Многокритериальная оптимизация транспортных систем массового обслуживания Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Многокритериальная оптимизация транспортных систем массового обслуживания

При построении и модернизации транспортных систем или их элементов встает задача выбора лучшего варианта системы (элемента). Существенная составляющая транспортных процессов - удовлетворение потребностей общества в перевозках грузов и пассажиров. Иными словами, транспортные системы функционируют для удовлетворения заявок клиентов (физических и юридических лиц) на перевозки, т. е. заявок на обслуживание. Поэтому во многих случаях формализованные модели таких систем и количественная оценка их эффективности базируются на теории массового обслуживания. При этом транспортная система представляется системой массового обслуживания (СМО) и оценивается с помощью соответствующих показателей эффективности. Поскольку таких показателей некоторое множество, возникает задача многокритериальной оптимизации. Ее целесообразно решать не путем интуитивного выбора лучшего варианта системы, а с помощью известных подходов в области многокритериальной оптимизации.

Жь

В. В. Балясников,

доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой безопасности жизнедеятельности СПбГУ ГА

А. А. Богданов,

доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой экономики, директор Института экономики и управления транспортными системами СПбГУ ГА

В. П. Маслаков,

доктор техн. наук, профессор, заведующий кафедрой менеджмента СПбГУ ГА

В. Г. Староселец,

доктор техн. наук, профессор кафедры механики СПбГУ ГА

Модель системы массового обслуживания

Как известно, модель СМО в общем случае содержит входящий поток заявок, каналы их обслуживания, очередь (совокупность заявок, ожидающих обслуживания), выходные потоки обслуженных и необслуженных заявок.

Модель характеризуется следующими параметрами: интенсивностью потока заявок X (1/мин, 1/ч), средним временем обслуживания одной заявки (о6сл или производительностью канала обслуживания (интенсивностью обслуживания) ц = \/1аЫл (1/мин, 1/ч), количеством каналов обслуживания п.

Кроме того, для СМО с очередью используются параметры: т — допустимое число заявок в очереди; Сож — время ожидания заявки в очереди; С — время пребывания заявки в системе, С = С _ + С ;

'с обсл ож'

V — интенсивность потока заявок, покидающих очередь; системой массового обслуживания, где — среднее допустимое время ожидания в очереди.

Эффективность и оптимизация систем массового обслуживания

К наиболее часто используемым основным показателям эффективности СМО относятся следующие: Ротк — вероятность отказа в обслуживании; Мъ — среднее число занятых каналов; к3 — коэффициент занятости (загрузки) каналов; Ь — средняя длина очереди; У — среднее число заявок, находящихся в системе; У = N + Ь; — среднее время ожидания обслуживания; ^ — среднее время пребывания заявки в системе, 1с = Гож + 1о6сл; Рож — вероятность ожидания обслуживания.

Для выбора лучшего варианта системы достаточно использовать лишь часть перечисленных показателей, которые наиболее полно отражают свойства системы. Так, для СМО с отказами (для систем, не допускающих очередей, т. е. при т = 0) достаточно рассматривать показатели к и Ротк. Следует отметить, что желательно иметь систему с большим значением к, и меньшим значением Р .

' 3 отк

Для уменьшения Ротк необходимо увеличивать число каналов п, а это означает ухудшение (уменьшение) к,. Уменьшения Ротк можно добиться и путем увеличения производительности канала ц. Но увеличение п и л приводит к увеличению стоимости системы С. Таким образом, выбор лучшего варианта системы относится к многокритериальной задаче оптимизации (оптимизации по критериям к,, Р , С).

Для СМО с очередью наиболее важны показатели эффективности: к,> Ь, 1„„, Р . При этом желательно иметь величины Ь, { , Р как

3' ' ОЖ' ож ^ ' ож' ож

можно меньшими, а к3 — как можно большим. При увеличении п или л можно получить желаемые значения Ь, Рож, но при этом ухудшится к3 и увеличится С. Следовательно, и в случае СМО с очередью выбор лучшего варианта системы также относится к многокритериальной задаче оптимизации.

Такую задачу целесообразно решать, используя некоторые известные приемы, применяемые при многокритериальной оптимизации сложных систем (см., напр.: [1]).

Пусть имеется г вариантов систем. Обозначим: — система, соответствующая варианту I; I = 1,2, ..., г; ^ (&) — j-й критерий эффективности системы S|■; / = 1,2,., /; / — множество критериев.

Поскольку СМО характеризуется различными критериями эффективности (некоторые желательно максимизировать, а некоторые — минимизировать), преобразуем их в соответствии с правилами:

(1) Таблица 1. Значения для 1 = 2, 3, 4, 5

(2)

где — оптимальное значение /-го критерия;

/, /2 — соответственно множества номеров максимизируемых и минимизируемых критериев; К (Б) — преобразованный критерий; / = 1, 2...../; I = 1, 2.....г.

Лучший вариант системы должен характеризоваться меньшими значениями преобразованных критериев. Один из возможных способов нахождения лучшего (единственного) варианта системы состоит в сведении совокупности преобразованных критериев к одному критерию. Для этого целесообразно определить коэффициенты важности критериев /3;,/ = 1,/. Определить в, можно различными экспертными методами или лицом, принимающим решение (ЛПР), путем построения ряда важности. При этом ЛПР с помощью логического анализа критериев определяет, какой из них должен занять первое место в этом ряду, какой — второе и т. д. до последнего. Тогда количественная оценка важности /-го критерия определяется по правилу

./-(/-1)

/V

/

X/

;=1

которое означает: чем меньше номер критерия в ряду важности, тем больше значение в. Так, если число критериев / = 2, то

/1 + 2" /З"1 /З" Тогда для первого критерия (/ = 1) имеем =

для второго — Р2 =1_/'з =//з* Сумма коэффициентов важности ^ +/?2 =1. Аналогично, если / = 3, то = + Ъ = Уб и

= % = )?2> Рг = % = Ръ Так как ЁУ представляет собой сумму ряда чисел: 1 + 2 +...+ /, для которого справедливо соотношение X/ = /^(/ + 1), то

)=1

или а.^-М /(/+1) ' / /+1

Значения в, для / = 2, 3, 4, 5 представлены в табл. 1.

(3)

Если трудно отдать предпочтение какому-либо из рассматриваемых критериев, то коэффициенты важности одинаковы: /?,=-• Полученные значения в, используются для сведения многокритериальной задачи к однокритериальной. При этом можно использовать метод идеальной точки в пространстве критериев. В соответствии с этим методом вводится новая целевая функция

Н

(4)

где — минимальное значение критерия К^Б,') некоторой идеальной системы 5,", имеющей все критерии с минимальными значениями {К1",К2'',...,К1"}.

В нашем случае преобразованные критерии К минимизируются, поэтому все К° = 0.

С учетом этого выражение (4) примет вид:

= (5)

н

Функция Ш (Б) показывает, насколько реальная система далека от системы идеальной. В качестве оптимальной системы выбирают такую систему Б*, для которой выполняется условие

= ттШ(Б), I = 1,2,., г. (6)

У 1 = 2 1 = 3 1 = 4 1 = 5

1 2/3 1/2 2/5 1/3

2 1/3 1/3 3/10 4/15

3 - 1/6 1/5 1/5

4 - - 1/10 2/15

5 - - - 1/15

Рассмотренные положения многокритериальной оптимизации используем для принятия решений по составу и характеристикам элементов транспортных систем, представляемых моделями СМО. Воспользуемся примерами описания таких СМО и результатами оценки их эффективности, изложенными в [2].

Примеры многокритериальной оптимизации транспортных систем массового обслуживания

Пример 1

Автозаправочная станция (АЗС) обслуживает автомобили, которые прибывают в случайные моменты времени и, если не могут сразу приступить к заправке, становятся в очередь. На длину очереди ограничений нет. Функционирование АЗС можно описать моделью СМО с параметрами:

X — среднее число автомобилей, прибывающих на АЗС в единицу времени;

У^ — средний интервал времени между моментами прибытия автомобилей;

[г — среднее количество автомобилей, обслуженных в единицу времени (если АЗС не простаивает);

Ур = 'обсл — среднее время обслуживания.

Поскольку АЗС рассматривается в целом как единый комплекс, то ее можно рассматривать как одноканальную СМО. В связи с тем, что ограничений на очередь автомобилей не накладывается, то АЗС является одноканальной СМО с очередью чистой, т. е. при п =1 и т— оо. Для того чтобы АЗС справлялась с обслуживанием (несмотря на отсутствие ограничений на длину очереди), следует рассматривать варианты СМО, удовлетворяющие условию ■ Это

означает, что а = < 1. Исходные данные (значения А, и

показатели эффективности СМО, рассчитанные по формулам для СМО с очередью чистой для четырех вариантов АЗС, представлены в табл. 2.

Применительно к АЗС показатели эффективности СМО означают: а — показатель загруженности АЗС; Ь — среднее количество автомобилей, ожидающих заправки в очереди; ^ — среднее время ожидания заправки в очереди; Тс — среднее время пребывания автомобиля в системе (на АЗС); У — среднее число автомобилей на АЗС. Кроме того, в табл. 2 представлены величины С стоимости АЗС для соответствующих вариантов.

Для выбора лучшего варианта системы отберем лишь наиболее значимые критерии. К таким критериям относятся:

• ^ так как £с = £ож + {обо1 и отражает как производительность системы по обслуживанию заявок, так и влияние очереди на главный показатель — среднее время пребывания заявки в системе; таким образом, при сравнении систем достаточно рассматривать К, а опустить;

• С, так как полностью отражает затраты на создание системы;

• а, так как отражает загруженность системы, т. е. ее напряженность в работе.

Таблица 2. Исходные данные (значения и показатели эффективности СМО, рассчитанные по формулам для СМО с очередью чистой для четырех

вариантов АЗС

X

Ух

ß

У,

а L

^ОЖ

I

Y

C

Вариант 1

0,25 4 мин 0,286 3,5 мин

0,875 6,13 24,5 мин 28 мин 7

5 усл. ед.

Вариант 2

0,25 4 мин

0,5 2 мин

0,5 0,5 2 мин 4 мин 1

9,5 усл. ед.

Вариант 3

0,25 4 мин 1

1 мин

0,25 1/12 1/3 мин 1,33 мин

1/3 12 усл. ед.

Вариант 4

0,25 4 мин 2

0,5 мин

0,125 1/56 1/15 мин 0,56 мин

1/7 18 усл. ед.

Критерий L фактически отражается в £^ж, а следовательно, в tc. Критерий Y является неоднозначным при сравнении систем: Y = N3 + L, где N3 — среднее число занятых каналов; в нашем случае система одноканальная, поэтому 0 < N3< 1 и N3 = а — среднее число заявок в системе; чем больше а, тем лучше система, но чем больше L, тем она хуже. Поэтому при сравнении систем критерий Y можно опустить, а пользоваться лишь tc,C (чем они меньше, тем лучше система) и а (чем больше а, тем лучше система).

Таким образом, выбор варианта характеристик АЗС представляет собой решение многокритериальной задачи. Обозначим критерии: = а. Каждому варианту АЗС соответствует определенная система обслуживания S,, l = 1,4. Преобразуем критерии в соответствии с правилами (1) и (2). Тогда в нашем случае /1 = {3}, /2 = {1, 2} и на основании данных табл. 2:

f° = 0,56 мин,/"/ = 5усл. ед,/,0 = 0,875. С помощью выражений (1) и (2) получим величины преобразованных критериев K(S), представленные в табл. 3.

Лучший вариант системы должен характеризоваться меньшими значениями преобразованных критериев. Будем считать, что важность критериев соответствует принятому номеру j. Так как / = 3, то, согласно табл. 1, имеем коэффициенты важности критериев: Теперь в соответствии с выражением (5) получим целевые функции: W (S1) = 34,03; W(S2) = 4,48; W (S3) = 1,298; W (S4) = 1,54. Согласно выражению (6), W(S,*) = min {34,03; 4,48; 1,298; 1,54} = 1,298. А это означает, что St' = S3, т. е. лучшим является третий вариант АЗС с параметрами: V = 1(^ин),^ = ^ = 1мин; а = 0,25; tc = 1,33 мин; С = 12 усл. ед. Таким образом, предпочтительность систем определяется отношением 53 >- S4>- S2>- Sr

Если при принятии решения определение важности критериев вызывает затруднения (трудно определить место критерия в ряду важности), то в данном случае получим ßf = у^ = ^ для всех j (j = 1,

Таблица 3 Величины преобразованных критериев K (S)

K S S1 S2 S3 S4

K (S,) 49 6,1429 1,375 0

K2 (S,) 0 0,9 1,4 2,6

K3 (Sl) 0 0,4287 0,7113 0,8571

2, 3). Тогда в соответствии с выражением (5) имеем: W (S1) = 28,29; W (S2) = 3,593; W (S3) = 1,2056; W (S4) = 1,58. А это означает, что сохраняется то же отношение предпочтения систем: S5 >-Si >-S2 >-SrСле-довательно, в данном случае обоснованность определения коэффициентов важности не влияет на окончательный результат решения: лучшим является вариант 3 АЗС, худшим — вариант 1.

Пример 2

В транспортной компании для обслуживания неплановых заявок на перевозку грузов обычно назначается четыре бригады. Заявки поступают в случайные моменты времени, в среднем одна заявка в час. Среднее время обслуживания заявки бригадой составляет 2 ч. В случае занятости всех бригад потребитель (заявка) в связи с характером груза (скоропортящиеся продукты) в очередь не становится, а обращается в другую компанию. Улучшить работу компании можно путем увеличения количества бригад или повышения производительности бригады (уменьшения продолжительности обслуживания заявки). Для принятия решения о лучшем варианте системы обслуживания (количество бригад n и интенсивность обслуживания ß) необходимо определить основные показатели эффективности СМО и применить многокритериальную оптимизацию. Из описания процесса обслуживания следует, что совокупность бригад можно рассматривать как многоканальную СМО с отказами. Таким образом, исходные данные в терминах функционирования многоканальной СМО с отказами и результаты расчета показателей ее эффективности (полученные в [2]), а также стоимость системы обслуживания C можно представить в виде табл. 4.

Для выбора лучшего варианта такой СМО достаточно использовать показатели эффективности: Ротк — вероятность отказа в обслуживании, k3 — коэффициент занятости каналов (бригад), C — стоимость системы обслуживания.

Желательно иметь P , С как можно меньшими, k, — как можно

отк' ' 3

большим. Тогда, как и в примере 1, обозначим: /j =P0TI[,/2 =k3,fj =С. Из табл. 4 находим: f° =1,54;f° =45;f° =2. В соответствии с выражениями (1) и (2) получим преобразованные критерии: K1 (S1) = 5,18; K2 (S1) = 0; K3 (S1) = 0; K1 (S2) = 1,38; K2 (S2) = 0,14; K3 (S2) = = 0,25; K1 (S3) = 0; K2 (S3) = 0,45; K3 (S3) = 1,5. Так как число критериев равно трем, то, согласно формуле (1) и данным табл. 1, имеем: ßi =/^2>j®2 =Ув'В соответствии с выражением (5) получим

целевые функции: W (S1) = 3,66; W (S2) = 0,986; W (S3) = 0,666. Отсюда W(S,*) = min {3,66; 0,986; 0,666} = 0,666. Это означает, что S,' = Sv т. е.

Таблица 4. Исходные данные в терминах функционирования многоканальной СМО с отказами, результаты расчета показателей ее эффективности, также стоимость системы обслуживания С

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

n 4 5 4

1 1 1

^сл(ч) 2 2 1

0,5 0,5 1

а= у /Р 2 2 1

P (%) отк 4 ' 9,52 3,67 1,54

К (%) 45 38,53 24,61

C (усл. ед.) 2 2,5 5

1/

1/

^ = Д6сл=/20(-Х1ИН) = Х0-60 = 3Х;Я = 8Х- Для опРеДеления лучшего состава системы обслуживания рассмотрим также варианты: п = 3-1 =2 и п = 3 + 1 = 4. При оценке эффективности таких СМО используем уже рассмотренные в примере 1 показатели: Ь,

Таблица 5 Результаты расчета Ц, Г, к,, Р и значения затрат С на обслуживание

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

n 3 2 4

P (%) ож 4 ' 1,5 9,5 0,18

L (заявок) 0,003 0,033 0,00026

^.(мин) 0,15 1,68 0,013

к (%) 16,67 25 12,5

C (усл. ед.) 15 10 20

k3, а также Рож — вероятность ожидания обслуживания поступившей заявки. Результаты расчета этих показателей, выполненные в соответствии с [2], а также значения затрат С на обслуживание представлены в табл. 5. Из анализа полученных результатов следует, что L, tOM имеют несущественные значения, поэтому для характеристики возможных задержек в обслуживании выбираем Рож. Для характеристики использования СМО берем k3, а затраты на обслуживание оценим с помощью C. Будем считать, что критерии составляют ряд: C, k, P . Обозначим их: f = C, f = k,, f = P . Учтем, что желательно

'3' ож '1 ' '2 3' ' 3 ож '

иметь f2 как можно большим, а f и f3 — как можно меньшими.

Из табл. 5 находим: f° =10, f° = 25,/3° =0,18. В соответствии с выражениями (1), (2) получим преобразованные критерии для систем S1 (соответствует варианту 1), S2 (вариант 2) и S3 (вариант 3): K1 (S1) = 0,5; K2 (S1) = 0,1332; K3 (S1) = 7,33; K1 (S2) = 0; K2 (S2) = 0; K3 (S2) = = 51,78; K1 (S3) = 1; K2 (S3) = 0,5; K3 (S3) = 0. С учетом коэффициентов важности /?! =^2>ßi =}%>ßs =У(, (для случая трех критериев) по формуле (5) получим целевые функции: W (S1) = 9,05; W (S2) = = 21,14; W (S3) = 0,76. Согласно выражению (6) W(S,') = min {9,05; 21,14; 0,76} = 0,76 и S,' = S3, S3yS1y ST Это означает, что лучшим является вариант 3, т. е. n = 4.

лучшим является вариант 3 СМО, характеризуемый параметрами: п = 4 и ц = или ¿^ = 1 ч. Отношение предпочтения систем (вариантов СМО) у у 5,. Если ранжировка критериев затруднена, то берем коэффициенты важности равными р. = = 1, 2, 3. Тогда Ш = 2,995; Ш (52) = 0,8166; Ш ^3) = 0,905 и отношение предпочтения систем 82 >-Бъ Следовательно, и при равных значениях в худшей является система S1, т. е. вариант 1 СМО, и его можно исключить из рассмотрения, а лучшую систему из множества {52, 53} определить с использованием мнений экспертов.

Пример 3

В транспортно- экспедиторской компании, в отделе работы с клиентурой созданы три группы специалистов по приему и первичной обработке заявок на грузоперевозки. Средняя продолжительность приема и первичной обработки заявок (обслуживания) составляет 20 мин. Заявки поступают в случайные моменты времени, в среднем восемь заявок в час. Если все группы заняты обслуживанием, то пришедшая заявка становится в очередь. Ограничения на длину очереди отсутствуют, т. е. заявка будет обязательно обслужена.

Для принятия решения о целесообразности такой структуры в отделе работы с клиентурой необходимо оценить ожидаемую эффективность обслуживания клиентов. Из описанных условий следует, что эту систему можно рассматривать как многоканальную СМО с очередью чистую. В соответствии с условиями функционирования СМО имеем следующие исходные данные: п = 3,

Если считать все критерии одинаковой важности ф) ■■

, j = 1,

2, 3), то получим: Ш(51) = 4,22; Ш(52) = 29,9; Ш(%) = 0,87. Это означает, что лучшим также является вариант 3.

При учете несущественности значений Рож и незначительности Гож можно выбирать лучший вариант по критериям: К1 и К2. В этом случае имеем: К1 (51) = 0,5; К2 (51) = 0,1332; К1 ^2) = 0; К2 ^2) = 0; К1 ^3) = 1; К2 ^3) = 0,5. Отсюда сразу устанавливаем: вариант 2 (система S2) доминирует над вариантом 1 (система 51) и над вариантом 3 (система S3). Таким образом, лучшая система — S2, содержащая число групп п = 2, худшая — S3 (п = 3).

Заключение

Итак, вышеизложенное позволяет заключить, что транспортные системы и их элементы можно обоснованно создавать и модернизировать, используя модели систем массового обслуживания и методики многокритериальной оптимизации. Примеры, иллюстрирующие многокритериальную оптимизацию транспортных СМО, приводят к следующим выводам.

• Совокупность вариантов построения каждой СМО соответствует множеству управлений, оптимальных по Парето, так как ни одно из управлений по показателям эффективности не может быть отнесено к доминирующему (по одним показателям вариант лучше других, по другим — хуже).

• Определение лучшего варианта осуществляется путем преобразования критериев, их ранжирования, введения коэффициентов важности и вычисления значений целевых функций. Целевые функции характеризуют, на сколько рассматриваемый вариант далек от идеального. Лучшему варианту СМО соответствует минимальное значение целевой функции.

• На обоснованность выбора лучшего варианта СМО точность определения коэффициентов важности критериев влияет в меньшей мере (зачастую не влияет), чем отбор критериев для выбора лучшего варианта системы. □

Литература

1. Сафронов В. В. Основы системного анализа: методы многокритериального ранжирования: Монография / Поволж. кооп. ин-т Российского ун-та кооперации. Энгельс: Ред.-изд. центр ПКИ, 2007. 185 с.

2. Староселец В. Г. Основы теории управления транспортными системами. СПб.: Университет ГА. 2008. 218 с.