Анализ и синтез систем массового обслуживания с разнотипными заявками в задачах обеспечения безопасности объектов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

А. А. ТАРАНЦЕВ, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры организации пожаротушения и проведения аварийно-спасательных работ, Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России (Россия, 196105, г. Санкт-Петербург, Московский просп., 149); заведующий лабораторией, Институт проблем транспорта им. Н. С. Соломенко РАН (Россия, 199178, г. Санкт-Петербург, 12-я линия ВО, 13; e-mail: [email protected])

А. Л. ХОЛОСТОВ, д-р техн. наук, доцент, заместитель начальника кафедры специальной электротехники, автоматизированных систем и связи, Академия ГПС МЧС России (Россия, 129366, г. Москва, ул. Бориса Галушкина, 4; e-mail: [email protected])

А. А. ТАРАНЦЕВ, преподаватель кафедры пожарной тактики и службы, Академия ГПС МЧС России (Россия, 129366, г. Москва, ул. Бориса Галушкина, 4; e-mail: [email protected])

УДК 614.843, 628.1

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С РАЗНОТИПНЫМИ ЗАЯВКАМИ В ЗАДАЧАХ ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ОБЪЕКТОВ

Предложено обосновывать количественные решения при проектировании и эксплуатации систем безопасности автономных объектов на основе методов теории массового обслуживания. Рассмотрены задачи анализа и синтеза систем массового обслуживания при решении задач обеспечения безопасности объектов (например, систем противопожарной или противоаварийной защиты автономного удаленного объекта), особенностью которых является наличие различных типов заявок, требующих разного времени обслуживания (например, пожарно-спасательными подразделениями или ремонтно-восстановительными бригадами). Получены аналитические выражения для вероятностей состояний систем обслуживания. Сформулирована задача анализа как нахождение вероятности отказа системы в приеме заявки какого-либо типа по причине занятости всех каналов обслуживания, когда известны интенсивности поступления заявок и скорости их обслуживания. Сформулирована задача синтеза как нахождение необходимого числа каналов обслуживания при заданных ограничениях на вероятности отказа в приеме заявок. Приведены примеры расчета данных характеристик для одно-, двух- и трехканальной систем массового обслуживания с двумя и тремя типами заявок.

Ключевые слова: пожары; чрезвычайные ситуации; разнотипные заявки; системы массового обслуживания; система безопасности объекта.

DOI: 10.18322/PVB.2017.26.09.54-64

Введение

В настоящее время особенно актуальными становятся вопросы обеспечения безопасности автономных или труднодоступных объектов (например, в северных районах или в Арктической зоне) [1-4]. При проектировании и эксплуатации систем безопасности этих объектов необходимо обосновывать решения по их количественным показателям. В качестве таких показателей может рассматриваться число универсальных аварийно-наладочных и по-жарно-спасательных подразделений, принимающих участие в ликвидации чрезвычайных ситуаций (ЧС) различного характера, а также вероятностно-временные характеристики их реагирования наЧС. Эти решения могут быть обоснованы с использованием методов теории массового обслуживания.

© Таранцев А. А., Холостое А. Л., Таранцев А. А., 2017

Теория массового обслуживания широко применяется для решения многих прикладных задач в различных областях науки и техники, в том числе в системах пожарной и промышленной безопасности [5-9]. Практический интерес в этих случаях представляют в основном задачи двух видов — анализ и синтез [6, 10, 11]. В первом случае, исходя из известных интенсивностей (частот) возникновения пожаров или других чрезвычайных ситуаций (которые представляются как заявки, поступающие на обслуживание) скоростей их ликвидации (обслуживания) {ц}, числап каналов обслуживания (КО), в качестве которых рассматриваются такие ресурсы системы безопасности, как: количество единиц техники, личного состава, материальных средств и мест в очереди на обслуживание m, определяются веро-

ятности {р} состояний системы массового обслуживания (СМО) (которые могут рассматриваться как показатели возможности выполнения системой безопасности своих функций). Из этих состояний представляют интерес ключевые: 50 — проблемных ситуаций не возникло (заявок не поступило), все КО свободны; 5н — свободен хотя бы один КО, способный отреагировать на проблему (обслужить заявку); 5отк — все и КО заняты, на возникшую проблему нет возможности отреагировать (заявка получает отказ в обслуживании), такая ситуация может привести к катастрофическим последствиям. Вероятности таких состояний соответственно р0, рн и ротк. После количественного определения ключевых вероятностей появляется возможность сделать вывод о том, насколько эффективно система может обеспечить безопасность защищаемого объекта.

Во втором случае (задача синтеза СМО) по заданным допустимым значениям вероятностей р0, рн и ротк и известным частотам подбираются необходимые количественные характеристики системы, такие как число КО и, число мест в очереди и/или скорости обслуживания {ц} [5].

Решение задач, связанных с функционированием СМО, подробно рассматривается в специальной литературе [5,6,12-17]. Для удобства сформулированы общепринятые допущения. В частности, считается [5], что, поскольку поток заявок простейший, время обслуживания подчинено экспоненциальному закону, процессы приема-обслуживания установившиеся, каждый КО обслуживает заявку самостоятельно, задача синтеза многоканальной СМО с очередью может решаться с использованием номограмм [6, 10], а задача анализа — по достаточно простым аналитическим выражениям [5, 6].

Теоретические основы (постановка задачи)

В работе [11] рассмотрены задачи анализа и синтеза СМО с несколькими типами заявок, для обслуживания которых требуется привлечение одного, двух, трех или более КО. С учетом особенностей функционирования систем безопасности становится актуальной разработка математической модели системы безопасности как СМО, в которую поступают т потоков разнородных заявок с интенсивно-стями (частотами) 'к1, ..., Хт, обслуживаемых универсальными КО со скоростями ц1, ..., цт соответственно. Наличие такой математической модели позволяет решать задачи анализа и синтеза системы безопасности как СМО для широкого круга удаленных автономных объектов (например, в Арктической зоне), используя незначительные допущения и упрощения.

В первом случае (задача анализа) по известным значениям ., Хт, ц1, ., цт и числе КО и проводится оценка вероятностей наиболее важных состояний СМО — р0, рн иротк, что позволяет сделать заключение о качестве функционирования СМО.

Задача синтеза предполагает наличие информации о величинах ..., Хт и задание допустимых вероятностей основных состояний и соответствующих требований:

Р0 ^ Рдоп и/или Р н ^ Рноп и/или Ротк ^ Ротк11. (1)

При этом может быть две формулировки задачи синтеза:

• по данным о скоростях обслуживания ц1, ., йт и требованиям (1) определить необходимое число КО и;

• при известном числе КО и и требованиям (1) найти необходимые скорости обслуживания

й^ йт.

Система безопасности как СМО с заявками двух типов

1. Если в одноканальную (и = 1) СМО поступают заявки двух типов, т. е. т = 2 (например, заявки 1 -го типа — аварии (отказы оборудования), 2-го типа — пожары), то она может пребывать в одном из трех состояний: S0, S1 и 82 (см. табл. 1, и = 1). Граф переходов для такой СМО представлен на рис. 1. При ранее оговоренных допущениях [5, 6] такому графу переходов соответствует система из трех линейных алгебраических уравнений, приведенная в графе 2 табл. 2 для и = 1. Ее решение, полученное в аналитическом виде, представлено в 3-й графе табл. 2 и может непосредственно использоваться для решения задачи анализа. В задаче синтеза условия (1) могут быть сведены к виду:

(л Л доп ^

Xl X2 — + <mm

й 1 й 2

1

доп pд

-1;

1

-1;

Р Н

p доп .г ОТК

1 - РдОп

JT ОТК У

(2)

Пример 1. Проектируется одноканальная (и = 1) СМО, в которую поступает два типа (т = 2) заявок с частотами и А,2. Требуется найти скорости обслуживания й1 и й2, если заданы допустимые значе-

Рис. 1. Граф переходов одноканальной (n = 1) СМО с двумя типами (m = 2) заявок

Fig. 1. The transition graph of a single-channel queuing (n = 1) system with two types (m = 2) of applications

Таблица 2. Выражения для определения вероятностей состояний СМО с заявками двух типов (m = 2)

Table 2. Expressions for the probabilities of the states of the queuing systems with two types (m = 2) of applications

Таблица 1. Состояния СМО, обслуживающей два типа заявок Table 1. States of the queuing systems with two types of applications

n Состояние {5} State {5"} Su , Sref

1 2 З

n = 1 (рис. 1 / fig. 1) 51 — поступила заявка 1-го типа, обслуживается в КО 51 — the 1st type of application was received and serviced in the service channel; 52 — поступила заявка 2-го типа, обслуживается в КО 52 — the 2nd type of application was received and serviced in the service channel ^ = So Su = S0; Sотк = S1 U S2 Sref = S1 U S2

n= 2 (рис. 2 / fig. 2) 51 — поступила заявка 1-го типа, один КО занят, другой свободен 51 — the 1st type of application was received, one service channel is busy, the other is free; 52 — поступила заявка 2-го типа, один КО занят, другой свободен 52 — the 2nd type of application was received, one service channel is busy, the other is free; 53 — поступили 2 заявки 1-го типа, оба КО заняты 53 — received 2 applications of the 1st type, both service channels are occupied; 54 — поступили заявки 1-го и 2-го типов, оба КО заняты 54 — applications of the 1st and 2nd types were received, both service channels are occupied; 55 — поступили 2 заявки 2-го типа, оба КО заняты 55 — received 2 applications of the 2nd types, both service channels are occupied S н = U Si i= 0 Su=U Si; i= 0 S отк = U Si i= 3 Sref = U Si i= 3

n > 3 50 — заявок не поступило, все КО свободны 50 — there were no requests, all channels of service are free

n Система уравнений / System of equations Аналитическое решение / Analytical expressions

1 2 3

1 0 = - (À1 + ^2) Po + Ц1 Pl + Ц2P2; 0 = Po- Ц1 Pl; 0 = Po- Ц2 P2 Po1 = 1 + al + a2; Pl = al Po; P2 = a2Po; Pн = Po; Pотк= Pl+ P2 = (a1 + a2) Po

2 0 = - (À1 + À2) Po + Ц1 Pl + Ц2P2; 0 = Po - (Ц1 + + À2) Pl + 2ЦP3 + Ц2Ps; 0 = Po - (Ц2 + + À2) Pl + 2ЦP4 + Ц1 P5; 0 = Pl - 2Ц P3; 0 = Pl + P2 - (Ц1 + Ц2) P5; 0 = P2 + 2Ц2 P4 P-1 = 1 + a1 + a 2 + 0,5af + a1a 2 + 0,5a2; Pi = alPo; P2 = a2Po; P3 = 0,5ai2Po; P4 = ala2Po; P5 = 0,5a2Po; Pотк = 0,5(a1 + a2)2 Po

C Примечание. а1 = Х1/|1, а2 = Х2 /|2 — приведенные нагрузки; ^ pi = 1; C = C m - 1. C i=0 Note. а1 = Х1/|ь а2 = Х2 /|2 — given load; ^ pi = 1; C = Cmm - 1. i=0

ния вероятностей рдоп = 0,95, pдоп = 0,99 и р0дт0кп = = 0,001.

Воспользовавшись выражением (2), получаем:

^ ^ - Г 1 , 1 , 0,001 ^

— + — < mini-- 1; -- 1; —--I =

|| 1 |i 2 ^ 0,95 0,99 1 - 0,001^

= min (0,0526; 0,0101; 0,001) = 0,001.

Критичным здесь является условиеротк < рД™ = = 0,001. Полученный результат свидетельствует о необходимости предъявления достаточно жестких требований к скоростям обслуживания: [|1, ц2]т > > 1000[^1, ^2]т.

2. Если в двухканальную (п = 2) СМО поступают заявки двух типов (т = 2), то при условии, что КО универсальны, она может пребывать в одном из шести состояний — 50-55 (см. табл. 1, п = 2). Граф переходов для такой СМО представлен на рис. 2. При ранее оговоренных допущениях [5, 6] такому графу переходов соответствует система из шести линейных алгебраических уравнений, приведенная для п = 2 в графе 2 табл. 2. Ее решение, полученное в аналитическом виде, представлено в графе 3 табл. 2 и может непосредственно использоваться для решения задачи анализа. В задаче синтеза условия (1) могут быть сведены к виду:

Ху й 1

— + — < mm

(

й 2

доп

-1 -1;

1 - р г +vi - ( р г)

..доп \2

Р Г

(3)

рДоп JT отк

4

рДоп отк

(2 - РоДтокП)

1 - Р.

Доп отк

Пример 2. Проектируется двухканальная (n = 2) СМО, в которую поступает два типа (m = 2) заявок с частотами Х1 и Х2. Требуется найти скорости обслуживания й1 и й2, если заданы допустимые значения вероятностей р0доп = 0,95, рноп = 0,99 и рдтокп = = 0,001.

Воспользовавшись выражением (3), получаем:

(

— + —2< mm

2

095

-1 -1;

й 1 й 2 ч

1 - 0,99 -41 ~ 0,9801; 0,001 + У0,001(2 - 0,001) ^ _ 0,99 ' 1 - 0,001 _

= тт (0,0513' 0,526' 0,0458) = 0,0458.

Критичным здесь также является условие ротк < - РдОк = 0,001. Полученный результат свидетельствует о необходимости предъявления следующих требований к скоростям обслуживания: [й1, Ц2]т > >21,83[Х1, Х2]т. Как видим, по сравнению с одно-канальным вариантом эти требования отличаются меньшей жесткостью.

Система безопасности как СМО с заявками трех типов

1. Если в одноканальную (п = 1) СМО поступают заявки трех типов, т. е. т = 3 (например, заявки 1-го типа — аварии (отказы оборудования), 2-го

Рис. 2. Граф переходов двухканальной (n = 2) СМО с двумя типами (m = 2) заявок

Fig. 2. The transition graph a two-channel queuing (n = 2) system with two types (m = 2) of applications

Рис. 3. Граф переходов одноканальной (n = 1) СМО с тремя типами (m = 3) заявок

Fig. 3. The transition graph of a single-channel queuing (n = 1) system with three types (m = 3) of applications

типа — пожары, 3-го типа — утечки из продукто-проводов), то она может пребывать в одном из четырех состояний — S0— S3 (см. табл.3, n = 1). Граф переходов для такой СМО представлен на рис. 3. При ранее оговоренных допущениях [5, 6] такому графу переходов соответствует система из четырех линейных алгебраических уравнений, приведенная для n = 1 в графе 2 табл. 4. Ее решение, полученное в аналитическом виде, представлено в графе 3 табл. 4 и может использоваться для решения задачи анализа. В задаче синтеза условия (1) могут быть сведены к виду, аналогичному (2):

X X X 3 — + — + < min

й 1 й 2 й 3

1

-1;-

1

Р дноп

-1;-

р доп

± отк

1 - Рдоп

± отк у

. (4)

Пример 3. Проектируется одноканальная (n = 1) СМО, в которую поступает три типа (m = 3) заявок с частотами Х1, Х2 и Х3. Требуется найти скорости обслуживания й1, й2 и йз, если заданы допустимые значения вероятностей: рдоп = 0,95, p^оп = 0,99 и РоТ = 0,001.

Как и в примере 1, получаем:

0,001

Х2 + — + X± <

й 1 й2 й 3

• Г 1 min I-- 10,95 1; J- 0,99 - 4

= min (0,0526; 0,0101; 0,001) = 0,001.

Полученный результат свидетельствует о необходимости предъявления достаточно жестких требований к скоростям обслуживания: [й1, й2, й3Г > > 1000 [Х1, Х2, Х3]т.

2. Если в двухканальную (n = 2) СМО поступают заявки трех типов (m = 3), то она может пребывать в одном из 10 состояний: S0-S9 (см. табл. 3, n = 2). Граф переходов для такой СМО представлен на рис. 4. При ранее оговоренных допущениях [5, 6] такому графу переходов соответствует система из 10 линейных алгебраических уравнений, приведенная в графе 2 табл. 4 для n = 2. Ее решение, полученное в аналитическом виде, приведено в графе 3 табл. 4 и может непосредственно использоваться для реше-

2

Таблица 3. Состояния СМО, обслуживающей три типа заявок Table 3. States of the queuing systems with three types of applications

n = 1 (рис. 3 / fig- 3)

n= 2 (рис. 4 / fig. 4)

n= 3 (рис. 5 / fig-5)

Состояние {S}

State {5}

S1 — поступила заявка 1-го типа, обслуживается в КО

51 — the 1st type of application was received and serviced in the service channel;

52 — поступила заявка 2-го типа, обслуживается в КО

52 — the 2nd type of application was received and serviced in the service channel;

53 — поступила заявка 3-го типа, обслуживается в КО

S3 — the 3rd type of application was received and serviced in the service channel

V

V

52-

5з 54-

55

56

5т

585859-5q —

V

V 52 52 5з-5з-

54

54

55

55

56 56 S7-5v-5858-59 —]

- поступила заявка 1-го типа, обслуживается в КО

the 1st type of application was received and serviced in the service channel; поступила заявка 2-го типа, обслуживается в КО

the 2nd type of application was received and serviced in the service channel;

- поступила заявка 3-го типа, обслуживается в КО

the 3rd type of application was received and serviced in the service channel;

- поступили 2 заявки 1-го типа, оба КО заняты

- received 2 applications of the 1st type, both service channels are occupied;

- поступили заявки 1-го и 2-го типов, оба КО заняты

applications of the 1st and 2nd types were received, both service channels are occupied;

- поступили заявки 1-го и 3-го типов, оба КО заняты

- received applications of the 1st and 3rd types, both service channels are occupied; поступили 2 заявки 2-го типа, оба КО заняты

received 2 applications of the 2nd type, both service channels are occupied;

- поступили заявки 2-го и 3-го типов, оба КО заняты

- received applications of the 2nd and 3rd types, both service channels are occupied;

- поступили 2 заявки 3-го типа, оба КО заняты

received 2 applications of the 3rd type, both service channels are occupied поступила заявка 1-го типа, обслуживается в КО

the 1st type of application was received and serviced in the service channel; поступила заявка 2-го типа, обслуживается в КО

the 2nd type of application was received and serviced in the service channel; поступила заявка 3-го типа, обслуживается в КО the 3rd type of application was received and serviced in the service channel; поступили 2 заявки 1-го типа, оба КО заняты

received 2 applications of the 1st type, both service channels are occupied; поступили заявки 1-го и 2-го типов, оба КО заняты

applications of the 1st and 2nd types were received, both service channels are occupied; поступили заявки 1-го и 3-го типов, оба КО заняты

- received applications of the 1st and 3rd types, both service channels are occupied; поступили 2 заявки 2-го типа, оба КО заняты

received 2 applications of the 2nd type, both service channels are occupied;

- поступили заявки 2-го и 3-го типов, оба КО заняты

- received applications of the 2nd and 3rd types, both service channels are occupied;

поступили 2 заявки 3-го типа, оба КО заняты S9 — received 2 applications of the 3rd type, both service channels are occupied; S10 — поступили 3 заявки 1-го типа, все КО заняты

510 — received 3 applications of the 1st type, all service channels are occupied;

511 — поступили 2 заявки 1-го типа и заявка 2-го типа, все КО заняты

511 — received 2 applications of the 1st type and the application of the 2nd type, all service channels are occupied;

512 — поступила заявка 1-го типа и 2 заявки 2-го типа, все КО заняты

S12 — received application of the 1st type and 2 applications of the 2nd type, all the service channels are occupied;

sh 5o

5u = 5o;

5 OTK ^ U 5i

i=1 3

5 ref ~ U 5i i=1

3

5 h - U 5i i- 0

3

5u - U 5i;

5 OTK - U 5i

i-4 9

5 ref - U 5 i

9

5 h - U 5i

i- 0 9

5 и - U 5i;

i- o

19

5OTK - U 5i i-10 19

5 ref - U 5i

V 5

^H ' OTK

n

5u, 5

5

2

o

5

3

5

4

5

5

i- 4

5

6

5

7

¡-10

Окончание табл. 3 / End of Table 3

Состояние {S}

n > 4

S13 — поступили заявки 1, 2 и 3-го типов, все КО заняты

513 — received applications of the 1st, 2nd and 3rd types, all service channels are occupied;

514 — поступили 2 заявки 1-го типа и заявка 3-го типа, все КО заняты

514 — received 2 applications of the 1st type and the application of the 3rd type, all service channels are occupied;

515 — поступили 2 заявки 3-го типа и заявка 1-го типа, все КО заняты

515 — received 2 applications of the 3rd type and the application of the 1st type, all service channels are occupied;

516 — поступили 3 заявки 2-го типа, все КО заняты

S1,

S1

received 3 applications of the 2nd type, all service channels are occupied; поступили 2 заявки 2-го типа и заявка 3-го типа, все КО заняты

517 — received 2 applications of the 2nd type and the application of the 3rd type, all service channels are occupied;

518 — поступили заявка 2-го типа и 2 заявки 3-го типа, все КО заняты

518 — received application of the 2nd type and 2 applications of the 3rd type, all the service channels are occupied;

519 — поступили 3 заявки 3-го типа, все КО заняты

S19 — received 3 applications of the 3rd type, all service channels are occupied

S0 — заявок не поступало, все КО свободны

S0 — there were no requests, all channels of service are free

Рис. 4. Граф переходов двухканаль-ной (n = 2) СМО с тремя типами (m = 3) заявок

Fig. 4. The transition graph a two-channel queuing (n = 2) system with three types (m = 3) of applications

ния задачи анализа. В задаче синтеза условия (1) могут быть сведены к виду, аналогичному (3):

Ц 1

-V

— + — Ц 2 Ц 3

< min

2

-1 -1;

1 - р Г +у 1 - (р Г)2 р Г

-Л

42 - рГ)

1-р

доп отк

(5)

3. Если в трехканальную (п = 3) СМО поступают заявки трех типов (т = 3), то при условии, что КО универсальн ы, он а может пребывать в одн ом из 20 состояний — 5,0-519 (см. табл. 3, п = 3). Граф переходов для такой СМО представлен н а рис. 5. При ран ее оговорен н ых допущениях [5, 6] такому графу переходов соответствует система из 20 ли ей ых

алгебраических уравнений, приведенн ая для п = 3 в графе 2 табл. 4. Ее решение, полученное в аналитическом виде, представлено в графе 3 табл. 4 и может непосредственно использоваться для решения задачи а ализа. В задаче си теза еобходимо айти приведен ные н агрузки а0, ан и аотк из решен ия кубических уравнений:

( . \

а3 + 3а 0 + 6 а 0 - 6

1

-1

V

= 0;

Р Г 1 - Р Г

-1

рдоп -Г отк

а i - 3а 2 - 6 а- 6 = 0;

а отк - 3а отк - 6 а отк - 6 =

(6)

(7)

(8)

S S

^н ' ^отк

n

доп

0

1

Таблица 4. Выражения для определения вероятностей состояний СМО c заявками трех типов (m = 3)

Table 4. Expressions for the probabilities of the states of the queuing systems with three types (m = 3) of applications

Система уравнений

System of equations

0 = - Po СЧ + + + Ц1 Pi + Ц2 Pi + Цз л; 0 = Po- Ц1 Pi; 0 = X2 Po- Ц2 Pi; 0 = ^3 Po- Цз Рз

0 = - Po (X1 + X2 + ^ + Ц1 Pi + Ц2P2 + ЦзP3; 0 = Po - (Ц1 + + X2 + ^ P1 + 2Ц1P4 + Ц2P5 + Цз P6; o = X2Po - (Ц2 + + X2 + ^ P2 + Ц1P5 + 2Ц2Pi + Цз Pi; o = ХзPo - (Цз + + X2 + ^ P3 + Ц1P6 + Ц2P8 + 2Цз P9; o = P1 - 2Ц1P4; o = P1 - (Ц1 + Ц2) P5 + P2;

o = ^P1 + Pз - (Ц1 + Цз) P6; o = ^2P2 - Pi;

o = ^зP2 + X2P3 - (Ц2 + Цз) P8; o = ^P-

o = - Po (X1 + X2 + ^ + Ц1P1 + Ц2P2 + ЦзPз; o = Po - (Ц1 + + X2 + ^ P1 + 2Ц1P4 + Ц2P5 + Цз P6; o = X2Po - (Ц2 + + X2 + ^ P2 + Ц1P5 + Pi + Цз P8; o = ^зPo - (Цз + + X2 + ^ P3 + Ц1P6 + Ц2P8 + 2Цз P9;

o = P1 - + + X2 + ^P4 + зЦ1 P1o + Ц2P11 + ЦзP14;

o = ^2P1 + P2 - (Ц1 + + ^2 + ^з)P5 + 2Ц1 Pu + 2Ц2Pu + ЦзPlз; o = ^зP1 + Pз - (Цз + + ^2 + ^з) P6 + Ц2Pu + P14 + 2ЦзP15;

o = X2P2 - + + X2 + ^Pi + Ц1P12 + зЦ2P16 + ЦзP1i;

o = ^P2 + ^2Pз - (Ц2 + Цз + + ^2 + ^з) P8 + ц^ц + Pu + 2ЦзP18;

o = ^зPз - (2Цз + + X2 + ^ P9 + Ц1P15 + Ц2P18 + зЦз P19; o = P4- зЦ1 P1o; o = ^2P4 + P5- (2Ц1 + Ц2)P11; o = X2 P5 + Pi - (Ц1 + 2Ц2) P12;

o = ^зP5 + ^2P6 + P8 - (Ц1 + Ц2 + Цз)P9 + Ц1 Plз;

o = хзP4 + P6 - (2Ц1 + Цз) P14; o = хзP6 + P9- (Ц1 + 2Цз) P15; o = X2Pi - зЦ2P16; o = ^зPi + X2P8 - + Цз)P1i;

o = ^зP8 + X2P9 - (Ц2 + 2Цз)P18; o = ^зP9 - зЦзP19

Аналитическое решение / 3

Analytical expressions

Po Pз

= 1+«1 +а2 + аз; P1 = «1 Po; P2 = «2Po;

азPo; Ph = Po; PoTK = (а1 + «2 + «з) Po

Po1 = 1 + а1 + а 2 + а з + o,5( aj2 + а 2 + а \ ) +

+а1а 2 + а1а з + а 2а з; P1 = а1 Po; P2 = а2Po; Pз = аз Po; P4 = 0,5al1 Po; P5 = а1а2Po; P6 = а1азPo;

0,5а 2 Po;

Po1 = 1 + а1 + а 2 + а з + 0,5( а1 + а 2 + а з)2+

Pi = 0,5а2Po; P8 = а2азPo; P9 : Ph= Po(1 + а1 + а2 + аз);

PoTK = 0,5(а1 + а2 + a3)2Po

1з + С

+ ( а1 + а 2 + а з )з/ 6; P1 = а1 Po; P2 = а2Po; Pз = аз Po; P4 = 0,5а2Po; P5 = а1а2Po; P6 = а1азPo; Pi = 0,5а2Po; P8 = а2азPo; P9 = 0,5а2Po; P10 =а1зPo/6; P11 = 0,5а2а2Po; Pu = 0,5а1а2Po; Pn = а1а2 аз Po; P14 P16

= 0,5а1аз Po; P15 = 0,5а1а2 Po;

'«iPO

/б; Pu = 0,5а2азPo;

P18 = 0,5а2аs^o; P19 = азPo/6; PH = Po [1 + а1 + а2 + аз + 0,5(а1 + а2 + аз)2];

PoTK = Po (а1 + а2 + аз)з/6

с

Примечание. а1 = а2 = Х2 /ц2, а3 = А,3 /ц3 — приведенные нагрузки; ^ p = 1; C = C 2m - 1.

с i=0

Note. а1 = Х1/Ц1, а2 = Х2/ц2, а3 = Х3/^3 —givenload; ^pt = 1; C = C2m - 1.

и

1

1

2

з

Условия (1) могут быть сведены к виду:

Ц 1 Ц 2 ^ 3

^ з

— + — + — ^min (аo; а н; аотк),

(9)

где а0 =

+ 0,5S1 +-<[bÏ

20

+ 0,5B1 ^TB!2

+ 8B1 + 20 -1;

а н = — н B2

1 + з зв 22 + зв 2 +1 + B 2^9B 22 + 10B 2 + з +

зв22 + зв2 + 1 - в2V9B22 + 10B2 + з

в з

з зв з2 + зв з + 1 - в з^9В з2 + 10B з + з

Пример 4. Проектируется трехканальная (п = 3) СМО, в которую поступает три типа (т = 3) заявок с частотами и А,3. Требуется найти скорости

обслуживания ц1, ц2 и ц3, если заданы допустимые значения вероятностей рдоп = 0,95, рдоп = 0,99 и

Родтокп= 0,001.

Находим: В1 = 0,3158; В2 = 99; В3 = 999. Из (6)-(9) получаем:

,

1 + з зв з2 + зв з +1 + в з^9в з2 + 10B з + з +

^ ^^^ + < ш1п (0,051; 0,455; 0,194) = 0,051.

Ц1 Ц 2 Ц 3

Это свидетельствует о критичности условияр0 >

> ^доп = 0,95 и необходимости предъявления требований к скоростям обслуживания: [ц1, ц2, ц3]т >

> 19,6[^, Х2, ^3]т.

Результаты и их обсуждение

Обобщая полученные результаты, для данного типа СМО можно вывести следующие универсальные выражения:

Po =

и 1 I m

1 +У - а,

H i !

1=1 v j =1 j

(10)

Hi

Мз

Мз

К

2Mi

Мз

М2

Mi

.Мз

'Mi

М2

2ц3\

V

3Mi

М2 I

.Мз

W

2Mi

I Мз

>12

/Ц2

2Ц!

Mi

2цз\

3М2\

Mi

Mi

Мз

\2ц2

>17

Зц3\

Рис. 5. Граф переходов трехканальной (n = 3) СМО с тремя типами (m = 3) заявок

Fig. 5. The transition graph a three-channel queuing (n = 3) system with three types (m = 3) of applications

P н = Po

n -1 1 ( m

1 + л} Л a

г=1 • V j=1

N

f

P отк = Л Pk = —! la

k = N1 n • V j = 1 у

n

(11)

(12)

Это позволяет сформулировать следующую теорему: для и-канальной СМО без очереди при стандартных допущениях (процессы приема-обслуживания заявок установившиеся, потоки заявок простейшие, времена обслуживания заявок каждого типа подчинены экспоненциальным законам: ф(^) = ^ х х ехр (- .), каждый КО обслуживает заявку самостоятельно), в которую поступают заявки т типов с частотами Х1? ..., 1т, обслуживаемые со скоростями ..., тт соответственно, вероятности незанятости канала обслуживания, отказа в приеме заявки и приеме заявки к немедленному обслуживанию могут быть найдены по выражениям соответственно:

P0=

( П a °

1+ У 4-i i!

V i = 1

(

P н = P 0

У

n-1 ai ^

1

i=1

P отк = (Poln a

С ,

(13)

(14)

(15)

где ac — общая приведенная нагрузка; ac = Л .

=1 ^j

Доказательство теоремы для т = 1 (заявки одного типа) заключается в том очевидном факте, что выражения (10)-(12) приводятся к общеизвестному виду [5] для стандартных одно- и многоканальных СМО с отказами. Для т = 2 (заявки двух типов) доказательство представлено в табл. 2, для т = 3 (заявки трех типов) — в табл. 4. Подобным образом получены доказательства и для т > 4, но ввиду громоздкости выражений они здесь не приводятся.

Задача анализа рассматриваемой СМО может решаться непосредственным вычислением по выражениям (11)—(12) вероятностей р0, рн и ротк при известных частотах поступления заявок Х1, ...,Хт, скоростях их обслуживания й1, цт и числе КО п.

Задача синтеза, как показано выше, сводится к тому, что по заданным допустимым значениям вероятностей р^оп, р^оп и р^™ и известным частотам Х1, ..., Хт подбираются необходимые значения числа КО п и/или скоростей обслуживания й1, цт.

Выводы

Таким образом, получены математические модели для систем безопасности объектов на основе п-канальных СМО, в которые поступают простейшие потоки разнотипных заявок. Данные математические модели могут быть использованы для решения задач анализа и синтеза таких СМО.

Полученные результаты актуальны при рассмотрении систем безопасности автономных объектов (например, в северных районах или Арктической зоне), где могут возникать различные типы чрезвы-

m

чайных ситуаций (отказы оборудования, аварии, по- торых создаются универсальные аварийно-наладоч-жары, утечки энергоносителей), для устранения ко- ные и пожарно-спасательные бригады.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Akimov V. A., Sokolov Yu. I. Risks of emergencies in Russia's Arctic zone // Issues of Risk Analysis. Scientific and Practical Journal. — 2010. — Vol. 7, No. 4. — 21 p. URL: https://www.dex.ru/par_en/ abstracts_of_journal/pdf/PAR_7_4_en.pdf (дата обращения: 10.08.2017).

2. Алешков М. В., Безбородько М. Д. Применение мобильных средств пожаротушения для защиты объектов атомной энергетики от крупных пожаров в условиях экстремально низких температур // Пожары и чрезвычайные ситуации: предотвращение, ликвидация. — 2014. — №3. — С. 37-45.

3. Makhutov N. A., Moskvichev V. V., Fomin V. M. Designing machinery for the Arctic: A problem of socioeconomic development of Russia's eastern regions//Herald of the Russian Academy of Sciences.

— 2015.—Vol. 85,No. 1 —P. 79-86. DOI: 10.1134/s1019331615010104.

4. ДагировШ. Ш., Алешков М.В., Ищенко А. Д., Роенко В. В. Перспективы применения отдельных технических достижений для предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций в арктическом регионе // Проблемы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций в арктическом регионе. Безопасный город в Арктике" : материалы Международной научно-практической конференции, 6-8 апреля 2016 г., г. Звенигород. — М. : ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2016. — С. 146-155.

5. Вентцель Е. С. Исследование операций. — М. : Советское радио, 1972. — 552 с.

6. ТаранцевА.А. Инженерные методы теории массового обслуживания. — Изд. 2-е, перераб. и доп.

— СПб. : Наука, 2007. — 175 с.

7. Брушлинский Н. Н., Соколов С. В., Алехин Е. М., Коломиец Ю. И., Вагнер П. Опыт применения компьютерных имитационных систем моделирования деятельности экстренных служб // По-жаровзрывобезопасность / Fire and Explosion Safety. — 2016. — Т. 25, № 8. — С. 6-16. DOI: 10.18322/PVB.2016.25.08.6-16.

8. Алехин Е. М., Брушлинский Н. Н., Соколов С. В. О распределении Эрланга и некоторых его приложениях // Пожаровзрывобезопасность / Fire and Explosion Safety. — 2014. — Т. 23, № 6. — С. 11-17.

9. ТопольскийН. Г., Таранцев А. А., Чумаченко А. П. Экспресс-выбор параметров систем массового обслуживания в АСУ пожарной охраны // Пожаровзрывобезопасность / Fire and Explosion Safety.

— 2000.—Т. 9, № 1. —С. 7-11.

10. Таранцев А. А., Малышев Д. А. О возможности совершенствования ГОСТ Р 22.7.01-99 "Единая дежурно-диспетчерская служба" // Пожаровзрывобезопасность / Fire and Explosion Safety. — 2015. — Т. 24, № 11. — С. 77-81.

11. Таранцев А. А., Холостов А. Л., Ищенко А. Д., Потапенко В. В. О задачах анализа и синтеза систем обслуживания заявок нескольких типов // Пожаровзрывобезопасность / Fire and Explosion Safety. — 2017. — Т. 26, № 3. — С. 31-38. DOI: 10.18322/PVB.2017.26.03.31-38.

12. Ancker C. J., Gafarian A. V.Queuing with multiple poisson inputs and exponential service times // Operations Research. — 1961. — Vol. 9, No. 3. — P. 321-327. DOI: 10.1287/opre.9.3.321.

13. Клейнрок Л.Теория массового обслуживания/Пер. сангл.—М.: Машиностроение, 1979.—432с.

14. КофманА., КрюонР. Массовое обслуживание. Теория и приложения/Пер. с франц. —М.: Мир, 1965. —302 с.

15. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. — М. : Физматгиз, 1963.—236 с.

16. Doig A. A bibliography on the theory of queues // Biometrika. — 1957. — Vol. 44, Issue 3-4. — P. 490-514. DOI: 10.1093/biomet/44.3-4.490.

Материал поступил в редакцию 21 августа 2017 г.

Для цитирования: Таранцев А. А., Холостов А. Л., Таранцев А. А. Анализ и синтез систем

массового обслуживания с разнотипными заявками в задачах обеспечения безопасности объектов // Пожаровзрывобезопасность/Fire and Explosion Safety. — 2017. — Т. 26, № 9. — С. 54-64.

DOI: 10.18322/PVB.2017.26.09.54-64.

ANALYSIS AND SYNTHESIS OF QUEUING SYSTEMS WITH DIVERSE APPLICATIONS IN PROBLEMS THE SAFETY OF OBJECTS

TARANTSEV A. A., Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of Organisation of the Fire Suppression and Rescue Department, Saint Petersburg University of State Fire Service of Emercom of Russia (Moskovskiy Avenue, 149, Saint Petersburg, 196105, Russian Federation); Head of Laboratory of Solomenko Institute of Transport Problems of the Russian Academy of Sciences (12-ya Liniya Vasilyevskogo Ostrova, 13, Saint Petersburg, 199178, Russian Federation; e-mail: [email protected])

KHOLOSTOV A. L., Doctor of Technical Sciences, Docent, Deputy Head of the Department of Electrical Engineering, Automated Systems and Communication, Academy of State Fire Service of Emercom of Russia (Borisa Galushkina St., 4, Moscow, 129366, Russian Federation; e-mail: [email protected])

TARANTSEV A. A., Lecturer of Fire Tactics and Servise Department, State Fire Academy of Emercom of Russia (Borisa Galushkina St., 4, Moscow, 129366, Russian Federation; e-mail: [email protected])

ABSTRACT

It was proposed to substantiate quantitative solutions in the design and operation of safety systems of autonomous objects on the basis of methods of the theory of queuing systems.

The article deals with the problems of analysis and synthesis of the queuing systems when solving the problems of ensuring the safety of objects (for example, fire-fighting or emergency protection systems of an autonomous remote object), which feature is the availability of different types of applications that require different maintenance time (for example, fire and rescue units or repair and recovery teams).

While solving problems of analysis the probability p of finding the system in key states determines. S0 — there were no problematic situations, all the service channels are free; Su — at least one service channel is available, capable of responding to the problem (service request); Sref — all n service channels are busy, there is no possibility to react to the problem that has arisen (the application receives a denial of service).

While solving the synthesis problem, the necessary quantitative characteristics of the system, such as the number of service channels n, the number of queues and the speed of service {^}, are selected from the given permissible values of probabilities p0, pu and prf and known frequencies {^}.

Step by step systems are considered with applications of two types — one-channel and two-channel applications and a system with applications of three types — one-channel, two-channel and three-channel applications.

Graphs and equations describing the states of the system and analytical solutions for finding the probabilities of the ground states are given for each of the considered types of systems.

Universal expressions are obtained for finding the probabilities of key states for an n-channel queuing system without a queue under standard assumptions for m type applications. The justification of the obtained expressions is given.

Examples of characteristics calculation for one-channel, two-channel and three-channel queuing systems with two and three types of applications are given. In particular, the probability of finding a system in a state when no applications are received (p0) is calculated, when the requests arrive and one service channel (pu) is left and when all the service channels are occupied (prf).

Examples of solving problems of analysis and synthesis are given for each of the considered types of systems.

The article clearly demonstrates the possibility of applying the above methods to the problems of creating integrated security systems for remote autonomous objects, in particular, located in the Far North and in the Arctic zone.

This work is a logical continuation of the article Tarantsev A. A., Kholostov A. L., Ishchenko A. D., Potapenko V. V. Problems of analysis and synthesis of application service systems of several types. Pozharovzryvobezopasnost /Fire and Explosion Safety, 2017, vol. 26, no. 3, pp. 31-38.

Keywords: fires; emergency; diverse application; queuing system; security system of the object.

REFERENCES

1. Akimov V. A., Sokolov Yu. I. Risks of emergencies in Russia's Arctic zone. Issues of Risk Analysis. Scientific and Practical Journal, 2010, vol. 7, no. 4. 21 p. Available at: https://www.dex.ru/par_en/ abstracts_of_journal/pdf/PAR_7_4_en.pdf (Accessed 10 August 2017).

2. Aleshkov M. V., Bezborodko M. D. Application of movable fire extinguishment means for protecting nuclear power plants from large fires under extremely low temperature conditions. Pozhary i chrezvy-chaynyye situatsii: predotvrashcheniye, likvidatsiya / Fire and Emergencies: Prevention, Elimination,

2014, no. 3, pp. 37-45 (in Russian).

3. Makhutov N. A., Moskvichev V. V., Fomin V. M. Designing machinery for the Arctic: A problem of socioeconomic development of Russia's eastern regions. Herald of the Russian Academy of Sciences,

2015, vol. 85, no. 1,pp. 79-86. DOI: 10.1134/s1019331615010104.

4. Dagirov Sh. Sh., Aleshkov M. V., Ishchenko A. D., Roenko V. V. Prospects of application of certain technical advances for the prevention and liquidation of emergency situations in the Arctic region. In: Problemy preduprezhdeniya i likvidatsii chrezvychaynykh situatsiy v arkticheskom regione. Bez-opasnyy gorod v Arktike: materialy Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Problems of prevention and liquidation of emergency situations in the Arctic region. Safe city in the Arctic. Proceedings of International Scientific and Practical Conference]. Moscow, FGBU VNII GOChS (FTs) Publ., 2016, pp. 146-155 (in Russian).

5. Ventsel E. S. Issledovaniye operatsiy [Operations research]. Moscow, Sovetskoye radio Publ., 1972. 552 p. (in Russian).

6. Tarantsev A. A. Inzhenernyye metody teorii massovogo obsluzhivaniya [Engineering methods of theory of mass service]. Saint Petersburg, Nauka Publ., 2007. 175 p. (in Russian).

7. Brushlinskiy N. N., Sokolov S. V., Alekhin E. M., Kolomiets Yu. I., Wagner P. Computer systems simulating activities of municipal emergency services. Pozharovzryvobezopasnost / Fire and Explosion Safety, 2016, vol. 25, no. 8, pp. 6-16 (in Russian). DOI: 10.18322/PVB.2016.25.08.6-16.

8. Alekhin E. M., Brushlinskiy N.N., Sokolov S. V. About Erlang's distribution and some its applications. Pozharovzryvobezopasnost / Fire and Explosion Safety, 2014, vol. 23, no. 6, pp. 11-17 (in Russian).

9. Topolskiy N. G., Tarantsev A. A., Chumachenko A. P. Express-selection of parameters ofmass maintenance system in ACS of fire protection. Pozharovzryvobezopasnost / Fire and Explosion Safety, 2000, vol. 9, no. 1, pp. 7-11 (in Russian).

10. Tarantsev A. A., Malyshev D. A. About possibility of perfection GOST R 22.7.01-99 "Single duty-controller's service". Pozharovzryvobezopasnost / Fire and Explosion Safety, 2015, vol. 24, no. 11, pp. 77-81 (in Russian).

11. Tarantsev A. A., Kholostov A. L., Ishchenko A. D., Potapenko V. V. Problems of analysis and synthesis of application service systems of several types. Pozharovzryvobezopasnost / Fire and Explosion Safety, 2017, vol. 26, no. 3, pp. 31-38 (in Russian). DOI: 10.18322/PVB.2017.26.03.31-38.

12. Ancker C. J., Gafarian A. V. Queuing with multiple poisson inputs and exponential service times. Operations Research, 1961, vol. 9, no. 3, pp. 321-327. DOI: 10.1287/opre.9.3.321.

13. Kleinrock L. Queueingsystems. Volume 1: Theory. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1975. 417 p. (Russ. ed.: Kleinrock L. Teoriyamassovogo obsluzhivaniya. Moscow, Mashinostroyeniye Publ., 1979. 432 p.).

14. Kaufmann A., Cruon R. Massovoye obsluzhivaniye. Teoriya iprilozheniya [Mass service. Theory and applications]. Moscow, Mir Publ., 1965. 302 p. (in Russian).

15. Khinchin A. J. Rabotypo matematicheskoy teorii massovogo obsluzhivaniya [Work on the mathematical theory ofmass service]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. 236 p. (in Russian).

16. Doig A. A bibliography on the theory of queues. Biometrika, 1957, vol. 44, issue 3-4, pp. 490-514. DOI: 10.1093/biomet/44.3-4.490.

For citation: Tarantsev A. A., Kholostov A. L., Tarantsev A. A. Analysis and synthesis of queuing systems with diverse applications in problems the safety of objects. Pozharovzryvobezopasnost / Fire and

Explosion Safety, 2017, vol. 26, no. 9, pp. 54-64 (in Russian). DOI: 10.18322/PVB.2017.26.09.54-64.