Модифицированная модель трещины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.375.5

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -3-966-969

МОДИФИЦИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ ТРЕЩИНЫ

© Е.Е. Дерюгин

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, г. Томск, Российская Федерация, e-mail: dee@ispms.tsc.ru

Рассмотрено напряженно-деформированное состояние (НДС) сплошной среды с трещиной, окруженной слоем пластически деформированного материала. В основе расчетов используется развиваемый автором метод элементов релаксации. На основе аналитических расчетов показано, что в данной модели, в отличие от известной модели трещины Гриффитса, на конце трещины отсутствует сингулярность. Напряжение непрерывно увеличивается, начиная от нуля на контуре трещины, проходит через максимум, затем уменьшается, асимптотически приближаясь к величине внешнего напряжения. Максимум напряжения расположен в зоне пластической деформации. За пределами зоны распределение напряжений не отличается от распределения напряжений для трещины Гриффитса. Предложенная модель позволяет анализировать влияние величины и градиентов пластической деформации на концентрацию и распределение напряжений у вершины трещины.

Ключевые слова: модель трещины; концентрация напряжений; коэффициент интенсивности напряжений; пластическая деформация; метод элементов релаксации; напряженно-деформированное состояние.

1. ВВЕДЕНИЕ

Процесс формирования субструктур деформации часто сопровождается возникновением несплошностей и микротрещин. В связи с этим существует актуальная проблема описания поля напряжений у вершины трещины [1-2] и исследования влияния пластической деформации на напряженное состояние твердого тела с трещиной.

В основе инженерных расчетов на прочность и долговечность элементов конструкций, как правило, используются принципы и критерии линейной механики разрушения [1-3]. Последние получены, опираясь на свойства классической модели трещины Гриффитса, несмотря на существенный ее недостаток, связанный с наличием сингулярной точки на конце трещины, приближение к которой приводит к неограниченному росту напряжения. В связи с этим в механике разрушения не используется физическое понятие коэффициента концентрации напряжения у вершины трещины, а в качестве характеристики неоднородного поля напряжения употребляется коэффициент интенсивности напряжения в окрестности сингулярной точки.

Предположения относительно нелинейности у концов трещины позволили для расчетов взять на вооружение ряд известных моделей [4-5]. Однако применение их ограничено существенной оговоркой. Они справедливы лишь в случае, когда зона пластической деформации чрезвычайно мала по сравнению с длиной самой трещины. При описании напряженного состояния вблизи вершины трещины с протяженной зоной пластической деформации встречаются большие математические и вычислительные трудности.

Критическое значение коэффициента интенсивности напряжений К1с (КИН), характеризующего неоднородное поле напряжений в окрестности кончика трещины в квазихрупких материалах, не может служить в

качестве параметра, характеризующего способность материала противостоять распространению трещины в металлах и сплавах, где зарождению и распространению трещины предшествуют значительные пластические деформации. Это означает, что характеристика К1с для пластичных материалов теряет физический смысл, особенно в случае испытаний малоразмерных образцов, когда явно нарушается условие плоской деформации.

Известно, что моменту разрушения всегда предшествует определенная степень пластической деформации. Это означает, что распространение трещины происходит в слое пластически деформированного материала. Другими словами, трещина с момента зарождения всегда окружена слоем пластически деформированного материала. Толщина слоя и распределение пластической деформации в нем, очевидно, зависят от способности материала к пластической деформации и граничных условий нагружения.

В данной работе рассмотрено напряженно-деформированное состояние (НДС) сплошной среды с трещиной, окруженной слоем пластически деформированного материала. В основе расчетов используется развиваемый автором метод элементов релаксации (МЭР) [6-7].

2. ВЛИЯНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ НА НДС ТВЕРДОГО ТЕЛА С ТРЕЩИНОЙ

Пластическая деформация - это явление сугубо релаксационной природы. Поэтому пластическая деформация локальной области в объеме твердого тела всегда приводит к уменьшению упругой энергии в данной области и сопровождается перераспределением напряжений. В [6-7] показано, что тогда появляется дополнительное поле напряжений, связанное с работой внешней силы на пластических смещениях в данной локальной области. Поэтому локальная область, испы-

тавшая определенную степень пластической деформации, является элементом релаксации (ЭР) с собственным полем внутренних напряжений.

Представим трещину в виде эллиптической полости со слоем пластической деформированного материала по контуру эллипса (рис. 1). В сущности, наша задача сводится к определению поля внутренних напряжений данной системы. Условие сохранения сплошности (непрерывности) материала вне полости требует плавного изменения напряжений от значений в объеме до нулевого значения на границе полости. Предполагается, что вне выделенного слоя матрица однородна, изотропна и деформируется упруго под действием растягивающего напряжения ст, направленного вдоль оси y. На рис. 1 слой вокруг трещины изображен в виде вложенных друг в друга элементов релаксации эллиптической формы. Для определенности необходимо охарактеризовать геометрические параметры каждого ЭР из семейства. Сделаем это следующим образом. Внутри каждого ЭР из данного семейства зададим величину элементарного падения напряжения (элементарного тензора релаксации da) так, чтобы при внешнем напряжении ст интегральная сумма падений напряжений от всех ЭР уничтожало бы все напряжения в полости при внешнем напряжении ст.

Примем, что все эллипсы имеют общий центр в начале координат и полуоси, совпадающие с осями координат. Длины полуосей определим равенствами a(t) = = a0 + h(l - t), b(t) = b0 + h(l - t), где a0 и b0 - большая и малая полуоси полости, полуось b очага направлена вдоль оси растяжения y (рис. 1), h - толщина слоя вокруг полости, t - переменная, изменяющаяся в пределах от 0 до 1. При t = 0 полуоси максимальны. Увеличение t соответствует последовательному переходу от внешнего эллипса к геометрической линии полости. Конкретное значение t выбирает определенный контур семейства. При b ^ 0 полость превращается в трещину. Пусть a0 » h, тогда точка на оси x будет соответствовать контуру ЭР со значением

t = 1- (х- а ) /h.

(1)

Величину элементарного (бесконечно малого по величине) тензора релаксации для каждого ЭР выразим в виде функции переменной Г:

dстг =(р + 1)atPdt, -1 <p<œ.

(2)

Видно, что в зависимости (2) параметр р регулирует изменение величины релаксации при непрерывном

Рис. 2. Профили тензора релаксации по толщине слоя трещины при значениях р = 0 (1), 1 (2), 3 (3), 7 (4), 15 (5)

переходе от контура к контуру. Чем больше t, тем больше величина элементарного тензора релаксации. Для ЭР справедлив принцип суперпозиции, т. к. суммируются элементарные поля (решения) для напряжений в приближении линейной теории упругости. При интегрировании dar от 0 до 1 коэффициент нормировки Р + 1 обеспечивает внутри полости полное отсутствие напряжений. При интегрировании выражения (2) от значения t = 0 до значения согласно уравнению (1) величина падения напряжения становится тем больше, чем ближе точка находится к полости. Параметр Р регулирует скорость изменения данной величины: чем больше Р, тем быстрее происходит падение напряжения по мере удаления от геометрической границы полости. Рис. 2 иллюстрирует интегральный профиль отношения ст/ст по абсолютной величине вдоль оси x в пределах толщины слоя. Видно, что результирующий тензор релаксации стг обеспечивает плавное уменьшение величины релаксации напряжения.

Увеличение скорости падения напряжения (параметра Р) приводит к тому, что заметное падение напряжения начинается при все более малых расстояниях от кончика трещины. Другими словами, увеличение Р приводит к эффекту уменьшения физической толщины зоны пластической деформации. Поскольку между элементарным тензором релаксации внутри и элементарным полем напряжений вне ЭР существует аналитическая связь [6-7], то заданием с помощью распределения ЭР величины релаксации в локальных областях автоматически определяется и результирующее неоднородное поле напряжений во всей плоскости, в т. ч. и в самом слое. В системе координат, изображенной на рис. 1, для компонент элементарного поля напряжений произвольного ЭР вдоль оси x, согласно условиям (1) и (2), можно записать следующие выражения:

da„ = a(P + 1)tP

dCTyy =CT(P+ 1)tP

Рис. 1. Схема трещины в окружении пластически деформированного материала

h2(l-t)2

1

h2(1 -1)2х (х - а0)

dt,

(3)

h2(1 -1)2х

(х2 - а2)"2

dt.

Компонента ^ху = 0.

В уравнениях (3) малая полуось произвольного ЭР в семействе равна Ь = к (1 - Г), т. к. полость превращается в трещину при Ь0 = 0.

Интегрируя выражения (3) по переменной Г, необходимо учесть, что вне слоя пределы интегрирования берутся от 0 до 1, а в точках, попадающих в слой, от Г до Г = 1 - (х - а0)/к. Для профиля компоненты оу вдоль оси х получим следующее уравнение:

2h2

1

(ß + 2)(ß + 3) I a2 (x2 -a?)3'

yß

--A( x

если x > a0 + h и

IT

= A ( x )

_y_

CT

1 - 1

ß+i

(4)

ß +1

ß + 3

xh2

( x2 - a? )

ß + 4 + x - a0 x - a0 ß + 2 h

если а0 < х < а0 + к.

Изменение распределения напряжения оу, согласно уравнению (4) при вариации параметра р иллюстрирует рис. 3. Видно, что, в отличие от решения Гриффитса (кривая 7), в данном случае на конце трещины отсутствует сингулярность. В приповерхностном слое напряжение непрерывно увеличивается, начиная от нуля на конце разреза, проходит через максимум, затем уменьшается, асимптотически приближаясь к величине внешнего напряжения о. За пределами слоя качественное и количественное отличие кривых практически исчезает. Увеличение параметра р приводит к росту концентрации напряжения и смещению максимума к границе полости. В пределе при р ^ ю получается кривая Гриффитса (кривая 7).

К аналогичному эффекту приводит уменьшение физической ширины поверхности к (рис. 4).

На концентрацию напряжения сильное влияние оказывает и увеличение длины трещины (рис. 5). При

Рис. 3. Профили напряжения оу у вершины трещины. Цифры у кривых указывают степень у для р = 2*.

Рис. 4. Профили напряжения оу у вершины трещины. Стрелки указывают границу области пластической деформации

Рис. 5. Профили напряжения оу у вершины трещины. Цифры у кривых указывают степень у для а0 = 5-2

этом, в отличие от случаев на рис. 4, с увеличением длины трещины напряжение увеличивается не только в приграничном слое, но и за его пределами, т. е. область повышенной концентрации напряжения существенно расширяется.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Преимущества рассматриваемого описания НДС твердого тела с трещиной очевидны, поскольку сингулярное решение из него вытекает как частный случай, когда толщина слоя пластически деформированного материала стремится к нулю или когда параметр ß стремится к бесконечности. Предложенная модель позволяет анализировать влияние величины и градиентов пластической деформации на концентрацию и распределение напряжений у вершины трещины.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hertzberg R. W. Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. N. Y.: Wiley, 1976.

2. Broek D. Elementary engineering fracture mechanics. Leiden, 1974.

3. Степанова Л.В. Математические методы механики разрушения. М.: Физматлит, 2009. 336 с.

CT

y

CT

4. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. 1960. V. 8. № 2. P. 100-108.

5. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

6. Дерюгин Е.Е. Метод элементов релаксации. Новосибирск: Наука. Сиб. предпр. РАН, 1998. 253 с.

7. Deryugin Ye.Ye., Lasko G., Schmauder S. Relaxation Element Method in Mechanics of Deformed Solid // Computational Materials. N. Y.: Nova Science Publishers, 2009. P. 479-545.

Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.

UDC 539.375.5

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -3-966-969

IMPROVED MODEL OF CRACK

© E.E. Deryugin

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, Russian Federation, e-mail: dee@ispms.tsc.ru

The stress-strain state of the continuous medium with a crack surrounded by a layer of plastically deformed material isconsidered. In calculations is used the relaxation elements method, developed by the author. Based on analytical calculations it is shown that in this model, unlike the known model of Griffith''s cracks, at the end of the crack there is no singularity. The stress continuously increases, starting from zero on the contour of the crack, passes through a maximum, then decreases, asymptotically approaching the value of external stress. The stress distribution outside the zone plastic deformation is not different for the stress distribution for Griffith's crack. The proposed model allows analyzing the influence of the magnitude and gradients of plastic deformation on the concentration and stress distribution near the crack.

Key words: crack's model; stress concentration; stress intensity factor; plastic deformation; relaxation elements method; stress-strain state.

REFERENCES

1. Hertzberg R.W. Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. New York, Wiley Publ., 1976.

2. Broek D. Elementary engineering fracture mechanics. Leiden, 1974.

3. Stepanova L.V. Matematicheskie metody mekhaniki razrusheniya. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 336 p.

4. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits. J. Mech. Phys. Solids, 1960, vol. 8, no. 2, pp. 100-108.

5. Slepyan L.I. Mekhanika treshchin. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1990. 296 p.

6. Deryugin E.E. Metod elementov relaksatsii. Novosibirsk, Nauka. Sib. enterprise RAS Publ., 1998. 253 p.

7. DeryuginYe.Ye., Lasko G., Schmauder S. Relaxation Element Method in Mechanics of Deformed Solid. Computational Materials. New York, Nova Science Publ., 2009, pp. 479-545.

Received 10 April 2016

Дерюгин Евгений Евгеньевич, Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, г. Томск, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, лаборатория физической мезомеханики и неразрушающих методов контроля , e-mail: dee@ispms.tsc.ru

Deryugin Evgeniy Evgenevich, Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Leading Research Worker, Physical Mesomechanics and Non-destructive Methods of Control Laboratory, e-mail: dee@ispms.tsc.ru