CC BY
14УДК 614.84 + 519.872
МАЛЫШЕВ Денис Анатольевич
ЦУКС ГУ МЧС России по Республике Коми, Сыктывкар, Россия E-mail: [email protected]
ТАРАНЦЕВ Александр Алексеевич Доктор технических наук, профессор Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС России, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]
DOI 10.25257/FE.2018.3.84-87
ХОЛОСТОВ Александр Львович
Доктор технических наук, доцент Академия ГПС МЧС России, Москва, Россия E-mail: [email protected]
О ЗАКОНОМЕРНОСТЯХ В СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С «НЕТЕРПЕЛИВЫМИ» ЗАЯВКАМИ
Авторами статьи приводится математическая модель дежурно-диспетчерской службы как многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания заявок (сообщения абонентов) в очереди. Заявки случайным образом поступают в дежурно-диспетчерскую службу (система массового обслуживания) и покидают систему обслуженными либо не дождавшись обслуживания из-за ограниченного времени ожидания - «нетерпеливости». В статье также представлены выражения как для описания вероятностей состояний массового обслуживания с «нетерпеливыми» заявками, так и для оценки основных показателей её функционирования в интересах решения задач анализа и синтеза. Сформулирована и доказана теорема о граничных значениях вероятности потери заявки в системе массового обслуживания с ограниченным временем ожидания.
Ключевые слова: дежурно-диспетчерская служба, система массового обслуживания, «нетерпеливые» заявки.
В системе реагирования на чрезвычайные ситуации (ЧС) различного характера особое место занимает дежурно-диспетчерская служба (ДДС) [1-6]. К настоящему времени в области обеспечения устойчивой работы ДДС с учётом требований РД 45.120-2000 (НТП 112-2000) «Городские и сельские телефонные сети. Нормы технологического проектирования», предъявляемых к одной из наиболее важных характеристик - вероятности потери заявки абонента рпз , проведён большой объём исследований. Разработаны номограммы [7] для решения задач синтеза незамкнутых систем массового обслуживания (СМО), предложены проект свода правил и соответствующие методики определения рационального числа диспетчеров и линий связи ДДС [8], а также соответствующее приложение [9] в существующий ГОСТ Р 22.7.01-99 «Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Единая дежурно-диспет-черская служба. Основные положения». Проведённые исследования позволили установить важные закономерности, влияющие на вероятность потери поступающих сообщений в ДДС, возникающие в процессе обслуживания, с учётом такой особенности, как ограничение времени ожидания абонента (заявителя).
МОДЕЛЬ
ДЕЖУРНО-ДИСПЕТЧЕРСКОЙ СЛУЖБЫ С «НЕТЕРПЕЛИВЫМИ» ЗАЯВКАМИ
В случае крупных ЧС и других экстремальных условиях абоненты, обращающиеся в ДДС (подав заявку на обслуживание), не могут
долго ожидать связи с диспетчером и вынуждены через какое-то ограниченное (случайное) время t прервать вызов. При этом с вероятностью рпз возникает нежелательное событие - потеря заявки абонента со всеми отрицательными последствиями.
В работах [7, 10, 11] приведена математическая модель такой ДДС с «нетерпеливыми» заявками (абонентами) как л-канальной (по числу диспетчеров) СМО с т-местной (т + л - число линий связи) очередью и ограниченным временем ожидания. В работе [10] приведены граф и схема такой СМО, которая может пребывать в т + л + 1 состояниях {50, ..., Бл + т} с соответствующими вероятностями
К Рл"+ т}.
Приняв стандартные допущения [12], характерные для исследования СМО (процесс поступления-обслуживания заявок - установившийся, поток поступающих заявок - простейший с частотой X, время обслуживания - случайное и подчинено экспоненциальному закону с параметром ц, время ожидания to - случайное и подчинено экспоненциальному закону с параметром ^ ), вероятности состояний {Р0, . , Рл + т} можно представить в явном виде [10, 11]:
л „л т ) 1
(1)
р,=р0^-,/ = 1,...,л, (2)
84
© Малышев Д. А., Таранцев А. А., Холостов А. Л., 2018
ап+' ' 1 А^^Щгтт^!,(3)
где а =--приведённая нагрузка; 0 = (^ц) 1 - приМ-
ведённая «нетерпеливость» (при 0^0 «нетерпеливость» отсутствует, при 0 ^ ^ «нетерпеливость» максимальная).
В работе [10] для оценки вероятности потери заявкирпз было предложено выражение
р = р + р ,
(4)
В результате исследования данных моделей была сформулирована авторами настоящей статьи следующая теорема о граничных значениях вероятности потери заявки в системе массового обслуживания с ограниченным временем ожидания, суть которой заключается в следующем: для стандартных л-канальных СМО с т-местной очередью и ограниченным временем ожидания вероятность потери заявки лежит в пределах
ог л!
¿Я
>Рп,>
а
л!л"
у.огуог
• (7)
где ротк - вероятность отказа в приёме заявки из-за занятости всех т мест в очереди; рунз - вероятность ухода заявки из очереди из-за «нетерпеливости».
Эти вероятности, в свою очередь, могут быть определены из следующих выражений:
р = р + т,
~ отк ~ л 1
Ру.Н.З ¡У / | )Рп+) *
(5)
(6)
ЗАКОНОМЕРНОСТИ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С «НЕТЕРПЕЛИВЫМИ» ЗАЯВКАМИ
Аля стандартного случая, когда «нетерпеливости» нет (0 ^ 0, СМО вида М/М/л/т) Рунз ^ 0, и выражение (4) приводится к виду
р = р = р + т,
п.з отк л
соответствующему л-канальной СМО с т-местным накопителем. Тогда, согласно работе [12]:
Рп+т = Ро ~
а"
л! л
Ро =
у. ос' а" у а' 1=0 '■ п- ¡=\ п
Ро =
V« '' у
Доказательство теоремы о предельных значениях вероятности нежелательного события
Во-первых, из выражения (4) с учётом формул (1), (2), (3), (5) и (6) следует, что вероятность рпз является гладкой функцией относительно параметра 0. Во-вторых, л-канальная СМО с т-местной очередью и ограниченным временем ожидания ввиду «нетерпеливости» заявок может пребывать в двух предельных состояниях:
- «нетерпеливость» абсолютная (время ожидания ^ ^ 0, параметр 0 ^
- абоненты полностью терпеливы (время ожидания to ^ ю, параметр 0 ^ 0).
Из этого следует, что вероятность потери заявки будет находиться в промежутке между предельными вероятностями отказа:
(8)
„ | д
¿Л + п\%п>) ; л! [¿Л.
Поскольку выражение (8) соответствует выражению (7), то можно считать, что теорема доказана. Это подтверждается и номограммой на рисунке, где в координатах «приведённая нетерпеливость - приведённая нагрузка» приведены изолинии л и т при условии рпз = 0,1 %, соответствующем требованиям РД 45.120-2000пз(НТП 112-2000) «Городские и сельские телефонные сети. Нормы технологического проектирования». На рисунке верхняя пунктирная линия соответствует л-канальной СМО без очереди, а горизонтальная ось - л-канальной СМО с т-местной очередью. Данная номограмма может использоваться для решения задачи синтеза СМО - определения минимально
В другом предельном случае при 0 ^ ю, т. е. когда «нетерпеливость» заявки максимальна (^ ^ 0), и она покидает СМО при наличии очереди, то рпз ^ рл = р0ал/л!, и рассматриваемая СМО превращается в СМО без очереди вида М/М/л/0. Вероятность незанятости диспетчеров в ней, согласно публикации [12], может быть представлена следующим образом:
\ п = 1 \п = 2 п = 3
-0,75
-3
^ а
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
Номограмма для определения числа диспетчеров (или каналы обслуживания) п и мест в очереди т в зависимости от приведённой нагрузки а и «нетерпеливости» абонентов при рпз = 0,1 %:
Э* = 6/(0,5 + 6) - нормированная «нетерпеливость»; - т = 1; -т = 2; -т = 3; -т = 4
6
0
0
допустимого числа диспетчеров и линий связи ДДС при обосновании организационных решений.
Из рисунка также видно, что чем больше «нетерпеливость» заявок, тем меньшее влияние оказывает величина т (размер накопителя, число линий связи ДДС) на вероятность потери заявки абонента Р .
г п.з
Кроме того интерес с точки зрения обслуживания поступающей заявки, представляет оценка вероятности приёма заявки к немедленному обслуживанию рн, когда свободен хотя бы один диспетчер (или канал обслуживания):
Р«=Ро2,7Г
/=0
Таким образом, авторами настоящей статьи на основе исследования ранее разработанной аналитической модели л-канальной т-местной СМО с «нетерпеливыми» заявками сформулирована и доказана теорема о граничных значениях вероятности потери заявки в системе массового обслуживания с ограниченным временем ожидания. Полученные результаты могут быть использованы как при проектировании вновь создаваемых ДДС, так и для оценки уже существующих.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зубков В. Н, Агеев С. В., Денисов О. В., Тыминский В. В., Акульшин С. Б. Проблемы организации информационного взаимодействия дежурно-диспетчерских служб экстренных оперативных служб в процессе создания Системы-112 // Технологии гражданской безопасности. 2010. Т. 7., № 1-2. С. 60-64.
2. Агеев С. В. Особенности создания Единой государственной дежурно-диспетчерской службы Кыргызской Республики // Технологии гражданской безопасности. 2013. Т. 10., № 4. С. 16-20.
3. Качанов С. А, Агеев С. В., Ковтун О. Б., Грачев В. Л. Основные подходы по созданию Системы-112 в рамках реализации Федеральной целевой программы «Создание системы обеспечения вызова экстренных служб по единому номеру «112» в Российской Федерации на 2013-2017 годы» // Технологии гражданской безопасности. 2013. Т. 10., № 2 (36). С. 10-16.
4. Качанов С. А, Агеев С. В., Ковтун О. Б., Виноградов А. В. Применение комплексного планирования мероприятий в целях совершенствования системы вызова экстренных оперативных служб по единому номеру «112» в субъекте Российской Федерации // Технологии гражданской безопасности. 2012. Т. 9, № 2. С. 4-9.
5. Качанов С. А, Агеев С. В., Ковтун О. Б., Измалков В. А. Алгоритм действия операторов «Системы-112» при получении сообщения о происшествии // Технологии гражданской безопасности. 2012. Т. 9, № 3. С. 12-21.
6. Kachanov S, Ageev S, Kovtun O. Protocol for system 112 operators when receiving an emergency notification. Journal of Science and Technology. 2012. Vol. 9, no 3-33. P. 12.
7. Малышев Д. А, Нодь А. П., Таранцев А. А. Номограммы для решения задач синтеза систем массового обслуживания // Проблемы управления рисками в техносфере. 2015. № 2 (34). С. 21-25.
8. Таранцев А. А. Методика определения числа диспетчеров и линий связи дежурно-диспетчерских служб (проект Свода правил) // Пожаровзрывобезопасность. 2014. Т. 23, № 8. С . 69-85.
9. Таранцев А. А, Малышев Д. А. О возможности совершенствования ГОСТ Р 22.7.01-99 «Единая дежурно-диспетчерская служба» // Пожаровзрывобезопасность. 2015. Т. 24, № 11. С. 77-81.
10. Малышев Д. А, Таранцев А. А, Холостов А. Л. Моделирование работы дежурно-диспетчерских служб с учётом ограничения времени ожидания абонентов // Пожары и чрезвычайные ситуации: предотвращение, ликвидация. 2017. № 4. C. 23-27. DOI: 10.25257/FE.2017.4.23-27.
11. Новиков О. А, Петухов С. И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. М.: Советское радио, 1969. 400 c.
12. Вентцель Е. С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. 552 с.
Материал поступил в редакцию 29 июня 2018 года.
Denis MALYSHEV
Department of operational services of the Federal State institution "Center for crisis management of the main Department of EMERCOME of Russia for the Republic of Komi", Syktyvkar, Russia
E-mail: [email protected] Aleksander TARANTSEV
Grand Doctor of Philosophy in Engineering Sciences, Professor Saint Petersburg University of State Fire Service of EMERCOME of Russia, Saint Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
Aleksander KHOLOSTOV
Grand Doctor of Philosophy in Engineering Sciences, Associate Professor
State Fire Academy of EMERCOM of Russia, Moscow, Russia E-mail: [email protected]
ABOUT THE REGULARITIES IN MASS SERVICE SYSTEMS WITH "IMPATIENT" REQUESTS
ABSTRACT
Purpose. The mathematical model of a 24-hour dispatch service as a multi-channel mass service system having limited waiting time for requests (subscribers' messages) has been given. The important characteristic of the 24-hour dispatch service has been considered, namely, the probability of incoming messages loss during the process of service, taking into account such feature as limitation of a subscriber waiting time.
Methods. The results have been obtained with regard to the standard assumptions typical for mass service systems (the process of receipt and service of requests is steady, the flow of incoming requests is the simplest one, the service and waiting time is random and has exponential distribution).
Findings. An assertion has been formulated in the form of a theorem on the probability of a request loss for standard n-channel mass service systems with a m-local queue and limited waiting time.
Research application field. The results can be used in making organizational decisions when planning and evaluating the efficiency of the present 24-hour dispatch services functioning, as well as while designing new 24-hour dispatch services.
Conclusions. Based on the research of the previously developed analytical model, the theorem on the boundary values of the probability of a request loss in mass service system with limited waiting time has been formulated and proved. The obtained results can be used both while designing new 24-hour dispatch services and in the course of evaluating the existing ones.
Key words: 24-hour dispatch service, mass service systems, "impatient" requests.
REFERENCES
1. Zubkov V.N., Ageev S.V., Denisov O.V., Tyminskii V.V., Akul'shin S.B. Problems of the Organization Information Interaction of Emergency Field Services in the Course of Creation of Sistemy-112. Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2010, vol. 7, no. 1-2, pp. 60-64. (in Russ.).
2. Ageev S.V. Features of the Unified State On-duty Control Service of the Kyrgyz Republic. Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2013, vol. 10, no. 4, pp. 16-20. (in Russ.).
3. Kachanov S.A., Ageev S.V., Kovtun O.B., Grachev V.L. The Main Approaches to the Creation of a System-112 in the Framework of Federal Target Program "Creation of the System of Provision of Emergency Services Calls to a Single Number "112" in the Russian Federation in 2013-2017". Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2013, vol. 10, no. 2, pp. 10-16. (in Russ.).
4. Kachanov S.A., Ageev S.V., Kovtun O.B., Vinogradov A.V. The Application of Integrated Planning Activities in Order to Improve the System of Emergency Services Calls to a Single Number "112" in the Subject of the Russian Federation. Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2012, vol. 9, no. 2, pp. 4-9. (in Russ.).
5. Kachanov S.A., Ageev S.V., Kovtun O.B., Izmalkov V.A. The Algorithm of the "System-112" Operators When Receiving an Incident Report. Tekhnologii grazhdanskoi bezopasnosti, 2012, vol. 9, no. 3, pp. 12-21. (in Russ.).
6. Kachanov S., Ageev S., Kovtun O. Protocol for system 112 operators when receiving an emergency notification. Journal of Science and Technology, 2012, vol. 9, no. 3-33, p. 12.
7. Malyshev D.A., Nod A.P., Tarantsev A.A. Nomograms for problems of synthesis of systems mass service of messages. Problemy upravleniya riskami v tekhnosfere, 2015, no. 2 (34), pp. 21-25. (in Russ.).
8. Tarantsev A.A. Method of determination of number of controllers and communication lines of call-ceners. Pozharovzryvobezopasnost, 2014, vol. 23, no. 8, 2014, pp.69-85. (in Russ.).
9. Tarantsev A.A., Malyshev D.A. On the possibility of improving the all-Union State Standard "Unified Duty and Dispatch Service". Pozharovzryvobezopasnost, 2015, vol. 24, no. 11, pp. 77-81. (in Russ.).
10. Malyshev D.A., Tarantsev A.A., Kholostov A.L. Duty dispatcher service operation modeling considering waiting time restrictions of the subscribers. Pozhary i chrezvychainye situatsii: predotvrashchenie, likvidatsiia, 2017, no 4, pp. 23-27. DOI: 10.25257/FE.2017.4.23-27. (in Russ.).
11. Novikov O.A., Petukhov S.I. Prikladnye voprosy teorii massovogo obsluzhivaniia [Applied problems of the queuing theory]. Moscow, Sovetskoye radio Publ. 1969. 400 p.
12. Venttsel' E.S. Issledovanie operatsii [Investigation of operations]. Moscow, Soviet radio Publ., 1972. 552 p.
© Malyshev D., Tarantsev A., Kholostov A., 2018
87
