CC BY
41
УДК 531.011
Модель трещины с градиентами пластической деформации
Е.Е. Дерюгин
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия
Дан краткий обзор состояния проблемы, связанной с сингулярностью поля напряжений в твердом теле с трещиной Гриффитса. Предлагается новая модель трещины, учитывающая влияние зоны пластической деформации вокруг трещины, на поле напряжений в твердом теле. Сингулярная особенность поля напряжений возникает как частный случай, когда радиус кривизны у вершины и зона пластической деформации вокруг трещины уменьшаются до нуля. Модель позволяет анализировать влияние градиентов пластической деформации на концентрацию и распределение напряжений у вершины трещины. Показано, что градиент пластической деформации у свободной поверхности трещины играет принципиальную роль в расчетах напряжено-деформированного состояния твердого тела с трещиной. Проведен энергетический анализ параметров разрушения пластичных материалов с трещинами. Полученные уравнения можно использовать при расчетах характеристик трещиностойкости достаточно пластичных материалов.
Ключевые слова: модель трещины, градиенты пластической деформации, концентрация напряжений, сингулярность напряжений у вершины трещины, критерии разрушения, кривизна трещины
DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_1_43
Crack model with plastic strain gradients
E.E. Deryugin
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia
This paper provides a brief overview of the problem concerning the singularity of the stress field in a solid with a Griffith crack. A new model of the crack is proposed which takes into account the effect of the plastic deformation zone around the crack on the stress field in the solid. The stress field singularity arises as a special case when the curvature radius at the crack tip and the size of the plastic deformation zone around the crack decrease to zero. The model allows one to analyze the influence of plastic strain gradients on the concentration and distribution of stresses at the crack tip. It is shown that the plastic strain gradient at the free surface of the crack plays a fundamental role in stress and strain calculations for a solid with a crack. An energy analysis is carried out for the fracture parameters of ductile materials with cracks. The derived equations can be used to evaluate the crack resistance of sufficiently ductile materials.
Keywords: crack model, plastic strain gradients, stress concentration, stress singularity at the crack tip, fracture criteria, crack curvature
1. Введение
Энергетический анализ трещин, проведенный А. А. Гриффитсом в 1920 г., считается рождением области механики разрушения [1]. До настоящего времени в основе механики разрушения твердых тел с трещинами лежат количественные соотношения, которые век тому назад были предложены в работах Гриффитса [1, 2]. Гриффитс установил, что потенциальная энергия в объеме твердого те-
ла тратится на увеличение свободной поверхности трещины и связана с переходом в неравновесное состояние соседних атомов, формирующих новую поверхность. Он использовал метод анализа напряжений в пластине с эллиптическим вырезом Инглиса [3] и предложил энергетический подход, согласно которому уменьшение упругой энергии твердого тела при распространении трещины тратится на образование свободной
© Дерюгин Е.Е., 2022
поверхности трещины. Подход Гриффитса позволяет в расчетах механики вычислять работу (или энергию), не используя силовые характеристики разрушения.
Существенным недостатком классической трещины Гриффитса считается то, что поле напряжений имеет сингулярную точку в вершине трещины, приближение к которой приводит к неограниченному росту напряжения даже при незначительной внешней нагрузке. В действительности напряжения в реальных телах не могут превышать определенного предела. Поэтому энергетический баланс Гриффитса является необходимым, но недостаточным условием для всестороннего анализа процесса разрушения.
Опыт показал, что расчеты и предположения Гриффитса в определенной степени оправданы лишь для хрупких материалов. Ситуация существенно меняется в случае металлов и полимеров, в которых энергия разрушения на несколько порядков превышает поверхностную энергию для данного материала. Данная проблема была рассмотрена Орованом [4] и Ирвином [5]. Орован предложил к поверхностной энергии у8 добавить энергию ур на единицу площади поверхности за счет пластической деформации. Ирвин связал величину у8 + ур с упругой энергией, отнесенной к длине элементарного прироста трещины.
Так или иначе, для корректного описания напряженного состояния вокруг трещины требовалось учитывать влияние пластической деформации на напряженно-деформированное состояние твердого тела с трещиной.
В связи с этим предложен ряд моделей, которые в принципе устраняют проблему сингулярности в вершине трещины. Как правило, при этом задача ограничивается влиянием малой зоны пластической деформации перед вершиной трещины. В общем случае в механике деформации и разрушения встречаются большие математические и вычислительные трудности, связанные с учетом влияния пластической деформации на поле напряжений вокруг трещины.
В данной статье проводится краткий обзор состояния данной проблемы к настоящему времени и предлагается новая модель трещины, учитывающая влияние пластической деформации вокруг трещины на поле напряжений в твердом теле. Полученные уравнения можно использовать при расчетах характеристик трещиностойкости достаточно пластичных материалов.
2. Состояние проблемы
В работе [5] Ирвин рассмотрел задачу о распределении напряжений в окрестности устья трещины. Он показал, что в общем виде на расстоянии г от устья трещины (рис. 1) компоненты тензора напряжений в полярной системе координат определяются выражением
где функция £/&) зависит от типа смещения берегов трещины. Например, в случае трещины первого типа (трещина отрыва, когда берега трещины расходятся без сдвига) компонента оу, ответственная за концентрацию напряжений у вершины трещины, имеет вид
*1
а у =~[2Г
л/2 пг
008-
0
, . 0 . 30
1 + 81П— 81П-
2 2
(1)
При г ^ 0 напряжение оу стремится к бесконечности, т.е. не определяется. В таком случае количественной характеристикой поля напряжений не может служить коэффициент концентрации напряжений. Отличить одну трещину от другой позволяет только константа К1 = о4ка, которая называется коэффициентом интенсивности напряжений, где а — полудлина трещины [6].
В декартовых координатах напряжение оу вдоль оси х имеет вид
о у =о
0.5а
(2)
Согласно уравнениям (1), распределение напряжений для любой трещины имеет одинаковый характер. Чтобы исключить сингулярность в устье трещины, Ирвин [7-9] предположил, что локальные напряжения вблизи вершины трещины первого типа постоянны и не превышают предела
Рис. 1. Полярная система координат у вершины трещины
X
текучести ар до определенного расстояния гр материала. В сущности, это означает, что перед вершиной трещины произошла релаксация напряжений ау и образовалась зона пластической деформации размером гр. Условие ау = ор, согласно уравнению (1), при 9 = 0 определяет размер зоны пластической деформации (рис. 2, а)
г = р
(К г ар)2
2п
(3)
Однако фактический размер зоны пластической деформации должен быть больше, поскольку пластическая деформация вызывает перераспределение напряжений. При этом кривая напряжений в интервале 0 < а < ар (рис. 2, а) отодвигается вправо (рис. 2, б) на расстояние г*. Поскольку в пластической зоне напряжение ограничено пределом текучести ар, то из условия равновесия выполняется следующее равенство:
К г | &г_ л/2пг 0 4г
г а = г а
(4)
Равенство (4) выражает тот факт, что на рис. 2, б площадь А равна площади В.
Интеграл в уравнении (4) равен 2(гр)1/2, а множитель Кг/(2п)1/2 = ар(гр)1/2, согласно уравнению (3). В результате приходим к выводу, что гр = г . Следовательно, согласно модели Ирвина, зона пластичности распространяется на расстояние, которое в 2 раза больше, чем предсказывает уравнение (3) (рис. 2, а).
Другая возможность ликвидировать сингулярность в устье трещины состоит в рассмотрении концевой области трещины, где задается определенный закон распределения напряжений или деформаций. Модели концевой области трещины предложены Г.И. Баренблаттом [10, 11], Д. Даг-дейлом [12], М.Я. Леоновым, В.В. Панасюком
[13, 14] для хрупкого и упругопластического разрушения однородных материалов. Данные модели относятся к так называемым когезионным моделям концевой области трещины.
В модели Баренблатта [10, 11] берега разреза вблизи вершины трещины не свободны от напряжений, на них действуют силы сцепления (силы связи) (рис. 3). Распределение сил сцепления таково, что их совместное действие с внешним приложенным напряжением должно приводить к нулевому значению коэффициента интенсивности напряжений. Следствием равенства нулю коэффициента интенсивности напряжений является непрерывность напряжений и плавное смыкание берегов трещины в ее вершине (рис. 4).
Распределение напряжений сцепления в коге-зионной модели, как правило, задается неубывающей функцией раскрытия трещины 5 в концевой области, которая может быть определена аналитически. Интенсивность сил сцепления существенно зависит от расстояния между двумя поверхностями трещины в когезионной зоне. По мере удаления от вершины трещины напряжение сцепления сначала возрастает, затем быстро убывает до нуля.
Рис. 3. Схема распределения сил сцепления у вершины трещины
Рис. 4. Зависимость напряжения сцепления от раскрытия трещины 5 (цветной в онлайн-версии)
На рис. 4 представлена зависимость напряжения сцепления от раскрытия трещины 5 на границе концевой зоны. Площадь под кривой зависимости напряжения сцепления от величины раскрытия 5 (см. рис. 3) определяет работу разрушения:
Scr
Ja(5)d5 = GIc, о
где GIc — интенсивность высвобождения упругой энергии при распространении трещины, которая связана с коэффициентом интенсивности напряжений уравнением [15, 16]
Kic=vEGic. (5)
Варианты когезионной модели получили широкое применение для решения различных задач механики разрушения после развития численных методов решения задач механики, в первую очередь метода конечных элементов [17-26]. При этом в качестве критерия разрушения используются два условия: условие критического раскрытия трещины на краю концевой области и условие достижения предельных напряжений в вершине трещины. Выполнение критериальных условий для концевой области трещины достигается итерационным путем.
Дагдейл, Панасюк и Леонов предложили аналогичную модель [12-14], в которой также действуют силы сцепления и равен нулю итоговый коэффициент интенсивности напряжений. Отличие заключается лишь в том, что в концевой зоне трещины напряжение сцепления равно постоянной величине ac = const и протяженность концевой зоны c является переменной величиной. У Панасю-ка и Леонова ac — это теоретическая прочность материала am, а у Дагдейла ac — это предел текучести материала при растяжении о0. В принципе, в модели Дагдейла зона сцепления является полосой пластической деформации. Модель Дагдейла используется в качестве эффективной расчетной схемы при анализе напряженно-деформированного состояния твердого тела, когда зона пластичес-
кой деформации представляет собой узкую полосу, которая рассматривается как продолжение трещины. В качестве условия текучести здесь выступает критерий Треска. Предполагается, что толщина пластической зоны намного меньше, чем ее длина, так что трещина может рассматриваться как сплющенный эллипс с большой полуосью, равной 2а + с, где 2а — длина трещины, с — длина пластической зоны.
Таким образом, корректная постановка задачи требовала учитывать влияние пластической деформации на напряженно-деформированное состояние вокруг трещины. Данная проблема в общем случае не решена до сих пор. В механике деформации и разрушения возникают большие математические и вычислительные трудности, связанные с учетом влияния пластической деформации на поле напряжений вокруг трещины и на характеристики разрушения материалов.
3. Пластина с эллиптическим вырезом
Разрушение твердых тел нередко обусловлено образованием и развитием макроскопических трещин. В механике разрушения эту ситуацию схематизируют, заменяя трещину разрезом нулевой толщины. Трещина-разрез может быть получена предельным переходом от эллиптического выреза, когда малая полуось эллипса Ь стремится к нулю. В связи с этим исследование локального напряженного состояния вблизи эллиптических вырезов представляет исключительный интерес.
Впервые метод анализа напряжений в пластине с эллиптическим вырезом предложил
4. Инглис в 1913 г. [3]. Линейное упругое решение Инглиса для поля напряжений, окружающего эллипс, явилось важным шагом в развитии теории линейной механики разрушения. Как и решение Кирша для круглого отверстия [27], оно применяется к бесконечной изотропной пластине при одноосном растяжении. В отличие от решения Кирша, оно применимо к бесконечному числу различных сценариев, соответствующих эллипсам с разными соотношениями полуосей. В пределе, при стремлении малой полуоси эллипса к нулю, эллипс превращается в разрез, образуя трещину. В предлагаемой модели используются все свойства эллиптического выреза в неограниченной плоскости при растяжении. В связи с этим рассмотрим напряженно-деформированное состояние пластины с эллиптическим вырезом.
Решение задачи для неограниченной пластины с эллиптическим вырезом (отверстием) при рас-
тяжении подробно рассмотрено в работе Н.И. Мус-хелишвили [28].
В декартовой системе координат с началом на конце большой полуоси эллипса а под действием вдоль оси у напряжения а компоненты тензора напряжений вдоль оси х имеют вид
7 2
av =
aa
-a
x + a
aa
a y =-b
a - b
a - b
7-2
x + a
a(a - b) c
-b c2 b
a - b
(6)
где с = \1 х2 + 2ха + Ь2, Ь — малая полуось эллипса. Компонента 6хху = 0.
Уравнения (6) характеризуют неоднородное поле напряжений вне выреза. На границе эллиптического контура происходит скачок до нуля всех компонент тензора напряжений. Зона существенной концентрации упругой энергии сосредоточена в небольшой области вблизи границы эллиптического контура.
Важной характеристикой эллипса является кривизна на конце его большой полуоси п = 1/га, где га = Ь2/а — радиус кривизны на конце большой полуоси. Результаты численных расчетов краевых задач теории вырезов обнаруживают, что существенное влияние на смещение точек контура выреза и концентрацию напряжений при растяжении оказывают лишь два геометрических параметра: протяженность выреза в направлении, перпендикулярном оси растяжения, и максимальная кривизна на конце выреза вдоль этого направления [29, 30]. Поэтому напряжения у вершины трещины длиной 2а и кривизной п можно определять, рассматривая трещину в виде эллипса с большой полуосью а и малой полуосью Ь = (а/п)1/2.
На конце большой полуоси эллипса наблюдается максимальная концентрация напряжений. Согласно уравнению (1), коэффициент концентрации напряжений равен
-- (7)
к =
>y=0
a
, 2a = 1 +—.
b
Формулу (2) традиционно используют для оценки концентрации напряжений [31, 32]. Для круглого отверстия (а = Ь), например, согласно (7) к = 3.
Анализ напряженного состояния плоскости с эллиптическим вырезом существенно упрощается, если уравнение (6) для компоненты ау рассматривать без однородного поля напряжений
ау = а. В таком случае распределение компоненты ау вдоль оси х будет определяться уравнением
aa
a,
-1 + ■
x + a
1--+ -Г
(8)
Концентрация напряжений этого поля равна
к = 2а) Ь. (9)
Сравнение показывает, что уравнение (7) отличается от уравнения (9) на 1. Для круглого отверстия (а=Ь), согласно (9), к = 2. Это отличие становится несущественным при большой величине отношения а/Ь.
Качественный характер распределения напряжений остается неизменным. На рис. 5 представлены профили напряжения ау вдоль оси х для разных значений величины а/Ь. Видно, что с увеличением отношения а/Ь концентрация напряжений на конце полуоси а резко увеличивается. При а/Ь = 10 напряжение ау на конце большой полуоси выреза уже в 20 раз превосходит величину внешнего приложенного напряжения а (кривая 1). На границе эллиптического контура происходит скачок до нуля всех компонент тензора напряжений. Зона существенной концентрации упругой энергии сосредоточена в небольшой области перед вершиной трещины. При Ь ^ 0 напряжение ау неограниченно растет.
Подставив в уравнение (9) выражение Ь = (а/п)1/2, получим формулу для коэффициента концентрации напряжений трещины с кривизной П на конце большой полуоси:
к =^ = 2^. (10) а
Уравнение (10) указывает на параболическую зависимость между кривизной трещины п и концентрацией напряжений к при заданной величине а:
к 2
П = — 4a
(11)
Oyles
15-
10-
5 —
0
Д7 а= 1 мм
-IT"—
5 -IIHI
0.00
0.01
0.02
0.03
х/а
Рис. 5. Профили напряжения ау вдоль оси х, а/Ь = 10.0 (1), 5.0 (2), 3.3 (3), 2.5 (4) и 2.0 (5) (цветной в он-лайн-версии)
Распределение коэффициентов концентрации напряжений в плоскости координат a-ц представлено на рис. 6. Видно, что концентрация напряжений растет при увеличении как длины, так и кривизны трещины. Параболическая зависимость выполняется между коэффициентом концентрации напряжений и длиной трещины a при n = const: a = £2/(4n).
Кривизна n = 10 мкм-1 (рис. 7) соответствует радиусу кривизны r = 0.1 мкм. При этом су перед трещиной с полудлиной a = 1 мм в 200 раз выше внешнего напряжения с (кривая 5). Увеличение длины трещины приводит к быстрому росту концентрации напряжений. Для трещины с полудлиной a = 25 мм напряжение су перед трещиной превосходит приложенное напряжение с в 1000 раз (кривая 1).
На рис. 8 изображена поверхность оу в виде функции двух переменных: координаты х и кривизны трещины n. Конкретное значение кривизны n определяет соответствующее распределение оу перед вершиной трещины. Ряд таких распределений изображен на рис. 9. Видно, что увеличе-
ние кривизны трещины приводит к росту концентрации напряжений у вершины трещины. Чем выше п, тем быстрее происходит падение напряжения вдоль оси х. Влияние кривизны существенно только вблизи вершины трещины. Например, для трещины с полудлиной а = 0.1 мм (рис. 9) влияние кривизны несущественно уже на расстоянии х > 0.4 мкм.
На рис. 10 представлены зависимости относительной величины ау/а от кривизны п на разных расстояниях недалеко от вершины трещины. При х = 0 (кривая 1) значение ау/а определяет концентрацию напряжений на конце полуоси а, которая подчиняется параболической зависимости (11) (кривая 1). Закономерность (11) выполняется только при значениях х = 0. Как видно из рис. 9, на расстоянии х > 0 закон (11) нарушается.
Неограниченный рост кривизны трещины приводит к резкому увеличению концентрации напряжений. В пределе при п ^ получим трещину Гриффитса, или разрез в упругой плоскости.
Согласно расчетам Ирвина [8], в случае трещины первого типа (трещина отрыва, когда бере-
Рис. 7. Зависимость к от n, a = 25 (1), 16 (2), 9 (3), 4 (4) и 1 мм (5) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 9. Распределение су/о, n = 5 (1), 4 (2), 3 (3), 2 (4) и 1 мкм-1 (5) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 10. Зависимость о/о от п, х = 0.0 (1), 0.1 (2), 0.2 (3), 0.3 (4), 0.4 (5) и 0.5 мм (6) (цветной в онлайн-версии)
га трещины расходятся без сдвига) распределение относительной величины оу/о у вершины трещины определяется уравнением (2).
С другой стороны, из уравнения (6) при Ь = 0 следует, что
а
х + а
7 2 2 х + 2 ха
(12)
На рис. 11 кривая 1 относится к распределению оу, согласно уравнению (12). Видно, что на больших расстояниях поле напряжений оу стремится к уровню внешнего напряжения (оу/о = 1). Кривая 2 на рис. 11 представляет отношение оу/о, согласно уравнению (2), которое, как правило, используется при анализе напряженного состояния у вершины трещины [31-33]. Сравнение показывает, что на близком расстоянии от вершины трещины, когда х не превышает двадцатую долю полудлины а, значения оу практически не отличаются друг от друга. Однако по мере удаления от вершины трещины кривая 2, в отличие от кривой 1, стремится не к величине внешнего напряжения о, а к 0, что противоречит действительности. На
Рис. 11. Распределение оу/о согласно уравнениям (12) (кривая 1) и (2) (кривая 2) (цветной в онлайн-версии)
большом удалении от трещины напряжение в пластине не может быть ниже внешнего напряжения о. Таким образом, применение уравнения (2) ограничено условием х « а.
В системе координат в центре эллипса поле напряжений (6) однозначно определяет смещения точек контура эллипса:
их = -ах/Е, иу = а(1 + 2 а/Ь) у/Е, (13)
где Е — модуль Юнга.
Из уравнения эллипса вытекает соотношение у = Ь[1 - (х/а)2]1/2. Подставив это значение в уравнение (13), получим выражение для смещений контура вдоль оси у:
иу = а(Ь + 2а)[1 - (х/а)2]1/2/Е.
При Ь ^ 0 получается вполне конкретное смещение берегов трещины Гриффитса:
иу = 2аа[1 - (х/а )2]1/2/Е. (14)
Из уравнения (14) следует, что под действием внешнего напряжения разрез превращается в эллипс с малой полуосью Ь = 2ао/Е. Поскольку Ь Ф 0, то у вершины трещины нет сингулярности и в системе наблюдается концентрация напряжений к = 1 + Е/о. Для гипотетического материала с трещиной длиной а = 1 мм и модулем Юнга Е = 210 ГПа (сталь) при внешнем напряжении растяжения о = 210 МПа (~о0.1 предел текучести малоуглеродистой стали) максимальное раскрытие берегов трещины Гриффитса будет равно 4 мкм, что в 250 раз меньше полудлины трещины. Напряжение в устье трещины превышает внешнее напряжение в 1000 раз.
Таким образом, на самом деле сингулярности напряжений в модели трещины Гриффитса нет. Однако это не облегчает решение практических задач. При малом приложенном напряжении у вершины трещины возникает концентрация напряжений, намного выше предела текучести материала. Следовательно, по-прежнему существует потребность в новых моделях трещины, позволяющих выяснять причину низкой прочности реальных материалов. Прежде всего, требуется учет влияния пластической деформации на напряженно-деформированное состояние твердого тела с трещиной.
4. Пластина с очагом пластической деформации
Можно убедиться, что граничным условиям (14) на контуре эллипса удовлетворяет гипотетическое однородное поле деформации
х дх Е
р^ =
ьу
диу = (1 + 2 а/Ь) а
ду Е
(15)
Присутствие этого поля внутри эллипса обеспечивает непрерывность деформации по всей плоскости в целом. Уравнения (6) и (15) в совокупности описывают состояние упругопластичес-кой системы, в которой существует однозначная связь между полем напряжений (6) и полем пластической деформации (15).
Покажем, что уравнения (15) действительно характеризуют очаг пластической деформации в упругой плоскости.
Согласно выводам континуальной теории дефектов [34, 35], однородное поле пластической деформации не связано с напряжениями. Поэтому в отдельных случаях вместо выреза в плоскости при внешнем приложенном напряжении а можно рассматривать однородное поле пластической деформации (15). Очевидно, что и в том, и в другом случае напряженное состояние плоскости будет одинаковым: внутри эллипса напряжений нет
(а = 0) и вне эллипса существует неоднородное
*
поле напряжений а .
Возможный переход от плоскости с вырезом к плоскости с очагом пластической деформации иллюстрирует рис. 12. На рис. 12, а изображена плоскость с эллиптическим вырезом. Стрелка указывает на вырезанную часть плоскости. Рисунок 12, б представляет плоскость на рис. 12, а под действием определенного внешнего приложенного напряжения растяжения а. Смещения точек контура эллипса определяются уравнениями (14).
Представим, что вырезанный эллипс испытал пластическую деформацию вр, согласно уравнениям (15). Материал, испытавший пластическую деформацию, на рисунке изображен желтым цве-
том. Очевидно, что после пластической деформации (15) контур эллипса точно совпадет с контуром выреза на рис. 12, б. При этом внутри эллипса напряжений не будет. В результате получим плоскость с очагом однородной пластической деформации (15), изображенную на рис. 12, в. Вне
очага пластической деформации будет существо*
вать неоднородное поле напряжений а точно такое же, как и в случае плоскости с вырезом. Распределения напряжений вдоль оси х определяются уравнениями (6).
Сценарий образования очага пластической деформации легко представить, учитывая неотъемлемое свойство пластической деформации, которая всегда сопровождается релаксацией напряжений. В предельном случае можно допустить полную релаксацию напряжения а, т.е. полное отсутствие напряжений, в материале, ограниченном эллиптическим контуром. Напряжение релаксации в данном случае равно -а.
Отличие возникает только при удалении внешнего приложенного напряжения. В случае плоскости с вырезом происходит возврат упругой плоскости к исходному состоянию без напряжений (рис. 12, а). Пластическая деформация по определению необратима. Поэтому удаление внешнего приложенного напряжения в системе «плоскость с очагом пластической деформации» равносильно удалению однородного поля напряжений по всей плоскости в целом. В результате в нена-груженной плоскости останется неоднородное поле внутренних напряжений а*. Внутри эллипса появится однородное поле напряжений сжатия -а. Распределение компоненты ау вдоль оси х тогда будет характеризоваться уравнением (9). Очаг пластической деформации является элементом релаксации.
Существует много работ, посвященных аналитическому описанию напряженно-деформирован-
Рис. 12. Переход от плоскости с вырезом к плоскости с очагом пластической деформации (цветной в онлайн-версии)
ного состояния твердого тела с трещиной. Следует отметить те из них, которые используют решение Эшелби [34] для эллипсоидального включения в упруго деформируемой матрице. Замечательным свойством эллипсоидального включения является то, что под действием внешнего приложенного напряжения растяжения в объеме включения наблюдается однородное поле напряжений и упругой деформации.
Мура [36] представил метод решения задач трещин, используя свойства эллипсоидального включения Эшелби [34]. Учитывая однородную деформацию внутри включения, Мура удаляет приложенные на гранях эллипсоидального включения силы и устремляет малую (вертикальную) ось эллипсоида к нулю. Таким образом включение уплощается и превращается в трещину. Предел произведения деформации на длину вертикальной оси при условии, когда деформация стремится к бесконечности, а длина вертикальной оси стремится к нулю, получается конечной величиной и характеризует раскрытие трещины.
В [37] проанализирована такая задача для двумерного случая, рассматривающая сплющенный эллипсоидальный цилиндр неограниченный длины. Автор в [37] предположил, что наложением (суперпозицией) полей двух эллиптических включений с общим центром и расположением полуосей, в принципе, можно получить трещину типа Баренблатта [10] без сингулярности в поле напряжений. Из трех возможных вариантов, представленных на рис. 13, только в случае, когда а1 = а2, можно корректно убрать сингулярность на конце большой полуоси эллипса.
Выше мы рассмотрели задачу о пластической деформации эллиптического включения в плоскости под действием внешнего приложенного напряжения о. Было показано, что поле напряжений вне включения идентично таковому в плоскости с эллиптическим вырезом. Идентичность решений позволяет легко определить работу внешней приложенной силы при растяжении упругой пластины с эллиптическим вырезом:
U = 0.5S(ву -8p)а =
2 2 na а
(16)
Рис. 13. Суперпозиция двух эллиптических включений, убирающая сингулярность трещины [37]
где S = nab — площадь эллипса.
Видно, что эта энергия не зависит от кривизны, а зависит только от длины трещины а. Уравнение (16) определяет расход энергии на деформацию тела с любой трещиной, в том числе и с трещиной Гриффитса.
5. Модель трещины с градиентами пластической деформации
5.1. Построение модели трещины
В основе построения модели лежит метод элементов релаксации [38, 39] с использованием решения для плосконапряженного состояния упругой плоскости с эллиптическим вырезом.
Элементом релаксации в общем случае называется дефект в континууме, обусловленный актом релаксации напряжений в локальной области твердого тела. Элементом релаксации, например, является очаг пластической деформации в упругой плоскости. Очевидно, что с каждым очагом пластической деформации связано определенное поле напряжений и наоборот.
Известно, что моменту разрушения всегда предшествует определенная степень пластической деформации. При распространении трещины перед ее вершиной формируется зона пластической деформации. Следовательно, трещина с момента зарождения всегда окружена слоем пластически деформированного материала. Толщина слоя и распределение пластической деформации в нем, очевидно, зависят от способности материала к пластическому деформированию, неоднородности структуры материала и граничных условий нагружения.
Представим трещину в виде эллиптического выреза с зоной пластической деформации толщиной h вокруг эллипса (рис. 14, a). Для простоты дальнейших расчетов, далее будем рассматривать зону пластической деформации при условии, что
dar a
da * =
a - b
Рис. 14. Полость (а) и трещина (б) в окружении пластически деформированного материала
h = const. При стремлении малой полуоси эллипса b0 к нулю полость превращается в трещину (рис. 14, б). В сущности, задача сводится к определению поля внутренних напряжений данной системы. Условие сохранения сплошности (непрерывности) материала вне полости требует плавного изменения степени пластической деформации от нуля на границе зоны пластической деформации до максимального значения на границе полости. Будем считать, что вне зоны пластической деформации матрица однородна, изотропна и деформируется упруго под действием растягивающего напряжения а, направленного вдоль оси у. На рис. 14 зона пластической деформации изображена в виде семейства вложенных друг в друга элементов релаксации эллиптической формы.
Для определенности необходимо охарактеризовать напряженно-деформированное состояние каждого элемента релаксации из данного семейства. С этой целью определим бесконечно малое напряжение релаксации dar для каждого эллипса в этом семействе (рис. 14). Каждому dar приведем в соответствие элементарное поле пластической деформации, подобное уравнениям (15), при внешнем приложенном напряжении da: dsр = da у = daa + 2 ф). x E у E
(17)
Тогда компоненты тензора напряжений вдоль оси х для произвольного элемента релаксации в семействе, по аналогии с уравнениями (6), будут удовлетворять уравнениям
а
b x(a - 2b) b x
-+ —--л—z-
a(a - b) (a - b)c c
da xy =
da x =
- -1
b 2 x
Любой элемент релаксации в семействе эллипсов характеризуется полем пластической деформации внутри эллипса (17) и связанным с ним полем напряжений (18). Уравнения (17) и (18), в сущности, на микроуровне характеризуют модель упругопластической системы в сплошной среде, где поле напряжений (18) и поле пластической деформации (17) однозначно связаны между собой.
При Ь ^ 0 система преобразуется в разрез (рис. 14, б), окруженный зоной пластической деформации. Примем, что все эллипсы имеют общий центр в начале координат и полуоси, совпадающие с осями координат. Полуось Ь очага направлена вдоль оси нагружения у.
Контуры эллипсов расположены в слое толщиной И (рис. 13, а). Длины полуосей определим равенствами а^) = а + И(1 - ¿), Ь^) = Ь + И(1 - ¿), где t — переменная, изменяющаяся в пределах от 0 до 1, а и Ь — большая и малая полуоси эллипса, определяющего границу трещины с зоной пластической деформации при t = 0. Увеличение t приводит к последовательному переходу от границы зоны пластической деформации к эллипсу с полуосями а({) и Ь(^ (рис. 14, а). Конкретное значение t выбирает определенный контур семейства. Контур с длиной большой полуоси х > а0 будет соответствовать значению t = 1 - (х - а)/И.
При Ь ^ 0 система преобразуется в трещину (рис. 14, б).
Для каждого элемента релаксации зададим напряжение релаксации в виде функции переменной ^
-ёаг = (Р +, 0 < р < да. (19)
Видно, что в зависимости (19) параметр в регулирует изменение величины релаксации при непрерывном переходе от контура к контуру. С увеличением переменной t растет величина элементарного напряжения релаксации ёаг. Для элементов релаксации справедлив принцип суперпозиции, т.к. суммируются элементарные поля (решения) для напряжений релаксации в приближении линейной теории упругости [40-42]. Интегрирование выражения (19) от 0 до t = 1 -(х - а)/И определит результирующее напряжение релаксации в точке х. Коэффициент нормировки
в + 1 при этом обеспечит внутри эллипса с полуосями a и b полное отсутствие напряжений.
Представленную на рис. 14 систему можно рассматривать как трещину длиной 2a в виде эллипса с малой полуосью b. Отсутствие напряжения внутри эллипса означает то, что напряжение релаксации равно внешнему приложенному напряжению с без учета какого-либо другого поля напряжений. Параметр в регулирует закон распределения напряжений релаксации сг. Рисунок 15 иллюстрирует интегральный профиль отношения сг/с вдоль оси х в пределах толщины слоя. Видно, что результирующее напряжение релаксации ог при в > 0 обеспечивает плавное уменьшение величины релаксации напряжений в направлении к границе зоны пластической деформации. Исключением является значение в = 0, когда на границе зоны пластической деформации наблюдается скачок первой производной dor/dx (рис. 15, кривая 1).
Увеличение параметра в приводит к тому, что заметная релаксация напряжений наступает все ближе к вершине трещины. Другими словами, увеличение в приводит к эффекту уменьшения физической толщины зоны пластической деформации.
5.2. Распределение пластической деформации вокруг трещины
Распределение пластической деформации вокруг трещины является результатом суперпозиции элементарных полей пластической деформации dep, согласно уравнениям (17). Рассмотрим особенности распределения поля пластической деформации 8py = 8p, которое согласно (17) зависит от геометрических параметров эллипсов в семействе. Для произвольного эллипса с полуосями a+х и b+х элементарное поле dep равно
Рис. 16. Поверхность функции sp(x, в) (цветной в он-лайн-версии)
d8 p = 0!±Р)
E
1 + 2
a + х b + х
t"Mt.
(20)
Интегрирование приведенного выражения от 0 до t = 1 - х/Н определяет распределение пластической деформации в зоне пластической деформации вдоль оси х:
.p _
а
8* = —
E
1 + 2
a + х b + х
f х\ в+1 1 - х v h у
(21)
Проанализируем особенности уравнения (20), приняв следующие значения параметров: о = 210 МПа, Е = 210 ГПа (сталь [42]), а = 1 мм, Ь/а = 10-2, Н/а = 10-1.
На рис. 16 изображена поверхность ер в виде функции двух переменных: координаты х и величины р. Конкретное значение в определяет соответствующее распределение ер перед вершиной трещины. Ряд таких распределений изображен на рис. 17.
Видно, что в пределах зоны пластической деформации ер монотонно уменьшается от максимального значения на свободной поверхности трещины до нуля. Качественное поведение кривых на рис. 17 аналогично поведению кривых ре-
Рис. 15. Профили напряжений релаксации в зоне пластической деформации, в = 0 (1), 1 (2), 4 (3), 9 (4), 16 (5), 25 (6) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 17. Влияние в на ширину зоны пластической деформации, в = 0 (1), 1 (2), 4 (3), 9 (4), 16 (5), 25 (6) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 18. Влияние в на уменьшение 8р, х/И = 0 (1), Рис. 19. Профили 8р для разной толщины зоны пла-
1/60 (2), 1/30 (3), 1/15 (4), 3/20 (5), 4/15 (6), 5/12 (7) стической деформации И = 2.5 (1), 1.6 (2), 0.9 (3), 0.4
(цветной в онлайн-версии) (4), 1 (5), 0 мкм (6) (цветной в онлайн-версии)
лаксации напряжения в зоне пластической деформации (см. рис. 15). При в > 0 наблюдается плавное уменьшение степени пластической деформации в направлении к границе зоны пластической деформации. Исключением является значение при в = 0, когда на границе зоны пластической деформации наблюдается скачок первой производной еру /dx (рис. 17, кривая 1).
Из уравнения (22) следует, что максимальное значение 8ру не зависит от параметра в (рис. 17) и определяется значением 8р = (1 + 2а/Ь)а/Е. При указанных выше параметрах 8ртах = 20 %. Удаление от трещины сопровождается уменьшением степени пластической деформации.
Из рис. 17 видно, что увеличение параметра в фактически приводит к уменьшению физической ширины зоны пластической деформации. В связи с этим в отдельных случаях удобно использовать конкретное значение параметра, например в = 1, и регулировать ширину зоны пластической деформации одним параметром И.
Влияние параметра в на величину 8р на разных расстояниях х от вершины трещины иллюстрирует рис. 18. Неизменной является только максимальное значение 8ртах в точке х = 0 (кривая 1). При неизменном значении в удаление от вершины трещины сопровождается уменьшением 8р. На одинаковом расстоянии от вершины трещины увеличение в приводит к уменьшению степени пластической деформации. Чем меньше параметр в, тем значительнее скорость убывания степени пластической деформации при удалении от вершины трещины. Так, при в = Ю зона пластической деформации практически не превышает расстояние х = 5И/12 (кривая 7), т.е. меньше полуширины зоны пластической деформации.
Рассмотрим характер изменения распределения пластической деформации вокруг трещины
при уменьшении толщины зоны пластической деформации при г=0.1 мкм, а = 1 мм и в = 0. Результаты расчетов приведены на рис. 19. Видно, что уменьшение толщины слоя сопровождается быстрым увеличением градиента пластической деформации перед вершиной трещины. При И ^ 0 расчеты предсказывают неограниченный рост градиента и конечное значение степени пластической деформации 8р = 20 %. Происходит скачок степени пластической деформации от 20 % до нуля.
Из уравнения (21) следует, что значение 8ртах, а значит, и значения в зоне пластической деформации существенно зависят от радиуса кривизны г=Ь2/а трещины.
Проанализируем влияние радиуса кривизны на распределение пластической деформации. На рис. 20 приведены распределения 8р в зоне пластической деформации толщиной И =100 мкм. В общем случае максимум градиента и степени пластической деформации наблюдается точно у вершины трещины. Уменьшение г приводит к увеличению указанных параметров. При г ^ 0 степень пластической деформации у вершины неограниченно растет (кривая 1). Это означает, что в устье трещины Гриффитса наблюдается сингулярность по-
Рис. 20. Распределение 8р, г = 0 (1), 0.1 (2), 0.4 (3), 0.9 (4), 0.16 (5), 0.25 мкм (6) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 21. Профили 8р для трещин разной длины а = 1 (1), 4 (2), 9 (3), 16 (4), 25 мм (5) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 22. Изменение §гаё8ршах перед трещиной, а = 1 (1), 3 (2), 5 (3), 7 (4), 9 мм (5) (цветной в онлайн-вер-
ля пластической деформации. Однако при г= 0.25 мкм пластическая деформация уже не превышает 4 % (кривая 6). Дальнейшее увеличение радиуса кривизны приводит к постепенному уменьшению максимальной степени пластической деформации вокруг трещины.
При неизменных параметрах в, Ь и Н увеличение длины трещины сопровождается ростом степени пластической деформации перед вершиной трещины. Увеличение а от 1 до 25 мм приводит к росту максимальной степени пластической деформации перед вершиной трещины от 2 до 50 % (рис. 21).
Из проведенного анализа следует, что в предлагаемой модели увеличение концентрации напряжений всегда сопровождается увеличением градиента пластической деформации 8р у вершины трещины. Дифференцирование выражения (21) по х приводит к следующему уравнению для градиента 8р в зоне пластической деформации:
-а
хЬ
(Ь + х)2
ггаёвр = —
Е
х 1 - х Н
1 - х
Н
\в
в +1
Н
1 + 2
а + х Ь + х
У вершины трещины (х = 0) наблюдается максимум величины grad 8р:
§га^ тах = —
2 Г а - ^
ЬIЬ у
+
в+1
Н
а
1 + 2-
Ь у
(22)
Из уравнения (22) следует, что grad 8ртах прямо пропорционален длине трещины а и обратно пропорционален толщине зоны пластической деформации Н. Зависимости grad 8ртах от Н для трещины разной длины представлены на рис. 22. Видно, что градиент перед трещиной быстро уменьшается при увеличении толщины зоны пластической деформации. Увеличение длины трещины сопро-
вождается линейным ростом градиента пластической деформации перед трещиной. Это хорошо заметно на изображении поверхности функции grad 8ртах(Н, а), представленной на рис. 23.
Градиент пластической деформации перед трещиной является важной характеристикой механического состояния в моделях разрушения твердого тела [43].
5.3. Распределение напряжений перед вершиной трещины
Поскольку между напряжением релаксации и полем напряжений каждого элемента существует аналитическая связь, то методом суперпозиции автоматически определяется и результирующее неоднородное поле напряжений во всей плоскости, в том числе и в самом слое. Для компоненты dоy поля напряжений произвольного элемента, согласно уравнениям (6), в общем случае получим следующее выражение:
dа1
а
р +1
а - Ь
[Ь + Н(1 -1 )]2 (х + а)[а + Н(1 -1)]
а - Ь
Г1 - Ь + Н(1 -1) + [ъ+НО-О]2^
t
Рис. 23. Поверхность функции grаd 8ртах(Н, а) (цветной в онлайн-версии)
С
Рис. 24. Распределение ау/а вдоль оси х, Ь = 0 (а) и 20 мкм (б), И = 0 (1), 0.3 (2), 0.6 (3), 0.9 (4), 1.5 (5), 3 (6), 6 мкм (7) (цветной в онлайн-версии)
где с = Ь = 0
х
а2 + Ь2
2И(1 -1)(а - Ь). При в = 1 и
^ у = 2
а
И2(1 -1 )2
х + а
-у/х^т^ха+й!—о]
1
И(1 -1)
+ ■
И 2(1 -1 )2
х2 + 2 х[а + И(1 -1)]
tdt. (23)
Для элементов в зоне пластической деформации справедлив принцип суперпозиции, т.к. суммируются элементарные поля (решения) в приближении линейной теории упругости.
Результирующее значение напряжения ау в произвольной точке на оси х получим интегрированием приведенных выражений по переменной t. При этом необходимо учесть, что вне зоны пластической деформации пределы интегрирования берутся от 0 до 1, а в точках, попадающих в зоне пластической деформации, от 1- х/И до 1. Зависимость распределения напряжений вдоль оси х от параметров модели удобно представлять в относительных единицах ау/а.
На рис. 24 представлены результаты расчета распределений напряжений перед вершиной трещины при разных значениях толщины зоны пластической деформации И. В общем случае в зоне пластической деформации напряжение сначала растет от нуля в устье трещины, проходит через максимум, затем снижается. Пик напряжения всегда расположен в зоне пластической деформации (при в > 1). За пределами зоны пластической деформации напряжение асимптотически стремится к уровню внешнего приложенного напряжения. Уменьшение толщины зоны пластической деформации приводит к стремительному росту атах. По мере уменьшения И максимум все ближе смещается к вершине трещины. Рисунок 24, а относится
к трещине Гриффитса с зоной пластической деформации, когда малая полуось трещины Ь = 0. Присутствие зоны пластической деформации исключает сингулярность в устье трещины. В пределе, когда И ^ 0, получается классическая трещина Гриффитса без зоны пластической деформации. Распределение для этого случая представлено кривой 1, рассчитанной по уравнению (12). Приближение к вершине трещины сопровождается неограниченным ростом напряжения. Другими словами, в вершине трещины наблюдается сингулярность.
Эффект сингулярности исключается при любом заданном значении малой полуоси трещины Ь. На рис. 24, б представлены распределения ау/а, рассчитанные при прежних условиях, за исключением того, что полуось Ь = 20 мкм. Здесь кривая 1 рассчитана по уравнению (6) для случая трещины без зоны пластической деформации, когда И = 0. На кривой 1 нет сингулярности. Концентрация напряжений к = атах/а всегда достигает определенного предела, соответствующего концентрации напряжений в плоскости с эллиптическим вырезом без зоны пластической деформации. В данном случае, когда Ь = 20 мкм, к=2а/Ь = 100. Сравнение с кривыми на рис. 23, а показывает, что параметр Ь уменьшает концентрацию напряжений перед вершиной трещины.
На рис. 25 распределение напряжений а перед вершиной трещины представлено в виде поверхности функции, зависящей от координаты х и толщины зоны пластической деформации И: а = /(х, И). Видно, что происходит стремительное увеличение напряжения при уменьшении как расстояния до вершины трещины, так и толщины зоны пластической деформации. При И = 0 и х = 0 напряжение соответствует максимальной концентрации на конце эллиптического выреза к=2а/Ь = 100. По мере удаления от вершины трещины про-
Рис. 25. Поверхность функции о = / (х, Н) (цветной в онлайн-версии)
исходит уменьшение напряжения оу, согласно уравнению (6). Это хорошо заметно на рис. 26, где приведены зависимости напряжения от толщины зоны пластической деформации для разных значений х. При Н Ф 0 на определенном расстоянии от вершины трещины наблюдается максимум напряжения.
В уравнении (23) существуют три параметра, от которых зависит распределение напряжения оу вдоль оси х: ширина Н зоны пластической деформации, полудлина а и кривизна п трещины. Кривизна эллиптического выреза в плоскости равна П = а/Ь2. При Ь ^ 0 п ^ В таком случае представляет интерес анализ влияния кривизны зоны пластической деформации п = (а + Н)/Н2 на распределение и концентрацию напряжений у вершины трещины.
Влияние зоны пластической деформации на распределение напряжений у вершины трещины иллюстрирует рис. 27. На рис. 27, а, для сравнения, представлен общий вид распределения функ-
Рис. 26. Распределение оу, х = 5 (1), 10 (2), 25 (3), 50 (4), 100 (5), 250 мкм (6) (цветной в онлайн-версии)
ции напряжения о =/(х, п) для трещины без зоны пластической деформации с полудлиной а =1 мм. Здесь символом п обозначена кривизна трещины. Кривизну трещины задавали в пределах п = 2.5250 мкм-1. Это соответствует изменению малой полуоси трещины, согласно формуле Ь = (а/п)1/2, в пределах Ь = 200-20 мкм. При Ь = 20 мкм (п = 250 мкм-1) на конце трещины напряжение в 100 раз превышает внешнее приложенное напряжение (рис. 27, а).
На рис. 27, б представлено распределение функции о = /(х, пр) для трещины с зоной пластической деформации толщиной Н = 20 мкм. Здесь символом пр обозначена кривизна зоны пластической деформации. Изменение малой полуоси происходит в тех же пределах (Ь = 200-20 мкм) и соответствует изменению кривизны зоны пластической деформации, согласно формуле пр = (а + Н)/(Ь + Н)2 в пределах пр = 0.6-60 мкм-1. В данном случае при Ь = 20 мкм (п = 60 мкм-1) максимум напряжения только в 9 раз превышает внешнее приложенное напряжение (рис. 27, б). Кроме того, при конкретном значении кривизны максимум напряжения наблюдается не на конце трещины,
Рис. 27. Поверхности функции о =/(х, п) для трещины без зоны пластической деформации (а) и в окружении зоны пластической деформации шириной Н = 20 мкм (б) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 28. Распределение о^/о вдоль оси х для разных значений кривизны трещины п = 25 (1), 100 (2), 250 (3), 500 (4), 125 (5), 250 мм-1 (6) (a) и кривизны зоны пластической деформации пР = 6 (1), 12 (2), 26 (3), 64 (4), 378 мм-1 (5) (б) (цветной в онлайн-версии)
а в зоне пластической деформации. Качественные и количественные отличия распределений напряжений вдоль оси х для трещин без и с зоной пластической деформации демонстрируют соответственно рис. 27, а и б.
На рис. 28 приведены распределения напряжений перед вершиной трещины для разных значений кривизны трещины. В случае трещины без зоны пластической деформации (рис. 28, а) максимальная концентрация напряжений наблюдается на конце трещины. Удаление от вершины трещины сопровождается быстрым уменьшением напряжения.
В случае трещины с зоной пластической деформации (рис. 28, б), наоборот, напряжение на конце трещины равно нулю. По мере удаления от вершины трещины напряжение растет, достигает максимума и далее уменьшается, асимптотически приближаясь к внешнему приложенному напряжению. Максимум напряжения, как правило, находится в пределах зоны пластической деформации и смещается все ближе к вершине с увеличением кривизны трещины. Напряжение, как и в
предыдущем случае, растет вместе с ростом кривизны трещины.
Согласно определению, кривизна трещины Гриффитса п = 1/г = да. Поэтому в случае г=0 использовать параметр кривизны трещины нельзя. Однако можно использовать кривизну зоны пластической деформации, которая конечна и равна Пр = (а + И)/И2. Связь между шириной И и кривизной пр зоны пластической деформации однозначна и равна И = 0.5[1 + (1 + 4апр)05]/пр.
Поверхность напряжения как функции а = /(х, пр) изображена на рис. 29. Видно, что с увеличением кривизны зоны пластической деформации максимум напряжения увеличивается. Сравнение с рис. 27, б показывает, что качественный характер распределения одинаков. Вид кривых распределения напряжений вдоль оси х (рис. 30) подобен распределениям на рис. 28, б.
Расчеты показали, что качественная картина распределения напряжений для трещины с зоной пластической деформации не меняется с изменением малой полуоси трещины вплоть до нуля. Однако выражения для напряжений упрощаются
Рис. 29. Поверхность функции о = f (х, п) (цветной в онлайн-версии)
оу/о 10-
а= 10 мм
/ Ь = 0
р=1
// /
I//
«/ / V/ S .—" 2 ._
--7
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Рис. 30. Распределение о^/о вдоль оси х, п = 5 (1), 10 (2), 20 (3), 40 (4), 80 (5), 250 мм-1 (6) (цветной в он-лайн-версии)
Рис. 31. Поверхность функции а =/(х, И) (а) и распределение ау/а для разных значений полудлины трещины а = 5 (1), 20 (2), 50 (3), 100 (4), 150 (5), 200 (6), 250 мкм (б) (цветной в онлайн-версии)
при Ь = 0 и учете кривизны зоны пластической деформации. Поэтому далее символ п будет обозначать кривизну зоны пластической деформации и основные закономерности распределений напряжений будут относиться к случаю трещины Гриффитса с зоной пластической деформации, для которой Ь = 0.
На рис. 31, а приведена поверхность напряжения в виде функции а = /(х, а) при неизменной величине толщины зоны пластической деформации И = 5 мкм. Увеличение а от 0.1 до 10 мкм приводит к увеличению коэффициента концентрации напряжений к = аутах/а от 6 до 42 (рис. 31, б). Таким образом, модель предсказывает спонтанное распространение трещины, если концентрация напряжений перед вершиной трещины достигает критического значения.
Изменение а не влияет на относительное расположение пика напряжения в промежутке х от 0 до И. При в = 1 этот пик расположен на расстоянии И/2 от вершины трещины (рис. 30, б). Это свойство позволяет рассчитывать коэффициент концентрации напряжений аналитически как функцию от длины трещины а. Интегрируя уравнение (23), при х = И/2 получим выражение для
расчета коэффициента концентрации напряжений:
к —I
2 1 И 2(1 -1 )2 (И + 2а)[а + И(1 -1)]
0.5
1 - 4 И 2(1 - о2
^И[И - 4а(1 - 2г)]
Ш. (24)
И[И - 4а(1 - 21)]
Функция к(а, И) в виде поверхности представлена на рис. 32, а для трещины Гриффитса с зоной пластической деформации. Видно, что концентрация напряжений растет при увеличении длины трещины и уменьшается при увеличении ширины зоны пластической деформации. Зависимость между длиной трещины и коэффициентом концентрации подчиняется закону параболы: а ~ к2 (рис. 31, б).
Уменьшение концентрации напряжений с увеличением И представлено на рис. 33. Наблюдается быстрое уменьшение концентрации напряжений. При И ^ 0, очевидно, напряжение неограниченно увеличивается. Зависимости концентрации напряжений к от кривизны зоны пластической деформации для разных значений толщины И приведены на рис. 34. Видно, что зависимость кривизны
Рис. 32. Поверхность функции к(а, И) (а) и зависимость концентрации напряжений к от полудлины трещины, И = 10 (1), 20 (2), 40 (3), 100 (4), 400 мкм (5) (б) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 33. Зависимость к от И, а = 0.02 (1),0.06 (2), 0.16 (3), 0.32 (4), 0.6 (5), 1 мм (6) (цветной в онлайн-вер-сии)
зоны пластической деформации от концентрации напряжений практически подчиняется параболическому закону: пр ~ к2.
Вид функции концентрации напряжений к = /(а, п) для трещины Гриффитса с зоной пластической деформации иллюстрирует рис. 35. Из рис. 36 видно, что качественный ход зависимостей к от а и п абсолютно идентичен.
6. Энергетический анализ разрушения пластичных тел с трещинами
6.1. Влияние параметров модели на потенциальную энергию тела с трещиной
Уменьшение потенциальной энергии твердого тела за счет пластической деформации произвольного элемента в семействе эллипсов можно записать в виде уравнения
dU = 0.55 ^ р + dsp ^а
= па2(в+1)[а + И(1 -1 )]21в dt|E, (25)
где = п [а + И(1 - t)][Ь + И(1 - t)] — площадь эллипса.
Видно, что изменение энергии не зависит от величины малой полуоси эллипсов Ь, следова-
Рис. 34. Зависимость концентрации к от кривизны зоны пластической деформации, И = 10 (1), 20 (2), 30 (3), 40 (4), 50 мкм (5) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 35. Распределение функции напряжения для трещины Гриффитса в окружении зоны пластической деформации (цветной в онлайн-версии)
тельно, и от кривизны трещины на конце большой полуоси.
Полная энергия на образование зоны пластической деформации получится в результате интегрирования по t выражения (25) от 0 до 1:
и =
па
Е
а2 +■
2И
в + 2
а + ■
И
в + 3
(26)
Уравнение (26) состоит из двух частей. Первая часть Аи1 = па2а2/Е связана с образованием трещины в твердом теле без зоны пластической деформации. Вторая часть определяет потенциальную энергию за счет пластической деформации:
г 1 \
Ди2 =
2па2И
а + •
И
в + 3
(27)
Е (в + 2)
В уравнении (27) содержится член, связанный с зоной пластической деформации, когда а = 0:
ди2 =
2па2 И2
Е (в + 2)(в + 3)
(28)
Рис. 36. Зависимость к от п, а = 0.01 (1), 0.04 (2), 0.1 (3), 0.2 (4), 0.5 (5) 1 мкм (6); зависимость к от а, п = 0.1 (1), 0.4 (2), 1 (3), 2 (4), 5 (5) 10 мкм-1 (6)
Рис. 37. Зависимость Ди = и - Ди2 от длины трещины, И = 0 (1), 1 (2), 2 (3), 3 (4), 4 мм (5) (цветной в он-лайн-версии)
Данный член появляется согласно принципу построения модели: перед зарождением трещины в точке зарождения трещины (при а = Ь = 0) сначала требуется задать очаг пластической деформации радиусом г = И, который связан с определенной энергией (28). Например, очаг пластической деформации при И = 4 мм, в = 1 согласно (28) требует энергии и = 1.759 Дж. Величина Ли2 не влияет на баланс энергии в процессе распространения трещины, поскольку не зависит от длины трещины.
Остальная энергия тратится на образование зоны пластической деформации вокруг трещины:
ЛЩ* =
2па2Иа
** Е (в + 2)
Видно, что Ди2 растет линейно с увеличением длины трещины.
Рисунок 37 иллюстрирует влияние толщины зоны пластической деформации на энергию формирования зоны пластической деформации за вычетом энергии Ли2. Видно, что формирование зоны пластической деформации требует увеличения потенциальной энергии. На формирование зоны пластической деформации вокруг трещины длиной а = 5 мм требуется энергия и = 25.29 Дж. Нижняя кривая на рис. 37 черного цвета относится к трещине без зоны пластической деформации. На формирование трещины без зоны пластической деформации до длины а = 5 мм требуется энергия Ди1 = 16.49 Дж.
При распространении трещины происходит дополнительный расход потенциальной энергии, связанный с образованием новой поверхности трещины: Лие = 4ау8, где у8 — удельная энергия свободной поверхности трещины [41]. Часть, связанная с образованием трещины без зоны пласти-
ческой деформации, при распространении трещины увеличивается по квадратичному закону (по закону параболы). Остальная часть Ли2 + Лие при этом увеличивается линейно. Очевидно, что в определенный момент энергия на образование трещины будет превосходить затраты на зону пластической деформации и у8. Потенциальная энергия образования трещины в твердом теле Ли1 накапливается в виде обратимой упругой деформации. Это означает, что дальнейшее распространение трещины будет возможным без дополнительной работы внешней приложенной силы за счет накопленной упругой деформации.
Условие равновесия определится путем дифференцирования разности энергий Ли = Ли2 + Лие - Лих по длине трещины. Приравняв полученное выражение нулю, найдем критическое напряжение спонтанного разрушения материала:
а = (_2ЬЕ__(29)
сг \к[а - И/(в + 2)]'
Согласно уравнению (29), как и следовало ожидать, критическое напряжение разрушения увеличивается с увеличением размера зоны пластической деформации.
При отсутствии пластической деформации (И = 0) получается известное условие начала распространения трещины Гриффитса [16, 30, 43]: асг = у/2 Еу8/ па. Уравнение (26) в таком случае определяет затрату энергии на образование трещины Гриффитса на единицу толщины пластины:
ии=о = па 2 а VЕ.
На рис. 38 кривая 1 представляет энергию поля упругой деформации тела с трещиной без зоны пластической деформации в зависимости от длины трещины согласно уравнению. Кривая 2 определяет потерю энергии на создание новой поверхности трещины Лие = 4ау8. Кривая 2* определяет разность Ли1 - Лие. Максимум на этой кривой (отмечен стрелкой) определяет критическую длину трещины без зоны пластической деформации:
2у8 Е
И=0
па
При напряжении а = 210 МПа и у8 = 1.2 Дж/м2 (железо [44]) неустойчивость в стали (Е=210 ГПа) без учета зоны пластической деформации наступит, когда длина трещины достигнет асг = 0.401 мм.
Необратимые затраты потенциальной энергии на пластическую деформацию и поверхность тре-
Рис. 38. Зависимость от длины трещины потерь потенциальной энергии (цветной в онлайн-версии)
щины в зависимости от длины трещины определяет кривая 3. Кривая 3 определяет разность Ди2** + Дие - Ди1. В данном случае критическая длина трещины с зоной пластической деформации, согласно уравнению (31), равна
И
= 2у8 Е И
= ^Л?" + в+2
аСТ0 +■
в+2
Подставив значение И = 0.8 мм, получим асг = 0.401 + 0.267 = 0.678 мм. На кривой 3* соответствующее значение асг отмечено стрелкой.
Проведенные расчеты свидетельствуют о том, что пластическая деформация существенно увеличивает затраты энергии при распространении трещины. При этом критическая длина трещины увеличивается.
6.2. Критерии разрушения пластичных тел с трещинами
Изменение длины трещины на да требует затрат энергии
ди =
ди 2па2
а + ■
И
в+2
да Е
При этом формируются две новые поверхности трещины шириной да. Таким образом, на формирование новой поверхности длиной да в пластине единичной толщины требуется в 2 раза меньше энергии, а именно:
О =
па
Е
а + •
И
в+2
(30)
В механике разрушения эту величину называют «скоростью высвобождения упругой энергии» [15] и обозначают символом О. Величину О называют также трещинодвижущей силой. Ее размерность — энергия, отнесенная к площади новой поверхности, которая возникает при распро-
странении трещины в пластине единичной толщины. Величина О является энергетической характеристикой трещиностойкости (вязкости разрушения) материала. Далее, для определенности, величину О будем называть удельной энергией разрушения. Видно, что вязкость разрушения для пластичных материалов тем выше, чем больше толщина зоны пластической деформации. Из (30) следует, что О не зависит от кривизны трещины.
Из общего уравнения (30) следует, что пластическая деформация увеличивает трещиностой-кость материала: чем больше зона пластической деформации И, тем выше значение О. Можно сформулировать более общий вывод: чем меньше градиент пластической деформации перед вершиной трещины, тем выше трещиностойкость материала.
При отсутствии пластической деформации (И = 0) получим следующее выражение для удельной энергиии разрушения: ОИ=0 = па2 а/Е. Из него следует, что О не зависит от кривизны трещины, в том числе и для трещины Гриффитса, когда п=да (Ь=0).
Основной характеристикой трещиностойкости хрупких материалов с трещиной отрыва является функция (5), которая в механике разрушения носит название коэффициента интенсивности напряжений [30-32]. Подобный коэффициент можно определить и для пластичных материалов, представив под корнем выражение (30) для О:
К! = а
а + ■
И
в+2
(33)
Коэффициент К является более универсальным по сравнению с О, поскольку не зависит от модуля Юнга материала. По определению, К является силовой характеристикой разрушения твердого тела [32, 33, 34].
В случае отсутствия зоны пластической деформации получится выражение (5). Таким образом, уравнение (33) справедливо для трещины с любой кривизной у вершины.
Проведенный энергетический анализ модели трещины с зоной пластической деформации позволил получить в аналитическом виде характеристики разрушения для пластичных тел с трещинами: удельную энергию разрушения и коэффициент интенсивности напряжений. Выводы модели относятся к трещинам, для которых известен радиус кривизны на конце большой полуоси, перпендикулярной к оси растяжения.
7. Заключение
В работе дан краткий обзор состояния проблемы, связанной с сингулярностью поля напряжений в твердом теле с трещиной Гриффитса. К настоящему времени предложен ряд моделей, которые в принципе устраняют проблему сингулярности в вершине трещины. Как правило, при этом рассматривается задача о наличии зоны пластической деформации перед вершиной трещины. В общем случае в механике деформации и разрушения встречаются большие математические и вычислительные трудности, связанные с учетом влияния пластической деформации на поле напряжений вокруг трещины.
Предложена новая модель трещины, учитывающая влияние градиентов пластической деформации у свободной поверхности трещины на поле напряжений в твердом теле. Сингулярная особенность поля напряжений возникает как частный случай, когда зона пластической деформации вокруг трещины отсутствует и радиус кривизны на большой полуоси трещины уменьшается до нуля.
Подробно описан метод построения распределения пластической деформации вокруг трещины с использованием свойства эллиптического выреза в плоскости при растяжении и метода суперпозиции полей напряжений и деформации от отдельных элементов релаксации. Рассмотрен пример трещины с зоной пластической деформации, характеризующейся непрерывным уменьшением степени пластической деформации от максимального значения у свободной поверхности трещины до нуля на границе зоны пластической деформации. Уменьшение ширины зоны пластической деформации сопровождается увеличением степени и градиента пластической деформации у свободной поверхности трещины и ростом концентрации напряжений перед вершиной трещины.
Предложенная модель позволяет анализировать влияние величины и градиентов пластической деформации на концентрацию и распределение напряжений у вершины трещины. Показано, что градиент пластической деформации у свободной поверхности трещины играет принципиальную роль в расчетах напряжено-деформированного состояния твердого тела с трещиной.
Анализ поля напряжений в плоскости с трещиной выявил следующие закономерности.
У вершины трещины Гриффитса без зоны пластической деформации нет сингулярности. Под
действием внешнего напряжения там наблюдается концентрация напряжений k=E/o.
Наличие зоны пластической деформации устраняет сингулярность напряжения в вершине трещины.
Максимальное напряжение всегда сосредоточено не за пределами, а в зоне пластической деформации.
Принципиальную роль в напряженно-деформированном состоянии играют три характеристики трещины с зоной пластической деформации: кривизна п, толщина h зоны и полудлина трещины a.
Увеличение п, уменьшение h или увеличение полудлины трещины a приводят к увеличению концентрации напряжений перед вершиной трещины.
Концентрация напряжений в зоне пластической деформации может на порядки превышать внешнее приложенное напряжение.
Предложенная модель позволяет рассчитывать удельную энергию разрушения G для пластичных материалов. Более универсальной характеристикой трещиностойкости пластичных материалов, по сравнению с G, является коэффициент интенсивности напряжений K¡, не зависящий от модуля Юнга материала.
Получена также формула для критического напряжения, при котором начинается спонтанное разрушение пластичного материала.
Предел применимости предложенной модели ограничен условием, что толщина зоны пластической деформации не увеличивается в процессе распространения трещины. В противном случае распространение трещины либо исключено, либо возможно только при увеличении внешнего приложенного напряжения.
Следует отметить, что размер зоны пластической деформации зависит от многих параметров: внешнего напряжения, размера трещины и упру-гопластических свойств материала. В связи с этим возникает проблема экспериментального определения градиентов пластической деформации перед вершиной трещины. Чрезвычайно важен также анализ процесса развития пластической деформации при распространении трещины с использованием численного моделирования методами конечных элементов и сопоставления с экспериментальными данными.
Преимущества предложенного описания напряженно-деформированного состояния твердого тела с трещиной очевидны, поскольку сингуляр-
ное решение из него вытекает как частный случай, когда толщина слоя пластически деформированного материала и радиус кривизны трещины стремятся к нулю. Предложенная модель позволяет анализировать влияние величины и градиентов пластической деформации на концентрацию и распределение напряжений у вершины трещины. Полученные уравнения можно использовать при расчетах характеристик трещиностойкости пластичных материалов.
Проведенные исследования показали, что в сплошной среде возможно построение и исследование очагов с непрерывными градиентами пластической деформации и оценка связанных с ними неоднородных полей напряжений.
Относительно физики явления необходимо отметить следующее. Формализм упругой деформации кристаллической решетки как сплошной среды допускает корректные решения задач механики деформируемого твердого тела в пределах масштаба, который не может быть меньше, чем несколько межатомных расстояний. Линейная теория упругости не может описывать, например, сильные искажения решетки в области ядра дислокации [45].
В реальности перед вершиной трещины всегда существует зона, где есть возможность для релаксации высоких напряжений. В данной статье эта зона обозначена как зона пластической деформации. Релаксация напряжений в общем случае определяется не только дислокационными механизмами деформации. Она может осуществляться, например, механизмом фазовой трансформации, индуцированной напряжениями. Подобный механизм определяет неупругую стадию деформации в керамике при расклинивании двухконсольных образцов с шевронным надрезом [4б].
Работа выполнена в рамках государственного задания ИФПМ СО РАН, проект FWRW-2021-0009.
Литература
1. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A. - 1920. -V. 221. - P. 1б3-98.
2. Griffith A.A. The theory of rupture // Proc. I Int. Congr. Appl. Mech. / Ed. by C.B. Biezeno, J.M. Burgers. - Delft: Technische Boekhandel en Drukkerij, 1924. - P. 55-б3.
3. Inglis C.E. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners // Trans. Inst. Naval Arch. Lond. - 1913. - V. LV. - P. 219-230.
4. Orowan E. Fracture and strength of solids // Rep. Progr. Phys. - 1948. - V. XII. - P. 185-232.
5. Irwin G.R. Fracture Dynamics, in Fracturing of Metals. - Cleveland, USA: American Society for Metals, 1948. - P. 147-166.
6. Zhu X-K., Joyce J.A. Review of fracture toughness (G, K, J, CTOD, CTOA) testing and standardization // Eng. Fract. Mech. - 2012. - V. 85. - P. 1-46. -https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2012.02.001
7. Irwin G.R. Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminium alloys // Proc. II Sagamore Ordnance Mater. Research Conf. - 1956. -No. 2. - P. 289-305.
8. Irwin G.R. Handbuch der Physik. V. VI. - Berlin: Springer, 1958. - P. 551.
9. Irwin G.R. Plastic Zone near a Crack and Fracture Toughness // 7th Sagamore Ordnance Materials Research Conf. - Syracuse: Syracuse Univ. Press, 1960.
10. Barenblatt G.I. About equilibrium cracks formed during brittle fracture. Rectilinear cracks in flat plates // Appl. Math. Mech. - 1959. - V. 23. - No. 4. - P. 706721.
11. Barenblatt G.I. Mathematical theory of equilibrium cracks formed during brittle fracture // PMTF. -1961. - No. 4. - P. 3-53.
12. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. - V. 8. - No. 2. -P. 100-104.
13. Leonov M.Ya., Panasyuk V.V. Development of the smallest cracks in a solid // Appl. Math. Mech. -1959. - V. 5. - No. 4. - P. 391-401.
14. Panasyuk V.V. Limit Equilibrium of Brittle Bodies with Cracks. - Kiev: Naukova Dumka, 1968.
15. Brocks W. Plasticity and Fracture. Solid Mechanics and Its Applications. V. 244. - Geesthacht, Germany: Springer Int. Publishing AG, 2018.
16. Broek D. Elementary Engineering Fracture Mechanics. - Leiden, 1974.
17. Harper P.W., Hallett S.R. Cohesive zone length in numerical simulations of composite delamination // Eng. Fract. Mech. - 2008. - V. 75. - P. 4774-4792. -https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2008.06.004
18. Rezaei S., Wulfinghoff S., Reese S. Prediction of fracture and damage in micro/nano coating systems using cohesive zone elements // Int. J. Solids Struct. -2017. - V. 121. - P. 62-74. - https://doi.org/10. 1016/j.ijsolstr.2017.05.016
19. Sreeramulua K., Sharmaa P., Narasimhana R., Raja Mishra K. Numerical simulations of crack tip fields in polycrystalline plastic solids // Eng. Fract. Mech. -2010. - V. 77. - P. 1253-1274. - https://doi.org/10. 1016/j.engfracmech.2010.02.016
20. Elices M., Guinea G.V., Gomez J., Planas J. The cohesive zone model: Advantages, limitations and challenges // Eng. Fract. Mech. - 2002. - V. 69. - P. 137163.
21. De Xie, Waas A.M. Discrete cohesive zone model for mixed-mode fracture using finite element analysis // Eng. Fract. Mech. - 2006. - V. 73. - P. 1783-1796.
22. Lee M.J., Cho T.M., Kim W.S., Lee B.C. Determination of cohesive parameters for simulating mixed-mode cohesive zone model // Int. J. Adhes. Adhe-sives. - 2010. - V. 30. - P. 322-328. - https://doi.org/ 10.1016/j.ijadhadh.2009.10.005
23. Yuan H., Li X. Effect of the cohesive law on ductile crack propagation simulation by using cohesive zone models // Eng. Fract. Mech. - 2014. - V. 126. - P. 111. - https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2014.04. 019
24. Gowrishankar S., Mei H., Liechti K.M., Huang R. A comparison of direct and iterative methods for determining traction-separation relations // Int. J. Fracture. - 2012. - V. 177. - P. 109-128. - https:// doi.org/10.1007/s10704-012-9758-3
25. Cornec A., Scheider I., Schwable R-H. On the practical application of the cohesive model // Eng. Fract. Mech. - 2003. - V. 70. - P. 1963-1987. - https://doi. org/10.1016/S0013-7944(03)00134-6
26. Caputo F., Lamanna G., Soprano A. On the evaluation of the plastic zone size at the crack tip // Eng. Fract. Mech. - 2013. - V. 103. - P. 162-173. - https://doi. org/10.1016/j.engfracmech.2012.09.030
27. Kirsch E.G. Die Theorie der elastizität und die bedürfnisse der festigkeitslehre // Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure. - 1898. - V. 42. - P. 797807.
28. Mushelisvili N.I. Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity. - Groningen-Holland: Noord Hoff Ltd., 1953.
29. Kelly A. Strong Solids. - Oxford: Clarendon Press, 1973.
30. Peterson R. Stress Concentration Factors: Graphs and Formulas for Calculating Structural Elements for Strength. - M.: Mir, 1977.
31. Anderson T.L. Fracture Mechanics. Fundamentals and Applications. - Broken Sound Parkway, NW: Taylor & Francis Group, 2005. - http://www.taylorand francis.com
32. Perez N. Fracture Mechanics. - Puerto Rico: Springer, 2004. - https://doi.org/10.1007/978-3-319-24999-5
33. Hertzberg R.W. Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. - New York: John Wiley & Sons, 1976.
34. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1957. - V. 241. - P. 376-396.
35. Лихачев В.А., Волков А.Е., Шудегов В.Е. Континуальная теория дефектов. - Л.: Из-во Ленинград. ун-та, 1986.
36. Мига Т. Micromechanics of Defects in Solids. -Dordrecht: Martinus Nijhoff Publishers, 1986.
37. Markenscoff X. Cracks as limits of Eshelby inclusions // Phys. Mesomech. - 2019. - V. 22. - No. 1. - P. 4245. - https://doi.org/10.1134/S1029959919010077
38. Deryugin Ye.Ye., Lasko G.V., Schmauder S. Relaxation element method // Comput. Mater. Sci. - 1998. -V. 11. - P. 189-203.
39. Deryugin Ye.Ye., Lasko G., Schmauder S. Relaxation Element Method in Mechanics of Deformed Solid // Oster Computational Materials / Ed. by U. Wilhelm. -Hauppauge NY: Nova Science Publishers, 2009. -P. 479-545.
40. Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of Elasticity. -New York: McGraw Hill, 1970.
41. Hahn H.G. Elastizitatstheorie: Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme. - Stuttgart: B.G. Teubner, 1985.
42. Chen Z., Gandhi U., Lee J., Wagoner R.H. Variation and consistency of Young's modulus in steel // J. Mater. Proc. Tech. --2016. - V. 227. - P. 227-243. -https://doi.org/researchgate.net/publication/281595326
43. Thompson A. Substructure strengthening mechanisms // Met. Trans. - 1977. - V. 6. - P. 833-842.
44. Troyansky E.A., Cholovsky V.N. Increasing the Durability of Elements of Boiler Equipment. - M.: Ener-goatomizdat, 1986.
45. Hirth J.P., Lothe J. Theory of Dislocations. - New York: Wiley, 1982.
46. Deryugin E.E., Schmauder S., Panin V.E., Ere-minM.O., Vlasov I.V., Narkevich N.A., Lasko G.V., Danilenko I., Kvashnina O.S. Study of deformation and fracture of ZrO2 + 3% Y2O3 ceramics by wedge splitting of a chevron-notched specimen // Eng. Fract. Mech. - 2019. - V. 218. - P. 106573. - https://doi. org/10.1016/j.engfracmech.2019.106573
Поступила в редакцию 03.08.2021 г., после доработки 10.11.2021 г., принята к публикации 25.11.2021 г.
Сведения об авторе
Дерюгин Евгений Евгеньевич, д.ф.-м.н., проф., внс ИФПМ СО РАН, dee@i8pm8.ru
