CC BY
21
УДК 539.4
Эффекты градиентной пластичности в вершине трещины при плоском напряженном состоянии и плоской деформации
В.Н. Шлянников, А.В. Туманов, Р.М. Хамидуллин
Институт энергетики и перспективных технологий, Федеральный исследовательский центр «Казанский научный центр РАН», Казань, 420111, Россия
На основе конституционных уравнений градиентной пластичности представлен численный анализ совместного влияния пластических свойств материала, вида напряженного состояния и параметра Тейлора структуры материала на поля напряжений и плотностей дислокаций в вершине трещины. Установлено, что учет влияния характерного параметра структуры материала приводит к различным по масштабу эффектам повышения значений напряжений в вершине трещины при плоском напряженном состоянии и плоской деформации по сравнению с решением для классической пластичности. На основе конечно-элементных решений с использованием теории градиентной пластичности найдены поля плотностей дислокаций в функции расстояния до вершины трещины. Координата равенства значений компонент дислокаций соответствует внешней границе области преобладания градиентной пластичности. Получено, что плоское напряженное состояние обуславливает более высокие значения эквивалентных напряжений и плотностей дислокаций по отношению к плоской деформации при одинаковых условиях нагружения. В результате проведенного комплексного параметрического исследования дана оценка совместному влиянию пластических свойств и параметра Тейлора структуры материала для условий градиентной пластичности.
Ключевые слова: градиентная пластичность, плотность дислокаций, вершина трещины, плоское напряженное состояние, плоская деформация
DOI 10.24412/1683-805X-2021-2-41-55
Strain gradient effects at the crack tip under plane strain and plane stress conditions
V.N. Shlyannikov, A.V. Tumanov, and R.M. Khamidullin
Institute of Power Engineering and Advanced Technologies, Kazan Scientific Center RAS, Kazan, 420111, Russia
The constitutive equations of gradient plasticity were applied to numerically analyze the combined effect of material plastic properties, the type of stresses, and the Taylor parameter of the material structure on the stress fields and dislocation densities at the crack tip. It was found that taking into account the influence of the characteristic structural parameter leads to different levels of increase in stresses at the crack tip under plane stress and plane strain in comparison with the solution for classical plasticity. Based on the finite-element solutions of gradient plasticity theory, the dislocation density fields were found as a function of the distance to the crack tip. The coordinate of the equilibrium dislocation density components is assigned to the outer boundary of the dominance region of gradient plasticity. The plane stress conditions were shown to cause higher values of equivalent stresses and dislocation densities compared to plane strain under the same loading conditions. As a result of the complex parametric study, the combined effect of plastic properties and the Taylor parameter of material structure was assessed for conditions of gradient plasticity.
Keywords: strain gradient plasticity, dislocation density, crack tip, plane stress, plane strain
© Шлянников В.Н., Туманов А.В., Хамидуллин Р.М., 2021
1. Введение
В последние четверть века возрастающее внимание специалистов к проблемам градиентной пластичности обусловлено установленными эффектами локального резкого повышения напряжений на малых масштабах по отношению к структуре материала. Проблема состояла в том, что эти эффекты микромасштабов не доступны для анализа в рамках традиционных макромас-штабных континуальных моделей механики сплошной среды. Недавние эксперименты показали, что материалы проявляют сильные размерные эффекты, когда характерная шкала длин, связанная с неоднородной пластической деформацией, составляет порядка одного микрометра. При этом градиенты пластической деформации возникают либо из-за способа приложения нагрузки, либо из-за неоднородной деформации материала. Классические теории пластичности не могут предсказать эту размерную зависимость поведения материала в микронном масштабе, поскольку их конституционные модели не имеют внутреннего параметра характерной длины. Такие популярные инструменты численного анализа, как метод конечных элементов и CAD-системы автоматизированного проектирования, основаны на классических континуальных теориях, которые не подходят для такого малого масштаба длины. Это требовало разработки новой теории с приложениями на микронном уровне для преодоления разрыва между общепринятыми континуальными теориями и атомистическим моделированием. При этом дополнительный стимул в развитии теорий континуума на микронном уровне состоял в том, чтобы связать разрушение на макроуровне с атомистическими процессами разрушения в пластичных материалах.
Эти соображения мотивировали Fleck и Hutchinson [1, 2] и Fleck и др. [3] разработать феноменологическую градиентную теорию пластичности, предназначенную для приложений к материалам, структуры которых контролируют пластическую деформацию, примерно в диапазоне от десятой доли микрометра до десяти микрометров. Эта теория была применена ко многим проблемам, где эффекты градиента деформации, как ожидалось, будут важны, включая анализ полей напряжений в вершине трещины [4-6]. Теория Fleck-Hutchinson соответствует математической структуре континуальных теорий упругости с учетом членов высоких порядков с градиентами деформаций, представленными либо в терминах ротационных градиентов, либо в терминах гради-
ентов кручения и растяжения в более общей теории изотропного упрочнения, основанной на квадратичных инвариантах тензора градиента деформации. Из соображений согласования размерностей был введен параметр характеристической длины l для масштабирования компонент ротационного градиента взаимосвязанных напряжений [1, 3]. Этот масштаб длины рассматривался как внутренний параметр структуры материала, связанный с плотностью дислокаций.
Анализ, проведенный в [7], отчасти прояснил смысл характерного размера материала l [1], а также указал на необходимость доопределения градиентной теории пластичности экспериментальным законом на основе анализа доминирующих механизмов деформирования. Nix и Gao [7] использовали модель Тейлора о взаимосвязи между прочностью на сдвиг и плотностью дислокаций в материале и идентифицировали характерный параметр структуры материала, который был введен в первоначальной формулировке теории градиентной пластичности [1, 2]. В результате Nix и Gao [7] разработали альтернативную формулировку, в которой градиент деформации, полученный из соотношения Тейлора, включен в качестве фундаментального постулата. Позже авторы [8] дополнили формулировку более детальным анализом иерархической структуры деформаций. Эта формулировка получила название теории градиентной пластичности на основе механизма деформирования (mechanism-based theory of strain gradient plasticity (MSG)). В этой теории характерный размер структуры материала соответствует масштабу, на котором эффекты градиентов сопоставимы собственно с величинами деформации. При наличии сильного градиента деформации полная плотность дислокаций считается суммой статистической и геометрической составляющих. Эффекты градиентов деформаций становятся существенными, когда эти плотности имеют один и тот же порядок величины. Теория MSG является попыткой установления взаимосвязи между механикой сплошных сред и материаловедением. Эта взаимосвязь реализуется посредством фундаментальных масштабов длины, которые являются комбинациями констант упругости и пластичности в сочетании с вектором Бюргерса.
В работе [9] представлена упрощенная формулировка градиентной теории пластичности за счет исключения членов высоких порядков, связанных с ротационными составляющими, и эта теория получила название теории градиентной
пластичности на основе традиционного механизма деформирования (conventional mechanism-based strain gradient (CMSG) plasticity theory). Она также основана на дислокационной модели Тейлора и принадлежит к MSG-теории при сохранении структуры классической 12-теории пластичности. Соответственно, градиент пластической деформации появляется только в конституционной модели поведения среды, а уравнения равновесия и граничные условия совпадают с традиционными теориями континуума. Эта схема более низкого порядка реализована Martinez-Paneda и др. [10] для характеристики градиентных эффектов, т.к. она не испытывает проблем сходимости при численном решении сложных задач, таких как деформация вершины трещины при больших деформациях, в отличие от ее аналога более высокого порядка. Shi и др. [11] изучили ту же проблему, используя MSG-теорию пластичности, которая также основана на модели дислокаций Тейлора, но учитывает напряжения более высоких порядков. Для частного случая показателя деформационного упрочнения N = 0.5 и незначительной упругой деформации авторы получили аналитическое выражение в замкнутой форме для распределения деформации. Было показано, что более простая CMSG-теория пластичности хорошо согласуется с подходом MSG с учетом членов высоких порядков.
Считается, что градиентное моделирование разрушения и повреждений представляется обязательным, независимо от размера образца, поскольку пластическая зона, примыкающая к вершине трещины, физически мала и содержит большие пространственные градиенты деформации. Экспериментальное наблюдение разрушения сколом в присутствии значительных пластических деформаций вызвало значительный интерес к роли градиента пластической деформации в разрушении и оценке повреждений. Исследования, проведенные в рамках феноменологических теорий и теорий, основанных на дислокационных механизмах, показали, что деформации вблизи вершины трещины способствуют локальному упрочнению и приводят к гораздо более высоким уровням напряжений по сравнению с прогнозами по классической теории пластичности. В работах [12-14] Martinez-Paneda и др. количественно определили соотношение между параметрами материала и физической длиной, на которой эффекты градиента заметно увеличивают напряжения в вершине трещины.
В последние два десятилетия интенсивно развивались приложения градиентной теории пластичности с учетом механизмов деформирования (СМ80) для решения задач механики разрушения. Анализ методом конечных элементов [15, 16] показал, что уровень напряжений в преобладающей зоне градиентной пластичности в два-три раза выше, чем в классическом поле НШ;сЫп80п-Шсе-Яе8е^геп (НИЯ-поле), а сингулярность напряжений выше чем 1/2, т.е. напряжения являются более сингулярными, чем в НИЯ-решении, а также и в классическом решении с упругими коэффициентами интенсивности напряжений [11]. Было установлено, что выбор определяющих уравнений градиентной теории пластичности приведет к новой структуре полей напряжений и деформаций в вершине трещины и, как следствие, к соответствующей формулировке 1-интегра-ла. В результате численного решения задачи методом конечных элементов [11] получено выражение для 1-интеграла с учетом градиента деформации в вершине трещины. Далее на основе 1-интеграла были найдены амплитудные коэффициенты полей напряжений в вершине трещины. Позже иные выражения для 1-интеграла Райса для материалов с учетом градиентов пластической деформации в вершине трещины были представлены в работах [4, 6, 14]. В литературе известны для некоторых частных случаев соотношения между 1-интегралом и амплитудными коэффициентами для различных формулировок теории градиентной пластичности. Для первой моды разрушения отрывом в [5] показано, что в случае учета ротационных составляющих 1-интеграл расписывается через три амплитудных фактора в отличие от классической упругости и пластичности, когда присутствует только один коэффициент интенсивности напряжений. Установлено, что при смешанных формах I и II деформирования вершины трещины даже для маломасштабной текучести учет градиентов деформаций приводит к 50% повышению напряжения по отношению к результатам, полученным в соответствии с традиционными конституционными уравнениями поведения материалов.
В работах [12, 13] показано, что повышение напряжений в вершине трещины, предсказываемое градиентной теорией пластичности относительно обычной теории пластичности, играет фундаментальную роль в моделировании многочисленных механизмов повреждения. Показано, что поле в вершине трещины для градиентной теории
типа Gudmundson имеет другую природу, поскольку асимптотика трещины включает в себя упругую и пластическую составляющие, и нельзя упрощать решение, пренебрегая упругим вкладом. Как оказалось, пластичность в вершине трещины подавляется, когда характерный тейлоровский параметр структуры материала имеет порядок размера пластической зоны, что определяется упругим коэффициентом интенсивности напряжений. Gao и Huang [17] обратили внимание на роль плотности дислокаций в развитии теории пластичности сплошной среды с учетом характеристического масштаба структуры материала.
Цель формулировок градиентной теории пластичности, основанной на доминирующих механизмах деформирования, состоит в описании и учете в конституционных уравнениях поведения среды взаимосвязанных процессов, происходящих на микро- и мезоуровнях по отношению к параметру структуры материала. В работе [18] предложен градиентный критерий решения уравнения совместности деформаций для классической пластической теории Hutchinson-Rice-Ro-sengren в проблемной области расходящихся решений при плоском напряженном состоянии с учетом характеристического размера структуры материала.
Из представленного анализа следует, что актуальными являются направления исследований, связанные с установлением структуры полей параметров напряженно-деформированного состояния и типа сингулярности в области вершины трещины на дистанции характерного размера микроструктуры материала, установлением области преобладания CMSG теории пластичности, новой формулировкой J-интеграла и амплитудных коэффициентов, разработкой вычислительных комплексов реализации теории градиентной пластичности в приложении к испытательным образцам и реальным элементам конструкций, вероятностно-статистической оценкой склонности к разрушению.
Целью настоящего исследования являлся сравнительный анализ влияния градиентной пластичности на поля напряжений и плотностей дислокаций в вершине трещины для плоского напряженного состояния и плоской деформации. Настоящая работа расширяет область анализа [19] на ситуацию плоского напряженного состояния с акцентом на сравнение с состоянием плоской деформации.
2. Конституционные уравнения теории градиентной пластичности с учетом механизмов деформирования
В настоящей работе использована упрощенная формулировка градиентной теории пластичности на основе механизмов деформирования (CMSG) [9]. Необходимо отметить, что в литературе теории градиентной пластичности разделяют на две группы. Первая группа связана с учетом членов высоких порядков в разложении напряжений и, следовательно, требует дополнительных граничных условий. К этой группе принадлежит теория пластичности, основанная на механизме градиента деформации (MSG) с использованием модели дислокации Тейлора [20]. Ко второй группе относятся теории низшего порядка, такие как упрощенная теория градиентной пластичности на основе механизмов деформации (CMSG), которая не учитывает члены высоких порядков, а эффект градиента деформации реализуется через дополнительный пластический модуль. Эта теория также основана на модели дислокации Тейлора [20], где градиент пластической деформации появляется только в конституционной модели, а уравнения равновесия и граничные условия такие же, как и в традиционных теориях сплошной среды.
В соответствии с CMSG-теорией, соотношение между истинными напряжениями и деформациями при простом одноосном растяжении описывается уравнением
a = Cref f (Sp) = a
f E ^N f
vcy У
y E
\
N
(1)
где аге- является базовым напряжением одноосного растяжения:
а^ = а у( Е/ а у)" (2)
и / трактуется как безразмерная функция пластической деформации, определенная в результате аппроксимации кривой напряжение-деформация, которая для большинства пластичных материалов может быть представлена степенной зависимостью
/(ер) = (ер +а у/Е)м. (3)
В уравнениях (1)-(3) ау — предел текучести материала; N — показатель деформационного упрочнения, который изменяется в пределах 0 < N < 1.
Упрощенная градиентная теория пластичности с учетом механизмов деформирования (CMSG) основана на дислокационной модели Тейлора [20]:
y
х = ацЬ^/р,
(4)
где х — напряжения течения при сдвиге; ц — модуль упругости при сдвиге; b — модуль вектора Бюргерса; а — эмпирический коэффициент, изменяющийся в пределах от 0.3 до 0.5; р — общая плотность дислокаций. Величина р является суммой плотностей статистически обусловленных дислокаций ps (density for statistically stored dislocations (SSD)), которые накапливаются, захватывая друг друга случайным образом, и геометрических необходимых дислокаций pg (density for geometrically necessary dislocations (GND)), которые требуются для обеспечения условий совместности деформируемого материала, т.е.
P = PS +Pg. (5)
Плотность дислокаций SSD связана с напряжением течения и кривой одноосного деформирования материала при одноосном растяжении следующим соотношением:
Ps = Kef f (е p)/-M ацЬ]2. (6)
Плотность дислокаций GND определяется неоднородностью пластических деформаций или градиентом эффективных пластических деформа-
ций f :
Pg = r
~Ь
(7)
где Т — коэффициент Nye, величиной порядка 1.9 для гранецентрированных кубических поликристаллов. Мера градиента эффективных пластических деформаций fp введена Gao и др. [8] в форме трех тензоров квадратичных инвариантов градиентов пластических деформаций, т.е.
i=jfi dt, fip=j 4 ^ fp
(8)
f j =в p
¿ p P
ik, j^bjk ,i bj,k>
где вр — тензор скоростей пластических деформаций.
Напряжение течения при растяжении связано с напряжением течения при сдвиге следующим соотношением:
CTfiow = Мх= Ма^Ь Ps + r .
(9)
Поскольку градиент пластических деформаций исчезает при однородном одноосном растяжении, плотность дислокаций р8 соответственно
описывается уравнением (6) и напряжение течения можно представить как
fw =areW f 2(еР) +V, (10)
где l — характеристический размер структуры материала (intrinsic material length (IML)) в градиентной теории пластичности, который основан на параметрах упругости (модуль сдвига ц), пластичности (базовое напряжение cref) и атомистического расстояния (вектор Бюргерса b):
(11)
l = 18а 2(^cy)2 b.
Для металлических материалов IML-параметр имеет порядок не более десятка микрометров, как это установлено в работе [2]. Необходимо отметить, что предел текучести cy и напряжение течения Cflow являются различными характеристиками материала.
Для того чтобы исключить члены высоких порядков из рассмотрения и тем самым упростить определяющие соотношения, Huang и др. [9] предложили вязкопластичный аналог формулировки теории градиентной пластичности CMSG в форме следующих конституционных уравнений поведения материала:
(
у
V Cflow )
= 8
Jref
Ó j = K8 kk5j
-2ц,
38
8j " 2¡e
flow
(12)
, (13)
где се — эффективные или эквивалентные напряжения; ¿У — девиатор скоростей деформаций; т — экспонента, чувствительная к скорости деформаций. В порядке обоснования предлагаемой теории авторы [9] сопоставили упрощенный вариант СМ80 с развернутой формулировкой градиентной пластичности с учетом членов высоких порядков согласно теории [8], которая также выведена на основе дислокационной модели Тейлора [20]. Было установлено, что распределения напряжений, предсказываемые обеими теориями, отличаются между собой только в очень тонком граничном слое толщиной порядка 10 нм. Упрощенная теория градиентной пластичности на основе механизмов деформирования (СМ80), как и другие теории пластичности сплошной среды, имеет нижний предел и не может быть использована на нанометровом масштабе структуры. Тем не менее теории пластичности сплошной среды представляют коллективное поведение дискретных дислокаций, и, следовательно, эффекты градиента деформации значительны в масштабе, превышаю-
щем среднее расстояние между дислокациями, так что пластичность континуума все еще применима. Этот нижний предел не является фиксированной константой и может варьироваться для разных материалов. Однако имеет место такой нижний предел, ниже которого CMSG и другие теории пластичности сплошной среды не применимы. Верхнего предела для применения CMSG не существует, т.к. вклад градиента деформации Inf становится незначительным, CMSG естественным образом трансформируется в классическую теорию пластичности при увеличении характеристического расстояния l.
3. Объект исследований и условия нагружения в анализе методом конечных элементов
Объектом численных исследований в настоящей работе выступал компактный образец (рис. 1), находящийся в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации. Такая конфигурация испытательного образца является наиболее популярной в экспериментальной механике разрушения.
Приложенная к образцу нагрузка передавалась через шпильки на контактную поверхность крепежных отверстий. Основной особенностью данной работы является оценка взаимосвязанных эффектов свойств материала и градиента пластической деформации. С этой целью в расчетах использовался широкий диапазон показателя деформационного упрочнения N для упругопласти-ческих тел при заданном значении тейлоровского параметра структуры материала l. Предметом анализа также являются различия между двумя клас-
4-
Рис. 1. Компактный образец при внецентренном растяжении
сическими напряженно-деформированными состояниями. В последующих численных результатах сравнительный анализ будет представлен для различных значений нормализованного упругого коэффициента интенсивности напряжений (КИН)
K Су-1/-1/2.
Различные условия нагружения для чистой формы I нормального отрыва получены для рассматриваемой конфигурации образца путем сочетания уровня номинального напряжения и начальной длины трещины. В дальнейшем действующие напряжения су нормируются на предел текучести материала при одноосном растяжении су, а расстояние r до вершины трещины нормируется на характеристический размер структуры /, входящий в конституционные уравнения теории градиентной пластичности CMSG. Следует отметить, что внутренний масштаб структуры материала / был использован для нормализации r и K1, и этот параметр структуры материала входит в определяющее уравнение для согласования размерностей. Значение / может быть получено путем аппроксимации экспериментов в микромасштабе и обычно находится в диапазоне от 1 до 10 мкм. Градиентная теория пластичности по определению совпадает с классической пластичностью при / = 0. В наших расчетах берега трещин для рассматриваемого компактного образца свободны от напряжений. Упругий коэффициент интенсивности напряжений K1 приложен за счет монотонно возрастающей нагрузки. Численные результаты для компактного образца, представленные в настоящем исследовании, относятся к следующим наборам условий нагружения и свойств материала: су/Е = 0.002 (Е—модуль Юнга), показатель деформационного упрочнения N = 0.075, 0.2 и 0.4, параметр структуры материала / = 5 мкм, нормализованный упругий КИН K = Kxj с у V/ = 16.4 и коэффициент Пуассона v = 0.3.
Численные расчеты в рамках настоящего исследования выполнены с привлечением вычислительного комплекса ANSYS [21]. В частности, были реализованы определяющие соотношения (1), (12), (13) градиентной теории пластичности CMSG в программе конечных элементов ANSYS через пользовательскую подпрограмму USERMATERIAL UMAT.
Модули Fortran использованы для вычисления компонент пластической деформации в точках интегрирования по Гауссу, а градиент пластической деформации вычислялся путем численного дифференцирования внутри элемента. Это дости-
Рис. 2. Сетка конечных элементов в вершине трещины с конечным радиусом кривизны
гается путем интерполяции приращения пластической деформации 8Р внутри каждого элемента с помощью значений в точках интегрирования Гаусса в изопараметрическом пространстве и последующим определением градиента приращения пластической деформации посредством дифференцирования функции формы конечного элемента.
Рассматриваемый компактный образец (рис. 1) имеет ширину Ж = 50 мм и начальную длину трещины a0 = 23.65 мм. В расчетной схеме конечных элементов вершина трещины моделировалась надрезом с конечным радиусом кривизны р = 0.06 мкм (рис. 2). Для воспроизведения влияния градиента деформации вблизи вершины трещины использована сетка конечных элементов высокой плотности (рис. 2). Специальное внимание было уделено анализу чувствительности сетки к топологии и размерам конечных элементов. В результате серии параметрических расчетов было найдено, что устойчивое решение достигается при минимальном размере элемента порядка 5 нм при общем количестве четырехугольных квадратичных плоских элементов более 550000.
4. Распределения эквивалентных напряжений на продолжении трещины
В дальнейшем представлении численных результатов мы будем придерживаться сопоставления поведения рассматриваемых параметров при плоском напряженном состоянии и плоской де-
формации для одинаковых условий нагружения и свойств сплошной среды. Для иллюстрации эффектов градиентной пластичности в распределениях напряжений будет приведено сравнение с классической теорией пластичности в форме ИКЯ-решения. В данном разделе приведены результаты расчетов распределения в плоскости расположения трещины эквивалентных напряжений. В разделе 5 представлены полярные распределения компонент полной плотности дислокаций в области вершины трещины.
На рис. 3 приведены распределения нормированных на предел текучести ау эквивалентных напряжений ае/ау при плоской деформации и плоском напряженном состоянии в зависимости от величины г/1 отношения тейлоровского параметра структуры материала l к расстоянию г от вершины трещины. Условия нагружения характеризуются величиной нормализованного упругого КИН K1 = K1| а уЛ = 16.4 при заданном значении внутреннего масштаба структуры материала l = 5 мкм. Показатель деформационного упрочнения N варьировался от 0.075 до 0.4. Величина нормированных эквивалентных напряжений ае/ау = 1 соответствует границе между упругим и пластическим состоянием материала. Результаты расчетов для градиентной пластичности по уравнениям (12), (13) обозначены сплошными линиями, ИЯЯ-решение обозначено пунктирными линиями (рис. 3). Из представленных на рис. 3 данных следует, что учет в конституционных уравнениях градиентной пластичности СМ8О параметра внутреннего масштаба структуры материала l приводит (в локальной зоне размером менее чем 0.3г/1) к увеличению значений эквивалентных напряжений ае/ау на порядок и более. По мере удаления от вершины трещины г/1 > 0.3 эффекты градиентной пластичности исчезают и решение постепенно переходит к состоянию классической сингулярности типа ИЯЯ.
Значения нормированных эквивалентных напряжений ае/ау возрастают при увеличении показателя упрочнения N при прочих равных условиях. Очевидно, что область расстояний 0.003 < г/1 < 0.3 можно считать зоной преобладания градиентной пластичности.
На рис. 4 приведено сравнение радиальных распределений нормированных эквивалентных напряжений ае/ау отдельно для классического ИЯЯ-ре-шения и градиентной пластичности СМ8О в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния при одинаковых условиях нагру-
0.001 0.01 0.1 1 10 гП 0.001 0.01 0.1 1 10 гП
Рис. 3. Распределения эквивалентных напряжений при плоской деформации (а) и плоском напряженном состоянии (б) в компактном образце (цветной в онлайн-версии)
жения (К1 = Кх! а у%/7 = 16.4) и свойствах материала N = 0.075, 0.200, 0.400 и I = 5 мкм). Очевидно, что при плоском напряженном состоянии уровень эквивалентных напряжений выше и размеры зоны пластичности больше, чем при плоской деформации. Углы наклона линейных участков кривых распределений напряжений для классического НИЯ-решения и градиентной пластичности СМБО различны, что говорит о различном типе сингулярности в вершине трещины. При этом диапазон изменения этих углов как функции показателя упрочнения N для НИЕ.-решения существенно больше, чем в градиентной пластичности СМБО.
На рис. 5 показана вариация радиальных (г/а, где а — длина трещины) распределений нормированных эквивалентных напряжений ае/ау как функция параметра Тейлора I, положенного в ос-
нову теории градиентной пластичности с учетом механизмов деформирования (СМБО). Сравнение эпюр приведено для условий плоской деформации и плоского напряженного состояния для показателя упрочнения N = 0.075 и величины упругого коэффициента интенсивности напряжений К1 = 7.4 МПа • м05. Из представленных данных вид но, что внутренний масштаб структуры I является управляющим параметром конституционных уравнений градиентной пластичности. При величине I = 1 мкм распределения напряжений стремятся к ситуации почти идеальной пластичности, тогда как при I = 100 мкм состояние материала приближается к упругому. Плоское напряженное состояние демонстрирует более высокие эффекты градиентной пластичности в вершине трещины по сравнению с плоской деформацией.
Рис. 4. Сравнение распределений эквивалентных напряжений для классической (а) и градиентной (б) теории пластичности при плоском напряженном состоянии (1) и плоской деформации (2) (цветной в онлайн-версии)
с>е/с>о
30
10-
1 36.7,1=1 мкм
2- -Кх = 16.4,1=5 мкм
О ^ \ \ 2 \ \ 1 у X V \ \ 3- -Кх =3.7, /=100 мкм
2 / " ч
1 \% Л
*« \ ч \ ч N
Ы = 0.075 ч \
0.3
0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01
г/а
Рис. 5. Зависимости эквивалентных напряжений от параметра структуры материала при плоской деформации (1') и плоском напряженном состоянии (2') (цветной в онлайн-версии)
5. Поля плотностей дислокаций в вершине трещины
В данном разделе проведен анализ распределения плотностей дислокаций в вершине трещины при плоском напряженном состоянии и плоской деформации. Расчет статистической р8 (88Б) и геометрической рё (ОКО) составляющих полной плотности дислокаций р проводился по уравнениям (6) и (7) соответственно. Представленные ниже результаты приведены для фиксированного значения параметра Тейлора I = 5 мкм и нормализованного упругого КИН К1 = 16.4 при вариации показателя деформационного упрочнения материала N = 0.075, 0.200, 0.400.
На рис. 6 показано распределение плотностей геометрически необходимых рё и статистически
обусловленных р8 дислокаций как функции нормированного расстояния от вершины трещины г/1 для плоскости ее исходного расположения при значении полярного угла 6 = 0°. Напомним, что плотности дислокаций 88Б и ОКО в упрощенной теории градиентной пластичности с учетом механизма деформирования СМ8О описываются соответственно уравнениями р8 = [а^/(вР)/Ма|иЬ]2 и рё = г(лР/Ь). Из рис. 6 следует, что геометрически необходимые плотности дислокаций рё имеют высокие значения в области вершины трещины, но быстро уменьшаются при увеличении этой дистанции. В противоположность этому плотность статистически обусловленных дислокаций р8 не так велика, по сравнению с рё, и изменяется в существенно меньшем диапазоне по мере удаления от вершины трещины. Эти данные подтверждают значимость распределений компонентов 88Б и ОКО общей плотности дислокаций в вершине трещины. Кроме этого, именно величина рё обуславливает резкое увеличение напряжений непосредственно в вершине трещины, распределения которых показаны на рис. 3-5.
Рисунок 7 представляет более детальное сравнение радиальных распределений плотностей дислокаций рё и р8 на продолжении трещины для различных состояний (плоской деформации и плоского напряженного состояния) и свойств материала, описываемых показателем упрочнения N и параметром структуры I = 5 мкм. Плотность статистически обусловленных дислокаций 88Б (рис. 7, а) при плоской деформации почти не зависит от показателя упрочнения N. Плоское напряженное состояние более чувствительно к изменению пластических свойств материала, при-
Рис. 6. Радиальные распределения 88Б и ОКО плотностей дислокаций при плоской деформации (а) и плоском напряженном состоянии (б) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 7. Радиальные распределения SSD (а) и GND (б) плотностей дислокаций при плоском напряженном состоянии (7) и плоской деформации (2) (цветной в онлайн-версии)
чем наибольшие значения SSD соответствуют почти упругому состоянию с N = 0.4. Для градиентной пластичности GND плотность геометрически необходимых дислокаций pg существенно убывает по мере удаления от вершины трещины (рис. 7, в). Наибольшие величины плотности дислокаций GND соответствуют более вязкому и пластичному материалу при плоском напряженном состоянии.
Известно, что дислокации в металлических материалах участвуют в процессах формирования и перераспределения пластических деформаций. Установлено, что пластическая деформация преимущественно происходит при скольжении (движении) дислокаций вдоль определенных кристаллографических плоскостей. Подобная кооперативная природа скольжения в кристаллах приводит к образованию ступенек скольжения, величина которых пропорциональна вектору Бюргерса. Скольжение происходит преимущественно по плоскостям максимально плотной упаковки атомов и сила сопротивления движению дислокаций в этом случае минимальна. Преимущественная система скольжения (комбинация плоскостей и направлений скольжения) зависит от кристаллической структуры материала. Для ГЦК-кристалла скольжение имеет место на октаэдрических плоскостях {111} в направлениях <110), параллельных диагоналям граней куба. В кристаллах с ОЦК-решеткой скольжение происходит по семейству додекаэдрических плоскостей {110} в направлении диагоналей куба <111).
В вершине трещины реализуется характерная форма зоны пластической деформации, размеры которой зависят от упругопластических свойств
материала. Контур (или граница) зоны пластичности определяется равенством ap/ ay = 1.0, где ap — интенсивность пластических деформаций; ay — предел текучести материала. В настоящей работе проведено сравнение формы зон пластичности и плотностей дислокаций в вершине трещины при одинаковых условиях нагружения. Для этой цели на рис. 8 показаны контуры зон пластических деформаций в вершине трещины, полученные методом конечных элементов с использованием градиентной теории CMSG для плоской деформации и плоского напряженного состояния при вариации показа теля упрочнения N = 0.075, 0.200, 0.400 и значениях Kx = 16.4 и l = 5 мкм. Можно отметить, что по форме представленные контуры подобны условиям классической теории пластичности HRR и различия между плоской деформацией и плоским напряженным состоянием имеют традиционный характер для формы разрушения нормальным отрывом.
На рис. 9 для плоской деформации и плоского напряженного состояния показаны контуры плотности геометрически необходимых дислокаций pg в зависимости от расстояния до вершины трещины Г = r/l, которое нормализовано параметром Тейлора структуры материала l. Контуры плотностей дислокаций p рассчитывались в зависимости от положения полярного угла по следующим формулам: x = cos 6 и y = sin 6. Полярные распределения приведены для трех расстояний, изменяющихся в пределах от 0.04 до 0.12. Условия нагружения определяются величиной K = 16.4, а свойства упругопластического материала — сочетанием значения l = 5 мкм и N = 0.075. Из рис. 9 следует, что контуры плотности геометрически необ-
Рис. 8. Контуры зон пластических деформаций в вершине трещины при плоской деформации (а, в, д) и плоском напряженном состоянии (б, г, е) для градиентной пластичности CMSG в зависимости от показателя упрочнения N = 0.075 (а, б), 0.200 (в, г), 0.400 (д, е) (цветной в онлайн-версии)
ходимых дислокаций pg по форме и размерам существенно изменяются с расстоянием от вершины трещины г/1, причем в различной степени для плоской деформации и плоского напряженного состояния. В противоположность этому поведение статистически обусловленных плотностей дислокаций р8, показанное на рис. 10 для тех же условий нагружения и свойств материала, почти не зависит от дистанции до вершины трещины при плоской деформации и плоском напряженном состоянии. Для обеих составляющих общей плотности дислокаций р8 и pg по мере движения к уп-ругопластической границе наблюдается подобие контуров с формой зон пластичности в вершине трещины, показанных на рис. 8.
Характер зависимости угловых распределений плотностей дислокаций (геометрически необходимых pg и статистически обусловленных р8) от пластических свойств материала проиллюстрирован на рис. 11. Расчетные угловые распределения плотностей дислокаций ОКО и SSD при плоской деформации и плоском напряженном состоянии показаны на рис. 11 для показателей деформационного упрочнения N = 0.2 и 0.4 для нормированного расстояния до вершины трещины г/1 = 0.72 при величине коэффициента интенсивности приложенного напряжения К1 = 16.4 и значении параметра структуры I = 5 мкм. Из представленных данных следует, что для одного и того же расстояния до вершины трещины г/1 = 0.72 могут
з-
1-
|а_
Кх = 16.4
#=0.075
\ 7 = 0.04 V
,7 = 0.08 /
\ г //7 = 0.121
М О ^^ ОЖ)
-2
-1
О
р„со80 • 10
17
20'
16-
12-
4-
\б
Кх = 16.4
/X N = 0.075
¡^ 7 = 0.04 \
\ 1-7=0.12
-1
1
р„со80•10
17
Рис. 9. Контуры плотностей дислокаций ОКО для плоской деформации (а) и плоского напряженного состояния (б) (цветной в онлайн-версии)
иметь место противоположные ситуации по абсолютным величинам плотностей дислокаций ОКО и 88Б в зависимости от пластических свойств материала. Для достаточно вязкого материала с N= 0.2 (рис. 11, а) величины ОКО преобладают над 88Б при плоской деформации и плоском напряженном состоянии, причем максимум значений плотностей дислокаций располагается на различных угловых координатах, не совпадающих с линией продолжения трещины 6 = 0°. Для материала с почти упругими свойствами N= 0.4 (рис. 11, б) наблюдаются большие для 88Б значения по сравнению с плотностью дислокаций ОКО при тех же условиях нагружения.
Представленный анализ радиальных (рис. 6) и полярных (рис. 11) распределений плотностей
Рис. 10. Контуры плотностей дислокаций 88О для плоской деформации (1) и плоского напряженного состояния (2) (цветной в онлайн-версии)
геометрически необходимых рё и статистически обусловленных р8 дислокаций принципиален с точки зрения эффектов собственно пластических свойств материалов и градиентов деформаций на величину напряжения течения ад0Ш (10) в конституционных уравнениях градиентной пластичности (12) и (13). Из полученных нами результатов следует, что при малых расстояниях до вершины трещины г/1 градиентный член 1цр будет подавлять влияние пластических свойств материала. По мере увеличения дистанции вклады ОКО рё и 88Б р8 будут сопоставимы, а при г/1 > 0.7 влияние пластических свойств, характеризуемых величиной показателя упрочнения N в первом слагаемом (10) /2(еР), будет преобладающим по отношению к градиентным эффектам.
На рис. 12 показано сравнение контуров компонент плотностей дислокаций непосредственно в вершине трещины, имеющей конечный радиус кривизны. Видно, что плотности ОКО дислокаций имеют однородную структуру и соответствуют дискретным контурам, приведенным на рис. 9, 11. Поля плотностей 88Б дислокаций имеют неоднородную структуру, что соответствует их определению как статистического дополнения к ОКО для получения полных плотностей дислокаций. Напомним, что плотности ОКО обеспечивают условия сплошности в твердом теле в зонах градиентов пластических деформаций.
Соотношение ОКО и 88Б плотностей имеет важное значение с точки зрения напряжения течения (10). При малых расстояниях до вершины трещины, согласно (10) и рис. 6, ОКО через градиентный член 1цр подавляет влияние пластичес-
3-
2-
1-
Г - 0.72 | а
0.20
= 16.40
;(тЫ1)
1 47 /¡ \ у 2
((Г У У
0
р3 „соэб ■ 10
6-
ф .5 44
2-
7 = 0.72
—. М= 0.40
= 16.40
Г _ /■• ' А Л
¡1 , 1 [ ■ I ч 4 у
1' ОЫГ) ; Г
^ 1 1 1
\ 0 1 1
15
-4
р^созб-Ю14
Рис. 11. Сравнение контуров плотностей дислокаций SSD и ОКО в зависимости от показателя упрочнения для плоской деформации (1) и плоского напряженного состояния (2) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 12. Сравнение контуров плотностей дислокаций ОКО (а, б) и SSD (в, г) в окрестности вершины трещины для плоской деформации (а, в) и плоского напряженного состояния (б, г) (цветной в онлайн-версии)
ких свойств материала, выраженных через показатель деформационного упрочнения N. При достаточном удалении от вершины трещины вклады ОКБ и плотностей сопоставимы (рис. 11) и доминирование градиента деформаций в уравнении (10) становится менее значимым. Имея ввиду связь плотностей дислокаций с доминирующим механизмом разрушения на уровне структуры тейлоровского масштаба, актуальным является определение координаты равновесного состояния, когда ОКБ и имеют примерно одинаковую величину. Из равенства pg и р8 эту координату можно определить следующим образом:
D pg -Т
Rd = = r —
ps b
= 0.988-
M a^b aref f (вр)
(sp
y/ * )
2 N
(14)
На рис. 13 показаны зависимости между коэффициентом Rd и параметром структуры материала l для различных значений показателя упрочнения N для ситуаций плоской деформации и плоского напряженного состояния.
Очевидно, что с преобладанием свойств пластичности материала область равновесного состояния плотностей дислокаций увеличивается в размерах. Подобная координата может иметь смысл внешней границы области преобладания подходов градиентной пластичности.
6. Выводы
В течение последних двух десятилетий было показано, что конституционные уравнения классической пластичности не содержат собственного параметра структуры материала и, следовательно, не могут предсказать размерные эффекты, наблюдаемые в экспериментах на малых масштабных уровнях. Поэтому было указано на важность концепции мезомасштабной пластичности, основанной на модели дислокационного упрочнения Тейлора, и необходимость разработки градиентной теории пластичности с внутренним масштабом длины. Актуальность подобных исследований поддерживается результатами настоящей работы, в которой установлено, что эквивалентные напряжения для градиентной пластичности в области вершины трещины возрастают на порядок и более по сравнению с классической пластичностью на масштабах расстояний, сопоставимых с вели-
Рис. 13. Зависимость координаты равновесного состояния от параметра структуры материала для плоской деформации (1) и плоского напряженного состояния (2) (цветной в онлайн-версии)
чиной параметра Тейлора. При этом для плоского напряженного состояния напряжения выше, чем для плоской деформации при прочих равных условиях. Выполненный анализ распределений и вкладов плотностей статистически обусловленных и геометрически необходимых дислокаций в соответствии с основным уравнением напряжения течения определяет взаимосвязанное участие набора определяющих параметров в достижении общего эффекта градиентной пластичности. Установлена принципиальная значимость анализа радиальных и полярных распределений плотностей геометрически необходимых и статистически обусловленных дислокаций (принципиален с точки зрения эффектов градиентной пластичности и напряжения течения в конституционных уравнениях, описывающих поведение материала). Координата равновесного состояния или равенства плотностей дислокаций может рассматриваться как внешняя граница области преобладания градиентной пластичности.
Благодарности
Численные расчеты полей напряжений в компактном образце для плоского напряженного состояния и плоской деформации выполнены в рамках выполнения государственного задания ФИЦ КазНЦ РАН. Анализ распределений плотностей дислокаций по теории градиентной пластичности выполнен при финансовой поддержке гранта РНФ № 20-19-00158.
Литература
1. F/eck N.A., Hutchinson J.W. A phenomenological theory for strain-gradient effects in plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 1993. - V. 41. - P. 1825-1857.
2. F/eck N.A., Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity // Adv. Appl. Mech. - 1997. - V. 33. - P. 295-361.
3. F/eck N.A., Mu//er G.M., Ashby M.F., Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity: theory and experiment // Acta Metal. Mater. - 1994. - V. 42. - P. 457-487.
4. Huang Y., Zhang L., Guo T.F., Hwang K.C. Near-Tip Fields for Cracks in Materials with Strain Gradient Effects // Proc. IUTAM Symposium on Nonlinear Analysis of Fracture / Ed. by J.R. Wills. - Cambridge: Kluwer Academic Publishers, 1995. - P. 231-242.
5. Huang Y., Zhang L., Guo T.F., Hwang K.C. Mixed mode near-tip fields for cracks in materials with strain gradient effects // J. Mech. Phys. Solids. - 1997. -V. 45. - P. 439-465.
6. Xia Z.C., Hutchinson J.W. Crack tip fields in strain gradient plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 1996. -V. 44. - P. 1621-1648.
7. Nix W.D., Gao H. Indentation size effects in crystalline materials: a law for strain gradient plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V. 46. - P. 411-425.
8. Gao H., Huang Y., Nix W.D., Hutchinson J.W. Mechanism-based strain gradient plasticity. I. Theory // J. Mech. Phys. Solids. - 1999. - V. 47. - P. 1239-1263.
9. Huang Y., Qu S., Hwang K.C., Li M., Gao H. A conventional theory of mechanism-based strain gradient plasticity // Int. J. Plasticity. - 2004. - V. 20. -P. 753-782.
10. Martinez-Faneda E., Natarajan S., Bordas S. Gradient plasticity crack tip characterization by means of the ex-tended finite element method // Comp. Mech. -2017. - V. 59. - P. 831-842.
11. Shi M., Huang Y., Jiang H., Hwang K.C., Li M. The boundary-layer effect on the crack tip field in mecha-
nism-based strain gradient plasticity // Int. J. Fracture. - 2001. - V. 112. - P. 23-41.
12. Martinez-Faneda E., Betegon C. Modeling damage and fracture within strain-gradient plasticity // Int. J. Solids Struct. - 2015. - V. 59. - P. 208 -215.
13. Martinez-Faneda E., Niordson C.F. On fracture in finite strain gradient plasticity // Int. J. Plasticity. -2016. - V. 80. - P. 154-167.
14. Martinez-Faneda E., F/eck N.A. Mode I crack tip fields: Strain gradient plasticity theory versus J2 flow theory // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2019. - V. 75. -P. 381-388.
15. Jiang H., Huang Y., Zhuang Z., Hwang K.C. Fracture in mechanism-based strain gradient plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 2001. - V. 49. - P. 979-993.
16. Qu S., Huang Y., Jiang H., Liu C. Fracture analysis in the conventional theory of mechanism-based strain gradient (CMSG) plasticity // Int. J. Fracture. -2004. - P. 199-220.
17. Gao H., Huang Y. Geometrically necessary dislocation and size-dependent plasticity // Scripta Mater. -2003. - V. 48. - P. 113-118.
18. Долгоруков В.А., Махутов Н.А., Шлянников В.Н. Особенности решения задач нелинейной механики трещин при двухосном нагружении произвольного направления // ДАН СССР. - 1990. - Т. 315. -№ 5. - С. 1073-1076.
19. Sh/yannikov V., Tumanov A., Khamidu//in R. Strain-gradient effect on the crack tip dislocations density // Frattura ed Integrita Strutturale. - 2020. - V. 54. -P. 205-214.
20. Tay/or G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. -1938. - V. 62. - P. 307-324.
21. ANSYS Mechanical APDL Theory Reference Release 14.5 // ANSYS, Inc. Southpointe, 275 Technology Drive, CanonBurg, PA, 2012.
Поступила в редакцию 01.10.2020 г., после доработки 05.03.2021 г., принята к публикации 09.03.2021 г.
Сведения об авторах
Шлянников Валерий Николаевич, д.т.н., проф., рук. научн. напр. «Энергетика» ФИЦ КазНЦ РАН, 8Ыуапшкоу@таП.т Туманов Андрей Владиславович, к.т.н., внс ФИЦ КазНЦ РАН, tumanoff@ramb1er.ru Хамидуллин Руслан Минниахмедович, мнс ФИЦ КазНЦ РАН, 8к1(1уго%@)Ьк.т
