CC BY
56МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕЙРОННОЙ СЕТИ
А.Ю. Лабинский, кандидат технических наук, доцент. Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России
Рассмотрены особенности использования искусственной нейронной сети для аппроксимации вероятностно-временных характеристик системы массового обслуживания. Приведена логическая структура нейронной сети. Искусственная нейронная сеть реализована в виде программы для ЭВМ.
Ключевые слова: система массового обслуживания, искусственная нейронная сеть, компьютерная программа, математическая модель
THE SIMULATION OF THE QUEUING SYSTEM WITH USE THE NEURAL NETWORK
A.Yu. Labinskiy. Saint-Petersburg university of State fire service of EMERCOM of Russia
This article presents the problem of use the neural network for the parameters of the queuing system approximation. The synthetic neural network to realize in form the mathematical model and computing program.
Keywords: queuing system, synthetic neural networks, computing program, mathematical
model
При исследовании процессов управления силами и средствами подразделений МЧС России часто приходится сталкиваться с работой своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО) [1]. Примерами таких систем могут служить диспетчерские пункты центров управления в кризисных ситуациях, пожарной охраны и других экстренных служб. Многообразие процессов управления, которые с точки зрения теории вероятностей являются процессами массового обслуживания, а также сложность этих процессов обуславливают широкое применение методов теории массового обслуживания при управлении силами и средствами [2]. Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий: приход новой заявки (донесения); момент, когда заявка (донесение) покидает очередь; окончание обслуживания.
Теория массового обслуживания есть теория математического моделирования обширного класса случайных процессов со счетным числом состояний и непрерывным временем переходов - процессов массового обслуживания [3]. Целью применения моделей является раскрытие закономерностей этого класса случайных процессов для обоснования решений при управлении ими.
Предмет теории массового обслуживания - построение математических моделей,
связывающих заданные условия работы СМО, определяемые числом каналов, их производительностью, правилами работы, характером потока заявок (донесений), с показателями эффективности СМО, характеризующими ее способность справляться с потоком заявок (донесений). В качестве таких показателей могут применяться различные величины [3]:
- среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени;
- среднее число занятых каналов;
- среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания;
- вероятность того, что число заявок в очереди не превысит заданное значение.
Системы массового обслуживания делятся на типы (классы) по ряду признаков [3].
По интенсивности потока заявок СМО отличаются друг от друга законами
распределения числа заявок, поступающих в систему за заданное время, а также законами распределения промежутка времени между поступлениями в систему очередных заявок.
По характеру потока заявок СМО делятся на стационарные и нестационарные. В СМО со стационарным потоком заявок интенсивность этого потока не меняется со временем, в нестационарных - является функцией времени. Интенсивность потока заявок измеряется математическим ожиданием числа заявок, поступающих в единицу времени.
По характеру случайного процесса, происходящего в СМО, различают марковские и немарковские СМО. В марковских системах входящий поток заявок и выходящий поток обслуженных заявок являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель СМО. В случае немарковских процессов задачи исследования СМО значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования и численных методов с использованием ЭВМ.
По виду каналов обслуживания различают одноканальные и многоканальные СМО, а также СМО с каналами одинаковой и различной производительности.
По дисциплине обслуживания заявок различают:
1. Система с отказами. В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получает «отказ» и покидает систему необслуженной.
2. Система с неограниченным ожиданием. Заявка, нашедшая все каналы занятыми, становится в очередь и сколь угодно долго ожидает своего обслуживания.
3. Системы смешанного типа. В системах смешанного типа накладываются ограничения либо на длину очереди, либо на время пребывания заявки в очереди.
4. Системы с приоритетом. Различают СМО с абсолютным и относительным приоритетом. В СМО с абсолютным приоритетом при поступлении заявки высшего ранга немедленно освобождается один из каналов, занятых обслуживанием заявок более низкого ранга. В СМО с относительным приоритетом, заявка с более высоким рангом ожидает, пока канал обслуживания не освободится.
На практике большинство СМО являются многоканальными. Рассмотрим многоканальную модель СМО с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания. Процесс обслуживания заявок характеризуется интенсивностью входного потока X [заявок/час]. Параллельно СМО может обслуживать п заявок, где п - число каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равна 1/д, где д - интенсивность обслуживания [заявок/час]. Граф состояний многоканальной СМО с отказами имеет следующий вид (рис. 1).
Рис. 1. Граф состояний многоканальной СМО с отказами
Состояния СМО могут иметь следующую интерпретацию:
- 50 - все каналы свободны;
- 51 - занят один канал, остальные свободны;
- 5к - заняты ровно к каналов, остальные свободны;
- 5п - заняты все п каналов.
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы Р0, ... ,Рк, ... Рп имеют следующий вид:
dPo/dt=-^*Po+|Д*Pь dPk/dt=-^*Pk-l-(^+k* |)*Pk+|*(k+ 1)Pk+l;
dPn/dt=^*Pn-l-|*n*Pn,
где К^п-Т
Начальные условия: Po(0)=1, Pl(0)=_=Pk()=^=Pn(0)=0.
Стационарное решение системы уравнений Колмогорова имеет вид формул Эрланга:
Pk=(фk/k!)*Po, Po=1/Ek=on(фk/k!),
где ф=^/| - приведенная интенсивность потока заявок, k=0, 1, ...., п.
Вероятностные характеристики функционирования такой СМО могут быть определены по следующим формулам:
- вероятность отказа: РоTк=(фn/n!)*P0;
- относительная пропускная способность: q=1-РоTк=1-(фn/n!)*P0;
- абсолютная пропускная способность: A=^*q=^*(1-РоTк);
- степень загрузки системы (среднее число каналов, занятых обслуживанием): kcp=Ek=ln(k*Pk)=Ф*(1-Ротк)=(^/|)*q=(^/|)*[1-(фn/n!)*Po].
Рассмотрим пример использования многоканальной СМО. Пусть в вычислительном центре имеется п=3 канала (ЭВМ), используемых для решения поступающих задач. Интенсивность потока задач составляет ^=20 [задач/час]. Средняя продолжительность решения задачи составляет Тобс=0,5 ч, что соответствует интенсивности обслуживания |=1/Тобс=2,0 [задач/час]. Тогда приведенная интенсивность потока задач ф=^/|=10,0. Предельные вероятности состояний СМО равны:
Po=1/Ek=on(фk/k!), Pk=(фk/k!)*Po,
где ^0, 1, 2, 3.
Тогда получим следующие значения: P=0,91; P1=0,09; P2=0,0164; Pз=0,0044. Вероятность отказа в обслуживании: Ротк=0,732. Относительная пропускная способность: q=1-РоTк=0,268. Среднее число занятых ЭВМ: kcp=ф*q=2,68.
Рассчитаем характеристики функционирования многоканальной СМО для различного числа каналов. Результаты расчетов представлены в табл. 1.
Таблица 1
п 1 2 3 5 10 15 20
Pk 0,09 0,0164 0,0044 0,00068 0,000078 0,000048 0,000046
Р А отк 0,91 0,8197 0,7321 0,56395 0,2145 0,0365 0,00187
Расчеты показывают, что при числе каналов п=20 многоканальной СМО вероятность отказа в обслуживании (решении поступающих задач) не превосходит допустимого значения 0,01.
Моделирование СМО с помощью нейронной сети
В процессе моделирования СМО искусственная нейронная сеть использовалась для аппроксимации характеристик многоканальной СМО [4]. В целях аппроксимации характеристик была создана трехслойная искусственная нейронная сеть прямого распространения (однонаправленная сеть без обратных связей), содержащая 20 нейронов во входном слое (распределительный слой), 20 нейронов в скрытом слое и один нейрон в выходном слое. Схема расчетной модели искусственной нейронной сети представлена на рис. 2.
Рис. 2. Схема расчетной модели нейронной сети
В качестве функции активации (передаточной функции) использовались линейная функция. Целью обучения искусственной нейронной сети является получение таких значений коэффициентов связи (синаптических весов), которые обеспечивают для множества значений входных данных требуемое множество значений выходных данных. Данная искусственная нейронная сеть была реализована в виде программы для ЭВМ. Подробное описание указанной нейронной сети, включая алгоритм обучения, представлено в работе [5].
В качестве обучающих данных были использованы характеристики функционирования многоканальной СМО, представленные в табл. 1. График обучающей зависимости Ротк=Г(п) представлен на рис. 3
Ротк = ^ п )
п л
П 1
19 20
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Рис. 3. График обучающей зависимости многоканальной СМО
Результат аппроксимации характеристики многоканальной СМО искусственной нейронной сетью в виде зависимости вероятности отказа в обслуживании от числа каналов ротк=дп) представлен в табл. 2 и на рис. 4.
Таблица 2
N 1 2 3 5 10 15 20
P * А отк 0,911 0,823 0,733 0,565 0,2152 0,037 0,0019
Р А отк 0,910 0,8197 0,7321 0,56395 0,2145 0,0365 0,00187
Здесь значения Ротк получены традиционными методами расчета по приведенным выше формулам, а значения Pотк получены с помощью нейронной сети.
Рис. 4. Результат аппроксимации характеристики P0TK=f(n) многоканальной СМО нейронной сетью
Таким образом, значение выходного параметра многоканальной СМО (вероятность отказа в обслуживании) для произвольного значения входного параметра (числа каналов СМО) определялось путем аппроксимации по вычисленному дискретному набору значений входных и выходных параметров многоканальной СМО в ближайших точках.
Метод аппроксимации характеристик многоканальной СМО обеспечивает возможность компьютерного моделирования СМО с использованием такого универсального средства аппроксимации, как искусственная нейронная сеть. По сравнению с традиционными методами расчета вероятностно-временных характеристик СМО использование нейронной сети обеспечивает снижение трудоемкости вычислений при незначительной погрешности расчета.
Литература
1. Абдурагимов Г.И., Таранцев А.А. Теория массового обслуживания в управлении пожарной охраной. М.: МИПБ МВД России, 2000.
2. Таранцев А.А. Инженерные методы теории массового обслуживания. СПб.: Наука,
2007.
3. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер, 2001.
4. Хомоненко А.Д. Расчет разомкнутых сетей массового обслуживания методом линейной аппроксимации // Автоматика и вычислительная техника. 1990. № 5.
5. Лабинский А.Ю., Уткин О.В. К вопросу аппроксимации функции нейронной сетью // Природные и техногенные риски (физико-математические и прикладные аспекты). 2016. № 1 (l7). С. 5-11.
References
1. Abduragimov G.I., Taranzev A.A. Teoriya massovogo obslugivaniya v upravlenii pogarnoi jhranoi. M.: MIPB MVD Rossii, 2000.
2. Taranzev A.A. Ingerernyie metody teorii massovogo obslugivaniya. SPb.: Nauka, 2007.
3. Rygikov Yu.I. Teoriya ocheredey I upravleniye zapasami. SPb.: Piter, 2001.
4. Homonenko A.D. Raschet razomknurych setey massovogo obslugivaniya metodom lineynoy approcsimacii // Avtomatika i vychislitelnaya technika. 1990. № 5.
5. Labinskiy A.Yu., Utkin O.V. K voprosu approcsimatii functii neironnoy setyu // Priridnyie i technogennye riski. 2016. № 1 (17). S. 5-11.
