О задачах анализа и синтеза систем обслуживания заявок нескольких типов Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. А. ТАРАНЦЕВ, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры организации пожаротушения и проведения аварийно-спасательных работ, Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России (Россия, 196105, г. Санкт-Петербург, Московский просп., 149); заведующий лабораторией, Институт проблем транспорта им. Н. С. Соломенко РАН (Россия, 199178, г. Санкт-Петербург, 12-я линия ВО, 13; e-mail: t_54@mail.ru) А. Л. ХОЛОСТОВ, д-р техн. наук, доцент, заместитель начальника кафедры специальной электротехники, автоматизированных систем и связи, Академия ГПС МЧС России (Россия, 129366, г. Москва, ул. Бориса Галушкина, 4; e-mail: holostov@mail.ru)

A. Д. ИЩЕНКО, канд. техн. наук, доцент, начальник учебно-научного комплекса пожаротушения, Академия ГПС МЧС России (Россия, 129366, г. Москва, ул. Бориса Галушкина, 4; e-mail: adinko@mail.ru)

B. В. ПОТАПЕНКО, канд. техн. наук, начальник кафедры пожарной безопасности, Военная академия материально-технического обеспечения им. генерала А. В. Хрулёва (Россия, 191123, г. Санкт-Петербург, ул. Захарьевская, 22; e-mail: pww@mail.ru)

УДК 614.84

О ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАЯВОК НЕСКОЛЬКИХ ТИПОВ

Рассмотрены задачи анализа и синтеза систем массового обслуживания (например, систем противопожарной защиты объекта) заявок нескольких типов, требующих привлечения одного, двух или более каналов (например, пожарно-спасательных подразделений). Получены аналитические выражения для вероятностей состояний систем обслуживания. Сформулирована задача анализа как нахождение вероятности отказа системы в приеме заявки какого-либо типа по причине занятости всех каналов, когда известны интенсивности поступления заявок и скорости их обслуживания. Сформулирована задача синтеза как нахождение необходимого числа каналов обслуживания при заданных ограничениях на вероятность отказа в приеме заявок. Показана возможность решения задачи синтеза с использованием номограмм.

Ключевые слова: опасная ситуация; мобильные подразделения; экстренные службы; система массового обслуживания; вероятность отказов. DOI: 10.18322/PVB.2017.26.03.31-38

Введение

В работе [1] рассмотрены я-канальные системы массового обслуживания (СМО), предназначенные для работы с заявками различных типов, прием и обслуживание которых требует привлечения либо одного, либо двух или трех каналов обслуживания (КО). Актуальность такой задачи обусловлена наличием автономных объектов [2, 3], на которых могут возникать опасные ситуации (например, пожары) различной сложности, когда для их ликвидации требуется привлечение либо одного пожарно-спа-сательного подразделения (в терминах СМО — канала обслуживания), либо одновременно двух или трех подразделений при условии, что число таких подразделений я ограничено. Это относится как к промышленным предприятиям и населенным пунктам [4-9], так и к крупным дорожным магистралям и объектам в Арктической зоне [2, 3, 10-12].

В рамках общепринятых допущений теории массового обслуживания [13, 14] при наличии интен-

сивностей поступления заявок 1-го типа Х1 (для обслуживания которых достаточно привлечь один КО), 2-го типа Х2 (два КО) и 3-го типа (три КО), а также интенсивностей обслуживания заявок соответственно ц1, ц2 и ц3 в работе [1] получены системы уравнений для вероятностей состояний таких СМО и представлены соответствующие им графы переходов.

На этапах проектирования и функционирования СМО возникают две характерные задачи — анализ и синтез [13-15]. Задача анализа сводится к нахождению состояний СМО {р} (прежде всего вероятностей отказа в приеме заявок любого типаротк, 2-го типа рп и 3-го типа рш) при заданном числе КО я, когда известны интенсивности и {ц}. Задача синтеза в наиболее распространенном случае заключается в нахождении минимально необходимого числа КО я при известных интенсивностях и {ц} и заданных ограничениях на допустимые вероятности отказов ротк, рп и рш. В ряде случаев при

© Таранцев А. А., Холостое А. Л., Ищенко А. Д., Потапенко В. В., 2017

синтезе СМО требуется найти необходимые интенсивности обслуживания {ц} (например, снабдить по-жарно-спасательные подразделения специальным оборудованием и увеличить штат подразделений для сокращения времени тушения пожара) при известных значениях {Х} и п и допустимых вероятностях отказов.

Системы обслуживания заявок двух типов

В работе [1] приведены математические выражения в виде систем уравнений, связывающих вероятности состояний {р} СМО с числом КО п = 2...7, куда поступают заявки двух типов с интенсивно-стями Х1 и Х2, которые обслуживаются в КО со скоростями (интенсивностями) ц и ц2 соответственно. Авторам удалось получить явные аналитические(!) решения этих систем уравнений через приведенные нагрузки а1 = Х/ц и а2 = Х2/ц2 (табл. 1), атак-

же общие выражения для вероятностей незанято сти всех п КО р0 и вероятностей отказов ротк ирп:

Ц Ч 2) а ] п + 2 ] а 1

Ро1 - Е От 22 От;

7! ^ 11

] = 0 7 ! 1 - 0 1!

Ро

Рп Ро

а

Ро

Ц п 2)

Ц(^2) а2 а,

-Е 2 1

п - 2 ]

Ц(п/2)

] - о

п - 2 Ц|-

7! (п - 2])!'

а п - 2Ц (п/ 2)

Ц (п/ 2) -1 а ] ^ 12

7 = 0

]!

а

п - 7

а

п - ] -1

(п -])! (п -] - 1)!

(1) (2)

(3)

где Ц(х) — функция взятия целого числа от х, например: Ц(2) = 2, Ц(2,5) = 2, Ц(3,5) = 3 и т. д. Выражения (1)-(3) можно использовать для анализа работы п-канальной СМО данного типа. Для

Таблица 1. Выражения для оценки вероятностей состояний СМО с двумя типами заявок

Система уравнений

Аналитическое решение

Номер рисунка в[1]

0 - - (^ + Х2)Ро + Р1 + ц 2Р2;

0 - Х1 Ро - (Х1 + цОР1 + 2 ц^; 0 - Х2Ро - ц2Р2; 0 - Х1Р1 - 2ц 1 Рз

0 - - (Х1 + х2)Ро + Ц1 Р1 + ц 2Р2; 0 - Х1Ро - (Х1 + Х2 + ц 1> Р1 + 2 ц1 Рз + ц 2РА; 0 - Х2Ро - (Х1 + ц2)Р2 + ц 1 РА; 0 - Х1Р1 - (Х1 + 2цОРз + 3ц 1Р5;

0 - Х2Р1 - (ц 1 + ц 2) Р4 + Х1Р2;

0 - Х1 Рз - 3 ц 1 Р5

0 - - (Х1 + Х2)Ро + ц Р1 + ц 2Р2; 0 - Х1Ро - (Х1 + Х2 + ц 1)Р1 + 2ц1 Р3 + ц2Р4; 0 - Х2Р0 - (Х1 + Х2 + ц2)Р2 + ц 1 Р4 + 2ц2Р5; 0 - Х1Р1 - (Х1 + Х2 + 2ц 1)Р3 + 3ц1 Рб + ц2Р7; 0 - Х2Р1 + Х1Р2 - (ц 2 + ц 1 + Х1)Р4 + 2 ц1 Р7; 0 - Х2Р2 - 2ц2Р5; 0 - Х1Р3 - (3ц 1 + Х1)Рб + 4 ц1 Р«; 0 - Х2Р3 + Х1Р4 - (ц2 + 2ц 1)Р7; 0 - Х1 Рб - 4 ц 1 Р8

0 - - (Х1 + Х2)Ро + ц1 Р1 + ц 2Р2; 0 - Х1Ро - (Х1 + Х2 + ц 1)Р1 + 2ц1 Р3 + ц2Р4; 0 - Х2Р0 - (Х1 + Х2 + ц2)Р2 + ц 1 Р4 + 2ц2Р5; 0 - Х1Р1 - (Х1 + Х2 + 2 ц 1) Р3 + 3 ц1 Рб + ц 2Р7; 0 - Х 2Р1 + Х1Р2 - (Х1 + Х 2 + ц 2 + ц 1 )Р4 +

+ 2 ц 1Р7 + 2 ц 2 Р«; 0 - Х2Р2 - (Х1 + 2ц2)Р5 + ц 1Р«;

0 - Х1Р3 - (Х1 + Х2 + 3ц 1)Рб + 4 ц1 Р9 + ц2Р10;

0 - Х2Р3 + - (Х1 + ц2 + 2ц 1)Р7 + 3ц 1Р10;

0 - Х2Р4 + Х1Р5 - (2ц2 + ц 1)Р«;

0 - Х1 Рб - (4ц 1 + Х1)Р9 + 5ц1 Р11; 0 - Х2Рб + Х1Р7 - (ц 2 + 3 ц 1) Р10; 0 - Х1Р9 - 5 ц 1Р11

Ро -

- Е + а2; Р1 = а1Ро; Р2 = а2Ро;

1-о 1 •

- 0,5 а!2Ро; Ротк = Р2 + Р3 = ( а2 + 0,5 а12) Ро;

Р3

Р11 = Р1 + Р1 = (а1 + а 2 + 0,5 а12) Ро

Ро -Р3

Ротк

Рп =

-7 + а 2 Е Р1 = а^о; Р2 = а2Ро;

1-о 1 • 1-о 1 • - о,5а12ро; Р4 = а1а2Ро; Р5 - а13Ро/6; = Р4+ Р5 = (а1а2 + а13/6) Ро; :Р1+ Р2+ Р3 =[а2(1 + а1) + 0,5а12 + а13/б] Ро

Р11

Еап х-* а-| а2

~г + а2 Е ~г + 9 ; Р1 = а^о; Р2 = а2Ро;

1= о 1 • 1-о 1 • 2 -0,5а12Ро;Р4=а1а2Ро; Р5 - 0,5а2Ро; Рб-а3Ро/6; - 0,5а2а2Ро; Р8 - а4Ро124;

.= Р5+ Р7+ Р8 = = Р1+ Р4+ Рб =

2

а22

24

а 2

Ро;

а[ б

а? 24

Ро

Ро -

— а! -Л а! а2 ^ а;

"7 + а2 Е "7 + Т2 Е 77; Р1 = а^о;

Р2 Рб Р9

Ротк

Рп =

= а2Ро; Р3 - 0,5а12Ро; Р4 = а1а2Ро; Р5 - 0,5а2Ро;

- а3ро/6; Р7 - 0,5а?а2Ро; Р« - 0,5а1а2Ро;

- а4Ро124; Р10 - а3а2Р^6; Р11 - а15Ро!120;

= Р«+ Р10+ Р11 =

=р,+ р5+ р7+ Р9 = + а1) + а 2

2

а22

а1

а5

6 120

Ро;

2 а1

а? 62

а4

а 5

24 120

Ро

1

п

2

3

2

4

3

2

5

4

2

Окончание табл. 1

Система уравнений

Аналитическое решение

Номер рисунка в [1]

= - (+ X2)Ро + Ц Р1 + Ц 2Р2;

-- ХгРо - (+ Х2 + Ц 1)Р1 + 2Ц1Р3 + Ц2Р4; 1 Х2Р0 - (Х1 + Х2 + Ц2)Р2 + Ц1 Р4 + 2Ц2Р5;

1 Х1Р1 - (Х1 + х 2 + 2 ц 1) Рэ + 3 Ц1 Рб + ц 2 р?;

1 Х 2Р1 + Х1Р2 - (Х1 + Х 2 + Ц 2 + Ц 1) Р4 +

2 ц 1р? + 2 ц 2 р«;

= Х2Р2 - (Х1 + Х2 + 2Ц2)Р5 + Ц1 Р8 + 3Ц2Р9; 1 Х1Р3 - (Х1 + Х2 + 3Ц 1)Рб + 4 Ц1 Р10 + ц2Р11; 1 Х2Р3 + Х1Р4 - (Х1 + Х2 + Ц2 + 2Ц1)Р? +

3 Ц1Р11 + 2 Ц 2 Р12;

1 Х2Р4 + Х1Р5 - (Х1 + 2Ц 2 + Ц 1)Р8 + 2Ц1Р12;

1 Х2Р5 - 3Ц2Р9;

1 Х1 Рб - (Х1 +Х 2 + 4 Ц1) Р10 + 5 Ц1 Р13 +Ц 2 Р14; 1 Х2Рб + Х1 Р? - (Х1 +Ц2 + 3Ц 1)Р11 + 4 Ц1 Р14; 1 Х2Р? + Х1Р8 - (2Ц2 + 2Ц 1)Р12; 1 Х1Р10 -(Х1 + 5Ц 1)Р13 + бЦ 1Р15; 1 х2Р10 + ^Рп - (Ц 2 + 4 Ц 1)Р14; 1 Х1Р13 - б Ц1 Р15

= - (Х1 1 Х1Р0 -1 х 2Р0 ~

-- Х1Р1 -

1 х 2Р1 +

2 ц 1Р?

1 х 2Р2-1 Х1Р3 -1 Х 2Р3 +

3 Ц1Р11 1 х 2Р4 + 1 Х2 Р5 "

1 Х1 Рб -1 Х2 Рб +

4 Ц1 Р15

1 Х 2Р? +

1 Х1Р9 -1 Х1Р10 1 Х 2Р10 1 Х ^.Р11

1 Х1Р14 1 Х 2Р14 -- Х1Р1?

+ Х 2)Р0 + Ц1 Р1 + Ц 2 Р2;

X 2

X 2

ц 1) Р1 Ц 2) Р2

2 Ц1Р3 + Ц 2 Р4; Ц1 Р4 + 2 Ц 2 Р5;

(Х1 (Х1

(Х1 + х 2 + 2 Ц 1) Р3 + 3 Ц1 Рб + Ц 2 Р?; Х1Р2 - (Х1 + Х 2 + Ц 2 + Ц 1) Р4 +

2 ц 2 Р«;

(Х1 (Х1

X 2 X 2

2Ц 2) Р5 3Ц 1) Рб

И Ц1 Р8 + 3Ц2Р9;

4 ц 1Р10 + ц 2 Р11;

ЬРл - (X1 + 2 + Ц2 + 2Ц1)Р? + + 2 Ц 2 Р12;

■ ^Р5 - (X1 + 2Ц 2 + Ц 1)Р8 + 2Ц1Р12;

■ ( X1 + 3Ц 2) Р9 + Ц1Р13;

(X1 +X 2 + 4 Ц1) Рю + 5 Ц1 Р14 + Ц 2 Р15; X1 Р? - (X1 + ^ +Ц 2 + 3 Ц1) Р11 + + 2 Ц 2 Р1б;

Ьр«- (X1 + 2 ц 2 + 2 ц 1) Р12 + 3 ц 1 Р1б;

-ц 1Р13;

- (X1 + X2 + 5 Ц 1)Р14 + 6Ц1 Р1? + Ц 2Р18;

^Рп - ( X1 +ц 2 + 4 ц 1) Р15

X^-Рl2- (2ц 2 +3 ц 1) Р1б;

( Xl + 6ц 1) Р1? + ?Ц 1Р19;

^15 - ( Ц 2 + 5Ц 1)Р18; ■ ? ц 1Р19

5ц 1Р1«;

б а! Л а1 а2^ а! а3

р0 = А77 + а2А77 + -2 А77 +1т; р1 = ;= 0 ' • ¡=0 ' • 2 ¡=0 ' • 6

р2 = а2р0; р3 = 0,5а12р0; р4 = а1а2р0; Р5 = 0,5а2р0;

Рб = а3Р0/6; р? = 0,5а?а2Р0; р« = 0,5а1а2Р0;

Р9 = а3Р0/6; Р10 = а4Р0/24; Р11 = а3«2Р0/6; Р12 = а12а2Р0/4; Р13 = а15Р0/120;

/6!;

а2а2Р0/4; Р13 Р14 = а2а2Р0/24; Р15 = а6Р0

Ротк= р9+ р12+ р14+ р15 =

2 2

рп= Л + р«+ р11+ р13 =

24

р0;

3 а1

24

01 5!

«76 6!

р0

5

! = 0

V а1 + а 2 V а1 + а 2 V а1.

12 + —А тг ^^ тг;

1= 0

а3 а1

=0

1 •

р-1 =А 0т

!= 0 ' !

р1 = а1 р0; р2 = а2р0; р3 = 0,5а12р0; р4 = а1а2р0;

Р5 = 0,5а2р0; Рб=аЭр^6; р? = 0,5а2а2Р0;

Р8 = 0,5а1а2Р0; Р9 =а3р^6; Р10 = а4Р0/24;

Р11 = 2Р0/6; Р12 =а12а^р^4; Рп =а1а2р^6; Р14 = а15Р0М Р15 =а4а2р^24; Ргб =аЭа2р^12;

а1 а2Р0/6; Р12 =а1 а2Р0 а15р^5!; Р15 =а4а2Р0 Рг? = а1бр^6!; Р18 =а5а2р^5!; Р19 = а?Р0/?!

Ротк= рг3+ ргб+ рг8+ р19 =

2б

"-1 + ^ 120 ?!

р0;

рп = Л + р9 + рг2 + р15 + рг? =

О2 (1 +аг) +

2

2 Ч2

а 3

4

24

а 5

а б

а ?

6! ?!

р0

5

решения задачи синтеза целесообразно построить номограммы с линиями равных значений я в координатах (а г, а2). Это, в свою очередь, требует получения зависимостей а2 = /(а г, я), которые в ходе исследований были найдены в виде полиномов:

Ц(я/2)

А Ак а2 = 0.

(4)

к = 0

где {А} — коэффициенты, зависящие от приведенной нагрузки а1, числа КО я и вероятностей отказа в приеме заявки.

В табл. 2 приведены выражения для величин {А} и порядка определения приведенной нагрузки а2.

Моделирование, проведенное с использованием выражений табл. 2, позволило построить номограммы для ротк = 0,1 % и рп = 0,5 % (рис. 1), которые можно использовать для решения задач синтеза СМО. Следует обратить внимание на то, что для нечетных значений я приведенная нагрузка а2 может возрастать при увеличении аг. Это объясняется тем, что при большом относительном числе "двойных заявок" всегда может оставаться свободным хотя бы один КО (одно подразделение).

Пример 1. Известно, что для объекта приведенная нагрузка по заявкам, требующим привлечения одного КО, аг = 0,1, двух КО — а2 = 0,04. Требуется

я

б

2

?

Таблица 2. Коэффициенты уравнения (4) для нахождения приведенной нагрузки а2

п {A} Отказ в обслуживании вызова Порядок нахождения а2

любого с вероятностью ротк двойного с вероятностью pii

2; 3 4; 5 а1 ао а" 2 - РоткЕп-2 а7п ! - РоткЕп Еп-2( 1 - Pli) Еп( 1 -PiI)- Еп-2 а 2 = - а0/а1

а2 а1 ао (аГ4 - РоткЕп-4)12 а Г-2/(п - 2)! - Ротк^п-2 а 7п ! - РоткЕп Еп-4( 1- Pii)/2 Еп-2( 1 -PiI)- Еп-4 Еп(1 -PiI)- Еп-2 а V а12 - 4а0 а2 - а1 а 2 о 2 2а2

6; 7 а3 а2 а1 ао (а п-6 - Ротк^п-б)/б [а п-4/(п - 4)! - Ротк^п-4^2 а п-2/(п - 2)! - РотА-2 а 7п ! - РоткЕп Еп-б(1- pii) / 6 [Еп-4(1- pii)- Е,_«]/2 Еп-2(1 -PiI)- Еп-4 Еп(1 -PiI)- Еп-2 Численное решение кубического уравнения с нахождением приемлемого корня а2

n aj а п - ^ Еп—2j (1 — Pli) — Еп—2(j+1) Общие выражения, ] = 0, ...,Ц(п/2)

(п - 2])! Ротк~п-2] j !

m>0a ' Примечание. Еm>0 = ^ —1 ; Ео = 1; £„<о = 0. ;=о 1 '

ш п = 2

- п = 3

ш п = 4

ш п = 5

ш п = 6

п = 7

Рис. 1. Зависимость а2 = /(а^ при различных значениях п: --Л,тк.доп = 0.001;----Лоткдоп = 0,005

решить задачу синтеза — найти минимально необходимое число КО п, чтобы вероятность отказа в приеме и обслуживании любой заявки ротк, а также вероятность отказа в приеме и обслуживании заявки, требующей привлечения сразу двух КО рп, не превышала 0,001 (или 0,1 %).

Учитывая, что а1 = -1, а2 = -1,398, и воспользовавшись номограммами на рис. 1и2, находим, что условиям ротк < 0,1 % и рп < 0,1 % удовлетворяет только пятиканальная (п = 5) СМО. При этом условию ротк < 0,1 % удовлетворяла бы и четырех-канальная СМО.

Пример 2. Требуется решить задачу анализа — найти вероятности отказов в обслуживанииротк ирп

_ п = 2

- п = 3

- п = 4

- п = 5

- п = 6

- п = 7

Рис. 2. Зависимость а2 = /(а1) при обслуживании заявок, требующих привлечения двух каналов обслуживания, при

различных значениях п иротк доп, равном 0,001 (-); 0,002

(---); 0,005 (----); 0,010 (---)

при а1 = 0,1, а2 = 0,04 и различном числе КО п и проверить тем самым правильность решения задачи синтеза, рассмотренной в примере 1.

С использованием аналитических выражений, приведенных в табл. 1, становится возможным рассчитать вероятности {ротк, рп, р0} = /(а1 = 0,1; а2 = 0,04; п) (табл. 3). Как следует из полученных значений вероятностей, действительно, условия

Таблица 3. Вероятности состояний ротк, ри и р0 при различном числе КО

Показатель Значение показателя, %, при я

2 3 4 5 6 ?

ротк 3,930 0,3б3 0,08? 0,008 Около 0 Около 0

рп 12,бб4 4,2?8 0,450 0,095 0,001 0,001

р0 8?,33б 8?,020 8б,944 8б,93? 8б,93б 8б,93б

ротк < 0, 1 % и рп < 0, 1 % выполняются при я = 5. При этом вероятность того, что на объекте не будет возникать ситуаций, требующих привлечения по-жарно-спасательных подразделений (т. е. все КО незаняты), достаточно высока — более 8б %.

Системы обслуживания заявок трех типов

В работе [1] приведены также математические выражения в виде систем уравнений, связывающих

вероятности состояний {р} СМО с числом КО я = 3...5, куда поступают заявки трех типов с ин-тенсивностями X1, X2 и Xэ, которые обслуживаются в КО со скоростями (интенсивностями) Ц1, Ц2 и Ц3 соответственно.

В табл. 4 приведены уравнения, соответствующие графам переходов на рис. ?-9 [1] и явные аналитические решения для оценки вероятностей состояний {р} данной СМО. Данные выражения также могут использоваться для решения задач анализа и синтеза.

Как и ранее, задача анализа решается нахождением вероятностей состояний СМО {Р} при известных значениях приведенных нагрузок аг = Xi /ц (! = 1, 3) и числе КО я. При этом наиболее важным результатом является нахождение вероятностей отказов ротк, рп и рш. Задача синтеза может решаться также путем нахождения минимально необходимого числа КО я при известных приведенных

Таблица 4. Выражения для оценки вероятностей состояний СМО с тремя типами заявок

Система уравнений

Аналитические решения

Номер рисунка в [1]

(+ Я, 2 + Ц 1) Р1 + 2Ц1 Р4

0 = - (Xl + Я,2 + X3)Р0 + Ц1 Р1 + Ц 2Р2 + 0 = ^0 0 = X 2Р0 0 = X 3Р0 0 = X1Р1 0 = ^^ 2Р1 0 = X1 р4

Ц 3 Ръ, Ц 2 Р5;

- (X1 + Ц2)Р2 + Ц1 Р5;

-ц 3 Ръ;

(Xl + 2 Ц1) Р4 + 3 ц 1 Рб;

■ ^Р2 - (Ц2 + Ц1)Р5;

■ 3 ц 1 Рб

0 = - (XI

0 = ^ Р0 0 = X 2Р0 0 = X 3Р0 0 = ^Рг 0 = ^^ 2Р1 0 = X 3рГ

0 = X 2Р2 0 = X1 р4

0 = X 2Р4

0 = ^ Р8

0 = - (XI 0 = ^0 0 = X 2Р0 0 = X3Р0 0 = ^ Р1 ■ 0 = ^^ 2Р1 0 = X 2Р2 0 = X 3рГ

0 = X 3Р2 0 = X1 р4

0 = X2Р4 0 = ^^ 2Р5 0 = X 3 р4 0 = X1 р9 0 = X 2Р9 0 = ^ Р13

+ ^^ 2 + X 3) Р0 + Ц1Р1 + ц 2 Р2 + ц 3 Рг;

- (X1 + ^2 + XЭ +Ц1)Р1 + 2Ц1Р4 +Ц2Р5 +Ц3Рб';

- (X1 + ^^2 + Ц2)Р2 + Ц1 Р5 + 2Ц2Р?;

- (Xl + ц 3) Р3 + ц 1 Рб;

- (X1 + ^^2 + 2Ц 1)Р4 + 3Ц1 Р8 + Ц2Р9; + ^2 - (X1 + Ц 2 + Ц 1)Р5 + 2 Ц1 Р9;

+ ^Р3 - (ц 3 + Ц1) Рб;

- 2 ц 2 р?;

- (X1 + 3 Ц1)Р8 + 4 Ц1Р10; + ^5 - (2Ц 1 + Ц2)Р9;

- 4 ц 1Р10

+ ^^ 2 + X 3)Р0 + Ц1Р1 + Ц 2 Р2 + Ц 3 Ръ;

+ X 2 + 3 + Цг) Р1 + 2 Ц1Р4 + Ц 2 Р5 +Ц 3 р?; + X2 + X3 + Ц 2)Р2 + Ц1 Р5 + 2ц 2Рб + Ц 3Р8;

■( XI--(XI-

- (X1 + X2 + Ц3)Р3 + Ц1 Р? + Ц2Р8; -( X1 + X2 + X3 + 2 Ц 1) Р4 + 3 Ц1Р9 +Ц 2 Р10 +Ц 3 Р12; + XlР2 - (X1 +X2 + Ц 2 +Ц 1)Р5 + 2Ц1 Р10 + 2Ц 2Р11;

- (Xl + 2 Ц 2) Рб + Ц1Р11;

+ ^3 - (^ + ц3 + ц 1)Р? + 2ц 1Р12; + X2Р3 - (ц3 + ц2)Р8;

- (X1 + X2 + 3 Ц 1)Р9 + 4 Ц1 Р13 + Ц 2Р14; + ^5 - (^ + Ц2 + 2Ц 1)Р10 + 3Ц1 Р14; + ^Рб - (2Ц2 + ц 1)Р11;

+ ^Р? - (ц3 + 2ц 1)Р12;

- (Xl + 4 Ц1)Р13 + 5ц 1Р15; + ^Рю - (Ц2 + 3Ц1)Р14;

- 5 Ц1Р15

3 «г 1 «г -1 а1 а1 р0 = А ~Г + а2 А ~г + а3; рт = а^0; != 0 ! ! != 0 ! !

р2 = а2р0; р3 = «3 р0; Р4 = 0,5а12р0;

р5 = ага2р0; рб = Р0аЭ/6; ротк = р3 + рз + рб;

рп = ротк + р2 + р4; рШ = рп + рг

4 а!

2 а! а 2

р-1 = А тГ +«2 А ^г +«3 А ^г; != 0 ! ! != 0 ! ! 2 ! = 0 ! !

р1 = «1 р0; р2 = а2р0; р3 = «3р0; р4 = 0,5а12р0;

р5 = а1а2р0; Рб = а1а3р0; р? = 0,5а2Р0; р8 = РоаЭ/6; р9 = 0,5а2а2р0; рг0 = Р0«4/24;

:= рб+ р?+ р9+ рю;

рп = ротк + р3 + р5 + р8; рШ = рп + р2 + р4

5 ! 3 г 2 1 !

р-1 = А 0! + а 2 А 0! +«2 А «

!= 0

+ а 3 А «Г + а 2« 3; рг = а^0;

р2 = а2р0; р3 = «р0; р4 = 0,5а1 р0;

р5 = а1а2р0; рб = 0,5а2Р0; Р? = а1а3 р0;

Р8 = а-аэр0; р9 = Р0аЭ/6; рю = 0,5а2а2р0;

рп = 0,5а1а2р0; р12 = 0,5а!2а3р0;

рп = Р0а^24; р14 = РоаЭа р15 = Р0а15/120;

ротк = р8 + р11 + р12 + р14 + р15; рп = ротк + рб+р? + рю + р^; рш= рп+ р3 + р5+ р9

?

я

3

4

8

9

5

Таблица 5. Вероятности состояний ротк, ри, рш и р0 при различном числе КО

нагрузках а1, а2, а3 и заданных требованиях к вероятностям отказов ротк, рп и рш. В отличие от случая СМО с двумя типами заявок, рассмотренного в предыдущем разделе, когда применялись номограммы (см. рис. 1 и 2), задача синтеза СМО с тремя типами заявок может решаться путем подбора необходимого числа КО п.

Пример 3. Известно, что для объекта приведенная нагрузка по заявкам, требующим привлечения одного КО, а1 = 0,1, одновременно двух КО —

а2 = 0,04, одновременно трех КО — а3 = 0,007. Требуется решить задачу анализа—найти вероятности отказовротк, рп и рш в приеме заявок соответствующих типов при различном числе КО п.

С использованием аналитических выражений, приведенных в табл. 4, становится возможным рассчитать вероятности {рагк, рп, рш, р0} = /(а1 = 0,1; а2 = 0,04; а3 = 0,007; п) (табл. 5).

Выводы

Таким образом, получены аналитические выражения и номограммы для решения задач анализа и синтеза СМО с разнотипными заявками, требующими использования либо одного канала обслуживания, либо одного или одновременно двух каналов, либо одного, двух или трех каналов обслуживания. Решение указанных задач является важным применительно к автономным объектам, на которых могут возникать различного рода опасные ситуации, требующие привлечения, в частности, по-жарно-спасательных подразделений.

Показатель Значение показателя при n

3 4 5

ротк 0,0097 0,0015 0,00035

рП 0,0486 0,0111 0,00182

рШ 0,1351 0,0500 0,01146

р0 0,8649 0,8637 0,86350

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ТаранцевА. А., Холостое А. Л., НодьА. П., ТаранцевА. А. Моделирование достаточности мобильных подразделений экстренных служб при возникновении ситуаций повышенной сложности // По-жаровзрывобезопасность.—2016.—Т. 25,№ 10. —С. 59-66.DOI: 10.18322/PVB.2016.25.10.59-66.

2. ИщенкоА. Д. Комплексная готовность персонала аварийно-спасательных формирований в условиях севера // Проблемы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций в Арктике, включая вопросы подготовки профильных кадров для работы в северных условиях : материалы международной конференции. — СПб. : Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России, 2014.— С. 86-98.

3. Алешков М. В., Безбородько М. Д. Применение мобильных средств пожаротушения для защиты объектов атомной энергетики от крупных пожаров в условиях экстремально низких температур // Пожары и чрезвычайные ситуации: предотвращение, ликвидация. — 2014. — №3. — С. 37-45.

4. Теребнев В. В., Семенов А. О., Тараканов Д. В. Теоретические основы принятия решений при управлении силами и средствами на пожаре // Пожаровзрывобезопасность. — 2012. — Т. 21, № 10.— С. 14-17.

5. Аренс М., Брушлинский Н. Н., Вагнер П., Соколов С. В. Обстановка с пожарами в мире в начале XXI века // Пожаровзрывобезопасность. — 2015. — Т. 24, № 10. — С. 51-58. DOI: 10.18322/PVB.2015.24.10.51-58.

6. BrushlinskyN.N., Ahrens M., SokolovS. V., Wagner P. World of Fire Statistics/Center of Fire Statistics of CTIF. — 2015. — No. 20. — 63 p.

7. Harald Herweg, Peter Wagner. Schnell wie die Feuerwehr // VFDB (Vereinigung zur Förderung des Deutschen Brandschutzes). — November 2013. — Heft 4. — P. 194-204.

8. СП 11.13130.2009. Места дислокации подразделений пожарной охраны. Порядок и методика определения. — Введ. 01.05.2009. — М. : ФГУ ВНИИПО МЧС России, 2009.

9. Скопцов А. А. Организация управления оперативными подразделениями МЧС при тушении пожаров : автореф. дис. ... канд. техн. наук. — СПб., 2004. — 22 с.

10. Makhutov N. A., Moskvichev V. V., Fomin V. M. Designing machinery for the Arctic: A problem of socioeconomic development of Russia's eastern regions//Herald of the Russian Academy of Sciences.

— 2015.—Vol. 85,No. 1 —P. 79-86. DOI: 10.1134/s1019331615010104.

11. Абдурагимов Г. И. Теоретические основы совершенствования управления оперативными службами мегаполисов : автореф. дис. ... д-ра техн. наук. — М., 2000. — 33 с.

12. Алешков М. В. Особенности тушения крупных пожаров на территории Российской Федерации при внешнем воздействии опасных природных явлений // Пожаровзрывобезопасность. — 2013.

— Т. 22, № 5. — С. 59-64.

13. Вентцель Е. С. Исследование операций. — М. : Советское радио, 19?2. — 552 с.

14. ТаранцевА. А. Инженерные методы теории массового обслуживания. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — СПб. : Наука, 200?. — П5 с.

15. Таранцев А. А. О способе выбора параметров систем массового обслуживания с очередью // Автоматика и телемеханика. — 1999. — Т. 60, № ?. — С. 172-176.

Материал поступил в редакцию 11 января 2017 г.

Для цитирования: Таранцев А. А., Холостое А. Л., Ищенко А. Д., Потапенко В. В. О задачах анализа и синтеза систем обслуживания заявок нескольких типов // Пожаровзрывобезопас-ность. — 201?. — Т. 26, № 3. — С. 31-38. БОТ: 10.18Э22/PVB.2017.26.0Э.Э1-Э8.

PROBLEMS OF ANALYSIS AND SYNTHESIS OF APPLICATION SERVICE SYSTEMS OF SEVERAL TYPES

TARANTSEV A. A., Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of Organisation of Fire Suppression and Rescue Department, Saint Petersburg University of State Fire Service of Emercom of Russia (Moskovskiy Avenue, 149, Saint Petersburg, 196105, Russian Federation); Head of Laboratory of Solomenko Institute of Transport Problems of the Russian Academy of Sciences (12-ya Line VO, 13, Saint Petersburg, 199178, Russian Federation; e-mail: t_54@mail.ru)

KHOLOSTOV A. L., Doctor of Technical Sciences, Deputy Head of the Department of Electrical Engineering, Automated Systems and Communication, State Fire Academy of Emercom of Russia (Borisa Galushkina St., 4, Moscow, 129366, Russian Federation; e-mail: holostov@mail.ru)

ISHCHENKO A. D., Candidate of Technical Sciences, Head of Fire Fighting Science and Training Centre Fire Fighting Service, State Fire Academy of Emercom of Russia (Borisa Galushkina St., 4, Moscow, 129366, Russian Federation; e-mail: adinko@mail.ru)

POTAPENKO V. V., Candidate of Technical Sciences, Head of Fire Safety Department, Military Academy of Logistics Support named after General A. V. Hrulev (Zakharyevskaya St., 22, Saint Petersburg, 191123, Russian Federation; e-mail: pww@mail.ru)

ABSTRACT

: English

The problems of analysis and synthesis of the response system to emergency situations in difficult cases are shown here. The response system is considered as a queuing system of applications of several types requiring the use of one, two or more channels (for example mobile fire-rescue units, ambulance brigades, police and medical care). The relevance of this problem is caused by the presence of autonomous objects in an environment where the number of mobile emergency response units of the system is limited.

The analysis problem is formulated as finding the probability of system failure in the reception of applications (of the 1st typep1, the 2nd typepn and 3rd typepm) for a given number of service channels n, when the intensities and are known, which are the parameters of exponential distribution laws. The synthesis problem is formulated as finding the required number of service channels n under certain intensities and and set limits on allowable probability of failurep1-p111.

Analytical expressions for the probabilities of system states through the given loads are obtained for the two types of applications of the service system a1 = and a2 = presented in table form. The general expressions for the probability of unoccupied n channels are also obtained— p0 and failure probability — p1 and p11, which can be used for analysis of n-channel queuing system of this type. The nomogram with lines of equal values of n in the coordinates is encouraged to use to solve the problem of synthesis of these systems (a1, a2). For this purpose the dependences a2 = f (a1, n) are obtained, and they are found in the form of polynomials, whose coefficients depend on the given

load al5 the number of service channels n and the probability of failure in the admission of an application. Formula to determine these coefficients and to determine the given load a2 is obtained. It was found that the two types of applications service system for odd values of n at least one service channel may always remain free.

Analytical solutions for the evaluation of the probability of states of this queuing system are obtained for the application service system of three types.

The examples show the possibility of solving problems of analysis and synthesis of queuing systems with heterogeneous applications using nomograms. This study is a logical continuation of the previously published article "Modeling of sufficiency of the mobile emergency units in case of situations of high complexity.

Keywords: danger situations; mobile units; emergency services; queuing system; probability of failure.

REFERENCES

1. Tarantsev A. A., Kholostov A. L., Nod A. P., Tarantsev A. A. Modeling of sufficiency of the mobile emergency units in case of situations of high complexity. Pozharovzryvobezopasnost — Fire and Explosion Safety, 2016, vol. 25, no. 10, pp. 59-66 (in Russian). DOI: 10.18322/PVB.2016.25.10.59-66.

2. Ishchenko A. D. Integrated preparedness of SARpersonnel for operations in the northern areas. In: Proceedings of International Conference "Challenges in Emergency Preparedness and Response in the Arctic. Staffing Issues". Saint Petersburg, Saint Petersburg University of State Fire Service of Emercom of Russia Publ., 2014, pp. 86-98 (in Russian).

3. Aleshkov M. V., Bezborodko M. D. Application of movable fire extinguishment means for protecting nuclear power plants from large fires under extremely low temperature conditions. Pozhary i chrezvy-chaynyye situatsii: predotvrashcheniye, likvidatsiya (Fire and Emergencies: Prevention, Elimination),

2014, no. 3, pp. 37-45 (in Russian).

4. Terebnev V. V., Semenov A. O., Tarakanov D. V. Decision making theoretical basis of management of fire. Pozharovzryvobezopasnost — Fire and Explosion Safety, 2012, vol. 21, no. 10, pp. 14-17 (in Russian).

5. AhrensM., BrushlinskiyN. N., Wagner P., Sokolov S. V. Situations with the fires on the earth at the beginning of the XXI century. Pozharovzryvobezopasnost — Fire and Explosion Safety, 2015, vol. 24, no. 10, pp. 51-58 (in Russian). DOI: 10.18322/PVB.2015.24.10.51-58.

6. BrushlinskyN.N., AhrensM., SokolovS. V., Wagner P. WorldfFire Statistics. Center of Fire Statistics ofCTIF, 2015, no. 20. 63 p.

7. Harald Herweg, Peter Wagner. Schnell wie die Feuerwehr. VFDB (Vereinigung zur Forderung des Deutschen Brandschutzes), November 2013, heft 4, pp. 194-204.

8. Set of rules 11.13130.2009. Location of fire service divisions. Procedure and methods ofdetermination. Moscow, All-Russian Research Institute for Fire Protection of Emercom of Russia Publ., 2009 (in Russian).

9. Skoptsov A. A. Organization management operational units Emergency Situations Ministry in fire-fighting. Abstr. cand. tech. sci. diss. Saint Petersburg, 2004. 22 p. (in Russian).

10. Makhutov N. A., Moskvichev V. V., Fomin V. M. Designing machinery for the Arctic: A problem of socioeconomic development of Russia's eastern regions. Herald of the Russian Academy of Sciences,

2015, vol. 85, no. 1,pp. 79-86. DOI: 10.1134/s1019331615010104.

11. Abduragimov G. I. Theoretical bases ofperfection ofmanagement of the operational services of mega-cities. Abstr. dr. tech. sci. diss. Moscow, 2000. 33 p. (in Russian).

12. Aleshkov M. V. Peculiarities of extinguishing large-scale fires on the territory on the Russian Federation under the external effect of hazardous natural phenomena. Pozharovzryvobezopasnost — Fire and Explosion Safety, 2013, vol. 22, no. 5, pp. 59-64 (in Russian).

13. Ventsel E. S. Operations research. Moscow, Sovetskoye radio Publ., 1972. 552 p. (in Russian).

14. Tarantsev A. A. Engineering methods of theory of mass service. Saint Petersburg, Nauka Publ., 2007. 175 p. (in Russian).

15. Tarantsev A. A. On a method for choosing the service parameters in queuing systems. Avtomatika i tele-mekhanika (Automation and Remote Control), 1999, vol. 60, no. 7. pp. 172-176 (in Russian).

For citation: Tarantsev A. A., Kholostov A. L., Ishchenko A. D., Potapenko V. V. Problems of analysis and synthesis of application service systems of several types. Pozharovzryvobezopasnost — Fire and Explosion Safety, 2017, vol. 26, no. 3, pp. 31-38. DOI: 10.18322/PVB.2017.26.03.31-38.