite element system // Eng. Soft-ware Proc. 1-st. Int. Conf., Southampton. - 1979. - P. 94-119.
11. Bathe K. I. Nonlinear finite element analysis and ADINA // 3-Comput. And Struct. - 1983. - 17, № 5-6. - P. 625-631.
12. Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в нелинейной механике эластомеров. Механика эластомеров. Науч. труды Кубан. гос. ун-та. - 1980. - Т. 3. - С. 13-23.
13. Метод конечных элементов в вычислительном комплексе «М!РЕЛА+» / Киричевский В. В., Дохняк Б. М., Козуб Ю. Г., Гоменюк С. И., Киричевский Р. В., Гребенюк С. Н. - К.: Наук. думка, 2005. - 403 с.
14. Дырда В. И., Чижик Е. Ф. Резиновые детали в машиностроении. - Днепропетровск: Полиграфист, 2000. -581 с.
15. Киричевский В. В. Метод конечных элементов в механике эластомеров. - К.: Наук. думка, 2002. - 655 с.
16. Киричевский В. В., Гребенюк С. Н, Тархова В. М. Решение контактной задачи механики эластомеров с учетом условия проскальзывания // Вюник днтропетров-ського ушверситету. - 2005. - Вып. 9. - С. 112-118.
17. Метод конечных элементов: теория, алгоритмы, реализация / В. А. Толок, В. В. Киричевский, С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, Д. П. Бувайло. - К.: Наук. думка, 2003. -316 с.
18. Баженов В. А., ГулярА.И., Сахаров А. С., Топор А. Г. Полуаналитический метод конечных элементов в механике деформированных тел. - К.: НД1БМ, 1993. - 376 с.
19. Справочник по коэффициетам интенсивности напряжений: В 2-х т. / Пер. с анг.; под ред. Ю. Мураками. -Т.1 - М.: Мир, 1990. - 448 с.
Надшшла 24.04.06 Шсля доробки 28.07.06
Наведет класи задач мехатки деформ1вного твердого т1ла розв'язок яких можна одержати за допомогою об-числювального комплексу «М1РЕЛА+», заснованого на ме-тод1 сктчених елемент1в (МСЕ). Наведено задач1 контакту еластом1рних в1бро1золятор1в, задач1 визначення пружно-деформ1вного стану прямокутноЧ плити тр1-щиною. Обчислен коефщ1енти 1нтенсивност1 напруг уз-довж фронту трщини.
Classes of problems of the mechanics of the deformed solid are described. Decision of these problems are possible to resolve with the help of the computer complex «М1РЕЛА+». It is based on a method of final elements (FEM). Problems of contact of elastomeric vibration isolators, calculation of pressure-deformed state of a rectangular plate with a crack are given. Factors of stress intensity along front edge of a crack are calculated.
УДК 621.3
М. А. Новотарський
МЕРЕЖ1 ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ
В робот1 дано короткий огляд сучасного стану мереж, що ор1ентован1 на формальний опис складних систем з метою побудови тформативних 1м1тацшних моделей. Об-Грунтовано необх1дтсть подальшого розвитку мережних засоб1в для тдвищення адекватност1 моделей складних систем. Розглянуто статичн характеристики мереж для формального опису систем з асинхронною взаемод1ею про-цес1в. Опис динам1ки даного типу мереж виконано з зас-тосуванням апарату алгебри процес1в та дано означення допустимих вид1в взаемодИ. Наведено приклади опису про-цес1в i ¿х взаемодИ.
© Новотарський М. А., 2006
ВСТУП
Широке застосування мереж як засоб!в абстрактного опису моделей бере св!й початок в!д мереж Петр! [1]. 1х устх базуеться на тому факт, що представлення об'екта моделювання множиною сташв 1 алгоритм1в об-робки ушф1куе процес переходу в1д конкретно! модел1 до абстрактно'!, тобто тако!, яка дозволяе застосувати формальш процедури анал1зу. В результат! накопичен-ня досв!ду застосування мереж Петр! поряд з безумов-ними перевагами поступово проявилися також ! !'х не-дол!ки, основний з яких полягае у використанн! ф!к-
