CC BY
155
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 2 (35). С. 64—81
Механика деформируемого твёрдого тела
УДК 539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ РЕЗИНОМЕТАЛЛИЧЕСКОЙ СЕЙСМООПОРЫ
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юречко
Запорожский национальный университет,
Украина, 69600, Запорожье, ул. Жуковского, 66.
Разработан конечно-элементный подход для численного анализа параметров напряжённо-деформированного состояния резинометаллической сейсмоопоры в условиях вязкоупругого деформирования при наличии слоев из пористой резины. Упругие характеристики пористой резины определялись методом самосогласования для пор сферической формы. Для моделирования вязкоупругого поведения использовались интегральные соотношения на основе наследственной теории Больцмана-Вольтерра. В качестве ядра релаксации используется экспоненциальное ядро, содержащее мгновенные и длительные упругие характеристики материала. На основе вариационного принципа строится конечно-элементная модель деформирования конструкции с пространственной дискретизацией и дискретизацией по времени. Полученная система 'разрешающих уравнений содержит вектор дополнительной нагрузки, моделирующий реологические составляющие процесса деформирования; для ее решения использовался модифицированный метод Ньютона-Канторовича. Для повышения точности получаемых результатов применялась уточненная моментная схема конечного элемента с кубической аппроксимацией перемещений. Исследована численная сходимость конечно-элементных схем на примере решения задачи Ляме для полого вязкоупругого цилиндра из пористой резины. Проведен расчёт резинометаллической сейсмоопоры в предположении о релаксации только модуля сдвига пористой резины. Получены основные параметры напряжённо-деформированного состояния в зависимости от времени и марок применяемых резин.
Ключевые слова: резинометаллическая сейсмоопора, моментная схема конечного элемента, кубическая аппроксимация, пористость, вязкоупругость.
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1284 © 2014 Самарский государственный технический университет.
Образец цитирования: С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юречко, “Исследование напряженно-деформированного состояния резинометаллической сейсмоопоры” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2(35). С. 64-81. doi: 10.14498/vsgtu1284.
Сведения об авторах: Сергей Иванович Гоменюк (д.т.н., проф.), профессор, каф. математического моделирования. Сергей Николаевич Гребенюк (к.т.н., доц.), доцент, каф. математического анализа. Анна Анатольевна Бова, аспирант, каф. математического анализа. Василий Зиновьевич Юречко, аспирант, каф. математического анализа.
E-mail addresses: serega@znu.edu.ua (S.I. Gomenjuk), bova-anna@mail.ru (A.A. Bova, Corresponding author), gsm1212@ukr.net (S.N. Grebenjuk), iuriechko@i.ua (V.Z. Jurechko)
64
Исследование напряженно-деформированного состояния ...
Анализ конструктивных особенностей сейсмоизоляции зданий, сооружений, инфраструктурных объектов показывает, что наиболее перспективным считается применение вибросейсмоизоляторов на основе резинометаллических конструкций. Это позволяет защитить машины и сооружения при сейсмических колебаниях не только от воздействия в горизонтальной и вертикальной плоскостях, но и от кручения. Кроме того, применение резинометаллических слоистых виброизоляторов позволяет защитить здания и находящихся в них людей от вибрационных воздействий метрополитена, автомобильного и железнодорожного транспорта [1].
Вибросейсмоизоляции зданий, сооружений посвящен ряд работ. В работе А. А. Чылбак [2] предложена методика оценки сейсмопрочности сооружений, расположенных на системе сейсмоизоляции. Усовершенствованию инженерного метода расчёта многослойных силовых виброизоляторов для массового строительства виброизолированных зданий посвящена работа В. В. Моторина [3]. В работе О. А. Ковальчука [4] рассмотрена эффективность работы резинометаллических виброизоляторов в каркасных зданиях. Подходы к решению задач о напряжённо-деформированном состоянии резинометаллических виброизоляторов рассмотрены в работе Ю. Г. Козуба [5]. Задача определения осадки резиновых элементов, работающих на сжатие, решалась в работах
Э. Э. Лавендела [6], С. И. Дымникова [7], В. Л. Бидермана, Н. А. Суховой [8], В. И. Дырды [9]. В работе В. М. Малькова [10] даётся изложение теории и методов расчёта эластомерного слоя и многослойных конструкций.
Растущая сложность резинометаллических виброизоляторов предусматривает учёт специфических свойств материала: слабой сжимаемости, реологических свойств, а также наличия пористости, что обусловлено широким внедрением пористых резин в различные отрасли науки и техники. Исходя из особенностей деформирования актуальным является решение задачи о нахождении напряжённо-деформированного состояния вибросейсмоизолятора с позиций теории вязкоупругости.
Изучению вязкоупругих свойств материалов посвящены работы В. В. Ки-ричевского [11], В. Л. Нарусберга [12]. В работах [13,14] предлагаются различные подходы к описанию поведения упругих пористых сред. Вязкоупругое поведение пористых сред исследовалось в работах [15,16,17].
Постановка задачи. Решается статическая задача вязкоупругости в трёхмерной постановке для двухслойной цилиндрической резинометаллической сейсмоопоры. Такой вибросейсмоопорой, предназначенной для сейсмозащиты многоэтажных жилых домов, является двухслойная сейсмоопора, разработанная Институтом геотехнической механики им. Н. С. Полякова НАН Украины и Государственным научно-исследовательским институтом строительных конструкций (рис. 1).
Первоначально резинометаллическая сейсмоопора выполнялась из сплошной резины. Улучшить жесткостные характеристики данной сейсмоопоры можно путём введения промежуточного слоя из композиционного материала. Однако такое конструктивное решение будет иметь недостаток — повышенную жёсткость на сдвиг, что не всегда удовлетворяет критериям виброизоляции зданий и сооружений. Другим возможным развитием сейсмоопо-
65
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юре чко
ры является введение слоев из пористой резины, что позволяет варьировать жесткостными характеристиками и снизить материалоёмкость конструкции.
На рис. 2 приведена расчётная схема комбинированного резинового слоя: 1, 3 —пористая резина, 2 —сплошная резина; R — радиус сейсмоопоры, h — высота резинового слоя, hi = h2 = 0.25h, P — распределённая поверхностная нагрузка, Q — сдвиговая нагрузка. резинометаллическая сейсмоопора снизу опирается на абсолютно жёсткую основу. Боковая поверхность свободна от защемлений и нагрузок. Граничные условия задачи записываются в следующем виде:
u\xi=0 0, ^n\xi=h P, ^12|жх =h Q,
где и — вектор перемещений, оц и 012 ния соответственно.
нормальное и касательное напряже-
Рис. 1. Двухслойная сейсмоопора [Figure 1. The bilayer seismic bearing]
Рис. 2. Схема резинового слоя [Figure 2. The scheme for the rubber layer. Designations: 1, 3 — a porous rubber; 2 — a solid rubber; R — a radius of the seismic bearing; h — a rubber layer height; hi = h2 = 0.25h; P — distributed surface load; Q — shear load]
Построение конечно-элементной модели вязкоупругого деформирования резинометаллической сейсмоопоры на основе уточненной моментной схемы конечного элемента. При решении задач механики деформируемого твёрдого тела для слабосжимаемых материалов возникают проблемы математического характера, когда коэффициент Пуассона v ^ 0.5. Тогда в процессе формирования матрицы жёсткости возникает необходимость в вычислении коэффициента E/( 1 — 2v), где E — модуль упругости материала. При v ^ 0.5 данная величина стремится к бесконечности, и расчёт конструкций приводит к неопределенностям.
Одним из путей разрешения указанных трудностей является применение моментной схемы конечного элемента (МСКЭ) [18,19], которая, кроме того, позволяет получать матрицу жёсткости конечного элемента, учитывающую эффект «ложного» сдвига и абсолютные смещения конечного элемента как жёсткого целого.
Рассмотрим шестигранный конечный элемент. Введём две системы координат— базисную Oz1 z2 z3 и местную криволинейную Oiж1^2^3, связанную с конечных элементом (рис. 3).
66
Исследование напряженно-деформированного состояния ...
Рис. 3. Криволинейный конечный элемент [Figure 3. The curvilinear finite element]
Для построения конечно-элементной модели воспользуемся вариационным принципом. Рассмотрим вариацию полной потенциальной энергии системы:
ёП = ёШ - SA.
Здесь ёШ — вариация внутренней энергии вязкоупругого деформирования:
ёШ
aij (^)ёе^ dV;
V
(1)
ёА — вариация работы распределенных объемных Pг и поверхностных Fг сил:
ёА = JJJ PгёuгdV + JJ FгёuгdS.
Тензор вязкоупругих напряжений на основе наследственной теории Больц-мана—Вольтерра запишется в виде
(t) = Ог0зк1ек1 (t) - f\c0ikl - Cj)e-(t-T>еы(t)dr, (2)
Jo
s-tijkl s-tijkl
где Co и C^> — компоненты тензора мгновенных и длительных упругих
постоянных, которые определяются соотношением
Cijkl = Bgijgkl + C{gikgjl + gilgjk - 2gijgk^j, (3)
где gij — компоненты метрического тензора, B и G — мгновенные или длительные модули объёмного сжатия и сдвига соответственно.
Выражение (2) с учётом симметричности тензора напряжений и с учётом выражения (3) можно представить в виде
dij (t) = Bogij6(t) + 2Go (gikgjleH(t) - 1 gij6(t)) -
-J\(Bo - Brx)gij0(t) +
67
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юречко
+ 2(Go - G^)[gikgjl ekl(r) - 1 gij9(r)))e—(t—T>dr, (4)
где 9(t) = e11(t) + e22(t) + езз(t) — функция изменения объёма.
Для определения упругих постоянных пористой резины в выражении (4) воспользуемся методом самосогласования для пор сферической формы, в рамках которого зависимость модуля объёмного сжатия Bp и модуля сдвига Gp пористой резины от их относительной плотности р =1 — p запишется в ви-
де [13]
Bp 1 1 — Р, Gp 1- = 1 р
В 1 — ар G 1 — вр
где
1 + v в = 2 4 — 5v
a = 3(1 — v)) 15 1 — v ,
v — коэффициент Пуассона матрицы, p — пористость.
Для построения конечно-элементной модели представим интегральные соотношения (4) в конечно-разностной форме. Допуская релаксацию только модуля сдвига Gp пористой резины, получим Bo = B^. Полагая, что перемещения u(t) и деформации e(t) изменяются линейно внутри каждого интервала времени, выражение для компонентов тензора напряжений (4) запишем в виде
av (t) = Bpgij 9(tn) +2Gp(yVl eki(tn) — 3 gij 9(tn)^j —
n— 1 л
— £ Rm(glkgjleki(tm) — 3gj9(tm)^, (5)
m=0
где Rm = 2(Gp0 — Gpx)(etm+1—tm); Gp0, Gp^ — мгновенный и длительный модули сдвига пористой резины.
Подставим компоненты тензора напряжений (5) в вариацию энергии деформирования (1). В этом случае вариация полной потенциальной энергии (1) запишется в виде
Sn = * — SA, (6)
где
SW =111 [bpogijS9(tn) + 2Gpo{gikgjlSekl(tn) — 1 gijS9(tn)))dV,
n1
SW * = -
V
n—1 1 \
£ Rm(gikgjlSeki(tm) — 3gijS9(tm)) jdv.
m=0 '
Для традиционного конечно-элементного представления (6) через вектор перемещений аппроксимацию перемещений для линейного параллелепипед-ного конечного элемента (согласно МСКЭ) представим в виде
68
Исследование напряженно-деформированного состояния ...
Imn
uk/ _ £ ^ фрят _ w000 + wioo ^100 + ^oio^oio + wooi^ooi+
+ ш^ф™ + wl01ф101 + ш0Иф°п + ^ИфШ, (7)
pqr
где wkqr — коэффициенты разложения перемещений; фрят динатные функции:
фрят
(xi)p (x2)я (x3)r p! q! r!
степенные коор-
Непосредственное применение МСКЭ для получения матрицы жёсткости по заданным интерполяционным полиномам для аппроксимации перемещений конечного элемента в ряде случаев приводит к отбрасыванию значительного числа членов разложения деформаций, особенно для конечных элементов с высокой степенью аппроксимирующих полиномов.
Решить эту проблему можно с помощью уточненной моментной схемы конечного элемента (УМСКЭ) [20,21], которая, по сути, является модификацией МСКЭ. Этот подход предполагает получение выражений для деформаций на базе дополнения исходных аппроксимирующих полиномов конечного элемента до полных с последующим исключением «лишних» коэффициентов при дополнительных слагаемых.
Для уточнения решений приведём (7) к полному кубическому полиному:
uk' uk' + Auk',
(8)
где
Auk' = J K0>200 + w0,2V020 + W°02 ф002 + u^2W + W20Voi+
+ ^V20 + wi0V02 + ^(m + ^ф^2) +
1 6
+ ^ (^300ф300 + w°3v
030 030
+ ^03ф003)
Разложим компоненты тензора деформаций в ряд Тейлора в окрестности начала координат:
либо в матричной форме:
e« _ E ej Ф*‘" (9
stg
{e«} _ {e„}Т{фц}, (10
{eij} _ [*£]{■*}. (11
Построим матрицу [Fij]. Для этого вычислим коэффициенты разложения ерРг, входящие в (9), (10), согласно МСКЭ по формулам [20]:
pqr
vqr _ ST^ u+i v П bk' eii / у wk' bp+i-^ q-v r-n,
gvg
69
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юречко
pqr
vqr _ u v +1 n bk7
e22 / ^ ,k7 bp-u q+1-v r-n,
pvp
pqr
vqr _ ,u v n+1bk' .
e33 / ^ ,k7 bp-u q-v r+1-n.
uvn
pqr
epqr _ 1 ,u v+1 n bk I , ,u+1 v n bk )
e12 о / Д,k7 bp+1-u q-v r-n + ^k7 bp-u q+1-v r-n/,
Uvn
pqr
epqr _ 1 ,u v n+1 bk7 i , ,u+1 v n bk ) (12
e13 о / ^(,k7 bp+1-u q-v r-n + ,k7 bp-u q-v r+1-n/, (12
uvn
pqr
uvn
где
epqr _ 1\^(, u v n+1 bk7 i ,u v+1 nbk )
e23 0 / A^k7 bp-u q+1-v r-n + ^k7 bp-U q-v r+1-n/,
d(u+v+n) zk
bk7 _
uvn (dx1)u(dx2)v (dx3)n
x1=x2=x3=0
Проанализировав все компоненты epj?r, легко заметить, что некоторые коэффициенты ,pqr из (12) не входят в разложение для аппроксимации перемещений (8) с учётом дополнительных коэффициентов. Поэтому коэффициенты разложения деформаций epqr, содержащие хотя бы один из невходящих членов, необходимо опустить в разложении (9).
Таким образом, в развёрнутом виде все компоненты деформаций ej, получаемые на основе (8), представляются в виде полных квадратичных полиномов:
ej _ eOj00 + e!°>100 + eOf У0 + e0°1 У1 + 1 e200^200 + ег110^110+
+ 1 e0j20^020 + e^V101 + e0j11^011 + 0 е0°У02,
(13)
где все моменты деформаций epqr удовлетворяют условиям МСКЭ.
С другой стороны, применяя соотношения Коши для выражения (8) и сравнивая с (13), определим те компоненты, которые содержат дополнительные коэффициенты, входящие в разложение для Auk7:
e100 e11 _ ,200 = ,1 7 , e110 e11 _ ,210 = ,1 7 , e101 e11 _ ,201 = ,1 7 , e020 e11
e200 e11 300 = ,17 , e010 e22 _ ,020 = ,27 , e200 e22 _ ,210 = ,27 , e110 e22
e002 e22 _ ,012 = ,27 , e020 e22 _ ,030 _ ,27 , О CO О со CM О CO 3 о О со см со
e020 e33 _ ,021 = ,37 , e011 e33 = ,012, CM О со О со
,120
17 ,
,120
, ,201
37 ,
003
e002 _ , ,102 e11 _ w17 ,
e011 _ ,021 e22 _ ш27 , e101 _ ,102
e33 _ w37 ,
1
e100 _ 1 (,110 + ,200) e010 _ 1 (,110 + ,020) e101 _ - (,111 + ,201)
e12 _ 0(,17 + ,27 ), e12 _ 0(,27 + ,17 ), e12 _ 0(,17 + ,27 ),
e011 __ 1 (,111 + ,021) e002 _ !(,012 + ,102) e200 _ 1 (,210 + ,300)
e12 _ 0(,27 + ,17 A e12 _ 0(,17 + ,27 A e12 _ 0(,17 + ,27 A
70
Исследование напряженно-деформированного состояния ...
е110 _ х(,,120 + .,210) е12 _ 2 (w1' + ш2' ),
e020 _ ^ (.030 + .120) e100 _ - (.101 + .200)
e12 _ o(W1' + W2' )> e13 _ o(W1' + W3' )>
,030
120
100
,101
200
e001 _ ^ (.101 + .002) e110 _ - (.111 I .210) e011 _ ^ (.012 + .111)
e13 _ o(w3' + W1' )> e13 _ o(w1' + W3' )> e13 _ o(w1' + W3' )>
101
002
Л10
111
210
011
012
111
e020 _ ^ (.021 + .120) e200 _ ^ (.201 + .300) e101 _ ^ (.102 + .201)
e13 _ + W3' )> e13 _ + W3' )> e13 _ + W3' )>
201
300
e?32 _)(.??3 + Л?2) , ей» _1(.й11 + .1?») , ей1 _1(.Й2 + Л21) ,
е210 _ Л щТ + Л20) , е23‘ ^(.23’2 + Л11),
,011
020
001
002
011
2
2
ей1 _1(ЛП + Л?2), е0^ — (ЛУ + .Г),
2
е!30 — ((щй1 + Л“>), е032 = i(.^2?3 + Л12).
Уточнение МСКЭ сводится к минимизации тех коэффициентов разложения деформаций, которые, согласно МСКЭ, должны отбрасываться. На основе метода наименьших квадратов из моментов деформаций, которые представлены через коэффициенты разложения перемещений и имеют «лишние» коэффициенты, составляется сумма квадратов. Путём её минимизации получаем систему уравнений, решая которую, определим дополнительные коэффициенты:
.
200 210 201 120 102 300 030
2/00 _.1/ _ л1/ _ .1/ _ л1/ _ л1/ _ Л1/
003 1/ _ .020 _ .2/ _ .021 _ .2/ _ .012 _ .2/ 030 _ .2/ _ .210 _.2/ _ .120 _.2/
.300 .2/ со О . о CM 3 CO О О СО 3 _ .021 .3/ СМ о . О со 3 — 0,
300 030 , ,201 102 012 _ 0,
.3' _ .3' _ .3° _ w3/ _ .3/
0,
0,
021 120 111 020 1 .1/ — .3/ — —.2/ / 3, .1/ — —.2'
.012 _ .102 _ .111 /3 .1/ — .2/ — —.3/ / 3,
.201 _ .210 _ .111 /3 .2/ _ .3/ _ —.1/ /3,
,110
.
1
.002
.2/
3/ ,
.011
.3/,
.200 _ .101 .3/ _ —.1/ , .200 _ .110,
.020
.3/
.011 —w2/ •
(14)
На основе формул (8) и (14) получаем вспомогательный закон распределения перемещений трёхмерного конечного элемента:
111
“1' — у у Г" — ((wry20 + .yv»2) — 6(‘411Л21 + щУУ2),
p=0 q=0 r=0
111
“2/ _ Ф™г — IkVV200 + wз0!V002) — Ik1/11^201 + w1!V02),
p=0 q=0 r=0
111
“3/ _ ^2^2 E w3/qr ^pqr — ^к1/01^200 +ш0/11^020) — ^k1/11^210+ш2l/ll^l20)
p=0 q=0 r=0
или в матричной форме
(“k } _ {.k/
(15)
71
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юречко
Матрицы [Fkj ] получаются на основе выражений (11) и известного теперь числа и вида коэффициентов ej по формуле (13) с учётом (14).
Функция изменения объёма, ответственная за слабую сжимаемость эластомера, представляется разложением
m—1 п— 1 1—1
в= £££ {«вт ф«*7
а=0 в=0 7=0
где {а*7 — коэффициенты разложения, определяемые соотношением
д (a+e+Y)eij gij
(16)
{«*7 =
или в векторной форме:
(dx1)a(dx2)e (dx3)Y
{в} = К}Т {Ф'ч}, {{} = [Fk Квд }.
x1=x‘2=x3 =0
(17)
(18)
(19)
Воспользовавшись формулами (14), (16) и (17), проанализируем выражения для компонент {ав7, опуская при этом те слагаемые, которые содержат наряду с коэффициентами разложения для в коэффициенты разложения для деформаций, т. е. те, для которых не выполняется условие
Г*7 = e?f g11 + eg"1 g22 + e?f g33.
Легко заметить, что необходимо учитывать только коэффициент {000. Таким образом, получим приближенное значение функции изменения объёма:
в = С000 = e01°gn + e200g22 + e330g33.
С учётом (10) и (18) 5W в выражении (6) примет вид
£W = 2GP0 JJ^{5eij}Т{фу }gikgjl{eH}T {фы} dV+
+ (ВР0 - 2GP0^ U^{£}Т{фчЖШФч} dV =
= {6eij }T[Hijkl]{eki} + 6{{}T[H4 ]{{}, (20)
где
[Hijkl] = J J J 2GP0gikgjl^ij}{фк1 }T^g dx1 dx2dx3;
[H4 }=J J J (Вр0 - 22 Gp0^j {фч }{фч }T^gdx1 dx2dx3.
На основе (11) и (19) выражение (20) можно записать в следующем виде: £W = Sfa }T[F/j ]T[Hijkl][Fkl]{Wt,} + Sfa }T[F/ ]Т[Ич ][F4 ]{ut,}. (21)
72
Исследование напряженно-деформированного состояния ...
Принимая во внимание (15) и представление перемещений точек конечного элемента через функцию Лагранжа {N} и узловые значения перемещений
[uk/} = {ui}T{N},
запишем связь между степенными и аппроксимирующими функциями Лагранжа:
{uk<} = [A\{uk<},
с учётом которой, выражение (21) можем представить в таком виде:
= 5{us, }T[A]T[Fj\T[Hijkl\[Ft'i \[A\ {uf }+
+ 5{us' }T[A\T[F/\T[Hg ][Fg\[A\{ut,} =
= 5 {us,} [Gs,t' \ {uut} + 5{us, }T [Gf' \ {ut, },
где
[Gs' * \
[A\T[Fis;\T[Hijk1\[Fk;\[A\, [Gf'\
[ A\ T [Fff \T[Hв ][Fg \[A\.
Матрица жёсткости конечного элемента окончательно вычисляется по формуле
[Ks,t' \ = [A\ 1 [Fj
Тг
iT
[Hilkl\[Ftl\[A\ + [A\
т
[Fg' \T[Hg \[F*' \[A\
В выражении (6) 5W является вариацией энергии упругого деформирования, которая зависит от истории нагружения, но не зависит от закона изменения деформации во времени и служит основой формирования матрицы жёсткости конечных элементов [Ks t \ для фиксированного момента времени t. Можно записать:
J(^2Gpogikgjl5eH(tn) + (вр0 - 3Gpo)gij56(tn)^ dV =
= Ks'fJ (tn)us' (tn)5ut,. (22)
Величина 5W* в выражении (6) является наследственной составляющей матрицы жёсткости; её подынтегральное выражение представим в виде
n— 1
- ^ Rm
m=0
gik gjl5eki(tm)
1 gij5d(tm)) dV =
n— 1
= - ^ RmMs,t' (tm)us' (tm) 5Щ'. (23)
m=0
Предполагая, что на тело действует только распределённая поверхностная нагрузка, которую можно свести к сосредоточенным силам в каждом
73
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юречко
узле, и используя соотношения (22) и (23), вариацию потенциальной энергии можно записать в виде
П— 1
Ks (tn)Us' (tn) - У , RmMs (tm)Us' (tm) - F (tn) ) Su# = 0.
m=0
Поскольку Su# = 0, нулю должно равняться выражение в скобках, которое представляет собой линеаризованную систему разрешающих уравнений наследственной вязкоупругости:
n— 1
K(n)U(n) = £ Pm + Q(n), (24)
m=0
где U(n) = us/(tn) —вектор перемещений; Pm = RmM^(tm)us/(tm) — вектор дополнительной нагрузки, моделирующий вязкоупругое поведение пористой резины; Q(n) = F1 (tn) — вектор распределённых поверхностных нагрузок, действующих на момент времени tn.
Решение системы (24) строится на основе модифицированного метода Ньютона—Канторовича для решения задачи вязкоупругости [18].
В общем виде теоретическое доказательство сходимости МСКЭ для степенного закона аппроксимации перемещений, в том числе и для предложенного выше, изложены в [20]. Построение матрицы жёсткости, рассмотренной выше, и итерационного алгоритма (24) реализовано в программном комплексе М1РЕЛА+ [22].
Исследование численной сходимости конечно-элементных схем и результаты расчётов. Исследуем сходимость решений, полученных численно при использовании УМСКЭ, путём сравнения их с аналитическим решением задачи Ляме в условиях вязкоупругого деформирования [23].
Рассмотрим напряжённо-деформированное состояние полого цилиндра из пористого материала в условиях вязкоупругого деформирования под внутренним давлением Q при жёстком защемлении по внешнему контуру. Пусть а — внутренний радиус, b — внешний радиус, r — полярный радиус, t — время. Аналитическая зависимость радиальных перемещений в условиях вязкоупругого поведения от упругих модулей пористого материала имеет следующий вид [18]:
u(t,r) = f (1 + AK*(t))(r - ЬГ),
где
f=-
Q
2Bp0 + 2Gp0 (1/3 + b2/a2)
1 Gp0 - Gp—
A=
Gp0 (1/3 + bVa2) Bp0 + Gp0 (1/3 + b2/a2)
K*(t)= f K(t - T)dT =
0
2Gp0 Gp—
1 - exp----------— t
/0 2Gp0 Gp— \ ' Gp0
K(t - t) — разностное ядро ползучести для пористого материала.
74
Исследование напряженно-деформированного состояния ...
Сравним перемещения внутренней точки полого цилиндра, получаемые численно с использованием традиционного МКЭ и УМСКЭ, с аналитическим решением (см. таблицу) для следующих исходных данных: внутренний радиус a = 0.025 м, внешний радиус b = 0.1 м, модуль упругости Bp0 = = 64.567 х 106 Па, мгновенный модуль сдвига резины Gpo = 1.3 х 106 Па, длительный модуль сдвига резины Gpo = 0.93 х 106 Па, коэффициент Пуассона v = 0.49, внутреннее давление Q = 1.3 х 106 Па, пористость p = 0.4.
Сходимость численных решений [The convergence of the numerical solutions]
Размеры сетки МКЭ [FEM] УМСКЭ [RMFES]
[The mesh sizes] u, m е, % u, m е, %
Упругий случай [The elasticity]
3 х 3 х 3 0.01631 16.7 0.01882 3.9
5 х 5 х 3 0.01821 7.1 0.01922 1.9
7 х 7 х 3 0.01887 3.6 0.01939 0.98
9 х 9 х 3 0.01916 2.2 0.01947 0.6
11 х 11 х 3 0.01930 1.5 0.01951 0.4
Аналитическое решение [The analytical solution] 0.019581
Вязкоупругость The viscoelasticity , t = 1 sec
3 х 3 х 3 0.01712 22.6 0.01998 9.6
5 х 5 х 3 0.01942 12.1 0.02073 6.2
7 х 7 х 3 0.02024 8.5 0.02092 5.3
9 х 9 х 3 0.02059 6.9 0.02102 4.9
11 х 11 х 3 0.02078 6.0 0.02107 4.7
Аналитическое решение [The analytical solution] 0.022105
RMFES is the refined moment finite element scheme.
Как видно из таблицы, УМСКЭ имеет устойчивую сходимость при сгущении сетки дискретизации и даёт предпочтительные результаты по сравнению с традиционным МКЭ, приближая их к аналитическим.
Таким образом, предложенная конечно-элементная модель на основе УМ-СКЭ с тройной аппроксимацией компонент вектора перемещений, компонент тензора деформаций и функции изменения объема позволяет получать приемлемые результаты при расчёте конструкций из пористой резины в условиях вязкоупругого деформирования.
Выполним расчёт для резинового слоя сейсмоопоры при следующих исходных данных: радиус R = 0.2 м, высота h = 0.12 м, hi = h-2 = 0.03 м, нагрузка P = 100 кН; модули упругости резины марки 51-1562 — G0 = 0.78 МПа, Go = 0.51 МПа; модули упругости резины марки 51-1714 — G0 = 2 МПа, Goo = 1.1 МПа.
Распределение перемещений Ui при различных значениях коэффициента Пуассона v и распределение нормальных напряжений при коэффициенте Пуассона v = 0.49 по высоте сплошного резинового слоя сейсмоопоры при Q = 0 представлены на рис. 4 и 5 соответственно.
Зависимость перемещений Ui(t) и нормальных напряжений т11(1) от вре-
75
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юре чко
О 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Высота резинового слоя сейсмоопоры h, м [The height of the rubber layer of seismic bearing h, m]
Рис. 4. Распределение перемещений u1 по высоте резинового слоя сейсмоопоры для резины марки 51-1562 (1) и резины марки 51-1714 (2) при v = 0.49 (штриховые линии), v = 0.499 (штрих-пунктирные линии), v = 0.49999 (сплошные линии); здесь Q = 0 [Figure 4. The distribution of displacements u1 along the height of the rubber layer of seismic bearing for 51-1562 rubber (1) and 51-1714 rubber (2) when v = 0.49 (dashed lines), v = 0.499 (dot-dashed lines), and v = 0.49999 (solid lines); there is Q = 0]
0.015 0.03 0.045 0.06 0.075 0.09 0.105 0.12
Высота резинового слоя сейсмоопоры h, м [The height of the rubber layer of seismic bearing h, m]
Рис. 5. Распределение нормальных напряжений агг по высоте резинового слоя сейсмоопоры: 1 — и11, 2 — а22, 3 — а33; здесь Q = 0
[Figure 5. The distribution of normal stresses агг along the height of the rubber layer of seismic bearing: 1 — а11, 2 — а22, 3 — а33; there is Q = 0]
76
Исследование напряженно-деформированного состояния ...
Время t, сек [The time t, sec]
Рис. 6. Зависимость перемещений ui от времени: 1 —сплошная резина марки 51-1562, 2 — сплошная резина марки 51-1714, 3 — пористая резина с пористостью p = 0.5, 4 — пористая резина
с пористостью p = 0.55; здесь Q = 0.5P
[Figure 6. The dependence of displacements ui on time t: 1 — 51-1562 solid rubber, 2 — 51-1714 solid rubber, 3 — porous rubber with a porosity p = 0.5, 4 — porous rubber with a porosity p = 0.55;
there is Q = 0.5P]
Время t, сек [The time £, sec]
Рис. 7. Зависимость нормальных напряжений а11 от времени: 1 —сплошная резина марки 51-1562, 3 — пористая резина с пористостью p = 0.5, 4 — пористая резина с пористостью p = 0.55;
здесь Q = 0.5P
[Figure 7. The dependence of normal stresses агг on time t: 1 — 51-1562 solid rubber, 3 — porous rubber with a porosity p = 0.5, 4 — porous rubber with a porosity p = 0.55; there is Q = 0.5P]
77
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юречко
мени при Q = 0.5P представлены на рис. 6 и 7 соответственно. Здесь 1 — сплошная резина марки 51-1562; 2 — сплошная резина марки 51-1714, 3 — пористая резина с пористостью р = 0.5, 4 — пористая резина с пористостью p = 0.55.
Следует отметить, что осадка сплошной резинометаллической сейсмоопоры из резины марки 51-1562 практически совпадает с осадкой сейсмоопоры из резины марки 51-1714 с пористыми слоями (р = 0.50 ^ 0.55). Таким образом, варьируя пористыми слоями и марками резины, можно получить ряд резинометаллических сейсмоопор с практически одинаковыми жесткостными свойствами.
Выводы. В статье представлен численный подход к решению статической задачи упругости в трехмерной постановке для вибросейсмоопоры, выполненной из сплошной и комбинированной резины, на основе уточненной момент-ной схемы конечного элемента. С помощью предложенного метода получены основные параметры напряжённо-деформированного состояния резинометаллической сейсмоопоры.
При расчёте резинометаллической сейсмоопоры из сплошной резины продольная деформация снижается с увеличением коэффициента Пуассона (см. рис. 4). Сжимающие напряжения увеличиваются в середине конструкции и значительно ослабевают в месте приложения нагрузки (см. рис. 5).
При расчёте резинометаллической сейсмоопоры из комбинированной резины в условиях вязкоупругого деформирования осадка верхней поверхности увеличивается на 10-11% (см. рис. 6). Сжимающие напряжения в пористой резине слабо проявляют реологические свойства и увеличиваются на 7-10 % при увеличении пористости материала (см. рис. 7).
Полученные результаты позволяют точнее судить о характере напряжённо-деформированного состояния резинометаллической сейсмоопоры.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ/ REFERENCES
1. В. И. Дырда, Н. И. Лисица, Н. Г. Марьенков, Т. Е. Твердохлеб, Е. Ю. Заболотная, Н. Н. Лисица, Н. В. Тымко, “Обоснование и выбор параметров резинометаллических сейсмоопор”// Геотехническая механика, 2009. №84. С. 17-23. [V. I. Dyrda, N. I. Lisitsa, N. G. Maryenkov, T. E. Tverdokhleb, E. Yu. Zabolotnaya, N. N. Lisitsa, N. V. Tymko, “The justification and the choice of the rubber-metall seismic bearing parameters”, Geotekhnicheskaya Mekhanika, 2009, no. 84, pp. 17-23 (In Russian)].
2. А. А. Чылбак, “Методика оценки прочности сейсмоизолированного здания при сейсмическом воздействии”// Вестник Тувинского госуниверситета, 2013. №3, Технические и физико-математические науки. С. 65-70. [A. A. Chylbak, “The technique of evaluating strength structure located on the seismic isolation system”, Vestnik Tuvinskogo gosuniversiteta, 2013, no. 3, Tekhnicheskie i fiziko-matematicheskie nauki, pp. 65-70 (In Russian)].
3. В. В. Моторин, Разработка, исследование и реализация метода виброзащиты зданий с применением многослойных резинометаллических заменяемых виброизоляторов: Ав-тореф. дис. ... канд. техн. наук; спец. 05.23.17 «Строительная механика». М., 2005. 19 с. [V. V. Motorin, Development, research and implementation of vibration protection method for buildings using replaceable multilayer rubber isolators, Thesis of Cand. Sci. Dissertation, Moscow, 2005, 19 pp. (In Russian)]
4. О. А. Ковальчук, Д. А. Зубков, П. И. Андреева, “Исследование эффективности резинометаллических виброизоляторов фирмы «Вибросейсмозащита» применительно к кар-
78
Исследование напряженно-деформированного состояния ...
касным зданиям, возведенным вблизи тоннелей метро мелкого заложения” // Вестник МГСУ, 2011. №6. С. 335-340. [O. A. Kovalchuk, D. A. Zubkov, P. I. Andreeva, “A study of the efficiency of rubber-and-metal vibroisolators produced by the “Vibroseismozashtshita” company with respect to the frame buildings erected near shallow underground railway tunnels”, Vestnik MGSU, 2011, no. 6, pp. 335-340 (In Russian)].
5. Ю. Г. Козуб, Напряженно-деформированное состояние резинометаллических виброизоляторов: Modern Problems and Ways of Their Solution in Science, Transport, Production and Education’2012 (8-27 December, 2012), 2012. 10 с., http://www.sworld. com.ua/konfer29/1109.pdf. [Yu. G. Kozub, Stress-strain state of rubber-metal vibration and seismic isolators, Modern Problems and Ways of Their Solution in Science, Transport, Production and Education’2012 (8-27 December, 2012), 2012, 10 pp. (In Russian), http://www.sworld.com.ua/konfer29/1109.pdf].
6. Э. Э. Лавендел, Расчет резинотехнических изделий. М.: Машиностроение, 1976. 232 с. [E. E. Lavendelis, Design of Rubber-Technical Construction Elements, Moscow, Mashinostroenie, 1976, 232 pp. (In Russian)]
7. С. И. Дымников, “Расчет резино-технических деталей при средних деформациях” // Механика полимеров, 1968. №2. С. 271-275; S. I. Dymnikov, “Calculation of rubber engineering components for average deformations”, Polymer Mechanics, 1968, vol. 4, no. 2, pp. 206-210 doi: 10.1007/BF00855620.
8. В. Л. Бидерман, Н. А. Сухова, “Расчет цилиндрических и прямоугольных длинных резиновых амортизаторов сжатия”// Расчеты на прочность, 1968. №13. С. 55-72. [V. L. Biderman, N. .A. Sukhova, “Calculation of cylindrical and rectangular long rubber shock compression”, Raschety na prochnost', 1968, no. 13, pp. 55-72 (In Russian)].
9. В. И. Дырда, Н. И. Лисица, А. В. Новикова, С. Н. Гребенюк, Ю. Г. Козуб, А. А. Бова, “Определение напряжённо-деформированного состояния резинометаллических сейсмоопор” / Методи розв’язування прикладних задач мехатки деформъвного твердого тг1ла, Збiрник наукових праць. Т. 13. Дншропетровьск: Лiра, 2012. С. 152-158, http://dspace.luguniv.edu.ua/jspui/handle/123456789/441. [V. I. Dyrda, N. I. Lisitsa, A. V. Novikova, S. N. Grebenjuk, Yu. G. Kozub, A. A. Bova, “Determination of the stress-strain state of rubber-metal seismic bearing”, Metodi rozv'yazuvannya prikladnikh zadach mekhaniki deformivnogo tverdogo tila [Methods of Solving Applied Problems in Solids Mechanics]. V. 13, Dnipropetrovsk, Lira, 2012, pp. 152-158 (In Russian), http: //dspace.luguniv.edu.ua/jspui/handle/123456789/441].
10. В. М. Мальков, Механика многослойных эластомерных конструкций. СПб.: СПбГУ, 1998. 320 с. [V. M. Malkov, Mekhanika mnogosloynykh elastomernykh konstruktsiy [Mechanics of Multilayers Elastomeric Structures], St. Petersburg, St. Petersburg University Press, 1998, 320 pp. (In Russian)]
11. В. В. Киричевский, Метод конечных элементов в механике эластомеров. Киев: На-укова думка, 2002. 655 с. [V. V. Kirichevskiy, Metod konechnykh elementov v mekhanike elastomerov [Finite Element Method in Mechanics of Elastomers], Kiev, Naukova Dumka, 2002, 655 pp. (In Russian)]
12. В. Л. Нарусберг, Г. А. Тетерс, Устойчивость и оптимизация оболочек из композитов. Рига: Зинатне, 1988. 299 с. [V. L. Narusberg, G. A. Teters, Ustoychivost’ i optimizatsiya obolochek iz kompozitov [Stability and Optimization of a Shell Made of Composite Materials], Riga, Zinatne, 1988, 299 pp. (In Russian)]
13. М. С. Ковальченко, “Механические свойства изотропных пористых материалов. I. Упругие и реологические свойства” // Порошковая металлургия, 1993. №3(363). С. 8996; M. S. Koval’chenko, “Mechanical properties of isotropic porous materials. I. Elastic and rheological properties”, Powder Metallurgy and Metal Ceramics, 1993, vol. 32, no. 3, pp. 268-273 doi: 10.1007/BF00559762.
14. R. W. Lewis, B. A. Schrefler, The Finite Element Method in the Static and Dynamic Deformation and Consolidation of Porous Media, Chichester, Wiley, 1998.
15. E. Bemer, M. Bouteca, O. Vincke, N. Hoteit, O. Ozanam, “Poromechanics: from linear
79
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, В. З. Юре чко
poroelasticity to non-linear poroelasticity and poroviscoelasticity”, Oil & Gas Science and Technology - Rev. IFP, 2001, vol. 56, no. 6, pp. 531-544 doi: 10.2516/ogst:2001043.
16. X. Chateau, L. Dormieux, “Micromechanics of saturated and unsaturated porous media”, Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech., 2002, vol. 26, no. 8, pp. 831-844 doi: 10.1002/nag. 227.
17. O. Coussy, R. Eymard, “Non-Linear Binding and the Diffusion-Migration Test”, Transport in Porous Media, 2003, vol. 53, no. 1, pp. 51-74 doi: 10.1023/A:1023529906079.
18. В. В. Киричевский, А. С. Сахаров, Нелинейные задачи термомеханики конструкций из слабосжимаемых эластомеров. Киев: Буд1вельник, 1992. 216 с. [V. V. Kirichevskii, A. S. Sakharov, Nelineynyye zadachi termomekhaniki konstruktsiy iz slaboszhimayemykh elastomerov [Nonlinear Problems of the Thermomechanics of Structures of Weakly Compressible Elastomers], Kiev, Budivel’nyk, 1992, 216 pp. (In Russian)]
19. С. М. Гребенюк, В. З. Юречко, “Визначення напружено-деформованого стану кон-струкцш 1з пористих матер1ал1в” / Проблеми обчислювальног мехатки i мщност'1 конструкцгй, Зб1рник наукових праць. Т. 15. Дншропетровськ: Л1ра, 2011. С. 60-69. [S. M. Grebenjuk, V. Z. Yurechko, “Definition of stress-strain state for constructions made of porous materials”, Problemi obchislyuval'noi mekhaniki i mitsnosti konstruktsiy [Problems of Computational Mechanics and Strength of Structures]. V. 15, Dnipropetrovsk, Lira, 2011, pp. 60-69 (In Ukrainian)].
20. А. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский, И. Альтенбах, У. Габберт, Ю. Дан-керт, Х. Кепплер, З. Кочык, Метод конечных элементов в механике твёрдых тел. Киев: Вища школа, 1982. 480 с. [A. S. Sakharov, V. N. Kislookiy, V. V. Kirichevskiy, I. Al’tenbakh, U. Gabbert, J. Dankert, Kh. Keppler, Z. Kochyk, Metod konechnykh elementov v mekhanike tvordykh tel [Finite Elements Method in Solid Mechanics], Kiev, Vishcha shkola, 1982, 480 pp. (In Russian)]
21. С. Н. Гребенюк, А. А. Бова, “Повышение точности моментной схемы конечного элемента для слабосжимаемых материалов” / Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве, образовании, Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции. Т. 22, Физика и математика, География. Одесса: Черноморье, 2009. С. 55-64. [S. N. Grebenjuk, A. A. Bova, “Improving the accuracy of moment finite element schemes for slightly compressible materials”, Sovremennyye problemy i puti ikh resheniya v nauke, transporte, proizvodstve, obrazovanii [Modern Problems and Their Solutions in Science, Transportation, Manufacturing, Education], Collection of Scientific Papers Based on International Scientific and Practical Conference. V. 22, Odessa, Chernomor’ye, 2009, pp. 55-64 (In Russian)].
22. В. В. Киричевский, Б. М. Дохняк, Ю. Г. Козуб, С. И. Гоменюк, Р. В. Киричев-ский, С. Н. Гребенюк, Метод конечных элементов в вычислительном комплексе «М1РЕЛА+». Киев: Наукова думка, 2005. 416 с. [V. V. Kirichevskiy, B. M. Dokhnyak, YU. G. Kozub, S. I. Gomenjuk, R. V. Kirichevskiy, S. N. Grebenjuk, Metod konechnykh elementov v vychislitel’nom komplekse “MIRELA + ” [Finite element method in obtained complex “MIRELA+”], Kiev, Naukova dumka, 2005, 416 pp. (In Russian)]
23. В. И. Самуль, Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982. 264 с. [V. I. Samul, Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity], Moscow, Vysshaya shkola, 1982, 264 pp. (In Russian)]
Поступила в редакцию 20/XII/2013; в окончательном варианте — 29/I/2014; принята в печать — 21/II/2014.
80
The Stress-strain State of the Rubber-metall Seismic Bearing
MSC: 74S05
THE STRESS-STRAIN STATE OF THE RUBBER-METAL SEISMIC BEARING
S. I. Gomenjuk, S. N. Grebenjuk, A. A. Bova, V. Z. Jurechko
Zaporizhzhya National University,
66, Zhukovskogo st., Zaporizhzhya, 69600, Ukraine.
This work is devoted, to elaboration of finite element approach for the numerical analysis of parameters of the stress-strain state of the rubber-metal seismic bearing under viscoelastic deformation in the presence of layers of porous rubber. Elastic characteristics of porous rubber were determined by self-consistency method for the spherical pores. The integral relations on the basis of Boltzmann-Volterra hereditary theory have been used for viscoelastic behavior modeling. The exponential core containing instant and long elastic characteristics of the material has been used as core of relaxation. The finite element model of deforming the construction with spatial discretization and time discretization was built on the basis of the variational principle. The resulting system of resolving equations contains the additional load vector modeling the rheological constituents of the deformation process; a modified Newton-Kantorovich method has been used to solve this system. For increasing the accuracy of numerical results the precise finite element moment scheme with cubic approximation of displacements has been applied. The numerical convergence of the finite element schemes has been studied, on the example of solution of Lame problem for hollow viscoelastic cylinder made of porous rubber. The rubber-metal seismic bearing was calculated on the assumption of the relaxation of the shift module of porous rubber only. The basic parameters of the stress-strain state have been obtained depending on the time and the applicable stamps of rubber.
Keywords: rubber-metal seismic bearing, finite element moment scheme, cubic approximation, porosity, relaxation core, viscoelasticity.
Received 20/XII/2013;
received in revised form 29/I/2014;
accepted 21/II/2014.
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1284 © 2014 Samara State Technical University.
Citation: S. I. Gomenjuk, S. N. Grebenjuk, A. A. Bova, V. Z. Jurechko, “The Stress-strain State of the Rubber-metal Seismic Bearing”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 2 (35), pp. 64-81. doi: 10.14498/vsgtu1284. (In Russian)
Authors Details: Sergej I. Gomenjuk (Dr. Techn. Sci.), Professor, Dept. of Mathematic Modeling. Sergej N. Grebenjuk (Cand. Techn. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematical Analysis. Anna A. Bova, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis. Vasilij Z. Jurechko, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis.
E-mail addresses: serega@znu.edu.ua (S.I. Gomenjuk), bova-anna@mail.ru (A.A. Bova, Corresponding author), gsm1212@ukr.net (S.N. Grebenjuk), iuriechko@i.ua (V.Z. Jurechko)
