Диспетчер как двухфазная система массового обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПОЖАРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ

В. В. Клюй

канд. пед. наук, начальник кафедры Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС России, г. Санкт-Петербург, Россия

П. А. Манин

аспирант Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС России, г. Санкт-Петербург, Россия

А. А.Таранцев

д-р техн. наук, профессор, заслуженный работник высшей школы РФ, профессор Санкт-Петербургского университета ГПС МЧС России, г. Санкт-Петербург, Россия

УДК 614.81

ДИСПЕТЧЕР КАК ДВУХФАЗНАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Рассмотрена модель работы диспетчера, обслуживающего заявки в две фазы, какодноканальной системы массового обслуживания. Получены аналитические выражения для оценки вероятностей состояний и характеристик такой системы. Проведены расчеты для случаев различной и одинаковой длительности фаз. Ключевые слова: диспетчер; экстренные службы; обслуживание сообщений.

Вводная часть

Важнейшим звеном экстренных служб ("01" "02", "03"...) является диспетчер — человек, который принимает сообщения, формирует и проводит в жизнь соответствующие управленческие решения [1]. Для рационального проектирования таких служб необходимо иметь адекватную математическую модель деятельности диспетчера, для чего может применяться аппарат теории массового обслуживания [2, 3]. Диспетчер представляется, как правило, в виде стандартной одноканальной системы массового обслуживания (СМО), в которую поступает простейший поток заявок с частотой X, а время обслуживания заявки случайно и распределено по экспоненциальному закону с параметром ц. В кендалловском обозначении это М/М/ 1/m (m — число мест в очереди, в данном случае число линий связи +1), в обозначениях [3] — EkX\Ek^\m.

Тем не менее такое математическое описание работы диспетчера является весьма упрощенным, поскольку в действительности он обслуживает заявку (звонок, сообщение, вызов) в две фазы: сначала принимает и уточняет информацию, затем формирует управленческое решение и доводит его до исполнителя.

Математическая модель работы диспетчера

Основными характеристиками работы диспетчера принято считать:

• вероятность отказа в приеме заявки ротк; © Клюй В. В., Манин П. А., Таранцев А. А., 2011

• среднее время ожидания заявки в очереди ¿ож;

• длину очереди точ (по формуле Литтла точ =

= Хож);

• нагрузку на диспетчера а (а = X/ц);

• вероятность немедленного реагирования рн (т. е. очереди нет, заявка принимается диспетчером сразу).

К некоторым характеристикам предъявляются достаточно жесткие требования: ротк < 0,001 (т. е. 0,1 %) [4, 5]; toyK < 10 c [5]; а < 0,3^0,7 [5], что позволяет обоснованно выбрать число диспетчеров и линий связи, a также скорость обслуживания ц [1].

Уточненную двухфазную модель работы диспетчера с этими же характеристиками целесообразно строить, основываясь на общепринятых допущениях: поток заявок простейший с частотой X; длительности каждой фазы обслуживания распределены по экспоненциальным законам с параметрами ц1 и ц2 соответственно (ц 1 = tf1, ц 2 = t-1, где t1 и t2 — средние длительности 1-й и 2-й фаз соответственно); очередь организована по принципу FIFO (раньше пришел, раньше обслужился), приоритетных заявок нет; процесс приема-обслуживания заявок установившийся.

Такая двухфазная одноканальная СМО (в обозначениях работы [3] — £'&Д1Вец ц2\т) может пребывать в 2т + 3 состояниях: S0 — диспетчер (он же канал обслуживания) свободен, заявок нет; S1 -диспетчер обслуживает пришедшую заявку (звонок абонента) в 1-й фазе (принимает и уточняет ин-

ISSN 0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНаСТЬ 2011 ТОМ 20 №2

формацию), очереди нет; 52 — диспетчер обслуживает пришедшую заявку во 2-й фазе (формирует управленческое решение и доводит его до исполнителя, в случае ГПС — на пункт связи пожарной части), в очереди заявок нет; 53 — диспетчер обслуживает пришедшую заявку в 1-й фазе, в очереди 1 заявка; 54 — диспетчер обслуживает пришедшую заявку во 2-й фазе, в очереди 1 заявка; ... Б2т + 1 — диспетчер обслуживает пришедшую заявку в 1-й фазе, в очереди т заявок; Б2т + 2 — диспетчер обслуживает пришедшую заявку во 2-й фазе, в очереди т заявок. Когда СМО находится в состояниях Б2т +1 и $2т+2, новая заявка не может быть принята по причине переполнения очереди (занят диспетчер и все линии связи) и получает отказ. Граф переходов для такой СМО приведен на рисунке.

Каждому из состояний (г = 0,..., 2т + 2) соответствует вероятность рг, которая при т >0 может быть найдена из системы линейных алгебраических уравнений:

0 = - ^Р0 + ц 2 р 2; 0 = ¥о - ц 1^1 + ц2Р4; 0 = ц 1Р1 - (ц 2) р 2;

0 = ^27-1 - (к^+ц 1)р27 +1 + ] \ (1)

+ кц 2Р27 + 4;

0 = ^2 7 + ц 1 Р2 7 +1 -- (к^ + ц 2)Р2 7 + 2>

7 = 1,

, т;

где к =1 при7 < т; к =0 при7 = т.

В частном случае, когда т = 0 (т. е. один диспетчер и одна линия связи), система уравнений приводится к виду:

0 = - V 0 + ц 2 Р 2; 1 0 = ^Р0 - ц 1 Р\; [ (2)

0 = ц 1 Р1 - ц 2 Р2 1

и имеет простое решение:

р-1 = 1 + а1 + а 2;

Р1 = а1 Р 0; \ (3)

Р 2 = а 2 Р 0>

где а1, а2—нагрузки по фазам; а1 = ^/ц1; а2 = ^/ц2.

На практике используют обобщенные вероятности:

Р1 — вероятность того, что заявка обслуживается, в очереди заявок нет; Р1 = р1 + р2; Р2 — вероятность того, что заявка обслуживается, еще одна заявка в очереди; Р2 = Р3 + Р4;

Рт +1 — вероятность того, что заявка обслуживается, т заявок в очереди, новая заявка получает отказ

в приеме; Рт + 1 = Р2т + 1 + Р2т + 2.

Интересно отметить, что между вероятностями {Р} и {р} имеет место соотношение

а2 Рг = Р2г + 2, г = 1, ..., т + 1.

(4)

2/я+1

Граф переходов для одноканальной незамкнутой СМО с двухфазным обслуживанием

Характеристики рассматриваемой СМО имеют вид, подобный выражениям для стандартной одно-канальной СМО [3]:

Рн = Р0;

Ротк = Рт + 1 = Р2т + 1 + Р2т + 2;

т т

(ож = ц-1 Е гР2г -1 + ц -1 Е гР2г;

(5)

(6)

(7)

г = 1

г = 1

точ = Е 7Р] +1 = Е 7( Р2 7 +1 + Р2 7 + 2); (8) 7=1 7=1

а = а1 + а2 = Цц/ + ц-1)

(9)

Время ожидания можно оценить по выражению, как для стандартной СМО [2]:

10ж * (ц -1 +ц -1) Е Р.

г = 1

(10)

Аналитическое решение системы уравнений (1) представляет значительную трудность, тем не менее оно было получено авторами и для обобщенных вероятностей имеет вид:

р-1 = Е аг + аАт-2[А2 + а - (т - 2) а1 а2]; (11)

г = 0

Р = Р 0

Ц(г /2)

Аг Е (-а1 а2)]С]._ .А

7 = 0 г = 1, ..., т;

Р отк = Рт +1 = р0

Ат+1 х

(12)

(13)

Ц(т /2) +1

х Е (-а1 а2)7 (С]т-1 +1А + С]т-7 + 1)А-27

7=0

где Ц(х) — целая часть числа х (например: Ц(0) = = Ц(0,5) = 0; Ц(1,8) = 1; Ц(9,2) = 9 и т. п.); А = а + а1а2 = а1 + а2 + а1а2; СП — число сочетаний из п по к;

г^к _

Сп =

0 при п < к или к < 0;

п - к

^ (1 + к]-1) при к < п;

7=1

1 при к = 0 или к = п.

0869-7493 ООЖАРООЗРЫООБЕЗООАСНОСТЬ 2011 ТОМ 20 №2

т

т

Нетрудно убедиться, что при отсутствии какой-либо фазы (например, 2-й — а2 ^ 0, тогда А = а = = рассматриваемая СМО превращается в стандартную ЕкДЕк^Дт, а выражения (11) - (13) приводятся к известному виду [2]:

т -1

т +1

р-1 = £ а+ а • ат - 2( а2 + а) = £ а; (14)

' = о

' = о

Р' = роа', ' = 1, ..., т;

_ т +1

Ротк = Роа •

(15)

(16)

Для другого крайнего случая, когда фазы одинаковы: а1 = а2 = а, тогда А = 2а + а2 и выражения (11) — (13) приводятся к другому известному виду [3]:

т-1

р о

1 = £ (2а)' + 2ат (2 + а)т- 2 х

'=о

х [2 (2а + 1)(а + 1) + а (а2 - т)]; (17)

Ц(' /2)

Р = ро £ (-1)]С11 (2а + а2)'-2',

' = о ' (18)

' = 1, ..., т;

ротк = роа

Ц(т /2) +1

т+1 £ (-1)' ' = о

х [Ст-1 +1 а (2 + а) + Ст - . +1 ] (2 + а )т~2' +1 • (19)

В случае неограниченной очереди (т ^ да) при А < о выражения (10) и (12) принимают вид, характерный для такой же стандартной СМО [2, 3]:

Иш ро = 1 - а;

т ^да

Иш Ротк =

отк

т ^да

(20)

(21)

Справедливость выражений (11) — (13) целесообразно показать на примере.

Пример оценки характеристик работы диспетчера

Пример 1. Пусть к диспетчеру по пяти линиям связи (т = 4) поступает простейший поток заявок с частотой 6 заявок в час (X = о,1 мин-1), причем обслуживание заявки складывается из двух этапов: сначала он принимает и уточняет информацию, а затем формирует решение и доводит его до исполнителей. Известно, что продолжительность обоих этапов случайна и распределена по экспоненциальному закону с параметрами = о,3333 мин-1 и ц2 = о,5 мин-1 соответственно. Поскольку диспетчер с линиями связи представляет собой СМО вида Екод\1Вео,зззз; о,5\4 в обозначениях [3], требуется определить ее характеристики.

Такая СМО, как следует из вышеприведенного материала, может пребывать в 11 состояниях 5о-51о.

Система уравнений (1) для определения вероятно стей ее состояний принимает вид:

о = - о,1р о + о,5 Р2; о = о,1ро - о,4333р1 + о,5р4; о = о,3333р1 - о,6р2; о = о,1р1 - о,4333р3 + о,5р6; о = о,1р2 + о,3333р3 - о,6р4; о = о,1р3 - о,4333р5 + о,5р8; \ (22) о = о,1р4 + о,3333р5 - о,6р6; о = о,1р5 - о,4333р7 + о,5р1о; о = о,1р6 + о,3333р7 - о,6р^

о = о,1р6 - о,3333р9;

о = о,1р8 + о,3333р9 - о,5р1о.

Система линейных алгебраических уравнений (22) при условии ро + р1 + ... + р1о = 1 была решена численными методами, в результате чего получены следующие значения вероятностей состояний: Ро = Рн = = о,5о4о94; р1 = о,1815о6; р2 = о,1оо787; р3 = о,о71352; р4 = о,о56486; р5 = 0,029085; р6 = о,025568; р7 = = о,о12оо4; р8 = 0,010931; р9 = 0,003601; р10 = 0,004587. Тогда обобщенные вероятности состояний будут следующими: Р1 = 0,282293; Р2 = 0,127838; Р3 = 0,054652; Р4 = 0,022935; Р5 = 0,008188. Нетрудно проверить, что условие (4) выполняется.

Теперь решим эту же задачу уже не численным методом, требующим привлечения компьютерной техники, а аналитически. В соответствии с исходными данными нагрузки будут следующими: а1 = = 0,1/0,3333 = 0,3; а2 = 0,1/0,5 = 0,2; а = 0,3 + 0,2 = 0,5; А = 0,5 + 0,3 ■ 0,2 = 0,56. По выражениям (11) - (13) получаем:

р- = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 +

+ 0,5 • 0,562 • (0,562 + 0,5-2 • 0,06) = 1,983756;

Ро= рн = 0,504094;

Р = ро А £ (-а а2) ]С(_ .А

-2 ] =

' = о

= ро А (-а1 а2)0 С1*А 0 = РоА = = 0,504094-0,56 = 0,282293;

Р2 = ро А 2(1 - а а2С; А -2) = = 0,504094 ■ 0,562 ■ (1 - 0,06 ■ 1 ■ 0,56-2) = 0,127838;

Р3 = ро А 3(1 - а1 а2С1А ~2) = = 0,504094 ■ 0,563 ■ (1 - 0,06 ■ 2 ■ 0,56-2) = 0,054652;

Р4 = р0А4[1 - а1 а2С1А+ (а1 а2 )2С2А~4] = = 0,504094 ■ 0,564 ■ (1 - 0,06 ■ 3 ■ 0,56-2 + + 0,062 ■ 1 ■ 0,56-4) = 0,022935;

ротк = Р5 = ро А 5[1 - а1 а2 (С4 А + С4)А +

+ (а1 а2 )2 (С 1А + С32 )А ~4 - (а1 а2 )3 х

х (С2 А + С|)А 6] = 0,504094 ■ 0,565 ■ [1 - 0,06 х

х (1 ■ 0,56 + 4) ■ 0,56-2 + 0,062 ■ (3 ■ 0,56 + 3) ■ 0,56-4 -- 0,063 ■ (1 ■ 0,56 + 0) ■ 0,56 6] = 0,008188.

0869-7493 ООЖАРОВЗРЫВОБЕЗООАСООСТЬ 2011 ТОМ 20 №2

В обоих случаях получены одинаковые значения вероятностей. Основные характеристики такой СМО согласно (5) - (9) будут следующими:рн = 0,504094; Ротк = 0,008188; 10Ж = ц ^ (р + 2 р3 + 3р5 + 4 р7) + + ц21(р2 + 2р4 + 3р6 + 4р8) = 3 ■ (0,181506 + 2 х х 0,071352 + 3- 0,029084+4- 0,012004) + 2- (0,100787 + +2 ■ 0,056486 + 3 ■ 0,025568 + 4 ■ 0,010931) = 2,0468 мин; точ = Р2 + 2Р3 + 3Р4 + 4Р5 = 0,127838 + 2 ■ 0,054652 + + 3 ■ 0,0229353 + 4 ■ 0,008588 = 0,3387; а = 0,5. Время ожидания оценим также по выражению (10): tож « - (3 + 2) ■ (0,282293+2- 0,127838 + 3- 0,054652 + 4 х х 0,022935) = 3,968 мин.

Интерес представляет также оценка характеристик аналогичной стандартной СМО Ек0ДЕк0 2\4 при той же приведенной нагрузке а = 0,5. По выражениям (14) - (16) получаем:

ро1 = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 + 0,03125 = 1,96875; р0= Рн = 0,50794;

Р1 = 0,50794 -0,5 =0,25397;

Р2 = 0,50794-0,25 = 0,12698;

Р3 = 0,50794-0,125 = 0,06349;

Р4 = 0,50794 ■ 0,0625 = 0,03175;

Ротк = Р5 = 0,50794 ■ 0,03125 = 0,01587.

Длину очереди оценим по 1-й части выражения (8):

точ = 0,12698 + 2 ■ 0,06349 + 3 ■ 0,03175 + + 4 ■ 0,01587 = 0,4127.

Время ожидания найдем с использованием формулы Литтла:

и = 0,4127/0,1 =4,127 мин.

Как видим, при такой нагрузке диспетчер (как двухфазная СМО или ее однофазный аналог) не в состоянии уложиться в требования по обеспечению допустимой вероятности отказа в приеме заявки, времени ожидания и вероятности немедленного реагирования. Причем характеристики, рассчитанные по выражениям для стандартной СМО при той же приведенной нагрузке и том же числе линий связи, оказываются "жестче", чем для двухфазной СМО.

Пример 2. Условия те же, что и в предыдущем примере, но длительность обеих фаз обслуживания одинакова и составляет 1 мин (ц1 = ц2 = ц = 1 мин-1), т. е. закон обслуживания эрланговский 2-го порядка, а СМО имеет вид: Ек01\1Ег2.1\4.

Воспользуемся выражениями (17) - (19), полагая а = 0,1 и а = 2а = 0,2:

ро1 = 1 + а + а2 + а3 + 2а4(2 + а)2[2(а + 1)(а + 1) + + а(а2 - 4)] = 1 + 0,2 + 0,04 + 0,008 + 2 ■ 0,14 ■ 2,12 х х [2-1,2-1,1+ 0,1(0,01 - 4)] = 1,249977;

Р0 = 0,800015; Р1 = р0С10(а + а2)« 0,8 1- (0,2 + 0,01) = 0,168003;

Р2 = р0[С0(а + а2)2 2 с1(а + а2 )0а2]«

« 0,8 ■ (1 ■ 0,212 - 1 ■ 1 ■ 0,01) = 0,027281;

Р3 = р0[С30(а + а2)3 2 с 1(а + а2 )1 а2]~

« 0,8 ■ (1 ■ 0,213 - 2 ■ 0,21 ■ 0,01) = 0,004049; Р4 = р0[С40(а + а2)4 2 с3(а + а2 )2 а2 +

+ С2(а + а2)0а4]« 0,8 -(1 ■ 0,214-- 3 ■ 0,212 ■ 0,01 + 1 ■ 1 ■ 0,14) = 0,000577;

Р5 = ротк = р0[С0(а + а2)5 2 с4(а + а2 )3 а2 + + С32(а + а2)а4]« 0,8 -(1 ■ 0,215 - 4 ■ 0,213 ■ 0,01 + + 3- 0,21 - 0,14) = 0,000155.

Средняя длина очереди и время ожидания составят: точ = 0,03773; tож = 0,237 мин = 14,22 с.

Таким образом, при данной нагрузке диспетчер укладывается в допустимую вероятность отказа в принятии заявки, но среднее время ожидания заявки к приему слегка превышается.

Представляется интересным сравнить рассмотренную СМО со стандартной Ек01\1Ек1\4. Для нее согласно (14) - (16) получаем: р0 = рн = 0,800512; Р1 = = 0,160010; Р2 = 0,032002; Р3 = 0,00640; Р4 = = 0,001280; ротк = Р5 = 0,000256. Тогда точ = 0,0459; toж = 0,459 мин = 27,54 с.

Выводы

Таким образом, получены точные аналитические выражения для расчета характеристик работы диспетчера, обслуживающего заявки в две фазы. При этом могут быть определены рациональное число линий связи в диспетчерских пунктах и скорости обслуживания. В то же время показано, что для упрощенных оценок могут быть использованы известные выражения для стандартных одноканальных СМО с очередью.

В дальнейшем интересно было бы рассмотреть трехфазную одноканальную СМО как аналог караула пожарной части, который при поступлении вызова действует по схеме: следование на пожар - тушение пожара - возвращение в часть.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Артамонов В. С., Погорельская К. В., Таранцев А. А. Методика определения рационального числа операторов и линий связи ЦУС ФПС // Пожаровзрывобезопасность. — 2007. — Т. 16, № 6. — С. 4-9.

0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНОСТЬ 2011 ТОМ 20 №2

2. Вентцель Е. С. Исследование операций. — М.: Сов. радио, 1972.

3. Таранцев А. А. Инженерные методы массового обслуживания. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — СПб. : Наука, 2007.

4. РД 45.120-2000 (НТП 112-2000). Нормы технологического проектирования. Городские и сельские телефонные сети : утв. Минсвязи России 12 октября 2000 г.: введ. в действие 12 октября 2000 г. — М.: ЦНТИ "Информсвязь", 2000.

5. Шаровар Ф. И. Автоматизированные системы управления и связь в пожарной охране / ВИПТШ МВД СССР. — М. : Радио и связь, 1987.

Материал поступил в редакцию 7 октября 2010 г. Электронный адрес авторов: t_54@таИ.гы.

Учебное пособие

В. Н. Черкасов, В. И. Зыков

Обеспечение пожарной безопасности электроустановок

Рецензенты: Федеральное государственное учреждение Всероссийский ордена «Знак почета» научно-исследовательский институт противопожарной обороны МЧС России, кафедры физики и пожарной безопасности технологических процессов Академии ГПС МЧС России.

В учебном пособии рассмотрены общая схема электроснабжения потребителей, классификация электроустановок и причины пожаров от них, а также вероятностная оценка пожароопасных отказов в электротехнических изделиях и пожарная безопасность комплектующих элементов. Приведены нормативные обоснования и инженерные решения по обеспечению пожарной безопасности электроустановок и защите зданий и сооружений от молний и статического электричества. Учебное пособие предназначено для практических работников в области систем безопасности и может быть использовано для подготовки и повышения квалификации специалистов соответствующего профиля.

12

0869-7493 ПОЖАРОВЗРЫВОБЕЗОПАСНОСТЬ 2011 ТОМ 20 №2