CC BY
28
Цена комбинационной части автомата ^ по Квайну равна Ск = 6 + 7 + 6 = 19. Этот показатель более чем в два раза лучше того, что был получен с применением КМСС.
Комбинационная часть автомата, реализующая систему БФ возбуждения триггеров, представляет собой единообразно организованную трехкаскадную схему. Задержка распространения сигнала в такой схеме незначительная. Однородная организация системы БФ позволяет реализовать ее на ПЛИС.
ВЫВОДЫ
Функциональное моделирование УУ, разработанных с применением МА3, подтверждает эквивалентность поведения объекта проектирования с изделиями, синтезированными с помощью КМСС.
1. Разработан эффективный метод квазигомоморфного преобразования с помощью специального проблемно-ориентированного операторного пространства.
2. Цена по Квайну С^ комбинационной части автомата, полученного методом МА3, значительно ниже стоимостных характеристик схем, синтезированных методом КМСС.
3. Применение метода позволяет не выполнять минимизацию системы БФ возбуждения элементов памяти. Сокращается время разработки УУ.
4. Комбинационная часть автомата, реализующая систему БФ возбуждения триггеров, представляет собой единообразно организованную трехкаскадную схему, что позволяет реализовать ее на ПЛИС.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Уэйкерли Дж. Ф. Проектирование цифровых устройств.
В 2-х тт. М.: Постмаркет, 2002. - 544 с.
2. Перельройзен Е. 3. Проектируем на VHDL. - М.: С0Л0Н-Пресс, 2004. - 448 с.
3. Суворова Е. А., Шейнин Ю. Е. Проектирование цифровых систем на VHDL. - СПб: БХВ-Петербург, 2003.676 с.
4. Грушвицкий Р. И., Мурсаев А. X., Угрюмов Е. П. Проектирование систем на микросхемах программируемой логики. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.
5. Баркалов А. А. Синтез устройств управления на программируемых логических устройствах. - Донецк: Дон-НТУ, 2002 - 262 с.
6. Мелихов А. Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971. - 416 с.
7. Касьянов В. Н., Евстигнеев В. А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. -СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 1104 с.
8. Баранов С. И. Синтез микропрограммных автоматов. -Л.: Энергия, 1979. - 232 с.
9. Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов. - М.: Физ-матгиз, 1962. - 476 с.
10. Мелихов А. Н., Берштейн Л. С. Гиперграфы в автоматизации проектирования дискретных устройств. - Изд. Ростовского университета, 1981. - 112 с.
11. Черемисинова Л. Д. Реализация параллельных алгоритмов логического управления. - Минск: Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси, 2002. - 246 с.
Надшшла 1.12.05 Шсля доробки 6.03.06
Пропонуеться ефективний метод розробки схемных npucmpoïe керування. Перевагою модифтованоЧ алгебры абстрактных автомат1в е простота переходу eid опису граф-схеми алгоритму до гтерграфу nеpехoдiв паралель-ного автомата за допомогою квазiгoмoмopфнoгo пере-творення opieнmoваних гinеpгpафiв. Новизна методу по-лягае у використанш для перетворення спещального операторного простору.
The effective method of development of hardwired control units is offered. Advantage of the updated algebra of abstract automata is the simplicity of passage from representation of the control-flow graph to the hypergraph of transitions of a parallel automata by means of quasihomomorphic conversion of the oriented hypergraphs. Novelty of the method consists in usage for conversion of special operator space.
YAK 539.3
С. H. Гребенюк, В. В. Киричевский
СИНГУЛЯРНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ СЕРЕНДИПОВА СЕМЕЙСТВА ДЛЯ КОМПОЗИТА С ТРЕЩИНОЙ
Рассмотрен вывод коэффициентов матрицы жесткости сингулярного конечного элемента серендипова семейства для композита с трещиной на основе вариационного принципа Лагранжа. Сингулярность полей деформаций и напряжений моделировалась путем смещения промежуточных узлов конечного элемента на 1/4 длины стороны по направлению к вершине трещины.
© Гребенюк С. Н., Киричевский В. В., 2006
В последнее время широкое применение получили композиционные материалы (КМ), используемые в проектировании и изготовлении различных конструктивных элементов в авиастроении, машиностроении, судостроении, ракетостроения и других областях.
В настоящей работе будут рассмотрены ортотропные (ортогонально анизотропные материалы), которые характеризуются наличием в каждом элементарном объеме трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии свойств. К ним можно также отнести с некоторой степенью точности КМ, армированные последовательно чередующимися слоями волокон в двух взаимно перпендикулярных направлениях, а также слоистые КМ, армированные в двух неортогональных направлениях под определенным углом с правильным чередованием слоев.
В процессе эксплуатации конструктивных элементов указанных КМ в них возникают трещины, которые могут приводить к разрушению конструкции в целом. Для КМ рассматриваемого типа наибольший интерес представляет усталостное разрушение. Этот тип разрушения сопровождается зарождением усталостных трещин, их развитием и отказом работы конструкции вследствие потери несущей способности или непригодности к эксплуатации.
Моделирование поведения трещин в КМ является основной задачей механики разрушения, характеризуемой такими параметрами как коэффициенты интенсивности напряжений, величина раскрытия трещины, /-интеграл, для вычисления которых необходимы знания напряженно-деформированного состояния около вершины трещины. Как известно вблизи фронта трещины возникает сингулярность полей деформаций и напряжений типа 1 /„/г (г - расстояние до вершины трещины). Из существующих численных методов определения напряженно-деформированного состояния важное место занимает метод конечных элементов (МКЭ). Сингулярность вблизи вершины трещины методом конечных элементов может быть учтена двумя способами: методом сгущения сетки конечных элементов (КЭ) вблизи трещины; применения сингулярных КЭ.
Первый способ предусматривает применения обычных КМ с уменьшением его размеров //10-//250 (I -характерный размер трещины).
Второй способ учитывает сингулярность полей деформации и напряжений вблизи вершины трещины пу-
7
Рисунок 1 — Элемент композита косоугольной намотки в базисной г1, местной х1 системе координат и системе армирования хт
тем модернизации самих КЭ. В литературе такие КЭ получили название сингулярных КЭ.
Воспользуемся одним из таких подходов построения сингулярных КЭ композита, в котором промежуточные узлы квадратичного КМ смещаются на 1/4 длины стороны по направлению к вершине трещины, чем достигается сингулярность упомянутых полей. Следует отметить, что полученные таким образом сингулярные КЭ полностью совместны с обычными квадратичными элементами, отображают движения как жесткого целого и для них справедливы теоремы о сходимости решения к точному как для обычных элементов.
Рассмотрим композиционный материал перекрестной косоугольной намотки с углом армирования у (рис. 1).
Напряженно-деформированное состояние (НДС) композиционного материала определяется обобщенным законом Гука
= С
{]к1
'-Ы'
(1)
где С - компоненты тензора упругих постоянных (в общем случае 81 составляющая).
Если описать НДС в системе координат армирования (рис. 1), то компоненты тензора упругих постоянных в системе армирования несколько упростятся и запишутся в виде матрицы
С
С
1111
0 0 0
с2211 0 0 0
-3311
С
0
;1212 0
-2112
С
с
С
0
С1313
0 0 0
1331
с
0 С
;1221
0
2121
С
1122
0 0
0
2222
0 0 0
3322
С
с
0 0 0 0 0
2323 0
3223
С
с
С
0
1331
0 0 0
3113
с
0 0 0 0 0
2332 0
3232
с
с
с
0 с
1133
0 0 0
С 2233
0 0 0
3333
(2)
ст
компоненты которой согласно [1, 2] вычисляются следующим образом:
матрица преобразования [Ь] является обратной по отношению к матрице преобразования [а]:
;1111 Е1
-1122 Е2
С _ А-*(1 - У23У32); С _ А-*(у21 + У31 у23);
[ Ь ] _ [ а ]-
(8)
~ 1133 Е3 ( + ) ^ 2211 ( + )
С _ А*(У21У32 + У31 ); С _ А*(У12 + у13у32) ;
с _ А-*(1 - у13у31); с _ а;* (у32 + у12у31);
;2222 _ Е
_ а; (
п 3311 Е1 ( + ) 2 ( + )
С _ А-*(У12У23 + у13); С _ А*(У23 + У13У21);
~ 3333 Е3 ) -
с _ а-*(1 -У21 у12); с
2233 _ Е3 _ А*(
3322 Е2
V.
1212 _ С12
~ 1313 _ Сц3 ~ 2323 _ С23 С 2 ; С 2 ,
(3)
где
А* _ (1 -у23у32 -у12у21 - у12у23у31 - у13у21у32 - у13у31).
Здесь Е1, Е2, Е3 - модули упругости в соответствующих направлениях; Оц - модуль сдвига материала; уц - коэффициенты Пуассона; первый индекс указывает направление действующего напряжения, а второй -направление возникающей при этом поперечной деформации.
Необходимо учитывать, что тензор упругих постоянных обладает свойством симметрии:
Счк1 _ с 11к1 _ £цик; с _ СкНЦ (4)
Заданные компоненты тензора упругих постоянных
— тпрг
С в системе армирования хт при переходе в местную систему координат х1; компоненты тензора де-формацш е^ при переходе к системе армирования и компоненты тензора напряжений в местной системе координат (х1, х2, х3) преобразуются по следующим формулам [1]:
При повороте осей (2, 3) на угол армирования у матрица преобразования [а] имеет следующий вид:
1 0 0
0 ео8у -8ту 0 8ту ео8 у
(9)
Напряжения в системе армирования вычисляются с учетом тензора упругих постоянных и тензора деформаций (компоненты, вычисленные в системе армирования). При этом, вычислив, согласно (5) и (8), коэффициенты упругости С11к1 можно определить физические характеристики приведенного ортотропного композиционного материала в системе координат х1 конечного элемента (1 _ 1, 2, 3) [2]:
Е _ А; Е _ А; Е _ А
Е1 Е2 Е3
А11 А22 А33
_ ^13 _ ^2 _ А23
у13 А ; у12 А ; у23 А ,
А33 А22 А33
О12 _ 21 С
3312 2
1212 (С )
3333
с
; о
С ~ 1323 2\
( ~ 1313 (С ) |
13
21 С
2323
с
О23 _ 21 С
1323 22323 (С )
С
1313
(10)
где
А_
С1111 С1122 С1133 С2211 с2222 С2233 С3311 с3322 С3333
сцк1 _ С тпрг 1 ] к I С С атапараг;
е1']' е1]а1 '1а]'
(5)
(6)
А11 _ С
2222~3333 (~2233)2 С - (С ) ;
А22 _ с
А33 _ с
1111 -3333 ( ~ 1122)2 С - (С ) ;
1111 ~ 2222 ~ 1122 2 С - (С ) ;
ст11 _ Ст1 1 Ь1 1Ь11 (1, 1 _ 1, 2, 3),
(7)
А _ ~ 1122 -3333 - 1133 ~ 2233 А12 _ С С - С С ;
где т - компоненты тензора поворота системы координат, который связан с тензором преобразования ко-
Ь1 ^X / , \
т _ ^х- (рис. 1) следующим соотношением
т
1
11
1 Ьт
ат _ ; , 9тт ~ компоненты метрического тензора,
*}дтт
А13 _ С-
1133с 2222 с 1122 с2233
а23 _ с1111с2233- с1122с1133.
Слоистые структуры образуются последовательной укладкой пропитанных связующим однонаправленных монослоев в одной плоскости - плоскости укладки.
Наличие арматуры с различными жесткостью и прочностью значительно расширяет диапазон композиционных материалов с пространственной схемой армирования.
Свойства композиционных материалов формируются не только арматурой (ее свойствами), но и в большей степени ее укладкой. Варьируя угол укладки арматуры (слоя), можно получить заданную степень анизотропии свойств, а изменяя порядок укладки слоев и угол укладки их по толщине, можно эффективно управлять изгибными и крутильными жесткостями композиционного материала [2].
Однонаправленный композиционный материал можно рассматривать как ортотропную среду (рис. 1). Для простейшей модели КМ - системы жестко связанных чередующихся изотропных стержней, обладающих характеристиками волокна, и матрицы - продольный модуль упругости Е1 рассчитывается по уравнению аддитивности, или правилу смесей [3]:
Е1 = ЕсУс + Ек(1 - Ус
(11)
где Ес - модуль упругости материала волокна; Ек -модуль упругости материала матрицы; Ус - коэффициент армирования, характеризующий относительное -объемное содержание волокон:
Ус
г2
П йс
щ'с;
(12)
онного материала со сплошными волокнами следующее:
ОсОк
°12 = °13 = [ О с ( 1 - Ус) + у с ],
(15)
где Ос и Ок - модули сдвига, соответственно, материалов волокон и матрицы.
Модуль сдвига О23, характеризующий связь между касательными напряжениями и деформацией сдвига в плоскости 2-3, перпендикулярной оси волокон определяется по формуле:
О
23
О
К к + у с + ( 1 - Ус ) О к / Ос У к К к + ( 1 + У с К к ) О к / О с
(16)
где Кк = 3 - 4 VR; VR - коэффициент Пуассона для материала матрицы.
Коэффициент Пуассона для однонаправленного композиционного материала определяется по формуле [4]:
^2 = ^Ус + vк( 1 - У с).
(17)
Элементарный однонаправленно армированный слой обладает тремя ортогональными плоскостями упругой симметрии, называется ортотропным (рис. 1). Он характеризуется девятью упругими постоянными, поскольку:
Ег V= Е} Vij. (18)
где йс - диаметр волокон; й0 - толщина армированного слоя; iс - частота армирования.
Для более сложной модели (цилиндрический стержень - волокно в коаксиальной оболочке - матрице) учитываются различия в коэффициентах Пуассона матрицы и волокон:
Е1 = ЕсУ с + Ек(1 - Ус) +
2 ( с - Vк ) 2е к Ес Ус( 1 - х'с) Ек ( 1 - VR ) Ьс + [ Ьк ( 1 - Ус ) + ( 1 - VR ) ] Е с'
(13)
где Ьк = 1 - Vк
2 Vк; Ьс = 1 - Vс
2 V;
Поперечные модули упругости Е2 и Е3, для наиболее простой модели КМ, определяются выражением:
Е
ЕсЕк
[ Ек Ус + (1 - Ус)]
(14)
Покажем процедуру построения матрицы жесткости квадратичного КЭ серендипова семейства композита с трещиной (рис. 1). Заметим, что КЭ лагранжевого типа приводит к громоздким выкладкам и является неоправданными при сравнении скорости сходимости МКЭ и как следствие требующим большего затрат компьютерного времени.
Для вычислений коэффициентов матрицы жесткости воспользуемся моментной схемой конечных элементов (МСКЭ). Для этого помещаем начало произвольной местной системы х1, х2, х3 в центр куба, оси которой совпадают с направлением ребер куба (рис. 2), отнесенного к базисной декартовой системе г .
Для вычисления коэффициентов матрицы жесткости достаточно иметь вариацию энергии упругой деформации:
8 ^ = ,
(19)
При совпадении оси 1 с направлением укладки волокон модули сдвига О12 и О13 характеризуют упругие сдвиги материала в плоскостях 1-2 и 1-3 параллельных волокнам. Правило аддитивности для композици-
либо на основании (1)
8^ = Л! .
(20)
V
Рисунок 2 — Сингулярный квадратичный конечный элемент и индексация узлов
М- = ч
=
ЬИ =
М - 1 при i = 1 V ] = 1, М при iф 1 V] ф 1,
N - 1 при i = 2 V ] = 2, N при iф 2 V] ф 2,
Ь- 1 при i = 3 V] = 3, Ь при iф 3 V] ф 3.
(24)
Здесь М, N Ь - степени аппроксимирующих полиномов (в нашем случае М = N = Ь = 2).
(рот)
Коэффициенты разложения еЦ согласно МСКЭ вычисляются следующим образом:
е( РЧТ) = ^ Ю(Ц + 1 е11
ЦvX
(р + 1 - цч - V т - X)'
Аппроксимацию перемещений для квадратичного КЭ серендипова семейства (рис. 2) представим в виде квадратичного закона:
1тп
РОТ
(РОТ) (рот) (000) (100) (100)
У к
(010) (010) юк' У
(001) (001) юк' У
У
(200) (200) юк' У
(110) (110) (020) (020) (101) (101)
У
(011) (011) ю к У
ю
У
Ю
У
(002) (002) юк У
(210) (210) юк У
(201) (201) (111) (111) , (120) (120)
У
Ю
У
Ю
У
(021) (021) (102) (102) (012) (012)
У
ю(211 )У( 211) ю к' У
Ю
У
Ю
У
ю(121)У( 121) Юк' У
где ю[Р,ЧТ) - коэффициенты разложения; УРЧ'' - набор степенных координатных функций вида
ю( 112) (112 ) Юк' У ,
(рч')
(21)
где
Л РЧ') = РЧТ +
е22 Iю.' 0
ЦvX
(Р - цч + 1 - V'- X)'
е%ЧТ) = I ю(ГЯ + 1) 05'
ЦVX РЧ'
(Р - цч - V' + 1 - X)'
е(РЧТ) = . /^ Ю(ЦV +1 Х) о' е12 1 7 2 Iю.' 0(Р + 1 - ЦЧ - V' - X)
цvX
+ ю(Ц + 1 ^к5'
+ Ю5' 0(Р - ЦЧ + 1 - V' - X),
е(РЧТ) = . /2^Ю(Ц^ + 1)05' е13 17 2 Iю.' 0(Р + 1 - ЦЧ - V' - X) цvX
+ Ю(Ц + 1 '
+ Ю5' 0(Р - ЦЧ - V' + 1 - X),
^(Ц + V + X) 5'
5 г
(цvX) и v X
5 = п = С = 0
(25)
(26)
У
(РОТ) = (5 )Р(п )ч (рТ
Р! 4!
(22)
Для вывода матрицы жесткости композита применим моментную схему конечных элементов, согласно которой компоненты тензора деформаций {е-}, представляются следующей аппроксимацией [5]:
Мн N¡1 Ьи
III ei;pчт)у(РЧТ),
Р = 0 ч = 0 т = 0
(23)
е( РЧТ) '¿У
где е- ' ' - коэффициенты разложения, Мц, Nij, Ьц
индексы, определяемые согласно по формулам
Для построения матрицы жесткости перейдем от коэффициентов разложения Юк' к значениям перемещений ик в узлах конечного элемента с помощью матрицы преобразования [Л]:
{Юк'} = [А]{ик'}.
(27)
Матрица [Л] задает связь между аппроксимирующими функциями Лагранжа (функции формы N1) и сте-
( РЧ')
пенными функциями у . Она определяется на основе принятого закона аппроксимации перемещений:
{NL} = [ А ]{у} , {и} = {NL}{ик'}.
(28) (29)
и
к
5
е
Вариация энергии упругой деформации (19) теперь запишется в виде:
8 Ш = 8{ ы5, }Т [ А ]Т[ Р^НИ^'п рЦ,'] [ А ]{щ,} = 8{и,,}Т[К5'£']{щ,},
(30)
где
[ К5^' ] = [А ]Т[ 1 И1к'][ РЫ][А ] (31)
/12ту12у32<
Ч3У31-
матрица жесткости КЭ.
Здесь [И1кк] с учетом соотношения (3) имеют вид:
^23у32) {Уц^З^Хйх2йх3; "21 1 у31у32) {уц}4дйх^йх^йх^;
{Уц}4дйх^ йх2йх3; {уу 22} 4д йх^ йх2йх^; | {уу2$4дйх ^йх2йх3; ) {у 22} */Зйх ^йх2йх3; ,) {у33}4дйх^йх2йх3;
) {У 33} •■Гдйх ^йх2йх3;
{у 33} 4дйх ^йх2 йх3; {у 12 }4дйх1 йх2 йх3; {У13 }4дйх^йх2йх3; {у23}*/дйх1йх2йх3. (32) Необходимо также учитывать симметрию:
[ И1111 ] 111 =ш^у -1 -1 -1 Vе 1 (1
[ И1122] 111 = I I !{У22}Т -1 -1 -1 е2 (у21
[ И1133] 111 = I I |{У33}Т -1 -1 -1 Е3 (у21
[ И2211] 111 = I I |{У11}Т -1 -1 -1 А* (у12
2222 [ И ] 111 = II !{У2/ -1 -1 -1 ГЕ2 Е(1
2233 [ И ] 111 =11 ^3/ -1 -1 -1 Е3 А* (У32
[ И3311] 1 1 1 = Ш{У11}Т -1 -1 -1 Е1 ( А* (у12
[ И3322 ] 1 1 1 = 111 {у22}Т -1 -1 -1 Е2 А* (У32
3333 [ И ] 111 = I I }Т -1 -1 -1 гЕ3 %(1 -
[ И1212] 111 = III {^12 }Т -1 -1 -1 °1 2 2
[ И1313] 111 = Ш{у13 }Т -1 -1 -1 С 13 2
2323 [ И ] 111 = III { ^23 }Т -1 -1 -1 Г & 23 2
[Н*-^'] = [Н^1к1] [И^к1] = [И^11к] [ И1кл = [ Ик 1 ].
Из выражения (33) видно, что для построения мат-
5 ' £'
рицы жесткости [ К ] необходимо определить две специальные матрицы [ Р*у] и [А].
Построение матрицы [ Р*у]. Расписав каждую из
( рот)
компонент в*! , можно заметить, что не все коэффициенты ш5рот) входят в разложение для аппроксимации перемещений (21) и их производных. Поэтому коэффициенты разложения в1р°г\ имеющие такие «>3рот), должны быть опущены при разложении выражения (25). В результате имеем
б11 = в( 000) 11 + в( 001) 11у( 001) + в(002 )11у( 002) + + в(010)11у( 010) + в( 011) 11 у(011) + в(012)11у( 012) + + в( 020) 11у( 020) + в( 021) 11у( 021) + в( 100) 11 у( 100) + + в( 101) 11у( 101) + в(110 )11 у( 110) + в( 111) 11у( 111),
822 = в( 000) 22 + в( 001) 22у(001) + в( 002) 22у( 002) +
+ в(010)22у(010) + в(011 )22у(011) + в( 100)22у( 100) -
, (101)„„ (101) (102 ) (102) (110)„„ (110) + в 22у + в 22 у + в 22у
, (111 )„„ (111) , (200)„„ (200) (201 )00 (201) + в 22 у + в 22у + в 22 у ,
33
(000)„„ , (001 )„„ (001) , (010)„„ (010) в 33 + в 33у + в 33у
- в(011)33у(011) + в(020)33у(020) + в(100>33у( 100) --в( 101) 33у(101) + в( 110 )33 у( 110) + в( 111) 33у( 111 )-+ в( 120) 33у(120) + в( 200)33у( 200),
- „(000),
(001).„ (001) (002).„ (002)
812 = в^"" 12 + в^"1 12у ; + в^ Л2У - в( 010) 12у(010) + в( 011)12у( 011) + в( 100) 12у(100) + -в(101) 12у( 101) + в( 110) 12у(110) + в(111) 12у( 111),
„( 000).,
(001 ).„ (001К (010).„ (010)
813 = в^"" 43 + в^"1 43 у""1; + Л3У + в(011 )13 у( 011) + в( 020) 13у(020) + в( 100) 13 у( 100) -+ в( 101) 13у( 101) + в( 110) 13у( 110),
е23 = в(000 )23 + в(001 '23у( 001) + в( 010) 23у(010) + + 2( 011) 23у(011) + в( 100)23у( 100) + в( 101) 23 у( 101) + + в( 110) 23 у( 110) + в(111) 23у( 111) + в( 200) 23 у( 200).
Функцию перемещения пространственного изопара-метрического конечного элемента с квадратичной аппроксимацией, согласно (21), представим в ином виде (через функции формы М*):
20
V = X и5'1М1 . 1 = 1
(34)
Учитывая изопараметричность КЭ, координаты узлов в базисной системе выражаются аналогично (21):
динаты теперь смещенных узлов вычисляются по следующим формулам:
20
{ = 1
(35)
(3 ¿1
4)/4, 4
(3 2^' + 2%)/4,
2^ = (3 2%3 + 2%5)/4, 2%6 = (3 2%3 + 2%8)/4. (38)
Функции формы N для каждого из узлов с учетом принятого их расположения в местной системе координат принимаем согласно [5], в виде: - для узловых точек
NL = 1 (1 + %%Ь)(1 + пП)(1 + )(%%1 + ПП + - 2) (Ь = 1, 3, 5, 7, 13, 15, 17, 19);
для срединных точек
С учетом (39) выражение (38) представим в виде:
25 = (N1 + 3 / 4 N2 + 3 / 4 N4) 2% + (N2 / 4 + N3) 23 + + N5 2%' + (N4 / 4 + N6) 2%' + + N8 2%' + N9 2%' + ^10 4) + N 112%1+N12 2%2+ (3 /4 N14 + 3 / 4 N16+^^ 13) 2 + + (N14 /4 + ) 215
+N17 2%7 + (N 16 /4 + N18 ) 2%8 +
+ N19219 + N20220 . (39)
Nь = 7( 1
-%%Ь)(1 + ППЬ)(1 + КЬ )х
Ь Ь 2 х[ 1 - (^ПЬО -
Ь Ь 2 (п%Ь?) -
Ь Ь 2 (?%л) ]
(Ь = 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 20). (36)
Перейдем к построению матрицы [В--], которая пред-
ч
ставляет собой матрицу связи коэффициентов разложения {е-} компонент тензора деформаций е- и коэффициентов разложения {ю%'} полей перемещений и, и определяется из матричного уравнения:
Соответствие индексов (рдг) в (21) и Ь в (37) показано на рис. 2, соответствие индексов в (22) и номеров узлов КЭ приведено в таблице 1.
Таблица 1 - Соответствие индексов степенного полинома и номеров узлов КЭ
Номер узла рдт Номер узла рдт Номер узла рдт
1 000 7 020 14 211
2 100 8 120 15 021
3 200 9 001 16 121
4 010 10 101 17 002
5 110 11 201 18 102
6 210 12 011 19 012
13 111 20 112
Расписывая выражение (36) по узлам КЭ, получаем
2 = N 12% + N2 22 + N2 + N А22 + N2
11 % %
27 + N8 28 %
33
44
+ N92 9 + N102 10 +
1 14214 1 ^15215 + N.
21 18218 1 + N19219 + N.
55 %
%
N626 +
%
%
16216 2%
20220.
%
N17 217
(37)
Далее допустим, что квадратичный элемент в узлах 1 и 13 примыкает к берегу трещины или угловые узлы 1 и 13 являются вершиной трещины. Тогда сместим промежуточные узлы 2, 4 и 14, 16 к вершине трещины на 1/4 длины ребра элемента (рис. 2). Базисные коор-
{е-} = [р2]]{ю}.
(40)
Для нахождения коэффициентов матриц [В-] сингулярного КЭ, воспользуемся формулами (26) и (37), (40). После преобразования имеем:
Ь^) = + ' + Я)[ 1 /16(- % - П - 4С - %2 - П2 + 2С2 +
2 2 2 2 2 2 + 3пС + 3пС + %п - 2%С + п%2 - 2пС2 + С%2 + Сп2 -
2 2 2 %
- 2%пС - %2С - %п С + 2%п<Г + 2)+ 1 /16(- 2% + п +
2 2 2 2 2 2 2 + С + Г - 2п2 + 2С2 + пс + 2%п + 2%С - п%2 - 2С - 2 л -
2 2 2 %
- 2- 2%п + 2п2С - 2%пС - 3)+ 1 /8(2 + 2% - 2^ -
2 2 2 2 1'
- 2п2 - 2- 2%п + 2п2С - 2^п2С)21 + 1 /16(-% - 2п +
2 2 2 2 2 2 2 2 + £2%2 + п2 + 2С2 + %С - %п - 2%<Г + 2пГ + 2пС2 - СГ -
2 2 2 2 1'
- Сп2 + 2%пС - 2 + %п2 С + 2 %пС2 - 3) + 1 / 8 (2 +
+ 2п - 2£ - 2%2 - 2пС - 2%2п + 2%2^ + 2^пО^!' +
+1 / 8 (- % - п + с2 + п2 + с2 + %п2 + %С2 + п%2 + пс2 -
2 2 2 2 2 % - с%2 - Сп2 - %пС - %2 пС - %п2 С + %пС - 2) +
2 2 2 2 1' + 1 /8(2- 2% -2п-2С2 + 2%п + 2п<; + 2%С-2ГпС)2 +
+ 1 /8 (2 + 2% - 2п - 2С2 - 2%п + 2п<?2 - 2%^2 + 2^пО^Ю +
+ 1 /8(2 - 2% + 2п -2С2- 2%п -2п<?2 + 2%^2 + 2%2пС)¿Ц +
2 2 2 2 1' + 1 /8(2 + 2% + 2п -2С2 + 2%п -2п<Г- 2%<Г + 2%2пС)^ +
+1 /16(- % - п + 4с - %2 - п2 + 2С2 - 3пС - 3пС + %п2 -
2 2 2 2 2 2 2
- 2 %с2 + п%2 - 2 пС2 - с%2 + Сп2 + 2 %пС + 2 %2пС + %п2 С +
2
2
+ 2%nZ2 + 2 )zf3 + 1 /16(- 2% + 2n - Z + %2 + 2n2 + 2Z2 -
2 2 2 2 2 2
- nZ - 2%n + 2- - 2nZ2 + Z%2 + 2Zn2 - 2%nZ -
2 2 2 S' 2
- %2nZ + 2%nZ + 2%nZ2 + 3)ZS5 + 1 /8(2 + 2% + 2Z - 2^ +
+ 2%Z2 - 2%n2 - 2nZ2 - 2%n2Z)zS7 + 1 /16(% - 2n - Z +
2 2 2 2 2 2 2 2 + 2%2 + n2 + 2Z2 - %n - 2%Z2 + 2n%2 + 2nZ2 + 2Z%2 +
2 2 2 2 S'
+ Zn2 - 2%nZ + 2%2nZ - %n2Z - 2%nZ2 - 3)Z|8 + 1 /8(2 +
2 2 2 S'
f2n + 2Z - 2%2 + 2n% - 2n%2 - 2%2nZ)Zi9 + 1 /8(- % - n -
- Z + %2 + n2 + Z2 + %n2 + %Z2 + n%2 + nZ2 + Z%2 + Zn2 +
- %nZ + %2nZ + %n2Z + %nZ2 - 2Zo]/(5%)^(5n)v(5Z)^.
(41)
Взяв частные производные по п, С в центре конечного элемента в выражении (42), получим следую-
щие значения компонент Ъ]
h = 1- + 1 1- + 1 1- + 1 1- + 1 +
Ъ(000) 4Z4 + 4z5 - 4z6 + 4z7 - 4z8 + 4z9 - 4Z10 + 4z12 +
+ 1- +11 1 + 4Z17 + 4 z19-4 z20-16 '
h = 11 + 1 + 1 + 1 1 +1
Ъ(001) - 4Z5 - 4 z7 + 8Z8 + 4 Z14 + 4 Z19 - 8Z20 + 4'
, =1+1+1+1 1 1 1 1 + Ъ(002) 4Z1 + 4z3 + 4z6 + 4z8 - z9 - 4z10 - Z11 - 2Z12 +
+ 1- +1- +1- + 1 + 4 z13 + 4Z15 + 4 z18 + 4 z20'
, =1+1 1 1 1+1+1 Ъ(010) - <8z6 + 4z7 - <8z8 - 4z9 - 4Z10 + 4Z11 + 4z12 -
1 + 1- 1
-8-Z18 + 4Z19 -8-Z20'
h =1 +1 1
Ъ( 011) -4z7 + 4Z19-8'
, = 1- 1- +1- +1 +1 1 1 Ъ(012) - 4Z1 - 4z3 + 4z6 + 4-Z8 + ¡jz9 -4z10 - Z11 -
1 1 1+1+1 - 2 Z12 - 4 Z13 - 4 Z15 + 4 z18 + 4 z20'
, =11+1+1- 1+1 Ъ(020) 4z3 - 22z5 + 4z8 + 4-Z15 - 2Z17 + 4Z20'
, =1 1 1- + 1
Ъ( 110) 4 z9-4-Z10-4-Z11 + 4 z 12'
, =111-1- 1 1 1 1 Ъ( 111) 8 Z3 + 8 z6 - 8 Z8 + 8 z13 - 8 Z15 - 8 Z18 + 8 Z20 - 8'
h = 1 +1 1 +1- +1 1+1
Ъ( 112) - 4z3 + 4z8 - 2?Z9 + 4-Z10 + 2Z11 - 2?Z12 + 4Z13 -
1 1 +1 + 1
4 Z15 4 Z18 + 4 Z20 + 8'
, =1 1 1+1+1 1 +1 +1 Ъ( 120) 4z3 - 2Z5 - 8Z6 + 4Z8 + 4Z15 - 2Z17 + 4Z20 + 4 '
Ъ
1 1 1 -1--
-4 z3 + 2 z5 - Zq 48
1 -1-- -1--
4 z6- 2 z7 + ' -- ^ + 48
15" oz17T /z20 "
(121) Ъ(™т
h =1+11+1+1 1+1 Ъ(201) - 4z6 + 2Z7 - 4 Z8 + 8z15 + 4 z18 - 22 Z19 + 4 z20 '
, = 1 1+1+1 1 1 +1 Ъ(210) 4 z6 - 2 Z7 + 4 z8 + 8z13 - 4z18 - 2 z19 + 4Z20'
h =1+1 1+1 +1 1 +1
Ъ(211) -4z5 + 2Z7 - 4z8 + 2Z14 + 4z18 - 2Z19 + 4Z20'
(42)
Матрица [Л] - матрица перехода от одной системы координатных функций {N} к другой {у} находится из матричного уравнения:
{N} = [ A ]T {у} (43)
с учетом выражений (23), (37).
Таким образом, с учетом полученных матриц [ Fj], [A] по формуле (31) строится матрица жесткости КЭ
s't'
[ K ], размерность которой 60x60.
Данная матрица сингулярного КЭ композита реализована в программном комплексе «М1РЕЛА+» [6] для PC IBM, с помощью которого решена следующая задача.
Исследовано напряженно-деформированное состояние ортотропной композиционной балки с трещиной. Расчетная схема приведена на рис. 3. Размеры балки:
h =1- 1 1+1
Ъ(021) 2Z5 -4Z8 -2?Z17 + 4Z20'
, =1+111+1 1+1 Ъ( 100) - 8-z3 + 4z5 - 8-z8 - 4z9 + 4Z10 - 4Z11 + 4z12 "
+1- +1 1
- 8Z15 + 4Z17 + 8Z18 - 85Z20'
, =11+1 _L
Ъ( 101) - 4z5-4iz16 + 4z17-16Z18'
h = 1 +1 1 +1- +1- 1 +1 Ъ( 102) - 4 Z1 + 4 z3 - 4 z6 + 4 z8 + 2 z9 - 4 z10 + 2 Z11
1 1 1 +1 1
- 2 Z12 - 4 Z13 - 4 Z18 + 4 Z20 - 4'
Рисунок 3 — Расчетная схема композитной балки
Рисунок 4 — Напряженно-деформированное состояние конструкции при у = 0°
J■ +1. 423Е-01 Н +1.211Е-01 Н +9.984Е-02 17.000Д 02 +5.737Е-02 +3.613Е-0г
--11. 4СОЕ
-6.344Е-03
Рисунок 5 — Напряженно-деформированное состояние конструкции при у = 90°
длина а = 0,5 м; ширина Ь = 0,06 м; толщина Н = = 0,065 м, длина трещины Ь = 0,25 м.
Упругие постоянные материалов: материала матрицы - модуль упругости Ед = 4,4 МПа, коэффициент Пуассона уд = 0,4; материала волокон - модуль упругости Ес = 1277,5 МПа, коэффициент Пуассона ус = = 0,3. Диаметр волокон йс = 0,0007 м, частота армирования гс = 2900 нитей/м, приложенная нагрузка ст = = 0,0154 МПа.
Деформированное состояние и распределение нормальных напряжений в конструкции в направлении действия внешней нагрузки для углов армирования у = = 0° и у = 90° около вершины трещины приведены на рисунках 4 и 5 соответственно.
Таким образом, раскрытие трещины и величина напряжений вблизи вершины значительно больше при угле армирования у = 0°, чем при у = 90°. Это связано с тем, что сопротивление нормальному отрыву в первом случае оказывает в основном материал матрицы, а во втором - материал армирующих волокон.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Киричевский В. В., Дохняк Б. М., Карпушин О. Д. Матрица жесткости пространственного конечного элемента для исследования конструкций из композиционных материалов // Вюник Сх1дноукр. держ. ун-ту. - 1999. -№ 3(18). - С. 109-116.
2. Механика композитных материалов и элементов конструкций. В 3 т. / Гузь А. Н., Хорошун Л. П., Ванин Г. А.
и др. - Т.1: Механика материалов. - К.: Наук. думка, 1982. - 368 с.
3. Композиционные материалы: Справочник / Под ред. д. т. н., проф. Д. М. Карпиноса. - К.: Наук. думка, 1985. -592 с.
4. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.
5. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский и др. / Под ред. А. С. Сахарова и И. А. Альтенбаха. - К.: Вища школа, 1982. - 480 с.
6. Метод конечных элементов в вычислительном комплексе «М1РЕЛА+» / В. В. Киричевский, Б. М. Дохняк, Ю. Г. Ко-зуб, С. И. Гоменюк, Р. В. Киричевский, С. Н. Гребенюк. -К.: Наук. думка, 2005. - 403 с.
Надшшла 17.02.06 Шсля доробки 2.04.06
Розглянуто виведення коефщгентгв матриц жорст-Kocmi сингулярнуго скгнченного елементу серендипова ci-мейства для композита з mрiщинoю на ocнoвi eapia^-u-ного принципу Лагра н жа. Сингуляртстъ пoлiв деформа-цп та напруженъ моделювалосъ шляхом зсуву пpoмiжниx вузлiв cкiнченнoгo елемента на 1/4 довжини сторони за направленням до вершини трщини.
The conclusion of rigidity matrix factors of singular finite Serendip element for a composite with a crack is considered on the basis of a variational Lagrange principle. Singular of fields of deform ations and stresses was simulated by displacement of intermediate sites of finite element on 1/4 party lengths in the direction of crack top.
YAK 519.74, 681.51
Д. А. Зайцев, M. В. Березнюк
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АДРЕСНОГО ПРОСТРАНСТВА ПРОТОКОЛА BLUETOOTH
В настоящей работе построены модели Петри ведущего и ведомых устройств, реализующих протокол Bluetooth. На примере моделей пикосетей с различным числом ведомых устройств выполнена оценка эффективности исполъзования адресного пространства протокола. Для построения и исследования моделей исполъзована промышленная моделирующая система CPN Tools. Выявлена воз-можностъ пробуксовки обмена информацией при росте числа подключенных к пикосети ведомых устройств.
ВВЕДЕНИЕ
На начальной стадии своего развития протокол Bluetooth [1, 2] ввиду высокой стоимости реализующих его устройств имел в основном военное и специальное применение как один из основных протоколов сетей мобильных сенсорных устройств. Он использовался для сбора информации от автономно работающих датчиков, распределенных в радиусе до одного километра, и применялся для визуального наблюдения, прослушивания, радиационного мониторинга. В [3] отмечается применение протокола Bluetooth для создания панорам возможных районов проведения военных операций.
В настоящее время в связи с удешевлением Bluetooth устройств протокол находит широкое офисное применение для создания беспроводных пикосетей. На рынке представлен широкий выбор периферийного оборудования компьютеров, поддерживающих обмен информацией по протоколу Bluetooth: принтеры, клавиатура, манипуляторы «мышь», аккустические системы.
Достаточно распространенной является Bluetooth гарнитура мобильных телефонов «свободные руки».
Так как построение аналитических моделей Bluetooth сетей затруднено ввиду сравнительно высокой сложности технологии, имитационное моделирование является перспективным направлением исследований. Известно применение специализированной моделирующей системы Network Simulation (ns) для исследования режимов энергосбережения Bluetooth [3]. Однако применение специализированных систем моделирования имеет ряд недостатков, основной из которых состоит в сложности интеграции моделей при исследовании гетерогенных сетей. Раскрашенные сети Петри [4, 5] моделирующей системы CPN Tools [6] являются универсальной алгоритмической системой и позволяют моделировать телекоммуникационные устройства и сети [7-12]. Предложенный ранее метод измерительных фрагментов [9, 10] обеспечивает измерение нетривиальных характеристик моделируемого объекта в процессе имитации динамики сети Петри.
Целью настоящей работы является построение типовых моделей ведущего и ведомого Bluetooth устройств в форме раскрашенных сетей Петри, а также оценка эффективности использования адресного пространства протокола.
ОБЗОР ТЕХНОЛОГИИ BLUETOOTH
В настоящее время объемы продаж Bluetooth оборудования значительно превышают объемы продаж обо-
© Зайцев Д. А., Березнюк М. В., 2006
