CC BY
7Топольский Н. Г., Манин П. А., Таранцев А. А., холостов А. л.
моделирование дежурно-диспетчерской службы
объекта на основе одноканальной безбуферной системы массового обслуживания с эрланговским входным потоком и экспоненциальным обслуживанием
В статье оценены важнейшие характеристики одноканальной безбуферной системы с экспоненциальным обслуживанием - вероятности немедленного приёма заявки и отказа в приёме при эрланговском входном потоке и для предельного случая - регулярного входного потока заявок. Полученные результаты могут быть использованы для принятия решения о количественных характеристиках дежурно-диспетчерских служб объектов.
Ключевые слова: система массового обслуживания, эрланговский и регулярный потоки.
Topolsky N., Manin P., Tarantsev A., Kholostov A. MODELLING OF THE DISPATCHING SERVICE
BASED SINGL-CHANNEL UN-BUFFERED QUEUINING SYSTEM WITH ERLANG'S INPUT STREAM AND EXPONENTIAL SERVICE
For single-channel un-buffered systems with exponential service evaluated its essential characteristics - the probability of immediate acceptance of the application and the refusal to accept at Erlang's input stream and for the limiting case - a regular input stream of requests. The results obtained can be used to make a decision about the quantitative characteristics of the object dispatchers.
Keywords: queueing systems, Erlang's and regular streams.
введение
В настоящее время с появлением различных видов угроз актуальной становится задача создания автоматизированных интегрированных систем безопасности и жизнеобеспечения объектов [1, 2]. Одним из основных докумен-
тов, регламентирующих создание таких систем, является ГОСТ Р 22.1.12-2005 «Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Структурированная система мониторинга и управления инженерными системами зданий и сооружений. Общие требования» [1].
Системы мониторинга создают на базе программно-технических средств, осуществляющих контроль технологических процессов и процессов обеспечения функционирования непосредственно на объектах. Затем информация передаётся в дежурно-диспетчерские службы (далее ДДС) этих объектов для последующей обработки с целью оценки, предвидения и ликвидации последствий дестабилизирующих факторов в реальном времени [2].
Важное место в работе таких систем занимает автоматизированная ДДС, которая представляет собой совокупность технических средств и операторов-диспетчеров.
Одной из основных функций персонала ДДС является мониторинг событий, заключающихся в отклонении наблюдаемых параметров от нормального процесса функционирования систем объекта, и своевременное реагирование на них [2]. В качестве таких событий будем рассматривать моменты времени поступления сигналов от других подсистем в ДДС. Совокупность этих со-
бытий, происходящих через разные промежутки времени, образует поток, поступающий к оператору (диспетчеру) для дальнейшего обслуживания.
Характерными для дежурно-диспетчерской подсистемы комплексной системы безопасности являются простейший (пуассоновский) и регулярный потоки. Простейший поток образуют события, имеющие случайный характер возникновения: отказы узлов и элементов технологического оборудования, сигналы отклонения параметров контролируемых процессов от нормы, сообщения о возникновении предаварийных и аварийных режимов, несанкционированные проникновения, нарушения в процессе функционирования систем жизнеобеспечения и другие дестабилизирующие факторы.
Регулярный поток образуют постоянно происходящие события: сообщения-сигналы от подсистем при функционировании в штатном режиме, «опрос» систем в автоматизированном режиме и др.
Процесс функционирования ДДС может быть описан с использованием математического аппарата теории массового обслуживания [3, 4]. В случае, если ДДС рассматривается как стандартная система массового обслуживания (далее СМО) М/М/1/0 (в обозначениях работы [4] - ЕЦуЕкДО), то есть в неё поступает простейший (стационарный, ординарный и без последействия) поток событий (заявок, сигналов, сообщений, вызовов с частотой л или средним промежутком времени Т между событиями), а время обслуживания каждой заявки случайное и подчинено экспоненциальному закону с параметром (скоростью обслуживания) д, то известны аналитические выражения [3], связывающие пара-
метры л и д с основными характеристиками СМО - вероятностями отказа в приёме заявки р и незанятости канала об' отк
служивания (далее КО) - то есть немедленного приёма им заявки рн.
Наличие аналитических выражений позволяет решать задачи анализа и синтеза таких СМО. В первом случае, при известных величинах лид оценивать величины рн и ротк и делать вывод о том, насколько СМО (например, диспетчерский пункт) удовлетворяет предъявляемым требованиям. В частности, для пожарной охраны нормирована предельно допустимая величина вероятности отказа ротк - 0,1 % [5, 6]. Во втором случае, например, при известной частоте л и допустимой величине ротк - подбирать такую скорость обслуживания д, чтобы выполнялось условие ротк < 0,1 %.
Т
проблема
ем не менее, если входной поток заявок отличается от простейшего и является в общем случае потоком Пальма (в частности, эрланговским или в пределе - регулярным), то задача определения аналитических зависимостей между параметрами и характеристиками СМО Е/М/1/0 или Э/М/1/0 (ЕгЛф\1Бкд\0 или Р5Т\1Екд\0), а следовательно, и её анализ и синтез значительно усложняются. В работах [7], [8] предпринимались попытки решить аналогичную задачу аналитически и численно с использованием методов имитационного моделирования [9].
В данной статье представлен аналитический вариант решения задачи описания работы безбуферной одно-канальной СМО с эрланговским входным потоком и экспоненциальным законом обслуживания.
аналитические выражения для моделирования одноканальной безбуферной смо
В
общем случае граф переходов для СМО Е/М/1/0 (или Ег уЕкд\0) представлен на рисунке 1. Промежутки времени между поступающими заявками распределены по закону Эрланга Егдф [10]:
ЪМ = №1ехр(-Хт)/{ф-\)\,
где ф - порядок закона Эрланга или число условных фаз формирования заявки; л - параметр закона, л = ф/т. Время обслуживания описывается экспоненциальным законом Екд с плотностью распределения [10]:
где д - параметр закона, обратно пропорциональный среднему времени обслуживания.
Рисунок 1. Граф переходов для СМО вида ЕгЛ,фУЕкД0 (Е/М/1/0)
Его состояния {5} приведены в таблице 1 . Этому графу переходов для установившегося режима работы СМО соответствует система алгебраических уравнений [3]:
[0 = к1ар.-1 - ар. + р, 10 = аР+ф-1 - (к2а + 1 ) Р+ф , 1=0 , . .. , ф - 1
¡+Ф'
(1, 2)
Решение системы уравнений (1)-(2) было найдено в явном виде:
Ро=(а+1)г [аф+ф(а+1)ф1]1, А = [(а+1)+ - а'+1](а+1)-'р0,1= 1, ... , ф-1, (3, 4,5) А = а+ф (а+ 1 )' р0, 1=ф, ... , 2ф - 2,
где р1 - вероятность состояния бр причём р0+р1 + ... + р2ф-1 = 1; к1 = 0 при 1 = 0, к1 = 1 при 1 > 0; к2 = 1 при 1 < ф - 2, к2 = 0 при 1 = ф - 1; а = л/д.
P2ф-l=аФ(а + lГPo,
где г= 0 при ф < 2, г = ф-2 при ф > 2.
Таблица 1
Состояния одноканальной безбуферной СМО с эрланговским потоком заявок
{5} Состояние {5} Состояние
50 51 52 Заявка не формируется, КО свободен Заявка в 1-й фазе формирования, КО свободен Заявка во 2-й фазе формирования, КО свободен 5ф ф 5ф+1 5ф+2 Заявка сформировалась и поступила в КО, он занят её обслуживанием, новая заявка не формируется Новая заявка в 1-й фазе формирования, КО занят Новая заявка во 2-й фазе формирования, КО занят КО занят, заявка в предпоследней фазе формирования, её ожидает отказ в приёме -критическое состояние
5ф-2 5ф 1 Заявка в ф-2-й фазе формирования, КО свободен Заявка в ф-1-й (предпоследней) фазе формирования, КО свободен 52ф-1 5отк
5 н КО свободен 51 КО занят
В частности, когда ф = 1 (то есть СМО стандартная, в неё проступает простейший поток заявок), выражения (3) и (6) приводятся к известному виду (выражения (4) и (5) упрощаются) [3]:
\-1
Ро=(я + 1)~ А=А/(А + 1).
(7)
(8)
С практической точки зрения интерес представляют состояния 5 и 5
г г " н отк
(см. табл. 1) с вероятностями Рн = р0 + ... + Рф-1 и Ротк = р2ф-1, когда КО соответственно свободен и занят в момент поступления заявки. Если СМО находится в состоянии 5отк, вновь пришедшая заявка получает отказ в обслуживании, что критично [5, 6].
Вероятности Рн и Ротк, а также Р1 = Рф + ... + р2ф-1 с учётом того, что приведённая нагрузка а = а/ф, могут быть найдены из выражений (3)-(6):
Рн=1-(А-1+1)фГ1 + а-1+о-1(А-1+1)4
-1
(9)
Р, = (а-Ч 1)Ф Г1 + а-Ч а"1 (а"1+1)4
-1
(10)
Р = аф
отк
яф+ф(я+1)'
ф-1
(11)
В частном случае для стандартных СМО при ф = 1, а = а в выражениях (7) и (8) Р = р0, Р = р..
н 0 отк 1
Особый интерес представляет предельный случай, когда входной поток регулярный, то есть ф ^ да и заявки поступают с периодичностью Т. Тогда с учётом соотношения а = дТ и пределов НШф^ш(1+а !)ф = ехр(а_1) и ИШф^^а-1 = 0 выражения (9)— (11) принимают вид:
Рн =1-езгр(1/а)[1 + а-1е*р(1/а)]"1, (12)
Рх-ехр{ 1/а)[1 + а Хехр{\/ а)] ', Р01В=[1 + а-1«р(1/а)]"1. (13)
Введя понятие нормированной на- по выражениям (7)-(8), (12)—(13), резуль-грузки А = а/(а + 1) и проведя расчёты таты представим на рисунке 2 и в таблице 2.
Р 1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
0
А
Рисунок 2. Вероятности состояний одноканальной безбуферной СМО: —•— Предельное значение вероятности Р
Как видим, при той же нагрузке регулярный и эрланговский потоки заявок по сравнению с простейшим потоком «мягче» действуют на характеристики одноканальной безбуферной СМО. Другими словами, для оценки характеристик Р и Р СМО вида
~ н отк "
ЕГл,ф\1Екд\0 или Рбт\1Екд\0 (Е/М/1/0 или Э/М/1/0) можно вместо выражений (9), (11) и (12), (13) использовать упрощённые выражения (7) и (8), соответствующие стандартной СМО Ека\1Ек1\0 (М/М/1 /0), записав их в виде:
Рн=(а + 1)-1,
Р0ТК=а/(а + 1) .
Погрешность при этом будет идти в «запас».
Т
выводы
аким образом, на основе аналитического решения систем уравнений, соответствующих графу переходов для одноканальной безбуферной СМО с эрланговским входным потоком и экспоненциальным обслуживанием, получены алгебраические выражения
Вероятности состояний одноканальных безбуферных СМО
Таблица 2
Ека\1Ек1\0 (М/М/1/0)
Р5т \1Ек,\0 (Э/М/1/0)
А а Рн = р0 Р = р1 отк 1 Р н Р1 Р = р™, отк ¿¿ф-1
0 0 1,0 0 1,0 0 0
0,05 0,04762 0,95 0,05 0,9474 0,0526 ~0
0,1 0,11111 0,9 0,1 0,8889 0,1111 1,37-105
0,2 0,25 0,8 0,2 0,7511 0,2489 0,00456
0,3 0,42857 0,7 0,3 0,5885 0,4115 0,0399
0,4 0,66667 0,6 0,4 0,4197 0,5803 0,1295
0,5 1,0 0,5 0,5 0,2689 0,7311 0,2689
0,6 1,5 0,4 0,6 0,1526 0,8474 0,4351
0,7 2,33333 0,3 0,7 0,0741 0,9259 0,6052
0,8 4,0 0,2 0,8 0,0280 0,9720 0,7570
0,9 9,0 0,1 0,9 0,0059 0,9941 0,8895
0,95 19,0 0,05 0,95 0,0011 0,9989 0,9524
1,0 да 0 1,0 0 1,0 1,0
СМО
для вероятностей состояний и основных характеристик такой СМО. Подобные выражения получены и для предельного случая, когда входной поток регулярный. Показано, что для оценок вероятностей отказа в приёме заявки и незанятости КО допустимо использовать выраже-
ния, соответствующие аналогичным стандартным СМО.
В дальнейшем представляется целесообразным получить аналитические выражения для основных характеристик аналогичных одноканальных СМО с очередью - вида Ег УЕкДот и Р5Т \1Ек \т (Е/М/1/от и Э/М/1/л7).
литература
1. ГОСТ Р 22.1.12-2005. Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Структурированная система мониторинга и управления инженерными системами зданий и сооружений. Общие требования.
2. Топольский Н. Г. Интеллектуальные интегрированные (комплексные) системы безопасности и жизнеобеспечения - от объектов до территорий // Материалы 13-й научно-практической конференции «Системы безопасности» - СБ-2004. - М.: Академия ГПС МЧС России, 2004. - С. 8-10.
3. Вентцель Е. С. Исследование операций. -М.: Сов. радио, 1972.
4. Таранцев А. А. Инженерные методы теории массового обслуживания. - СПб: Наука, 2007.
5. РД 45.120-2000 (НТП 112-2000) Городские и сельские телефонные сети. Нормы технологического проектирования.
6. Шаровар Ф. И. АСУ и связь в пожарной охране. - М.: ВИПТШ МВД СССР, 1987.
7. Таранцев А. А, Эрюжев М. В. Об аналитических закономерностях в незамкнутых СМО // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2004. - № 1.
8. Таранцев А. А, Холостое А. Л., Бреча-лов С. Л. О моделировании безбуферного узла сети массового обслуживания // Вестник Академии ГПС МЧС России. - 2004. - № 2. - С. 130-140.
9. Соболь И. М. Метод Монте-Карло. -М.: Наука, 1985.
10. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. -М.: Высшая школа, 1998.
