CC BY
19УДК 614.84+519.872 DOI 10.25257^Е.2017.4.23-27
Малышев Д. А., Таранцев А. А., Холостов А. Л.
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ДЕЖУРНО-ДИСПЕТЧЕРСКИХ СЛУЖБ С УЧЁТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ АБОНЕНТОВ
Авторами статьи приводится математическая модель дежурно-диспетчерской службы, которая рассматривается как многоканальная система массового обслуживания с очередью. Порядок поступления заявок (сообщения абонентов) случайный, заявки покидают систему (дежурно-диспетчерская служба) обслуженными либо не дождавшись обслуживания из-за ограниченного времени ожидания - «нетерпеливости». Представлены выражения для описания вероятностей состояний такой системы и для оценки основных показателей её функционирования. Полученные выражения могут использоваться для решения задач анализа и синтеза системы массового обслуживания при обосновании количественных характеристик дежурно-диспетчерских служб.
Ключевые слова: дежурно-диспетчерская служба, система массового обслуживания, «нетерпеливые» заявки.
Аежурно-диспетчерские службы (ДДС) являются важнейшей составляющей современных экстренных служб, обеспечивая приём и обслуживание (обработка, формирование управляющих воздействий и доведение их до исполнителей) заявок - сообщений абонентов, звонков, сигналов и др. информации о различных чрезвычайных ситуациях (ЧС), пожарах, правонарушениях, проблемах со здоровьем и т. п. Применительно к пожарной охране это Единые ДДС - 01 (ЕДДС), для МЧС - это центры управления в кризисных ситуациях (ЦУКС), применительно к крупным городам - центры управления дорожным движением и т. п. На рисунке 1 показан вид рабочих мест центра обработки вызовов экстренных служб Системы-112.
Вопросы, связанные с деятельностью таких ДДС в последнее время особенно актуальны [1-8]. Для моделирования функционирования ДДС используются основные положения математического
Рисунок 1. Центр обработки вызовов экстренных служб Системы-112 Республики Коми
аппарата теории массового обслуживания [9-10]. При этом ДДС представляется в виде л-канальной системы массового обслуживания (СМО) с т-местной очередью, куда поступает поток заявок, обслуживаемый диспетчерами - каналами обслуживания (КО).
Исследования в части моделирования работы ДДС с учётом требований РД 45.120-200 «Нормы технологического проектирования. Городские и сельские телефонные сети» позволили разработать и опубликовать проект нормативного документа, а именно: свода правил «Определение числа диспетчеров и линий связи дежурно-диспетчерских служб», и предложить внести соответствующие дополнения в ГОСТ Р 22.7.01-99 «Безопасность в ЧС. Единая дежурно-диспетчерская служба. Основные положения» [2].
Проблема и постановка задачи. Важной особенностью работы ДДС является необходимость учёта ограниченности времени ожидания абонента. Например, в условиях крупных ЧС абонент, обращающийся с вызовом в ЕДДС, не имеет возможности длительно ожидать связи с диспетчером и вынужден через какое-то время ожидания to прервать вызов, не сообщив диспетчеру о проблеме со всеми возможными отрицательными последствиями. В таком случае ДДС представляют как СМО с «нетерпеливыми» заявками [1, 11].
В данной работе рассматриваются задачи анализа и синтеза применительно к ДДС как к СМО с «нетерпеливыми» заявками (абоненты). В первом случае (задача анализа) по известным параметрам СМО (число КО п, число мест в очереди т, скорость обслуживания ц, среднее время ожидания to связи с диспетчером) и интенсивности потока (частоты поступления 1) заявок определяются вероятности состояний {р.} СМО, а по ним -важнейшие характеристики:
Источник заявок
СМО ДДС
КО, ко2 ко„
Накопител заявок
Необслуженные заявки
Обслуженные заявки
с частотой X, время обслуживания - случайное и подчинено экспоненциальному закону с параметром ц, время ожидания to - случайное и подчинено экспоненциальному закону с параметром to-1 получены аналитические выражения для вероятностей состояний [1, 11]:
" г/ Г," т ) 1
(1)
а
А=РоТ'/=1'
Рисунок 2. Схема л-канальной СМО с т-местной очередью и «нетерпеливыми» заявками: 1 - уход заявок из очереди по причине переполнения накопителя; 2 - уход из очереди по причине «нетерпеливости»
- вероятность того, что заявка не будет обслужена (т. е. будет «потеряна» рпз (отказ в приёме ввиду занятости КО и мест в очереди или уход из очереди, не дождавшись освобождения КО);
- средняя длина очереди точ;
- вероятность приёма заявки к немедленному обслуживанию рн и др.
Во втором случае (задача синтеза) по заданным требованиям к допустимым величинам характеристик СМО - рпз, точ и др.) и частоте поступления заявок X определяются параметры СМО -число КО п, размер накопителя (число мест в очереди) т, скорость обслуживания ц.
Модель СМО с «нетерпеливыми» заявками. Соответствующая ДДС п-канальная СМО с т-местной очередью и «нетерпеливыми» заявками, схема которой представлена на рисунке 2 [11], может пребывать в п + т + 1 состояниях, т. е. от ^ до 5
' 0 ^ п+т
с соответствующими вероятностями от р0 до рп+т. Граф переходов для такой СМО представлен на рисунке 3.
При стандартных допущениях (процесс поступления-обслуживания заявок - установившийся, поток поступающих заявок - простейший
(X
П+1 )
"1Н-]
—-—, /' = 1,..., т,
ПА' ' '
п\ ^ п+кв
(2)
(3)
где а =--приведённая нагрузка; 8 = (^ц)-1 - приведённая «нетерпеливость» (при 8^0 «нетерпеливость» отсутствует, при 8 ^ да «нетерпеливость» максимальная).
Величина очереди точ может быть оценена по известному выражению [10]:
т„,
(4)
Что касается вероятности потери заявки (звонок абонента) рпз в СМО с ограниченным временем ожидания, то часто используется термин вероятность отказа, но в литературе нет единого подхода. Например, в работе [11] приведено выражение:
ЯпЗ
0
(5)
Авторы настоящей статьи считают, что выражение (5) не вполне корректное, поскольку при 8 ^ 0 потерь заявок нет, т. е. рпз ^ 0, что не характерно для СМО с ограниченным числом мест
ц 2ц Зц (л-1)ц лц лц+ 1Д, ПЦ+2Л„ лц+ЗД, лц+(т-1)Л0 лц+тД,
V и ' У и
Очереди нет Очередь
Рисунок 2. Граф переходов для л-канальной СМО с ограниченной т-местной очередью и «нетерпеливыми» заявками
1
2
в очереди т. Для оценки величины рпз было предложено следующее выражение [1]:
р = р + р ,
(6)
где ротк - вероятность отказа в приёме заявки из-за занятости всех т мест в очереди; рунз -вероятность ухода заявки из очереди из-за «нетерпеливости».
Эти вероятности, в свою очередь, могут быть определены из выражений:
отк г п + т 1
Ру.„.3 = т0.
а
(7)
(8)
Очевидно, что для стандартного случая, когда «нетерпеливости» нет (8 —■ 0, СМО вида М/М/л/т или ЕхДпЕхц\т [9]), тогда рунз —■ 0, следовательно, выражение (6) приводится к виду оп.з = оотк = оп + т.
В предельном случае при 8 — оо, т. е. когда «нетерпеливость» заявки максимальна (^ — 0) и она покидает СМО при малейших признаках очереди (точ Ф 0), то рпз —рп = ап/л! , и только тогда рассматриваемая СМО превращается в систему без очереди вида М/М/л/0 или ЕхДпЕхц\0 [9].
Кроме того, интерес представляет оценка вероятности приёма заявки к немедленному обслуживанию рн (когда свободен хотя бы один КО):
х-, а
А.=А>2<7г
/=о '■
(9)
Рп з 0,09
0
0 ^ ад
е =
0 = 5
е = 1
е = 0,3
е = 0,1
0,25
0,5
0,75
Рисунок 4. Зависимость вероятности потери заявки абонента рпз в одноканальной СМО (п = 1, ДДС с одним диспетчером) от числа мест т в очереди при различной «нетерпеливости» абонентов при а = 0,1: т* = т/(4+т) - нормированный размер накопителя заявок
С использованием выражений (6)-(8) и (1) была проведена оценка влияния числа мест в очереди (размер накопителя) т на вероятность потери заявки рпз . Из рисунка 4 видно, что чем больше «нетерпеливость» заявок, тем меньшее влияние оказывает величина т на вероятность рп.з .
Задачи анализа и синтеза ДДС как СМО. Задача анализа СМО в рамках оговорённых выше допущений заключается в том, чтобы по выражениям (4), (6)-(8) и (9) с учётом (1) при заданных параметрах СМО (число КО п, число мест в очереди т и скорость обслуживания ц) и параметрах потока заявок (частота поступления 1 и «нетерпеливость» оценить характеристики работы - вероятности рп.з, рн и средний размер очереди точ.
Задача синтеза СМО заключается в выборе таких параметров СМО, как: число КО п, число мест в очереди т и скорость обслуживания ц при известных параметрах потока заявок 1 и t, чтобы, например, выполнялось важнейшее условие для ЕДДС: рпз < 0,001. Для облегчения решения данной задачи была построена специальная номограмма (рис. 5).
Для рассмотрения характерного примера можно обратиться к статье [1].
Первый пример
В ДДС с одним диспетчером поступает простейший поток вызовов от абонентов в среднем каждые 30 мин (1 = = 0,033 мин-1), а диспетчер тратит в среднем на обслуживание вызова 3 мин (ц = 0,333 мин-1). Таким образом, это одноканаль-ная СМО (л = 1) с двухместной (т = 2) очередью (когда диспетчер общается с абонентом по одной линии, на двух других могут ожидать абоненты), а приведённая нагрузка составляет а = 0,1.
Если абоненты могут ожидать обслуживания сколь угодно долго (т. е. «нетерпеливости» нет: to — ю, 8 — 0), то это стандартная СМО [10]. Она может находиться в 4-х состояниях: от 50 до 53 с вероятностями, рассчитываемыми по выражениям (1)-(3): р0 = 0,900090; р1 = 0,090009; р2 = 0,009001; р3 = 0,000900.
^ а
Рисунок 5. Номограмма для определения числа КО п и мест в очереди т в зависимости от приведённой нагрузки а и «нетерпеливости» абонентов при рпз = 0,1 %; 0* = 0/(0,5 + 0) - нормированная «нетерпеливость»: — т = 1; -т = 2; -т = 3; -т = 4
3
т
\п = 2 \п = 3 a = 3 \
\ е = 1
B \ V е = 0,25
-0,75
-0,5
-0,25
-1,5 -1 -0,5 0
^ а
Рисунок 6. Примеры решения задачи синтеза -нахождения необходимого числа КО п и мест в очереди т при а = 0,1, 6 = 1 (рабочая точка А) и 6 = 0,25 (рабочая точка В) при рпз = 0,1 %;
6* = 6/(0,5+6) - нормированная «нетерпеливость»:
-т = 1; -т = 2; -т = 3; — т = 4
Согласно выражению (8), вероятность ухода «нетерпеливой» заявки из очереди рунз = 0. Таким образом, р3 = рпз = 0,00090 < < рдоп = 0,001, следовательно, условие выполняется.
Если же абоненты «нетерпеливы» и могут ожидать связи с диспетчером в среднем to = 6 мин, то 9 = 0,5 и вероятности состояний, рассчитанные по формулам (1)-(3), будут равны, соответственно: р0 = 0,903342; р1 = 0,090334; р2 = 0,006022; р3 = 0,000301. Согласно выражению (8), вероятность ухода «нетерпеливой» заявки из очереди рунз = 0,033120, а вероятность потери вызова, согласно формуле (6): рпз = 0,000301 + 0,033120 = = 0,033421, т. е. она в более чем 33 раза превысит допустимое значение р = 0,001.
I доп '
Если же на такую СМО с «нетерпеливыми» заявками наложить условие р < р = 0,001, а частота поступления вызовов
1 Г п.з 1 доп ' ' 1
и среднее время ожидания останутся прежними (X = 0,033 мин-1, to = 6 мин), то заявки диспетчер должен будет обслуживать гораздо быстрее - в среднем за 0,4 мин (т. е. ц = 2,5 мин-1). Тогда а = 0,013 (3), 9 = 0,06 (6) и, согласно выражениям (1)-(3): р0 = 0,986678; р1 = 0,013156; р2 = 0,000164; р3 = 0,000002.
Согласно выражению (8), р нз = 0,841 • 10-3, а вероятность потери заявки по формуле (6): рп7= 0,2-105 + 0,841 10-3 = 0,8 43-10-3. Следовательно, условие рпз < рдоп = 10-3 будет выполняться.
Второй пример
Требуется решить задачу синтеза при проектировании ДДС - подобрать величины п и m, когда известны интенсивности X = 0,033 мин-1 и ц = 0,333 мин-1, если задано ограничение р < р = 0,001 и известно, что абоненты «нетерпеливы».
I п.з 1 доп ' ' г
Вариант № 1. Если абонент может ожидать связи с диспетчером в среднем to = 3 мин, то а = 0,1 и 9 = 1. Воспользовавшись номограммой на рисунке 6 (рабочая точка А), становится видно, что условие рпз < 0,001 может выполняться только при числе КО (диспетчеры) п > 3. При этом размер накопителя m существенной роли не играет и может быть принят m = 1.
Проверка. Задаёмся величинами п = 3, m = 1, а = 0,1 и 9 = 1. Согласно выражениям (1)-(3): р0 = 0,904837; р1 = 0,090484; р2 = 0,004524; р3 = 0,000151; р4 = 0,000004. В соответствии с выражением (8) рун будет равна 0,377-10-4, а вероятность потери заявки, согласно формуле (6): рпз я 0,000004 + 0,000038 я я 0,000042. Условие р = 0,000042 <зр = 0,001 будет выпол-
' г п.з ' 1 доп '
няться с запасом.
Вариант № 2. Если а = 0,1, но абонент более терпеливый и может ожидать вчетверо дольше - в среднем to = 12 мин, то 9 = 0,25. Воспользовавшись также номограммой на рисунке 6 (рабочая точка В), становится понятно, что условие рпз < 0,001 может выполняться только при числе КО (диспетчеры) п > 2. При этом размер накопителя m также может быть принят m = 1.
Проверка. Задаёмся величинами п = 2, m = 1, а = 0,1 и 9 = 0,25. Согласно выражениям (1)-(3): р0 = 0,904795; р1 = = 0,090480; р2 = 0,004524; р3 = 0,000201. В соответствии с выражением (8) рунз будет равна 0,5027-10-4, а вероятность потери вызова, согласно формуле (6): рпз я 0,000201 + 0,000503 = = 0,000704. Условие р = 0,000704 < р = 0,001 будет
' г п.з ' 1 доп '
выполняться.
Таким образом, представленная аналитическая модель л-канальной т-местной СМО с «нетерпеливыми» заявками может быть использована для анализа и синтеза ДДС, обслуживающей экстренные вызовы.
е
ЛИТЕРАТУРА
1. Малышев Д. А, Таранцев А. А. Моделирование работы диспетчерского пункта как СМО с «нетерпеливыми» заявками // Вестник СПбУ ГПС МЧС России. - 2014. - № 4. - С. 73-77.
2. Таранцев А. А, Малышев Д. А. О возможности совершенствования ГОСТ Р 22.7.01-99 «Единая дежурно-диспетчер-ская служба» // Пожаровзрывобезопасность. - 2015. - Т. 24, № 11. - С. 77-81.
3. Агеев С. В. Особенности создания Единой государственной дежурно-диспетчерской службы Кыргызской Республики // Технологии гражданской безопасности. - 2013. - Т. 10, № 4. -С. 16-20.
4. Зубков В. Н, Агеев С. В., Денисов О. В., Тыминский В. В., Акульшин С. Б. Проблемы организации информационного взаимодействия дежурно-диспетчерских служб экстренных оперативных служб в процессе создания Системы-112 // Технологии гражданской безопасности. - 2010. - Т. 7, № 1-2. - С. 60-64.
5. Качанов С. А, Агеев С. В., Ковтун О. Б., Грачев В. Л. Основные подходы по созданию Системы-112 в рамках реализации Федеральной целевой программы «Создание системы обеспечения вызова экстренных служб по единому номеру «112» в Российской Федерации на 2013-2017 годы» // Технологии гражданской безопасности. - 2013. - Т. 10, № 2 (36). - С. 10-16.
6. Качанов С. А., Агеев С. В., Ковтун О. Б., Виноградов А. В. Применение комплексного планирования мероприятий в целях совершенствования системы вызова экстренных оперативных служб по единому номеру «112» в субъекте Российской Федерации // Технологии гражданской безопасности. - 2012. - Т. 9, № 2. - С. 4-9.
7. Качанов С. А, Агеев С. В., Ковтун О. Б., Измалков В. А. Алгоритм действия операторов «Системы-112» при получении сообщения о происшествии // Технологии гражданской безопасности. - 2012. - Т. 9, № 3. - С. 12-21.
8. Kachanov S, Ageev S, Kovtun O. Protocol for system 112 operators when receiving an emergency notification. Journal of Science and Technology, 2012, vol. 9, no 3-33, p. 12.
9. Таранцев А. А. Инженерные методы теории массового обслуживания. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: Наука, 2007. - 175 с.
10. Вентцель Е. С. Исследование операций. - М.: Советское радио, 1972. - 552 с.
11. Новиков О. А., Петухов С. И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. - М.: Советское радио, 1969. - 400 c.
Материал поступил в редакцию 31 августа 2017 года.
Malyshev D., Tarantsev A., Kholostov A.
DUTY DISPATCHER SERVICE OPERATION MODELING CONSIDERING WAITING TIME RESTRICTIONS OF THE SUBSCRIBERS
ABSTRACT
Purpose. Whilst duty dispatcher service operation modeling it is necessary to consider waiting time restrictions of the subscribers to be connected with the dispatcher. It is an essential factor in designing such services.
Methods. The central tenets of queuing system theory are used for modeling. The duty dispatcher service is considered a multi-channel queuing system with a queue. The order of receiving requests (subscribers' messages) is random, the requests leave the system (duty dispatcher service) serviced or not to be serviced because of waiting time restrictions, so-called "impatience".
Findings. Expressions for describing state probabilities of such a system and for assessing basic dimensions of its functioning are provide.
Research application field. The ciphers simplifying analysis and synthesis problem solving of such systems are provided.
Conclusions. The analytical model of n-channel m-seat queuing system with "impatient" requests has been obtained. Such model can be used for designing duty dispatcher service servicing emergency calls.
Key words: duty dispatcher service, queuing system, "impatient" requests.
REFERENCES
1. Malyshev D.A., Tarantsev A.A. Modelling of work of control office as systems of mass service with "impatient" demands. Vestnik SpbU GPSMCHSRossii, 2014, no. 4, pp.73-77. (in Russ.).
2. Tarantsev A.A., Malyshev D.A. On the possibility of improving the Russian National Standard "Unified Duty and Dispatch Service". Pozharovzryvobezopasnost', 2015, vol. 24, no. 11, pp. 77-81. (in Russ.).
3. Ageev S.V. Features of the Unified State on-duty control service of the Kyrgyz Republic. Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2013, vol. 10, no. 4, pp. 16-20. (in Russ.).
4. Zubkov V.N., Ageev S.V., Denisov O.V., Tyminskii V.V., Akul'shin S.B. Problems of the organization information interaction of Emergency field services in the course of creation of System-112. Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2010, vol. 7, no. 1-2, pp. 60-64. (in Russ.).
5. Kachanov S.A., Ageev S.V., Kovtun O.B., Grachev V.L. The main approaches to the creation of a System-112 in the framework of Federal target program "Creation of the system of provision of Emergency services calls to a single number "112" in the Russian Federation in 2013-2017". Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2013, vol. 10, no. 2, pp. 10-16. (in Russ.).
6. Kachanov S.A., Ageev S.V., Kovtun O.B., Vinogradov A.V. The application of integrated planning activities in order to improve the system of Emergency services calls to a single number "112" in the subject of the Russian Federation. Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2012, vol. 9, no. 2, pp. 4-9. (in Russ.).
7. Kachanov S.A., Ageev S.V., Kovtun O.B., Izmalkov V.A. The algorithm of the "System-112" operators when receiving an incident report. Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2012, vol. 9, no. 3, pp. 12-21.
8. Kachanov S., Ageev S., Kovtun O. Protocol for system 112 operators when receiving an emergency notification. Journal of Science and Technology, 2012, vol. 9, no. 3-33, p. 12.
9. Tarantsev A.A. Inzhenernye metody teorii massovogo obsluzhivaniia [Engineering methods of queuing theory]. Saint Petersburg, Nauka Publ., 2007. 175 p.
10. Venttsel' E.S. Issledovanie operatsii [Investigation of operations]. Moscow, Soviet radio Publ., 1972. 552 p.
11. Novikov O.A., Petukhov S.I. Prikladnye voprosy teorii massovogo obsluzhivaniia [Applied problems of the queuing theory]. Moscow, Sovetskoye radio Publ., 1969. 400 p.
Denís Malyshev
Aleksander Tarantsev
Aleksander Kholostov
Center for Crisis Management of the Main Department of EMERCOME of Russia
for the Republic of Komi, Syktyvkar, Russia
Grand Doctor of Philosophy in Engineering Sciences, Professor
St. Petersburg University of State Fire Service of EMERCOM of Russia,
Saint Petersburg, Russia
Grand Doctor of Philosophy in Engineering Sciences, Associate Professor State Fire Academy of EMERCOM of Russia, Moscow, Russia
